წნელებისა და თხელკედლიანი მონაკვეთების ტორსიონი

საარქივო ექსპერტის შინაარსი: ტექსტი და ფორმულები გადმოსცემს ისტორიულ თეორიულ პრეზენტაციას და არ არის პროექტი, სტატიკური გაანგარიშება, ტვირთამწეობის შემოწმება, არსებული ელემენტის შეფასება ან მშენებლობის ან რეაბილიტაციის ინსტრუქცია. აღნიშვნები, ვარაუდები და მიახლოებითი ნიმუშები უნდა შემოწმდეს კონკრეტული სისტემის, მასალის, გეომეტრიის, სასაზღვრო პირობებისა და მოქმედი სტანდარტების მიხედვით. ბრუნვის, მდგრადობის, დაღლილობის, სახსრებისა და დაძაბვის გამოთვლა თავიდან აცილებული მოხრის გამო უნდა მოხდეს ლიცენზირებული ინჟინრის მიერ, საჭიროების შემთხვევაში დამოუკიდებელი კონტროლით.

დღეს სავო კუსიჩი ორიენტირებულია ხის ფანჯრებზე, ხის-ალუმინის ფანჯრები, მორგებული ფანჯრები, კარი და ითხოვს ციტატას. ეს სტატია რჩება როგორც ისტორიული პროფესიული არქივი და არ წარმოადგენს სტრუქტურული დიზაინის სერვისს.

სენ-ვენანის ბრუნვის თეორია (თავისუფალი ბრუნვა)

დიფერენციალური განტოლება

სლ.1

სწორი ღერო დამაგრდეს მის ერთ-ერთ ბოლოზე x=0და მიეცით იგი მეორე ბოლოზე დატვირთული ბრუნვის მომენტით M (ნახ.1). შემდეგ მისი თითოეული მონაკვეთი ბრუნავს გარკვეული კუთხით α(x) ჯოხის ღერძის პარალელურად გარკვეული ხაზის გარშემო, რომელსაც მივიღებთ x-ღერძად. თუ ყველა მონაკვეთი ერთმანეთის ტოლია, x ღერძის პარალელურად ნებისმიერი სწორი ხაზი გადავა ხვეულში, ხოლო კუთხე α პროპორციული იქნება ფიქსირებული ბოლოდან დაშორებული: α=ϑx, საიდანაც წარმოიქმნება განყოფილების სიბრტყეში კომპონენტების გადაადგილება (ნახ.2):

v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,

w = r a cos__ψ = ϑ x y.  (1ა)

სიდიდეს ϑ ეწოდება ბრუნვის კუთხე (განზომილება: სიგრძე-1, როტაცია სიგრძის ერთეულზე). ბრუნვის კუთხე პროპორციულია ბრუნვის მომენტის M:

ϑ = M/GJT.   (2)

სლ.2

პროპორციულობის კოეფიციენტი GJT, ბრუნვის სიხისტე, ტოლია ათვლის მოდულის G და კოეფიციენტის JT ნამრავლის, რომელიც წარმოადგენს მონაკვეთის ფორმისა და ზომის ეფექტს.

მონაკვეთის ეს როტაცია არ არის ღეროს ერთადერთი დეფორმაცია. გარდა ამისა, არის აგრეთვე განივი მონაკვეთის დახრილობა, ანუ u გადაადგილებამდე x-ღერძის მიმართულებით, რომელსაც აქვს იგივე სიდიდე ყველა განივი კვეთის შესაბამისი წერტილებისთვის და, შესაბამისად, მხოლოდ განყოფილების სიბრტყეში კოორდინატების ფუნქციაა და სხვაგვარად პროპორციულია დატვირთვის M ან ბრუნვის კუთხისა.

u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0.  (1ბ)

თუ ზემოთ მოცემული გამონათქვამები შეტანილია შესაბამის გადაადგილების განტოლებებში, მიიღება, რომ ძირითადი ნორმალური ძაბვები ნულის ტოლია, ტოვებს მხოლოდ ორ კომპონენტურ სტრესს τxy და τxz:

