Архивно професионално съдържание: текстът и формулите предават исторически теоретичен поглед и не са проект, статично изчисление, проверка на носимоспособността, оценка на съществуващ елемент или инструкции за изграждане или рехабилитация. Обозначенията, предположенията и приблизителните модели трябва да бъдат проверени спрямо конкретната система, материал, геометрия, гранични условия и приложими стандарти. Изчисляването на усукване, стабилност, умора, стави и напрежение поради предотвратено огъване трябва да се извършва от оторизиран инженер, с независим контрол, когато е необходимо.
Саво Кусич днес се фокусира върху дървени прозорци, дърво-алуминиеви прозорци, прозорци по поръчка, врати и заявки за оферта. Тази статия остава като исторически професионален архив и не представлява услуга за строителен дизайн.
Теория на Сен-Венан за усукване (свободно усукване)
Диференциално уравнение
Фиг. 1
Нека прав прът е фиксиран в единия си край x=0 и нека бъде натоварен в другия край с усукващ момент M (фиг. 1). След това всеки негов участък се завърта на определен ъгъл α(x) около определена права, успоредна на оста на пръчката, която ще приемем за x-ос. Ако всички сечения са равни помежду си, всяка права линия, успоредна на оста x, ще премине в намотка, а ъгълът α ще бъде пропорционален на разстоянието от фиксирания край: α=ϑx, от което произтичат компонентните премествания в равнината на сечението (фиг. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Величината ϑ се нарича ъгъл на усукване (размер: дължина-1, завъртане на единица дължина). Ъгълът на усукване е пропорционален на момента на усукване M:
ϑ = M/GJT. (2)
Фиг. 2
Коефициентът на пропорционалност GJT, коравина на усукване, е равен на произведението на модула на срязване G и фактора JT, който представлява ефекта от формата и размера на сечението.
Това въртене на секцията не представлява единствената деформация на пръта. Освен това има и огъване на напречното сечение, т.е. спрямо изместването u по посока на оста x, което има еднаква големина за съответните точки на всички напречни сечения и следователно е само функция на координатите в равнината на сечението, а иначе е пропорционално на натоварването M или ъгъла на усукване ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Ако изразите по-горе се въведат в съответните уравнения на изместване, се получава, че основните нормални напрежения са равни на нула, оставяйки само два компонента напрежения τxy и τxz:
Eq. 3
Диференциалното уравнение на задачата за усукване се получава въз основа на уравненията (3), като се постави:
Eq. 4a и 4b
и решаване на тези диференциални уравнения за неизвестните τxy и τxz чрез въвеждане на функцията на напрежение F(y,z), че:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Това удовлетворява уравнението (4a) идентично, а изискваното диференциално уравнение
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Граничното условие, необходимо за уникално решение на това уравнение, се получава от изискването да няма напрежения на срязване върху обвивката на пръта, от което, поради спрегнатия характер на напреженията на срязване, следва, че напрежението в равнината на напречното сечение не трябва да има компонент, перпендикулярен на него по протежение на контура. От тук фиг. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
следователно
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
т.е. общият диференциал на функцията F трябва да бъде нула, тоест трябва да бъде F=const. по контура.
Ако сечението има само един контур, може просто да се постави F=0 върху него, тъй като при функцията на напрежението, на която всъщност се интересуваме само от производни, произволна адитивна константа не играе роля. При секции, които имат повече от един контур, този въпрос е по-сложен.
Както може да се види от уравнението (5), резултантната на напреженията на срязване τxy и τxz в произволна пресечна точка е равна по величина на градиента на функцията на напрежение F, но е перпендикулярна на нея, т.е. има допирателна посока към правата F=конст.
