** Archivali perito contenti: ** textus et formulae theoricae praesentationis historicae deferuntur nec sunt inceptio, ratio stabilis, capacitas reprimendi onera portandi, aestimatio elementi existentis, vel instructiones constructionis vel rehabilitationis. Designationes, suppositiones et exempla approximata cohibenda sunt contra systema specificum, materialem, geometriam, condiciones circumscriptiones et signa applicabilium. Calculus torsionis, stabilitatis, lassitudines, artuum et accentus ob impedimenti flexionis rationem fieri debet per fectum licentiati, cum potestate independentem requisitum.
Related information?: Fenestrae ligneae secundum propositum tuum factae sunt. · Consuetudinem factae fenestrae lignorum aluminium. · Mores fenestras pro domibus, inceptis et exportationibus. · Consuetudinem factam ligneam et fores aluminis lignorum. · Petentibus prolationem mittere.
Saint-Venant theoria torsionis (liber torsionis)
Aequatio differentialis
SI.1
Sit virga recta fixa in uno terminorum suorum x=0oneraturque in altero articulo torsionis M (fig.1). Tunc unaquaeque sectionum suarum circumagatur per angulum quendam α_(x) circa lineam quamdam parallelam axi baculi, quem utemur ad axem. Si omnes sectiones inter se sunt aequales, recta quaevis parallela axi axi transibit in orbem, & angulus α_ erit proportionalis distantiae a fine fixum: α=ϑx, ex quo oriuntur dissidia componentes in plano sectionis (Fig.2)
v = - r a sin_ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Quantitas ϑ dicitur angulus torsio (dimensio: longitudo -1gyratio per longitudinem unitatis). Angulus torsionis est proportionalis torsionis momento M;
ϑ = M/GJT. (2)
SI.2
Ratio proportionalitatis GJT, rigoris torsionalis, aequalis est facto tondendi moduli G et factori JT, quod figurae et magnitudinis sectionis effectum repraesentat.
Haec rotatio sectionis non est sola virgae deformatio. Accedit praeterea curvatio sectionis transversalis, i.e. ad disposicionem in directum axis x, quae eandem habet magnitudinem pro punctis respondentium omnium sectionum transversim et ideo tantum functio coordinatarum in plano sectionis, et alioqui proportionalis oneris M vel angulus torsionis _ϑ;
u = u(y,z) = ϑ φ(y, z), dφ/dx=0. (1b)
Si praedictae expressiones in aequationibus respondentibus obsessio introducuntur, obtinetur ut principales passiones normales nihilo sint pares, duas tantum actiones componentes τxy et τxz relinquentes;
Unius.3
Aequatio differentialis quaestionis torsionis secundum aequationes habebitur (3) ponens:
Duae differentiales Libra et compatibilitas aequationum Torsion Problem
Unius.4et i*4b
et solvendo has differentiales aequationes pro incognitis τxy et τxz inducendo functionem accentus F(y,z) illam:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Cum hoc, aequatio (4a) satisfactum numero, et ex aequatione (4b) aequatio differentialis requiritur
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G___ (6)
Terminus conditio requisita pro unica solutione huius aequationis obtinetur ex postulatione ut nullae in virga involucro tondeantur, ex quibus, ob coniugatam tondendi naturam, sequitur quod accentus in plano sectionis non debet habere elementum perpendiculum in forma. Hinc, fi.2:
_dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
ergo
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
tota differentialis functionis F nulla esse debet, id est, debet esse F=const. per extima.
Si sectio unam tantum partem habet, simpliciter poni potest super eam0quia cum functione intentione, cuius actu solum in derivatis interest, munus arbitrarium additivum constans non agit. Nam sectiones, quae plus quam una forma habent, haec quaestio est magis implicata.
Ut ex aequatione (5) effectus tondendi extollit punctum intersectionis arbitrariae = F, sed est perpendicularis ei perpendicularis, i.e. directum tangentem ad rectam _F\ = const.