ერთი.3

ბრუნვის პრობლემის დიფერენციალური განტოლება მიღებულია განტოლებების საფუძველზე (3) დაყენება:

ერთი.4და მე4ბ

და ამოხსნის ამ დიფერენციალურ განტოლებებს უცნობებისთვის τxy და τxz სტრესის ფუნქციის F(y,z) შემოღებით, რომელიც:

τxy = - dF/dz,   τxz = + dF/dy.  (5)

ამასთან, განტოლება (4ა) იდენტურად კმაყოფილი და განტოლებიდან (4ბ) მიღებულია საჭირო დიფერენციალური განტოლება

დ2F/dy2+ დ2ფ/ძ2=2G__ϑ (6)

ამ განტოლების უნიკალური ამოხსნისთვის საჭირო სასაზღვრო პირობა მიიღება მოთხოვნიდან, რომ არ იყოს ათვლის ძაბვები ღეროს კონვერტზე, საიდანაც, ათვლის ძაბვის კონიუგირებული ბუნების გამო, გამოდის, რომ მონაკვეთის სიბრტყეში დაძაბულობას არ უნდა ჰქონდეს მასზე პერპენდიკულარული კომპონენტი კონტურის გასწვრივ. აქედან, ნახ.2:

dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)

ამიტომ

dF/dy dy + dF/dz dz =0,

ანუ F ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი უნდა იყოს ნული, ანუ უნდა იყოს F=const. კონტურის გასწვრივ.

თუ მონაკვეთს აქვს მხოლოდ ერთი კონტური, ის შეიძლება უბრალოდ დააყენოს F= მასზე0, რადგან ძაბვის ფუნქციით, რომლისგანაც რეალურად მხოლოდ წარმოებულები გვაინტერესებს, თვითნებური დანამატის მუდმივი როლს არ თამაშობს. სექციებისთვის, რომლებსაც აქვთ ერთზე მეტი კონტური, ეს საკითხი უფრო რთულია.

როგორც განტოლებიდან ჩანს (5) ათვლის ძაბვის შედეგი τxy და τxz თვითნებურ გადაკვეთის წერტილში სიდიდით უდრის დაძაბულობის ფუნქციის გრადიენტს F, მაგრამ პერპენდიკულარულია მასზე, ანუ აქვს ტანგენტის მიმართულება F=კონსტ.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნით (6)) მიიღება τ ძაბვები y, z და ϑ ფუნქციების სახით. გამოთვლის ამოცანაა, რა თქმა უნდა, ბრუნვის კუთხის ϑ და დაძაბულობის განსაზღვრა, განსაკუთრებით მაქსიმალური დაძაბულობა, როგორც ბრუნვის მომენტის ფუნქცია, შესაბამისად, განტოლებიდან JT მონაკვეთის სიხისტის განსაზღვრა (2) და წინაღობის მომენტი WT = Mmaxτ. ამის მისაღებად საჭიროა მხოლოდ გამოვხატოთ M__F-ის ფუნქციით:

ამ ინტეგრალის ორივე ჯამი, რომელიც უნდა იქნას აღებული მთელ მონაკვეთზე, შეიძლება გარდაიქმნას ნაწილობრივი ინტეგრაციით. თუ, მაგალითად, პირველი მათგანი აერთიანებს პირველ რიგში z=const. კონტურის წერტილიდან y=y1 წერტილი y=y2 (ნახ.3) და გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ამ წერტილში F=0, მიღებულია

