Arhivski stručni sadržaj: tekst i formule prenose istorijski teorijski prikaz i nisu projekat, statički proračun, provera nosivosti, procena postojećeg elementa niti uputstvo za izradu ili sanaciju. Oznake, pretpostavke i približni obrasci moraju se proveriti prema konkretnom sistemu, materijalu, geometriji, graničnim uslovima i važećim standardima. Proračun torzije, stabilnosti, zamora, spojeva i napona usled sprečenog krivljenja treba da uradi ovlašćeni inženjer, uz nezavisnu kontrolu kada je zahtevana.
Savo Kusić danas je usmeren na drvene prozore, drvo-aluminijumske prozore, prozore po meri, vrata i zahteve za ponudu. Ovaj članak ostaje kao istorijski stručni arhiv i ne predstavlja uslugu projektovanja konstrukcija.
Saint-Venantova teorija torzije (slobodna torzija)
Diferencijalna jednačina
Sl. 1
Neka je prav štap učvršćen na jednom od njegovih krajeva x=0 i neka je na drugom kraju opterećen momentom torzije M (sl. 1). Tada se svaki njegov presek obrće za izvestan ugao α(x) oko određene prave paralelne sa osovinom štapa koju ćemo usvojiti za x-osovinu. Ako su svi preseci međusobno jednaki, svaka prava paralelna sa x-osovinom preći će u zavojnicu, a ugao α će biti proporcionalan odstojanju od učvršćenog kraja: α=ϑx, odakle proizilaze komponentalna pomeranja u ravni preseka (sl. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Veličina ϑ se naziva ugao torzije (dimenzija: dužina-1, obrtanje na jedinicu dužine). Ugao torzije je proporcionalan momentu torzije M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl. 2
Faktor proporcionalnosti GJT, krutost pri torziji, jednak je proizvodu modula smicanja G i faktora JT, koji predstavlja uticaj oblika i veličine preseka.
Ovo obrtanje preseka ne predstavlja jedinu deformaciju štapa. Pored toga dolazi još i do krivljenja preseka, tj. do pomeranja u u pravcu x-osovine, koja ima istu veličinu za odgovarajuće tačke svih poprečnih preseka i prema tome je samo funkcija koordinata u ravni preseka, a inače je proporcionalno opterećenju M ili uglu torzije ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Ako se u odgovarajuće jednačine pomeranja uvedu izrazi iznad, dobija se da su glavni normalni naponi jednaki nuli, pa ostaju samo dva komponentalna napona τxy i τxz:
Jedn. 3
Diferencijalna jednačina problema torzije dobija se na osnovu jednačina (3) stavljajući:
Jedn. 4a i 4b
i rešavajući ove diferencijalne jednačine po nepoznatim τxy i τxz uvođenjem funkcije napona F(y,z) da je:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Ovim je jednačina (4a) identički zadovoljena, a iz jednačine (4b) dobija se tražena diferencijalna jednačina
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Granični uslov potreban za jednoznačno rešenje ove jednačine dobija se iz zahteva da na omotaču štapa nema smičućih napona, odakle zbog konjugovanosti smičućih napona proizilazi da napon u ravni preseka ne sme duž konture da ima komponentu upravnu na nju. Odavde je, sl. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
dakle
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
tj. totalni diferencijal funkcije F mora da bude nula, odnosno potrebno je da bude F=const. duž konture.
Ako presek ima samo jednu konturu, može se na ovoj staviti prosto F=0, jer kod funkcije napona, od koje nas ustvari interesuju samo izvodi, ne igra ulogu proizvoljna aditivna konstanta. Kod preseka koji imaju više od jedne konture ovo pitanje je složenije.
Kao što se vidi iz jednačine (5) rezultanta smičućih napona τxy i τxz u proizvoljnoj tački preseka jednaka je po veličini gradijentu funkcije napona F, ali je na njega upravna, tj. ima pravac tangente na liniju F=const.