Per aequationem differentialem solvendo (6)) intentiones τ ut functiones y, z et ϑ obtinentur. Negotium calculi est utique determinatio torsionis anguli ϑ et accentus, praesertim maximus accentus ut functio momenti torsionalis, ergo determinatio rigoris sectionis JT ex aequatione (2et resistentia torque WT = Mmaxτ. Ad haec obtinenda solum opus est M exprimere tamquam functionem F;
Utraeque summationes huius integralis, quae totam sectionem sumi debent, per integrationem partialem transformari possunt. Si exempli gratia primum illorum integratur primum in linea _z= const. ex parte in forma y = y1 Ad punctum y = y2 (fig.3) et rationem habe in utroque horum punctorum F=0, habetur
Idem valorem obtinetur ex integro secundo, ut
Unius.7
SI.3
Aliae casus plenae sectiones
Aequatio differentialis (6) est aequatio inhomogenea theoriae potentialis. Ideo ad problema torsionis solutionem in sectione transversali arbitraria, methodi theoriae potentialis praesto sunt, quae semper reperiri sinunt. Haec autem methodi plerumque intricatae sunt adhibendae singulis casibus, quae in praxi nascuntur. Ideo sequens tabula ostendit eventum talium calculorum per plures sectiones.
Pro sectionibus transversis prope orbicularibus JT_=F poni possunt4/40_Ip_, ubi est area Ip, est momentum polaris sectionis inertiae.
Nota de formulis et tabulis: expressiones et bona in imaginibus inspectis reponuntur ut fons historicus. OCR textus, index notarum et scan non satis certa ad calculum. Ante usum, unaquaeque formula, unitas, coefficiens et validitatis area cohibeantur in fonte auctoritative professionali et valido norma.
Analogia cum membrana
Bonum auxilium ad aestimationes torsionales passiones, et simul procedendi ad accurate determinatum eorum analogiam praebetur inter munus accentus F quaestionis torsionalis et deflexionis oneris transversalis membranae. Sit apertura mediocris in pariete plano vasis coincidit cum sectione crucis baculi torsionis onustae. Ubi membrana super hanc foramen porrecta et p modice nimia pressionis in vase causatur, exterior membranae eminentes sunt, ut eius deflexiones ξ(y, z) aequationem differentialem expleant.
ubi N est tensio superficies in membrana ex viribus capillaribus (dimensiones: vis longitudinis per unitatem). Haec aequatio cum aequatione coincidit (6) et terminus conditionis __=0idem ac intentionis munus. Hoc modo munus voltage F(y,z) obtineri potest utens hoc speculo membranae et sic problema torsionis solvendae. Accentus τ respondet clivo membranae respectu y-z-plani, sic altissimus locus est ubi virga torsion exposita summum tondendum accentus habet.
SI.4
SI.5
Haec membrana ratio aptissima est ad exemplaria approximata obtinenda pro sectionibus tenuibus vallatis. Cum pro exemplo I-sectio secundum fig dividitur.4in tribus rectangulis et singulis eorum analogia cum membrana seorsim exercetur, summa voluminum protrusionum protrusionum paulo minor erit quam volumen quod functioni intentioni actu respondet. Cum igitur crassitudines sint b1 Et b*2 Parvum, circiter
JT=2JT1+ JT2,
ubi JT1 et JT2 Rigorem factorum singularum rectangulorum, quae iniri possunt, fundatur in mensa1. Melior aditus obtinetur, cum ponitur pro costa JT2 = a2b32/3 ergo costa pro rectangulo valde elongato consideratur. Valor etiam accuratior secundum Trayer_ et Marcum a . obtinetur
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
ubi D est diameter circuli maximi inscripti ut in fig.4, et α_ ficu sumi potest.5. Pro sectione T habebitur similiter
JT = JT1+JT2+ α D4,_
ubi JT2 Dimidium pretii computatur secundum mensam1quia a=2_a2_, b=b2. For L-sections (Fig.6) Simile est
JT = JT1+ JT2+ β D4
ubi JT1 Ad bracchium crassius e mensa sumitur1dum JT2 pro tenuiore crure pro sectione computatur, et β_ a fico sumitur.7.