იგივე მნიშვნელობა მიიღება მეორე ინტეგრალიდან, ასე რომ

ერთი.7

სლ.3

სრული სექციების სხვა შემთხვევები

დიფერენციალური განტოლება (6) პოტენციალის თეორიის არაჰომოგენური განტოლებაა. მაშასადამე, ბრუნვის პრობლემის გადასაჭრელად თვითნებური კვეთის შემთხვევაში, ხელმისაწვდომია პოტენციალის თეორიის მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ ყოველთვის იპოვოთ იგი. თუმცა, ეს მეთოდები ზოგადად ზედმეტად კომპლექსურია იმ ცალკეულ შემთხვევებზე გამოსაყენებლად, რომლებიც წარმოიქმნება პრაქტიკაში. აქედან გამომდინარე, შემდეგი ცხრილი აჩვენებს ასეთი გამოთვლების შედეგებს რამდენიმე განყოფილებისთვის.

წრიულთან მიახლოებული განივი კვეთებისთვის შეიძლება დავსვათ JT=F_4/40_Ip, სადაც F არის ფართობი და Ip არის მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი.

** შენიშვნა ფორმულებსა და ცხრილებზე:** სკანირებულ სურათებში გამონათქვამები და მნიშვნელობები ინახება როგორც ისტორიული წყარო. OCR ტექსტი, ინდექსის ნიშნები და სკანირება არ არის საკმარისად სანდო გაანგარიშებისთვის. გამოყენებამდე, თითოეული ფორმულა, ერთეული, კოეფიციენტი და მოქმედების სფერო უნდა შემოწმდეს ავტორიტეტულ პროფესიონალურ წყაროში და მოქმედ სტანდარტში.

ანალოგია მემბრანასთან

ბრუნვის ძაბვების შესაფასებლად კარგ დახმარებას და ამავდროულად მათი ზუსტი განსაზღვრის პროცედურას იძლევა ბრუნვის პრობლემის დაძაბულობის ფუნქცია F და მემბრანის გადახრის განივი დატვირთვის ანალოგია. ჭურჭლის ბრტყელ კედელზე იყოს საშუალო ღიობი, რომელიც ემთხვევა ბრუნვით დატვირთული ღეროს კვეთას. როდესაც მემბრანა გადაჭიმულია ამ ხვრელზე და ჭურჭელში წარმოიქმნება მცირე ჭარბი წნევა p, მემბრანა იხრება გარეთ, ისე რომ მისი გადახრები ξ(y,z) აკმაყოფილებს დიფერენციალურ განტოლებას.

სადაც N არის კაპილარული ძალებით გამოწვეული მემბრანის ზედაპირული დაძაბულობა (განზომილებები: ძალა სიგრძის ერთეულზე). ეს განტოლება ემთხვევა განტოლებას (6), და სასაზღვრო მდგომარეობა ξ=0იგივეა რაც ძაბვის ფუნქცია. ამგვარად, ძაბვის ფუნქცია F(y,z) შეიძლება მივიღოთ ამ სარკის გამოყენებით მემბრანასთან და ამით გადაჭრას ბრუნვის პრობლემა. დაძაბულობა τ შეესაბამება მემბრანის დახრილობას y-z-სიბრტყესთან მიმართებაში, ამიტომ ყველაზე ციცაბო ადგილია ის, სადაც ბრუნვისადმი დაუცველ ღეროს აქვს ყველაზე მაღალი ათვლის ძაბვა.

სლ.4

სლ.5

მემბრანის ეს პროცედურა განსაკუთრებით შესაფერისია თხელკედლიანი მონაკვეთების სავარაუდო ნიმუშების მისაღებად. როდესაც, მაგალითად, I განყოფილება იყოფა ნახ.4სამ მართკუთხედზე და თითოეული მათგანისთვის მემბრანასთან ანალოგია ხორციელდება ცალკე, შედეგად წარმოშობის მოცულობების ჯამი მხოლოდ ოდნავ მცირე იქნება ვიდრე მოცულობა, რომელიც რეალურად შეესაბამება ძაბვის ფუნქციას. ამიტომ, როცა სისქეები ბ1 და _ ბ2_ პატარა, დაახლოებით

