Odborný obsah archívu: text a vzorce sprostredkúvajú historickú teoretickú prezentáciu a nie sú projektom, statickým výpočtom, posúdením únosnosti, posúdením existujúceho prvku ani návodom na výstavbu alebo sanáciu. Označenia, predpoklady a približné vzory musia byť porovnané so špecifickým systémom, materiálom, geometriou, okrajovými podmienkami a platnými normami. Výpočet krútenia, stability, únavy, spojov a napätia v dôsledku zabránenia ohybu by mal vykonať licencovaný inžinier s nezávislou kontrolou v prípade potreby.
Dnes sa Savo Kusić zameriava na drevené okná, drevo-hliníkové okná, vlastné okná, dvere a žiadosti o cenovú ponuku. Tento článok zostáva ako historický odborný archív a nepredstavuje službu konštrukčného návrhu.
Saint-Venantova teória krútenia (voľné krútenie)
Diferenciálna rovnica
Sl.1
Na jednom z jej koncov x= nech je pripevnená rovná tyč0a nechajte ho na druhom konci zaťažiť torzným momentom M (obr.1). Potom sa každá z jeho sekcií otočí o určitý uhol α(x) okolo určitej priamky rovnobežnej s osou palice, ktorú prijmeme ako os x-. Ak sú si všetky úseky navzájom rovné, každá priamka rovnobežná s osou x prejde do cievky a uhol α bude úmerný vzdialenosti od pevného konca: α=ϑx, z ktorej vznikajú posuny komponentov v rovine rezu (obr.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Množstvo ϑ sa nazýva torzný uhol (rozmer: dĺžka-1rotácia na jednotku dĺžky). Uhol krútenia je úmerný krútiacemu momentu M:
ϑ = M/GJT. (2)
Obr. 2
Súčiniteľ úmernosti GJT, torzná tuhosť, sa rovná súčinu modulu šmyku G a súčiniteľa JT, ktorý predstavuje vplyv tvaru a veľkosti prierezu.
Toto otáčanie sekcie nie je jedinou deformáciou tyče. Okrem toho dochádza aj k ohybu prierezu, teda k posunu u v smere osi x-, ktorý má rovnakú veľkosť pre príslušné body všetkých prierezov a je teda len funkciou súradníc v rovine rezu a inak je úmerný zaťaženiu M alebo uhlu krútenia ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Ak sa vyššie uvedené výrazy zavedú do zodpovedajúcich rovníc posunu, získa sa, že hlavné normálové napätia sa rovnajú nule, pričom zostanú len dve zložkové napätia τxy a τxz:
Jeden.3
Diferenciálna rovnica problému krútenia sa získa na základe rovníc (3) uvedenie:
Jeden.4a ja4b
a riešenie týchto diferenciálnych rovníc pre neznáme τxy a τxz zavedením stresovej funkcie F(y,z), ktorá:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
S týmto, rovnica (4a) rovnako splnené a z rovnice (4b) získa sa požadovaná diferenciálna rovnica
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Okrajová podmienka potrebná pre jednoznačné riešenie tejto rovnice je získaná z požiadavky, aby na obale tyče nevznikali žiadne šmykové napätia, z čoho vzhľadom na konjugovaný charakter šmykových napätí vyplýva, že napätie v rovine rezu nesmie mať naň kolmú zložku pozdĺž obrysu. Odtiaľ, obr.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
preto
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
t.j. celkový diferenciál funkcie F musí byť nula, to znamená, že musí byť F=konšt. po vrstevnici.
Ak má úsek iba jeden obrys, dá sa naň jednoducho umiestniť F=0, pretože pri napäťovej funkcii, z ktorej nás vlastne zaujímajú len derivácie, nehrá rolu ľubovoľná aditívna konštanta. V prípade sekcií, ktoré majú viac ako jeden obrys, je tento problém zložitejší.
Ako je vidieť z rovnice (5) výslednica šmykových napätí τxy a τxz v ľubovoľnom priesečníku má veľkosť rovnajúcu sa gradientu funkcie napätia F, ale je naň kolmá, t.j. má dotyčnicový smer k priamke F=konšt.