Rešenjem diferencijalne jednačine (6) dobijaju se naponi τ kao funkcije od y, z i ϑ. Zadatak proračuna je, razume se, određivanje ugla torzije ϑ i napona, posebno maksimalnog napona kao funkcije momenta torzije, dakle, određivanje krutosti preseka JT iz jednačine (2) i otpornog momenta torzije WT = Mmaxτ. Da bi se ovi dobili potrebno je samo da se M izrazi u funkciji od F:
Oba sabirka ovog integrala, koga treba uzeti po celom preseku, mogu se transformisati parcijalnim integriranjem. Ako se, npr. prvi od njih integrira najpre duž linije z=const. od tačke na konturi y=y1 do tačke y=y2 (sl. 3) i pri tome uzme u obzir da je u obe ove tačke F=0, dobija se
Iz drugog integrala dobija se ista vrednost, tako da je
Jedn. 7
Sl. 3
Drugi slučajevi punih preseka
Diferencijalna jednačina (6) je nehomogena jednačina teorije potencijala. Prema tome za rešenje problema torzije u slučaju proizvoljnog poprečnog preseka stoje na raspolaganju metode teorije potencijala, koje omogućuju da se ono uvek nađe. Ove metode su, međutim, uopšte uzev, isuviše složene da bi se mogle primeniti na pojedine slučajeve koji se javljaju u praksi. Zato su u sledećoj tablici dati rezultati ovakvih proračuna za nekoliko preseka.
Za preseke bliske kružnom može se staviti JT=F_4/40_Ip, pri čemu je F površina, a Ip polarni moment inercije preseka.
Napomena o formulama i tabelama: izrazi i vrednosti na skeniranim slikama čuvaju se kao istorijski izvor. OCR tekst, indeksne oznake i sken nisu dovoljno pouzdani za proračun. Pre upotrebe svaku formulu, jedinicu, koeficijent i oblast važenja treba proveriti u autoritativnom stručnom izvoru i važećem standardu.
Analogija sa membranom
Dobru pomoć za procenjivanje torzionih napona, a istovremeno i jedan postupak za njihovo tačno određivanje pruža analogija između funkcije napona F problema torzije i ugiba transverzalno opterećenje membrane. Neka je na ravnom zidu nekog suda prosečan otvor koji je podudaran sa poprečnim presekom štapa opterećenog na torziju. Kada se preko ovog otvora zategne membrana i u sudu izazove mali višak pritiska p, membrana se ispupči upolje, tako da njeni ugibi ξ(y,z) zadovoljavaju diferencijalnu jednačinu
gde je N površinski napon u membrani izazvan kapilarnim silama (dimenzije: sila po jedinici dužine). Ova jednačina se podudara sa jednačinom (6), a i granični uslov ξ=0 je isti kao i kod funkcije napona. Na taj način može se pomoću ovog ogleda sa membranom dobiti funkcija napona F(y,z) i time rešiti problem torzije. Naponu τ pri tome odgovara nagib membrane u odnosu na y-z-ravan, pa je najstrmije mesto ono na kome štap izložen torziji ima najveći smičući napon.
Sl. 4
Sl. 5
Ovaj postupak sa membranom je naročito pogodan za dobijanje približnih obrazaca za preseke sa tankim zidovima. Kada se, npr., I-presek izdeli prema sl. 4 na tri pravougaonika i za svaki od njih posebno sprovede analogija sa membranom, zbir zapremina dobivenih ispupčenja biće samo neznatno manji od zapremine koja stvarno odgovara funkciji napona. Prema tome je, kada su debljine b1 i b2 male, približno
JT = 2JT1 + JT2,
pri čemu su JT1 i JT2 faktori krutosti pojedinih pravougaonika koji se mogu izračunati na osnovu tablice 1. Bolje približavanje se dobija kada se za rebro stavi JT2 = a2 b32/3, dakle, kada se rebro smatra za deo vrlo izduženog pravougaonika. Još tačnija vrednost dobija se prema Trayer i March-u iz
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
gde je D prečnik najvećeg kruga upisanog kako je pokazano na sl. 4, a α se može uzeti iz sl. 5. Za T-presek dobija se slično tome
JT = JT1 +JT2 + α D4,
gde je JT2 polovina vrednosti sračunate prema tablici 1 za a=2 a2, b=b2. Za L-preseke (sl. 6) je slično tome
JT = JT1 + JT2 + β D4
gde se JT1 za deblji krak uzima neposredno iz tablice 1, dok se JT2 za tanji krak sračunava kao i kod T-preseka, a β se uzima iz sl. 7.
Sl. 6
Sl. 7
Pri proračunu napona moment torzije se deli na sastavne pravougaonike: deo koji otpada na flanše M1=M JT2/JT; smičući napon se zatim proračunava na sredini duže strane svakog pravougaonika na osnovu tablice 1. Najveći od ovih napona ne mora da bude i najveći smičući napon koji se pojavljuje u preseku. Naime, ako upadni ugao nije zaobljen, dobija se na tom mestu τ=∞, tako da se za vrlo mali poluprečnik zaobljenja ovde može očekivati najveći smičući napon.