Решаването на диференциалното уравнение (6) дава напреженията τ като функции на y, z и ϑ. Задачата на изчислението е, разбира се, определянето на ъгъла на усукване ϑ и напрежението, особено максималното напрежение като функция на момента на усукване, следователно, определянето на твърдостта на сечението JT от уравнението (2) и съпротивителния момент на усукване WT = Mmaxτ. За да ги получите, е необходимо само да изразите M като функция на F:
И двете добавки на този интеграл, които трябва да се вземат върху цялата секция, могат да бъдат трансформирани чрез частично интегриране. Ако например първият от тях се интегрира първо по линията z=const. от точката на контура y=y1 до точката y=y2 (фиг. 3) и като вземем предвид, че в двете от тези точки F=0, получаваме
Същата стойност се получава от втория интеграл, така че е
Eq. 7
Фиг. 3
Други случаи на пълни раздели
Диференциалното уравнение (6) е нехомогенно уравнение на потенциалната теория. Следователно за решаването на задачата за усукване в случай на произволно напречно сечение са налични методите на потенциалната теория, които позволяват тя винаги да бъде намерена. Тези методи обаче като цяло са твърде сложни, за да бъдат приложени към отделни случаи, които възникват на практика. Ето защо следващата таблица показва резултатите от тези изчисления за няколко секции.
За напречни сечения, близки до кръглите, може да се постави JT=F_4/40_Ip, където F е площта, а Ip е полярният инерционен момент на напречното сечение.
Забележка относно формулите и таблиците: изразите и стойностите на сканираните изображения се съхраняват като исторически източник. OCR текстът, индексните знаци и сканирането не са достатъчно надеждни за изчисление. Всяка формула, единица, коефициент и обхват трябва да бъдат проверени в авторитетен професионален източник и валиден стандарт преди употреба.
Аналогия с мембрана
Добра помощ за оценяване на напреженията на усукване, като в същото време е осигурена процедура за точното им определяне чрез аналогията между функцията на напрежение F на задачата на усукване и напречното натоварване на мембраната при деформация. Нека на плоската стена на съд има среден отвор, който съвпада с напречното сечение на прът, натоварен на усукване. Когато мембраната се опъне над този отвор и в съда се предизвика малко свръхналягане p, мембраната се издува навън, така че нейните деформации ξ(y,z) удовлетворяват диференциалното уравнение
където N е повърхностното напрежение в мембраната, причинено от капилярни сили (размери: сила на единица дължина). Това уравнение съвпада с уравнението (6), а граничното условие ξ=0 е същото като за функцията на напрежението. По този начин функцията на напрежението F(y,z) може да бъде получена с помощта на това огледало с мембраната и по този начин да се реши проблема с усукването. Напрежението τ съответства на наклона на мембраната по отношение на y-z-равнината, така че най-стръмното място е това, където прътът, изложен на усукване, има най-голямо напрежение на срязване.
Фиг. 4
Фиг. 5
Тази мембранна процедура е особено подходяща за получаване на приблизителни модели за тънкостенни секции. Когато например I-образното сечение е разделено съгласно фиг. 4 на три правоъгълника и за всеки от тях поотделно се проведе аналогия с мембраната, сумата от обемите на получените издатини ще бъде само малко по-малка от обема, който действително съответства на функцията на напрежението. Следователно, когато дебелините b1 и b2 са малки, приблизително
JT = 2JT1 + JT2,
, където JT1 и JT2 са коефициенти на коравина на отделни правоъгълници, които могат да бъдат изчислени въз основа на таблица 1. По-добро приближение се получава, когато JT2 = a2 b32/3 се използва за ребро, т.е. когато реброто се разглежда като част от много издължен правоъгълник. Още по-точна стойност се получава според Trayer и March\ от
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
където D е диаметърът на най-големия кръг, вписан, както е показано на фиг. 4 и α могат да бъдат взети от фиг. 5. За Т-образното сечение се получава по подобен начин
JT = JT1 +JT2 + α D4,
, където JT2 е половината от стойността, изчислена съгласно таблица 1 за a=2 a2, b=b2. За L-секциите (фиг. 6) е подобно на това
JT = JT1 + JT2 + β D4
, където JT1 за по-дебелото рамо се взема директно от таблицата 1, докато JT2 за по-тънкото рамо се изчислява както за Т-образното сечение, а β се взема от фиг. 7.
Фиг. 6
Фиг. 7
При изчисляване на напрежението усукващият момент се разделя на съставни правоъгълници: частта, която пада върху фланците M1=M JT2/JT; напрежението на срязване след това се изчислява в средата на по-дългата страна на всеки правоъгълник въз основа на таблица 1. Най-голямото от тези напрежения не трябва да бъде най-голямото напрежение на срязване, появяващо се в сечението. А именно, ако ъгълът на падане не е закръглен, на това място се получава τ=∞, така че за много малък радиус на закръгляване тук може да се очаква най-високото напрежение на срязване.