Riešením diferenciálnej rovnice (6)) získajú sa napätia τ ako funkcie y, z a ϑ. Úlohou výpočtu je samozrejme určenie torzného uhla ϑ a napätia, najmä maximálneho napätia v závislosti od krútiaceho momentu, preto určenie tuhosti prierezu JT z rovnice (2) a odporový krútiaci moment WT = Mmaxτ. Na ich získanie je potrebné iba vyjadriť M ako funkciu F:
Obidva súčty tohto integrálu, ktorý by mal zaberať celý úsek, je možné transformovať čiastočnou integráciou. Ak sa napríklad prvý z nich integruje ako prvý pozdĺž čiary z=konšt. z bodu na vrstevnici y=y1 do bodu y=y2 (obr.3) a vezmite do úvahy, že v oboch týchto bodoch F=0, sa získa
Rovnaká hodnota sa získa z druhého integrálu, takže
Jeden.7
Sl.3
Ďalšie prípady úplných sekcií
Diferenciálna rovnica (6) je nehomogénna rovnica teórie potenciálu. Preto sú na riešenie problému krútenia v prípade ľubovoľného prierezu k dispozícii metódy teórie potenciálu, ktoré umožňujú jeho vždy nájsť. Tieto metódy sú však vo všeobecnosti príliš zložité na to, aby sa dali aplikovať na jednotlivé prípady, ktoré sa vyskytnú v praxi. Preto nasledujúca tabuľka zobrazuje výsledky takýchto výpočtov pre niekoľko sekcií.
Pre prierezy blízke kruhovému je možné zadať JT=F_4/40_Ip, kde F je plocha a Ip je polárny moment zotrvačnosti úseku.
Poznámka k vzorcom a tabuľkám: Výrazy a hodnoty v naskenovaných obrázkoch sú uložené ako historický zdroj. Text OCR, indexové značky a skenovanie nie sú dostatočne spoľahlivé na výpočet. Pred použitím by sa mal každý vzorec, jednotka, koeficient a oblasť platnosti skontrolovať v hodnovernom profesionálnom zdroji a platnej norme.
Analógia s membránou
Dobrú pomôcku na odhad torzných napätí a zároveň postup na ich presné určenie poskytuje analógia medzi funkciou napätia F torzného problému a priehybovým priečnym zaťažením membrány. Nech je na plochej stene nádoby priemerný otvor, ktorý sa zhoduje s prierezom tyče zaťaženej v torzii. Keď sa membrána natiahne cez tento otvor a v nádobe vznikne malý pretlak p, membrána sa vydúva smerom von, takže jej priehyby ξ(y,z) spĺňajú diferenciálnu rovnicu
kde N je povrchové napätie v membráne spôsobené kapilárnymi silami (rozmery: sila na jednotku dĺžky). Táto rovnica sa zhoduje s rovnicou (6) a okrajová podmienka ξ=0je rovnaká ako funkcia napätia. Týmto spôsobom je možné pomocou tohto zrkadla s membránou získať napäťovú funkciu F(y,z) a vyriešiť tak problém krútenia. Napätie τ zodpovedá sklonu membrány vo vzťahu k rovine y-z-, teda najstrmšie miesto je to, kde má tyč vystavená krúteniu najvyššie šmykové napätie.
Sl.4
Sl.5
Tento membránový postup je obzvlášť vhodný na získanie približných vzorov pre tenkostenné časti. Keď je napríklad I-rez rozdelený podľa obr.4na troch obdĺžnikoch a pre každý z nich je analógia s membránou vykonaná samostatne, súčet objemov výsledných výstupkov bude len o niečo menší ako objem, ktorý skutočne zodpovedá funkcii napätia. Preto, keď sú hrúbky b1 a b2 malý, približne
JT =2JT1+ JT2,
kde JT1 a JT2 faktory tuhosti jednotlivých obdĺžnikov, ktoré je možné vypočítať na základe tabuľky1. Lepší prístup sa dosiahne, keď sa JT umiestni na rebro2 = a2b32/3 teda, keď sa rebro považuje za časť veľmi pretiahnutého obdĺžnika. Ešte presnejšia hodnota sa získa podľa Trayer a March\ z
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
kde D je priemer najväčšieho kruhu vpísaného podľa obr.4a α možno prevziať z obr.5. Pre T-rez sa získa podobne
JT = JT1+JT2+ α D4,
kde JT2 polovicu hodnoty vypočítanej podľa tabuľky1pre a=2_a2_, b=b2. Pre L-sekcie (obr.6) je podobný tomu
JT = JT1+ JT2+ β D4
kde JT1 pre hrubšie rameno sa odoberá priamo zo stola1, zatiaľ čo JT2 pre tenkú nohu sa vypočíta ako pre T-rez a β je prevzaté z obr.7.