SI.6
SI.7
Cum accentus computandi, momentum torsionale in rectangula constituentia dividitur: pars quae cadit in flangas M.1=M JT2/JT; tondendas accentus est deinde ratione mediocritatem ad latera uniuscuiusque rectanguli longioris fundatur in mensa1. Maximum horum passiones non esse maximum tondendas accentus apparens in sectione. Nempe, si angulus incidentiae non rotundus est, τ=∞ in eo loco obtinetur, ut pro minimo rotunditatis radio, summus hic tonsurus accentus exspectari possit.
** Engineering Note: ** Singularitas mathematicae anguli acuti idealisati non est licentia actualis singillatim aestimandi per hoc solum exemplar approximatum. Geometria ipsa circumductio, tolerantiae, plasticitas, pugiles, passiones residuales, loci stabilitas et lassitudo aptam exemplar et probationem peritiam requirunt.
Angulus enim quadrangulus, cujus lateris crassitudo est secundum Trefftz, est in rotunditate diametri _r;
ubi cum τ0 notata maxima intentione computata pro singulis cruribus secundum modum procedendi de quo hic agitur. Ad radios rotundos maiores, τ= adoptari possunt2__τ0.
Tenues tibiae muratae (Bradt Patterns)
In tibiis tenuibus, membrana tumes formam habet in fig.8quae ex plano supra cavum intra fistulam et fastigium circumdantis, jacet supra murum tibiae sectionem efficacem ; ea proclivior superficies altior esse debet, si fistulae parietes apto loco tenuiores sunt. In hoc casu, tondendae passiones aequabiliter super latitudinem murorum distribuuntur et sunt reciproce proportionales crassitudini murorum, i.e. tondendi per sectionis circumferentiam non mutat.
SI.8
Superficies elementum t__ds partem momenti torsionis accipit
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
Itaque totum momentum
Unius.8
ubi FR superficies linea media tegitur lineis et punctis in fig notata.8. Hinc est quod adeptus est
Unius.9- Primum exemplar Bredt
Rigor Torsionalis simplicissime obtinetur, cum deformatio operis una ex parte per momentum torsionis et angulum torsionis exprimitur et ex altera parte per tondendas passiones. Hoc modo habetur pro baculo longitudinis l.
ita valorem pro τ pro aequatione (8)
hoc est per comparationem ad aequationem (2)
Unius.10
Si parietum crassitudo eadem est in circuitu , simplex est .2. Bredt exemplum);
Unius.11
Normalis extollit torsio ex sectione flexionis
Basic vocabula et aequatio differentialis
Pars displacements u, aequatio (1b) curvaturam sectionum e planis determinat. Cum momentum torsionis constans est, inclinatio haec eadem est in omnibus sectionibus et passiones normales σx non apparent.
In multis casibus curvatura sectionis crucis, quae oriri debet ex _St. Ratio Venantis fieri non potest. Si momentum torsionis mutatur abrupte in una sectione transversali, curvatio diversarum magnitudinum fieret utrinque sectionis crucis, et continuitas deformationis perturbaretur. Unus virgae finis ita conglutinari potest ut inclinatio sectionis in illo puncto omnino excludatur. In quibus casibus emendandum est _St. Venantii theoremata. Accessiones extollit σx in directione axis virgae et vim tondendi additamentum T (extulit tonsura T/t) apparent in virga, quae summae sunt in sectione, ubi continuitas deformationis fracta est et quae diminuuntur cum distantia ab hac sectione exponentialiter. In solidis virgis et tubis haec theoria est multiplex, et voltages accessiones tam cito minuuntur ut eorum determinatio in pluribus operae pretium non sit. Ad virgas tenues patentes profile, haec correctio magni momenti est ac facili ratione computari potest.
SI.9
SI.9linea per quam media muri superficies et planum sectio secet (linea media sectionis). O centrum est rotationis relativae duarum sectionum adjacentium. Si distantia earum sit dx, angulus torsio est ϑ dx, ideo punctum arbitrarium midline subit obsessionem u dx_. Dispositio haec habet componentem in directione tangentis ad sectionem, et est lapsus elementi mediae superficiei parietis (atppensato _u=_φϑ);
γ=__ϑ(rt+d__φ/ds)_.