Инженерна бележка: математическата сингулярност при идеализирания остър ъгъл не е разрешение за оценка на действителния детайл само по този приблизителен модел. Действителната закръглена геометрия, допуски, пластичност, заварки, остатъчни напрежения, локална стабилност и умора изискват подходящо моделиране и експертна проверка.
За едностранен ъгъл, чиято дебелина на крака е t според Trefftz\ е върху закръгляването на диаметъра r:
където τ0 обозначава най-високото напрежение, изчислено за всеки отделен крак въз основа на описаната тук процедура. За по-големи радиуси на заобляне може да се приеме τ=2__τ0.
Тръби с тънка стена (модели на Bradt)
В тръби с тънки стени, издутата мембрана има формата, показана на фиг. 8, който се състои от равнина над кухото пространство вътре в тръбата и наклонена повърхност, която я заобикаля и лежи над ефективния участък на стената на тръбата; тази наклонена повърхност трябва да е по-стръмна, ако стените на тръбата са по-тънки на съответното място. В този случай напреженията на срязване се разпределят доста равномерно по дебелината на стените и са обратно пропорционални на дебелината на стените, т.е. силата на срязване T = τt не се променя по обиколката на сечението.
Сл. 8
Повърхностният елемент t_∙ds_ получава част от момента на усукване
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
така че общият момент е
Eq. 8
където FR повърхността е покрита от средната линия, маркирана с линии и точки на фиг. 8. От тук получавате
Eq. 9 - Първи Bredt\ модел
Коравина на усукване се получава най-просто, когато деформационната работа се изразява от една страна чрез момент на усукване и ъгъл на усукване, а от друга страна чрез напрежения на срязване. По този начин се получава за прътов елемент с дължина l
така, въвеждайки стойността за τ съгласно уравнението (8),
, което е в сравнение с уравнението (2):
Eq. 10
Ако дебелината на стените е еднаква навсякъде, тогава е просто (2. Bredt's pattern):
Eq. 11
Нормални напрежения при усукване, дължащи се на огъване на сечение
Основни термини и диференциално уравнение
Премествания на компоненти u, уравнение (1b), определя кривината на сеченията спрямо техните равнини. Когато усукващият момент е постоянен, това огъване е еднакво във всички сечения и нормалните напрежения σx не се появяват.
В много случаи огъването на напречното сечение, което трябва да възникне на базата на _St. Теорията на Венант не е възможна. Ако моментът на усукване се промени рязко в едно напречно сечение, би се получило огъване с различна големина от двете страни на напречното сечение и би се нарушила непрекъснатостта на деформацията. Единият край на пръта може да бъде така закрепен, че огъването на секцията да бъде напълно изключено в тази точка. В такива случаи трябва да се направи поправка _Св. Теории на Венант. В пръта се появяват допълнителни напрежения σx по посока на оста на пръта и допълнителна сила на срязване T (напрежения на срязване T/t), които са най-високи в участъка, където е нарушена непрекъснатостта на деформацията и които намаляват експоненциално с разстоянието от този участък. В случай на твърди пръти и тръби тази теория е сложна и допълнителните напрежения намаляват толкова бързо, че тяхното определяне в повечето случаи не си заслужава. За тънкостенни пръти с отворен профил тази корекция е от голямо значение и може да се изчисли относително лесно.
Фиг. 9
Фиг. 9 показва линията, по която се пресичат средната повърхност на стената и равнината на сечението (средната линия на сечението). O е центърът на относително въртене на две съседни секции. Ако тяхното разстояние е dx, ъгълът на усукване е ϑ dx, така че произволна точка от средната линия претърпява изместване u ϑ dx. Това изместване има компонент rt ϑ dx в посоката, допирателна към сечението, и приплъзването на елемента от средната повърхност на стената (като се има предвид, че _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Тъй като напрежението на срязване в средната повърхност на стената е нула, то също трябва да бъде γ=0, и следователно
Тази форма съдържа три произволни параметъра: началото, от което се изчислява дължината на дъгата s и координатите на центъра на относително въртене O, от които зависи rt. Началото, от което се изчислява дължината на дъгата s, може да бъде избрано така, че средната стойност на кривина да е нула:
и координатите на центъра O могат да бъдат определени по такъв начин, че моментите, дължащи се на огъване на сечението, също са нула:
Може да се покаже, че центърът на въртене, определен по този начин, съвпада с центъра на срязване, описан тук и дефиниран по друг начин.