JT =2JT1+ JT2,

სადაც _ JT1_ და _ JT2_ ცალკეული მართკუთხედების სიხისტის ფაქტორები, რომლებიც შეიძლება გამოითვალოს ცხრილის მიხედვით1. უკეთესი მიდგომა მიიღება, როდესაც JT მოთავსებულია ნეკნისთვის2 = ა2ბ32/3 მაშასადამე, როცა ნეკნი განიხილება ძალიან წაგრძელებული მართკუთხედის ნაწილად. კიდევ უფრო ზუსტი მნიშვნელობა მიიღება Trayer და _March___ის მიხედვით

JT =2JT1+1/3ა2ბ32+2 α დ4,

სადაც D არის უდიდესი წრის დიამეტრი, რომელიც ჩაწერილია ნახ.4და α შეიძლება აღებული იყოს ნახ.5. T- სექციისთვის მიიღება ანალოგიურად

JT = JT1+ JT2+ α დ4,

სადაც _ JT2_ ცხრილის მიხედვით გამოთვლილი ღირებულების ნახევარი1_a_=-სთვის2_ა2_, ბ=ბ2. L- სექციებისთვის (ნახ.6) ამის მსგავსია

JT = JT1+ JT2+ β დ4

სადაც _ JT1_ სქელი მკლავისთვის პირდაპირ მაგიდიდან იღება1, ხოლო _ JT2_ თხელი ფეხისთვის გამოითვლება როგორც T-ს კვეთა, ხოლო β აღებულია ნახ.7.

ნახ. 6

სლ.7

დაძაბულობის გამოთვლისას ბრუნვის მომენტი იყოფა შემადგენელ მართკუთხედებად: ნაწილი, რომელიც ეცემა ფლანგებზე M1=M JT2/JT; შემდეგ ათვლის ძაბვა გამოითვლება ცხრილის საფუძველზე თითოეული მართკუთხედის გრძელი მხარის შუა წერტილში1. ამ ძაბვებიდან ყველაზე დიდი არ უნდა იყოს ყველაზე დიდი ათვლის ძაბვა, რომელიც გამოჩნდება მონაკვეთზე. კერძოდ, თუ დაცემის კუთხე არ არის მომრგვალებული, ამ ადგილას მიიღება τ=∞, ასე რომ დამრგვალების ძალიან მცირე რადიუსისთვის აქ მოსალოდნელია ყველაზე მაღალი ათვლის ძაბვა.

საინჟინრო შენიშვნა: იდეალიზებული მახვილი კუთხის მათემატიკური სინგულარობა არ არის ლიცენზია ფაქტობრივი დეტალების შესაფასებლად მხოლოდ ამ სავარაუდო ნიმუშით. დამრგვალების რეალური გეომეტრია, ტოლერანტობა, პლასტიურობა, შედუღება, ნარჩენი ძაბვები, ადგილობრივი სტაბილურობა და დაღლილობა საჭიროებს შესაბამის მოდელირებას და ექსპერტიზის შემოწმებას.

ცალმხრივი კუთხისთვის, რომლის გვერდის სისქე არის t__Trefftz-ის მიხედვით, არის r დიამეტრის დამრგვალებაზე:

სადაც τ0 აღინიშნება მაქსიმალური ძაბვა, რომელიც გამოითვლება თითოეული ცალკეული ფეხისთვის, აქ აღწერილი პროცედურის საფუძველზე. უფრო დიდი დამრგვალების რადიუსებისთვის τ= შეიძლება იქნას მიღებული2__τ0.