Inženjerska napomena: matematička singularnost kod idealizovanog oštrog ugla nije dozvola da se stvarni detalj procenjuje samo ovim približnim obrascem. Stvarna geometrija zaobljenja, tolerancije, plastičnost, zavari, zaostali naponi, lokalna stabilnost i zamor zahtevaju odgovarajući model i stručnu proveru.
Za jednokraki ugaonik čije je debljina krakova t prema Trefftz-u je na zaobljenju prečnika r:
gde je sa τ0 označen najveći napon sračunat za svaki pojedini krak na osnovu ovde opisanog postupka. Za veće poluprečnike zaobljenja može se usvojiti τ=2__τ0.
Cevi sa tankim zidovima (Bredtovi obrasci)
Kod cevi sa tankim zidovima ispupčena membrana ima oblik prikazan na sl. 8, koji se sastoji od zaravni iznad šupljeg prostora unutar cevi i jedne kose površine koja ovu okružuje i leži nad efektivnim presekom zida cevi; ova kosa površina mora utoliko da bude strmija ukoliko su na odgovarajućem mestu zidovi cevi tanji. U ovom slučaju smičući naponi su po debljini zidova raspoređeni prilično ravnomerno i obrnuto su proporcionalni debljini zidova tj. sila smicanja T = τt se ne menja duž obima preseka.
Sl. 8
Element površine t_∙ds_ prima deo torzionog momenta
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
tako da je ukupan moment
Jedn. 8
gde je FR površina obuhvaćena srednjom linijom označenom crtama i tačkama na sl. 8. Odavde se dobija
Jedn. 9 - Prvi Bredt-ov obrazac
Torziona krutost dobija se najjednostavnije kada se deformacioni rad izrazi s jedne strane preko momenta torzije i ugla torzije i s druge strane preko smičućih napona. Na taj način dobija se za element štapa dužine l
pa je, uvodeći vrednost za τ prema jednačini (8),
odnosno poređenjem sa jednačinom (2):
Jedn. 10
Ako je debljina zidova po celom obimu jednaka, tada je prosto (2. Bredt-ov obrazac):
Jedn. 11
Normalni naponi pri torziji usled krivljenja preseka
Osnovni pojmovi i diferencijalna jednačina
Komponentalna pomeranja u, jednačina (1b), određuje krivljenje preseka iz njihovih ravni. Kada je moment torzije konstantan, ovo krivljenje je u svim presecima isto i ne pojavljuju se normalni naponi σx.
U mnogim slučajevima krivljenje preseka koje bi trebalo da nastane na osnovu St. Venant-ove teorije nije moguće. Ako se torzioni moment menja u jednom preseku skokovito, na obe strane preseka bi nastalo krivljenje različite veličine, pri čemu bi bio narušen kontinuitet deformacije. Jedan kraj štapa može da bude tako uklešten da je na tome mestu krivljenje preseka potpuno isključeno. U takvim slučajevima treba izvršiti dopunu St. Venant-ove teorije. Pojavljuju se dopunski naponi σx u pravcu osovine štapa i dopunska sila smicanja T (smičući naponi T/t) u štapu koji su najveći u preseku gde je narušen kontinuitet deformacije i koji sa odstojanjem od ovog preseka opadaju eksponencijalno. Kod punih štapova i cevi ova teorija je složena, a dopunski naponi opadaju tako brzo da se njihovo određivanje u većini slučajeva ne isplati. Kod štapova sa tankim zidovima otvorenog profila ova popravka je od velikog značaja i može se srazmerno lako izračunati.
Sl. 9
Sl. 9 prikazuje liniju duž koje se seku srednja površina zida i ravan preseka (srednja linija preseka). O je centar relativnog obrtanja dva susedna preseka. Ako je njihovo odstojanje dx, ugao torzije ϑ dx, pa proizvoljna tačka srednje linije trpi pomeranje u ϑ dx. Ovo pomeranje ima komponentu rt ϑ dx u pravcu tangente na presek, te je klizanje elementa srednje površine zida (uzimajući u obzir da je _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Kako je smičući napon u srednjoj površini zida nula, to mora da bude i γ=0, pa je zbog toga
Ovaj obrazac sadrži tri proizvoljna parametra: početak od koga se računa dužina luka s i koordinate centra relativnog obrtanja O, od kojih zavisi rt. Početak od koga se računa dužina luka s može se odabrati tako da je srednja vrednost krivljenja nula:
a koordinate centra O mogu se tako odrediti da i momenti usled krivljenja preseka budu nula:
Može se pokazati da se na ovaj način određen centar obrtanja poklapa sa središtem smicanja koje je ovde opisano i definisano na drugi način.