Ако огъването на сечението, описано от тези шаблони, е напълно или частично предотвратено, трябва да се появят нормални напрежения σx в посоката на оста на пръта. По-внимателното изследване показва, че тези напрежения могат да се приемат за пропорционални на функцията на кривината φ: σx=k__φ, където φ зависи само от s, а k само от x. Как според закона на Хук:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
трябва да бъде k=E d__ϑ/dx. Нормалните напрежения σx се наричат напрежения на огъване на сечението. Като се имат предвид уравненията по-горе, те образуват равновесна система от сили във всяко сечение, система от сили, дължаща се на огъване на сечението.
Общият момент на усукване се състои от две части: едната от тях M1=GJT__ϑ е резултат от срязващи напрежения по време на усукване, което дава St. Теорията на Venant, а другият M2 възниква поради огъването на секцията:
Eq. 13
Тъй като моментът M е даден като функция от x, този израз представлява диференциално уравнение за ъгъла на усукване ϑ. Когато това уравнение бъде решено, M1 и M2 могат да бъдат изчислени и по този начин всички напрежения и деформации.
Решение и приложения
Когато усукващият момент M е постоянен, общото решение на уравнението (13) е:
Интеграционните константи C1, C2 трябва да бъдат определени от две гранични условия.
a) Твърдо затегнат край x=0 (фиг. 1)
В този край е u≡0, така че въз основа на уравнението (1b) ϑ=0. Ако пръчката е много дълга (αl>>1), тогава C1=0 и C2= -M/GJT. В случай на къси пръти, появата на напрежение поради огъване на сечението се влияе от състоянието на десния край на пръта. Ако огъването на секцията не бъде предотвратено на това място, ще има σx≡0 и dϑ/dx=0. От тук получавате
b) Симетрично натоварване на усукване съгласно фиг. 10
На лявата половина на пръта усукващият момент е -M/2, а на дясната +M/2. В случай на свободно усукване участъците отляво и отдясно на средата на пръта биха били усукани в обратна посока, следователно непрекъснатостта на деформацията няма да бъде запазена. Следователно, на мястото x=0, целият усукващ момент трябва да бъде прехвърлен чрез напреженията, които възникват поради огъването на сечението, и следователно в това сечение M1=0 и следователно ϑ=0. В този момент действа система от сили, за да гарантира, че секцията остава права, дори и секциите, които лежат по-далеч от центъра на кривата на пръта. Ако освен това се изисква в краищата на пръта напреженията да са σx≡0, се получава още едно гранично условие за всяка половина на пръта, така че за дясната половина е
Фиг. 10
c) Външен момент M на произволно място (фиг. 11)
В този случай решението ϑ за двете части на пръта трябва да бъде написано отделно, така че се появяват общо четири константи C1, C2, C3, C4. В допълнение, моментите на усукване Ma, Mb също са неизвестни. Налични са шест уравнения: условие за непрекъснатост за ϑ (изразено чрез u) и за dϑ/dx (изразено чрез σx) в точката на действие на натоварването, по едно условие за всеки край на пръта (напр. твърдо прищипване ϑ=0 или необезпокоявано огъване, dϑ/dx=0), условие за моментно равновесие -Ma+Mb=M и накрая условието, че крайните секции не се въртят една към друга: ∫ ϑdx = 0.
Фиг. 11
Последна бележка: изборът на торсионен модел зависи от отворено или затворено напречно сечение, тънкост, метод на опора, място на въвеждане на момента и възможност за свободно огъване. За реален елемент трябва да се проверят граничните състояния на товароподемност и експлоатационна годност, локални детайли, съединения, умора и стабилност, а не само една изолирана формула от артикула.