თხელი კედლის მილები (ბრედტის შაბლონები)

თხელკედლიან მილებში ამობურცულ მემბრანას აქვს ნახ.8, რომელიც შედგება მილის შიგნით ღრუ სივრცის ზემოთ სიბრტყისგან და დახრილი ზედაპირისგან, რომელიც მას აკრავს და დევს მილის კედლის ეფექტური მონაკვეთის ზემოთ; ეს დახრილი ზედაპირი უფრო ციცაბო უნდა იყოს, თუ მილის კედლები უფრო თხელია შესაბამის ადგილას. ამ შემთხვევაში, ათვლის ძაბვები საკმაოდ თანაბრად ნაწილდება კედლების სისქეზე და უკუპროპორციულია კედლების სისქესთან, ანუ _ ათვლის ძალა _ T =_ τt არ იცვლება მონაკვეთის გარშემოწერილობის გასწვრივ.

სლ. 8

ზედაპირის ელემენტი t_∙ds_ იღებს ბრუნვის მომენტის ნაწილს

dM = t_∙ds∙τ∙h,_

ასე რომ, მთლიანი მომენტი არის

ერთი.8

სადაც FR ზედაპირი დაფარულია შუა ხაზით, რომელიც აღინიშნება ხაზებითა და წერტილებით ნახ.8. აქედან არის მიღებული

ერთი.9- პირველი Bredt\ ნიმუში

ბრუნვის სიმტკიცე მიიღება ყველაზე მარტივად, როდესაც დეფორმაციის სამუშაო გამოხატულია, ერთის მხრივ, ბრუნვის მომენტისა და ბრუნვის კუთხით, ხოლო მეორეს მხრივ, ათვლის ძაბვის საშუალებით. ამ გზით მიიღება l სიგრძის ღერო ელემენტისთვის.

ასე რომ, შეყვანილი მნიშვნელობა τ-სთვის განტოლების მიხედვით (8),

ანუ განტოლებასთან შედარებით (2):

ერთი.10

თუ კედლების სისქე ირგვლივ ერთნაირია, მაშინ ეს მარტივია (2. _ ბრედტის ნიმუში):

ერთი.11

ნორმალური ძაბვები ბრუნვისას მონაკვეთის მოხრის გამო

ძირითადი ტერმინები და დიფერენციალური განტოლება

კომპონენტის გადაადგილებები u, განტოლება (1ბ) განსაზღვრავს მონაკვეთების გამრუდებას მათი სიბრტყეებიდან. როდესაც ბრუნვის მომენტი მუდმივია, ეს მოხრილი ყველა მონაკვეთში ერთნაირია და ნორმალური ძაბვები σx არ ჩნდება.

ხშირ შემთხვევაში განივი კვეთის გამრუდება, რომელიც უნდა წარმოიქმნას _ ქ. ვენანტის თეორია შეუძლებელია. თუ ბრუნვის მომენტი მკვეთრად შეიცვლება ერთ კვეთაზე, განივი კვეთის ორივე მხარეს წარმოიქმნება სხვადასხვა სიდიდის მოხრა და დეფორმაციის უწყვეტობა დარღვეულია. ღეროს ერთი ბოლო შეიძლება ისე იყოს დამაგრებული, რომ ამ დროს მონაკვეთის დახრა მთლიანად გამორიცხულია. ასეთ შემთხვევებში ცვლილება უნდა შევიდეს _ ქ. ვენანტის თეორიები. ღეროში ჩნდება დამატებითი ძაბვები σx ღეროს ღერძის მიმართულებით და დამატებითი ათვლის ძალა T (ათვლის ძაბვები T/t), რომლებიც ყველაზე მაღალია იმ მონაკვეთში, სადაც დარღვეულია დეფორმაციის უწყვეტობა და რომლებიც ექსპონენტურად მცირდება ამ მონაკვეთიდან დაშორებით. მყარი ღეროებისა და მილების შემთხვევაში ეს თეორია რთულია და დამატებითი ძაბვები ისე სწრაფად მცირდება, რომ მათი განსაზღვრა უმეტეს შემთხვევაში არ ღირს. თხელკედლიანი, ღია პროფილის ღეროებისთვის ამ კორექტირებას დიდი მნიშვნელობა აქვს და შედარებით მარტივად გამოითვლება.