Ako je krivljenje preseka opisano ovim obrascima potpuno ili delimično sprečeno, moraju se pojaviti normalni naponi σx u pravcu osovine štapa. Podrobnije proučavanje pokazuje da se može uzeti da su ovi naponi proporcionalni sa funkcijom krivljenja φ: σx=k__φ, pri čemu φ zavisi samo od s, a k samo od x. Kako je prema Hooke-ovom zakonu:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
mora da bude k=E d__ϑ/dx. Normalni naponi σx nazivaju se naponi usled krivljenja preseka. S obzirom na jednačine iznad oni obrazuju u svakom preseku ravnotežni sistem sila, sistem sila usled krivljenja preseka.
Ukupni torzioni moment sastoji se iz dva dela: jedan od njih M1=GJT__ϑ proizilazi usled smičućih napona pri torziji koji daje St. Venant-ova teorija, a drugi M2 nastupa usled krivljenja preseka:
Jedn. 13
Kako moment M dat kao funkcija x, to ovaj izraz predstavlja diferencijalnu jednačinu za ugao torzije ϑ. Kada se ova jednačina reši, mogu se sračunati M1 i M2, a time i svi naponi i deformacije.
Rešenje i primene
Kada je moment torzije M konstantan, opšte rešenje jednačine (13) je:
Integracione konstante C1, C2 moraju se odrediti iz dva granična uslova.
a) Kruto uklješteni kraj x=0 (sl. 1)
Na ovome kraju je u≡0, pa je na osnovu jednačine (1b) ϑ=0. Ako je štap vrlo dugačak (αl>>1), tada je C1=0 i C2= -M/GJT. Kod kratkih štapova na pojavu napona usled krivljenja preseka utiče stanje na desnom kraju štapa. Ako na tome mestu krivljenje preseka nije sprečeno, tu će biti σx≡0 i dϑ/dx=0. Odavde se dobija
b) Simetrično opterećenje na torziju prema sl. 10
Na levoj polovini štapa torzioni moment je -M/2, a na desnoj +M/2. U slučaju slobodne torzije preseci levo i desno od sredine štapa iskrivili bi se u suprotnom smeru, prema tome kontinuitet deformacije ne bi bio očuvan. Zbog toga na mestu x=0 celokupni moment torzije mora da se prenese preko napona koji nastupaju usled krivljenja preseka, te je zbog toga u ovome preseku M1=0 i prema tome ϑ=0. Na ovome mestu deluje sistem sila koji obezbeđuje da presek ostaje ravan, iako se preseci koji leže dalje od sredine štapa krive. Ako se osim toga zahteva da su na krajevima štapa naponi σx≡0, dobija se još jedan granični uslov za svaku polovinu štapa, pa je za desnu polovinu
Sl. 10
c) Spoljni moment M na proizvoljnom mestu (sl. 11)
U ovom slučaju rešenje ϑ za oba dela štapa mora se posebno napisati, pa se pojavljuju ukupno četiri konstante C1, C2, C3, C4. Osim toga nepoznati su i momenti torzije Ma, Mb. Na raspolaganju je šest jednačina: uslov neprekidnosti za ϑ (izražen po u) i za dϑ/dx (izražen po σx) na mestu delovanja tereta, po jedan uslov na svakom kraju štapa (npr. kruto uklještenje ϑ=0, ili neometano krivljenje, dϑ/dx=0), uslov ravnoteže po momentima -Ma+Mb=M i najzad uslov da se krajnji preseci jedan prema drugome ne obrću: ∫ ϑdx = 0.
Sl. 11
Završna napomena: izbor modela torzije zavisi od otvorenog ili zatvorenog preseka, vitkosti, načina oslanjanja, mesta unošenja momenta i mogućnosti slobodnog krivljenja. Za realan element moraju se proveriti i granična stanja nosivosti i upotrebljivosti, lokalni detalji, spojevi, zamor i stabilnost, a ne samo jedna izdvojena formula iz članka.