Cum accentus in media superficie parietis nulla sit, necesse est etiam esse γ=0Ut wisi id
Praefecti huius parametri arbitrarios tres continet: origo e qua arcus longitudo s computatur et coordinatae centri rotationis relativae O, ex qua dependet rt. Principium , e quo arcus longitudo s computatur , eligi potest ut media curvatura valoris nullus sit ;
& coordinatae centri O ita determinari possunt ut momenta ob sectionis flexionem nulla sint;
Related information?: Related information?
Si inclinatio sectionis per haec exemplaria descripta omnino vel ex parte impedita est, normales passiones σx in directione axis virgae apparere debent. Propius examen ostendit has passiones sumi posse proportionales functioni curvaturae φ:_ σx=k__φ, ubi φ_ solum ab s et ab k pendet. Sicut per Hooke lege:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
oportet esse k=E d__ϑ/dx. Normales passiones σx dicuntur sectionem inflexionis legimus. Aequationes supra considerantes, systema virium aequilibrium in unaquaque sectione constituunt, systema virium ob sectionis flexionem.
Totalis torques duabus partibus constat, quarum altera M .1=GJT___ oritur ob torsionales passiones ab _St. Venant theoria, alter M .2 occurs ob inflexionem sectionis;
Unius.13
Cum momentum M detur ut functio ipsius x, haec expressio repraesentat aequationem differentialem pro angulo torsionis __. Postquam haec aequatio solvuntur, M iniri potest1 Et M2, et sic omnes legimus et modos.
Solutio et applicationes
Cum momentum torsionis M constans est, generalis aequationis solutio (.13) est:
Integratio constantium C1, C2 Ex duobus terminis statui debet.
a) Rigidly coagmentatis finem x =0(fig.1)
Hic finis est u≡0, ita ex aequatione (1b) =0. Si virga longissima est (αl>>1), deinde C1=0et C *2= -M/GJT. In virgis brevibus, aspectus vis ob flexionem sectionis afficitur conditione in dextro fine virgae. Si inclinatio sectionis eo loco non impediatur, erit σx≡ .0et dϑ/dx=0. Hinc est quod adeptus est
b) Onus symmetricum torsion secundum fig.10
Ad partem sinistrae virgae, momentum torsionale est -M/.2et dextra +M/2. In libero torsionis, sectiones ad dextram mediae et dextrae virgae in oppositum torquerentur, ergo continuum deformationis non conservaretur. Igitur in loco x=0totum momentum torsionale transferri debet per passiones quae occurrunt ob flexionem sectionis crucis, et ideo in hac sectione transversali M.1=0ideoque ϑ=0. Hic ratio virium agit ut sectio recta maneat, quamvis sectiones a centro curvae longius iacentes. Si, praeterea, oportet ut virgae fines habeant passiones σx≡0vnus terminus condicionis pro qualibet medietate virgae, sic est pro medietate dextra
! Torsion angulus solutio ad dimidium aequaliter oneratus virga
SI.10
c) momentum externum M apud locum arbitrarium (fig.11)
In hoc casu solutio ϑ utrobique virgae separatim scribi debet, ut summa quattuor constantium C apparebit.1, C2, C3, C4. Praeterea momenta torsionis Ma, Mb ignota sunt. Sex aequationes in promptu sunt: conditio continuitatis pro u (expressa per u) et pro dϑ/dx (expressa per σx) in puncto oneris, una conditio ad utramque partem virgae (exampla rigida clamping _ϑ=0aut inconcussa flexione, dϑ/dx=0) staterae conditio momentis -Ma+Mb=M ac postremo condicio ut sectiones extremae respectu inter se non revolvantur: ∫ dx =0.
SI.11
** Ultima nota: ** Electio torsionis exemplar pendet a sectione aperta vel clausa, gracilitate, methodo subsidii, loco momenti initus et possibilitas liberae flexionis. Ad elementum reale, onera portantes et inservientia limites civitatum, locorum singularia, compages, lassitudines et stabilitates comprimenda sunt, non una tantum formula a articulo separata.