სლ.9

სლ.9გვიჩვენებს ხაზს, რომლის გასწვრივაც იკვეთება კედლის შუა ზედაპირი და მონაკვეთის სიბრტყე (განყოფილების შუა ხაზი). O არის ორი მიმდებარე მონაკვეთის შედარებითი ბრუნვის ცენტრი. თუ მათი მანძილი არის dx, ბრუნვის კუთხე არის ϑ dx, ამიტომ შუა ხაზის თვითნებური წერტილი განიცდის გადაადგილებას u ϑ dx. ამ გადაადგილებას აქვს კომპონენტი rt ϑ dx მონაკვეთის ტანგენტის მიმართულებით და წარმოადგენს კედლის შუა ზედაპირის ელემენტის სრიალს (იმის გათვალისწინებით, რომ _u=_φϑ):

γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).

ვინაიდან ათვლის ძაბვა კედლის შუა ზედაპირზე ნულის ტოლია, ის ასევე უნდა იყოს γ=0, ამიტომაც

ეს ნიმუში შეიცავს სამ თვითნებურ პარამეტრს: საწყისი, საიდანაც გამოითვლება რკალის სიგრძე s და ფარდობითი ბრუნვის ცენტრის O კოორდინატები, რომელზედაც დამოკიდებულია rt. საწყისი წერტილი, საიდანაც გამოითვლება რკალის სიგრძე s შეიძლება აირჩეს ისე, რომ გამრუდების საშუალო მნიშვნელობა ნული იყოს:

ხოლო ცენტრის O კოორდინატები შეიძლება განისაზღვროს ისე, რომ მონაკვეთის დახრის გამო მომენტები იყოს ნული:

შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ ამგვარად განსაზღვრული _ ბრუნვის ცენტრი ემთხვევა ათვლის ცენტრს, რომელიც არის აქ სხვაგვარად არის აღწერილი და განსაზღვრული.

თუ ამ შაბლონებით აღწერილი მონაკვეთის დახრილობა მთლიანად ან ნაწილობრივ აღკვეთილია, უნდა გამოჩნდეს ნორმალური ძაბვები σx ღეროს ღერძის მიმართულებით. უფრო დეტალური გამოკვლევა აჩვენებს, რომ ეს ძაბვები შეიძლება მივიჩნიოთ მრუდის ფუნქციის პროპორციულად φ: σx=k__φ, სადაც φ დამოკიდებულია მხოლოდ s-ზე და k მხოლოდ x-ზე. ჰუკის კანონის მიხედვით:

σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)

უნდა იყოს k=E d__ϑ/dx. ნორმალურ ძაბვებს σx ეწოდება მონაკვეთის ღუნვის ძაბვები. ზემოთ მოყვანილი განტოლებების გათვალისწინებით, ისინი ქმნიან ძალების წონასწორობის სისტემას თითოეულ მონაკვეთში, ძალების სისტემას მონაკვეთის ღუნვის გამო.

მთლიანი ბრუნი ორი ნაწილისგან შედგება: ერთი მათგანი _ მ1=GJT__ϑ_ წარმოიქმნება ბრუნვითი ათვლის ძაბვის გამო, რომელიც მოცემულია _ ქ. ვენანტის თეორია, ხოლო მეორე _ მ2_ ხდება მონაკვეთის დახრის გამო:

ერთი.13

ვინაიდან მომენტი M მოცემულია x-ის ფუნქციით, ეს გამოხატულება წარმოადგენს დიფერენციალურ განტოლებას ბრუნვის კუთხისთვის ϑ. ამ განტოლების ამოხსნის შემდეგ, M შეიძლება გამოითვალოს1 და _ მ2_ და, ამრიგად, ყველა სტრესი და დაძაბულობა.

გადაწყვეტა და აპლიკაციები

როდესაც ბრუნვის მომენტი M მუდმივია, განტოლების ზოგადი ამოხსნა (13) არის:

ინტეგრაციის მუდმივები C1, C2 უნდა განისაზღვროს ორი სასაზღვრო პირობით.