Obr. 6
Sl.7
Pri výpočte napätia sa torzný moment rozdelí na jednotlivé obdĺžniky: časť, ktorá dopadá na príruby M1=M JT2/JT; šmykové napätie sa potom vypočíta v strede dlhšej strany každého obdĺžnika na základe tabuľky1. Najväčšie z týchto napätí nemusí byť najväčšie šmykové napätie vyskytujúce sa v reze. Totiž, ak uhol dopadu nie je zaoblený, na tomto mieste sa získa τ=∞, takže pri veľmi malom polomere zaoblenia tu možno očakávať najväčšie šmykové napätie.
Technická poznámka: matematická singularita idealizovaného ostrého uhla nie je licenciou na odhadnutie skutočných detailov iba na základe tohto približného vzoru. Skutočná geometria zaoblenia, tolerancie, plasticita, zvary, zvyškové napätia, lokálna stabilita a únava vyžadujú vhodné modelovanie a odborné overenie.
Pre jednostranný uhol, ktorého hrúbka strany je t podľa Trefftz\ je na zaoblení priemeru r:
kde s τ0 označené maximálne napätie vypočítané pre každú jednotlivú vetvu na základe tu opísaného postupu. Pre väčšie polomery zaoblenia možno použiť τ=2__τ0.
Tenkostenné rúry (Bradtove vzory)
V tenkostenných rúrach má vydutá membrána tvar znázornený na obr.8, ktorý pozostáva z roviny nad dutým priestorom vo vnútri potrubia a zo šikmej plochy, ktorá ho obklopuje a leží nad účinnou časťou steny potrubia; táto naklonená plocha musí byť strmšia, ak sú steny potrubia na príslušnom mieste tenšie. V tomto prípade sú šmykové napätia rozdelené pomerne rovnomerne po hrúbke stien a sú nepriamo úmerné hrúbke stien, t.j. šmyková sila T = τt sa po obvode prierezu nemení.
Sl. 8
Plošný prvok t_∙ds_ prijíma časť torzného momentu
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
takže celkový moment je
Jeden.8
kde povrch FR je pokrytý strednou čiarou označenou čiarami a bodkami na obr.8. Získava sa odtiaľto
Jeden.9- Prvý Bredt\ vzor
Torzná tuhosť sa najjednoduchšie získa, keď je deformačná práca vyjadrená na jednej strane prostredníctvom krútiaceho momentu a torzného uhla a na druhej strane prostredníctvom šmykových napätí. Týmto spôsobom sa získa pre tyčový prvok dĺžky l
takže zavedenie hodnoty pre τ podľa rovnice (8),
teda porovnaním s rovnicou (2):
Jeden.10
Ak je hrúbka stien dookola rovnaká, potom je to jednoduché (2. Vzor Bredta):
Jeden.11
Normálne napätia v krútení v dôsledku ohybu sekcie
Základné pojmy a diferenciálna rovnica
Posuny komponentov u, rovnica (1b), určuje zakrivenie rezov z ich rovín. Keď je torzný moment konštantný, tento ohyb je rovnaký vo všetkých rezoch a neobjavujú sa normálové napätia σx.
V mnohých prípadoch je zakrivenie prierezu, ktoré by malo vzniknúť na základe _St. Venantova teória nie je možná. Ak by sa torzný moment v jednom priereze náhle zmenil, došlo by na oboch stranách prierezu k rôzne veľkému ohybu a narušila by sa kontinuita deformácie. Jeden koniec tyče môže byť upnutý tak, že ohnutie profilu je v tomto bode úplne vylúčené. V takýchto prípadoch by sa mala vykonať zmena _Sv. Venantove teórie. V tyči vznikajú doplnkové napätia σx v smere osi tyče a doplnková šmyková sila T (šmykové napätia T/t), ktoré sú najvyššie v úseku, kde je narušená spojitosť deformácie a ktoré so vzdialenosťou od tohto úseku exponenciálne klesajú. V prípade pevných tyčí a rúrok je táto teória zložitá a doplnkové napätia klesajú tak rýchlo, že sa ich určovanie vo väčšine prípadov neoplatí. Pre tenkostenné tyče s otvoreným profilom má táto korekcia veľký význam a dá sa pomerne jednoducho vypočítať.
Sl.9
Sl.9znázorňuje čiaru, pozdĺž ktorej sa pretína stredná plocha steny a rovina rezu (stredná čiara rezu). O je stred relatívnej rotácie dvoch susedných sekcií. Ak je ich vzdialenosť dx, uhol krútenia je ϑ dx, takže ľubovoľný bod stredovej čiary podlieha posunutiu u ϑ dx. Toto posunutie má zložku rt ϑ dx v smere dotyčnice k rezu a je to sklz prvku strednej plochy steny (berúc do úvahy, že _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Keďže šmykové napätie v strednej ploche steny je nulové, musí byť tiež γ=0, tak preto
Tento vzor obsahuje tri ľubovoľné parametre: počiatok, z ktorého sa vypočíta dĺžka oblúka s a súradnice stredu relatívnej rotácie O, od ktorého závisí rt. Počiatočný bod, z ktorého sa vypočíta dĺžka oblúka s, možno zvoliť tak, aby stredná hodnota zakrivenia bola nula:
a súradnice stredu O možno určiť tak, že momenty spôsobené ohybom úseku sú nulové:
Dá sa ukázať, že takto určený stred otáčania sa zhoduje so stredom šmyku, ktorý je tu popísané a definované iným spôsobom.