ა) მყარად დამაგრებული ბოლო x=0(ნახ.1)

ამ ბოლოს არის u≡0ასე რომ, განტოლების საფუძველზე (1ბ) ϑ=0. თუ ღერო ძალიან გრძელია (αl>>1), შემდეგ _ გ1_=0და _ გ2_= -M/GJT. მოკლე ღეროების შემთხვევაში, მონაკვეთის მოხრის გამო დაძაბულობის გამოჩენაზე გავლენას ახდენს ღეროს მარჯვენა ბოლოში არსებული მდგომარეობა. თუ ამ ადგილას მონაკვეთის დახრა არ მოხერხდა, იქნება σx≡0და dϑ/dx=0. აქედან არის მიღებული

ბ) სიმეტრიული ბრუნვის დატვირთვა ნახ.10

ღეროს მარცხენა ნახევარზე ბრუნვის მომენტი არის -M/2, და მარჯვნივ +M/2. თავისუფალი ბრუნვის შემთხვევაში ღეროს შუა ნაწილის მარცხნივ და მარჯვნივ გადახვევა საპირისპირო მიმართულებით მოხდება, შესაბამისად დეფორმაციის უწყვეტობა არ შენარჩუნდება. ამიტომ ადგილზე x=0მთელი ბრუნვის მომენტი უნდა გადავიდეს იმ დაძაბულობებით, რომლებიც წარმოიქმნება განივი კვეთის მოხრის გამო და, შესაბამისად, ამ კვეთაში M1=0და ამიტომ ϑ=0. ამ დროს ძალთა სისტემა მოქმედებს იმისთვის, რომ მონაკვეთი დარჩეს სწორი, მიუხედავად იმისა, რომ მონაკვეთები უფრო შორს მდებარეობს ღეროს ცენტრიდან. If, in addition, it is required that at the ends of the rod the stresses are σx≡0, ღეროს ყოველი ნახევრისთვის მიიღება კიდევ ერთი სასაზღვრო პირობა, ასეა მარჯვენა ნახევრისთვის

ნახ. 10

გ) გარე მომენტი M თვითნებურ ადგილას (ნახ.11)

ამ შემთხვევაში, გამოსავალი ϑ ღეროს ორივე ნაწილისთვის ცალ-ცალკე უნდა დაიწეროს, ასე რომ სულ ოთხი მუდმივი C გამოჩნდება.1, C2, C3, C4. გარდა ამისა, უცნობია ბრუნვის მომენტები Ma, Mb. ხელმისაწვდომია ექვსი განტოლება: უწყვეტობის პირობა ϑ-სთვის (გამოხატული u-ით) და dϑ/dx-სთვის (გამოხატული σx-ით) დატვირთვის წერტილში, ერთი პირობა ღეროს თითოეულ ბოლოზე (მაგ. ხისტი დაჭერა ϑ=0, ან შეუფერხებელი მოხრა, dϑ/dx=0), ბალანსის პირობა მომენტებით -Ma+Mb=M და ბოლოს პირობა, რომ ბოლო მონაკვეთები არ ბრუნავდნენ ერთმანეთის მიმართ: ∫ ϑdx =0.

სლ.11

ბოლო შენიშვნა: ბრუნვის მოდელის არჩევანი დამოკიდებულია ღია ან დახურულ მონაკვეთზე, სიმსუბუქეზე, საყრდენის მეთოდზე, მომენტის შეყვანის ადგილს და თავისუფლად მოხრის შესაძლებლობაზე. რეალური ელემენტისთვის უნდა შემოწმდეს ტვირთამწეობისა და ექსპლუატაციის ლიმიტის მდგომარეობები, ლოკალური დეტალები, სახსრები, დაღლილობა და სტაბილურობა და არა მხოლოდ ერთი იზოლირებული ფორმულა სტატიიდან.