Ak sa úplne alebo čiastočne zabráni ohybu úseku opísaného týmito vzormi, musia sa objaviť normálové napätia σx v smere osi tyče. Bližšie skúmanie ukazuje, že tieto napätia možno považovať za úmerné funkcii zakrivenia φ: σx=k__φ, kde φ závisí iba od s a k iba od x. Podľa Hookovho zákona:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
musí byť k=E d__ϑ/dx. Normálne napätia σx sa nazývajú úsekové ohybové napätia. Vzhľadom na vyššie uvedené rovnice tvoria v každom úseku rovnovážny systém síl, systém síl spôsobený ohybom úseku.
Celkový krútiaci moment pozostáva z dvoch častí: jedna z nich M1=GJT__ϑ vzniká v dôsledku torzných šmykových napätí daných _St. Venantova teória a druhá M2 sa vyskytuje v dôsledku ohýbania sekcie:
Jeden.13
Keďže moment M je daný ako funkcia x, tento výraz predstavuje diferenciálnu rovnicu pre uhol skrútenia ϑ. Po vyriešení tejto rovnice možno vypočítať M1 a M2, a tým aj všetky napätia a napätia.
Riešenie a aplikácie
Keď je torzný moment M konštantný, všeobecné riešenie rovnice (13) je:
Integračné konštanty C1, C2 sa musí určiť z dvoch okrajových podmienok.
a) Pevne upnutý koniec x=0(obr.1)
Na tomto konci je u≡0, takže na základe rovnice (1b) ϑ=0. Ak je tyč veľmi dlhá (αl>>1), potom C1=0a C2= -M/GJT. V prípade krátkych tyčí je vzhľad napätia v dôsledku ohýbania sekcie ovplyvnený stavom na pravom konci tyče. Ak sa v tomto mieste nezabráni ohybu sekcie, vznikne σx≡0a dϑ/dx=0. Získava sa odtiaľto
b) Symetrické zaťaženie krútením podľa obr. 10
Na ľavej polovici tyče je torzný moment -M/2 a na pravej +M/2. Pri voľnom krútení by boli úseky naľavo a napravo od stredu prúta skrútené v opačnom smere, preto by nebola zachovaná kontinuita deformácie. Preto v mieste x=0 musí byť celý torzný moment prenesený cez napätia, ktoré vznikajú v dôsledku ohybu prierezu, a preto v tomto úseku M1=0 a teda ϑ=0. V tomto bode pôsobí systém síl, ktorý zabezpečuje, že úsek zostane rovný, aj keď úseky ležia ďalej od stredu krivky tyče. Ak sa navyše požaduje, aby na koncoch tyče boli napätia σx≡0, získa sa ešte jedna okrajová podmienka pre každú polovicu tyče, takže pre pravú polovicu je to
Obr. 10
c) Vonkajší moment M na ľubovoľnom mieste (obr. 11)
V tomto prípade musí byť riešenie ϑ napísané pre obe časti tyče oddelene, takže sa objavia celkom štyri konštanty C1, C2, C3, C4. Okrem toho nie sú známe ani torzné momenty Ma, Mb. K dispozícii je šesť rovníc: podmienka spojitosti pre ϑ (vyjadrená u) a pre dϑ/dx (vyjadrená σx) v bode pôsobenia zaťaženia, jedna podmienka na každom konci tyče (napr. tuhé zovretie ϑ=0, alebo nerušené ohýbanie, dϑ/dx=0), podmienka momentovej rovnováhy -Ma+Mb=M a nakoniec podmienka, aby sa koncové časti neotáčali k sebe: ∫ ϑdx = 0.
Sl.11
Poznámka na záver: výber torzného modelu závisí od otvorenej alebo uzavretej časti, štíhlosti, spôsobu podopretia, miesta zadávania momentu a možnosti voľného ohybu. Pri reálnom prvku treba kontrolovať medzné stavy únosnosti a použiteľnosti, miestne detaily, spoje, únavu a stabilitu, nie iba jeden izolovaný vzorec z článku.