Fa’amaumauga a tagata tomai faapitoa: o tusitusiga ma fua fa’atatau o lo’o fa’ailoa mai ai se fa’amatalaga fa’asolopito fa’asolopito ma e le o se poloketi, fua fa’atatau, siaki le gafatia o uta, iloiloga o se elemene o lo’o i ai, po’o fa’atonuga mo le fausiaina po’o le toe fa’aleleia. Fa’ailoga, manatu ma fa’ata’ita’iga fa’atatau e tatau ona siaki fa’atatau ile faiga fa’apitoa, meafaitino, geometry, tulaga tuaoi ma tulaga fa’atatau. Fuafuaga o le faʻamalosi, mautu, vaivai, soʻotaga ma faʻalavelave ona o le taofiofia o le punou e tatau ona faia e se inisinia laiseneina, ma le pulea tutoatasi pe a manaʻomia.
I aso nei, o Savo Kusić o loʻo taulaʻi i faʻamalama laupapa, faamalama fafie-alumi, faamalama masani, faitotoa ma talosaga mo upusii. O lenei tusiga o loʻo tumau pea o se faʻamaumauga faʻapolofesa faʻasolopito ma e le o faʻatusalia se auʻaunaga mamanu fausaga.
Saint-Venant theory of torsion (saolotoga torsion)
Fa’atusa ese’ese
Sl.1
Ia fa’amauina se la’au sa’o i le tasi pito x=0ma ia tuu i luga o le isi pito i se taimi toso M (fig.1). Ona taamilo ai lea o ona vaega taitasi i se tulimanu α(x) faataamilo i se laina e tutusa ma le itu o le laau, lea o le a tatou faaaogaina o le x-axis. Afai o vaega uma e tutusa le tasi ma le isi, soʻo se laina saʻo e tutusa ma le x-axis o le a pasi i totonu o se uʻamea, ma o le angle α o le a faʻatusatusa i le mamao mai le pito mautu: α = ϑx, lea e tulaʻi mai ai le suiga o le vaega i le vaalele o le vaega (Fig.2):
v = - r a agasala__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
O le aofa’i ϑ ua ta’ua o le angle torsion (fua: umi-1, taamilo i le iunite umi). E fa’atusatusa le pito fa’aoso i le taimi fa’atosina M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
O le fua fa’atatau GJT, o le torsional stiffness, e tutusa ma le fua o le shear modulus G ma le factor JT, lea e fai ma sui o le aafiaga o foliga ma le tele o le vaega.
O lenei taamilosaga o le vaega e le na o le pau lea o le deformation o le tootoo. E le gata i lea, o loʻo i ai foʻi le punou o le koluse-vaega, o lona uiga i le faʻaogaina u i le itu o le x-axis, lea e tutusa le tele mo vaega tutusa o vaega faʻasaga uma ma o lea e naʻo se galuega o faʻamaopoopo i le vaalele o le vaega, ma e faʻatusatusa i le uta M poʻo le ϑ_ angle:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1e)
Afai o faʻamatalaga o loʻo i luga o loʻo faʻaofiina i totonu o faʻatusatusaga o suiga tutusa, e maua ai o le mamafa masani masani e tutusa ma le zero, ae naʻo le lua vaega mamafa τxy ma τxz:
Tasi.3
O le eseesega o le fa’afitauli o le torsion e maua i luga o fa’atusa (3) tu’u:
Tasi.4ma i4e
ma foia nei fa’atusa fa’avasegaga mo mea e le iloa τxy ma τxz e ala i le fa’aofiina o le galuega mamafa F(y,z) e faapea:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Faatasi ai ma lenei, o le tutusa (4a) faamalieina tutusa, ma mai le fa’atusa (4e) maua le fa’avasegaga fa’avasega mana’omia
o2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Ole tulaga tuaoi e manaʻomia mo le fofo tulaga ese o lenei faʻataʻitaʻiga e maua mai i le manaʻoga e leai ni faʻamaʻi sele i luga o le teutusi tootoo, lea, ona o le natura faʻapipiʻi o le mamafa o le siʻitia, e mulimuli mai e le tatau ona i ai se vaega faʻapipiʻi i luga o le faʻasologa o le faʻamalosi i totonu o le vaalele. Mai iinei, fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
o lea
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
o lona uiga o le eseesega atoa o le galuega F e tatau ona zero, o lona uiga, e tatau ona F=const. i luga o le kosi.
Afai o le vaega e na’o le tasi le kosi, e mafai ona tu’u F= i luga0, aua o le galuega voltage, lea tatou te fiafia moni lava i mea e maua mai ai, o le faʻaauau faʻaopoopo faʻapitoa e le faia se sao. Mo vaega e sili atu ma le tasi le kosi, o lenei mataupu e sili atu ona lavelave.
E pei ona vaaia mai le fa’atusa (5) o le taunuuga o le mamafa o le vili τxy ma τxz i se tulaga felavasai soosootauau e tutusa i le tele o le gradient o le galuega mamafa F, ae o loʻo saʻo i ai, o lona uiga o loʻo i ai se itu faʻasaga i le laina F=const.
E ala i le fo’ia o le fa’avasegaga eseese (6)) o le voltages τ e pei o galuega a y, z ma ϑ e maua. O le galuega o le faʻatusatusaga, o le mea moni, o le faʻamautuina o le faʻaogaina o le tulimanu ϑ ma le faʻalavelave, aemaise lava le maualuga o le mamafa e avea o se galuega a le taimi faʻasolosolo, o le mea lea, o le faʻamautuina o le malo o le vaega JT mai le faʻatusa (2) ma le malosi tetee WT = Mmaxτ. Ina ia maua nei mea, e tatau ona faʻaalia M o se galuega a F:
O aotelega uma o lenei vaega, lea e tatau ona ave i luga o le vaega atoa, e mafai ona suia e ala i le tuʻufaʻatasia vaega. Afai, mo se faʻataʻitaʻiga, o le mea muamua e tuʻufaʻatasia muamua ile laina z=const. mai le pito i luga ole kosi y=y1 i le tulaga y=y2 (ata.3) ma ia manatua o ia mea uma e lua F=0, ua maua
O le tau tutusa e maua mai le vaega lona lua, ina ia
Tasi.7
Sl.3
Isi mataupu o vaega atoa
O le fa’avasegaga eseese (6) o le fa’atusa le tutusa o a’oa’oga fa’aletonu. O le mea lea, mo le fofo o le faʻalavelave faʻalavelave i le tulaga o se faʻasalalauga faʻasalalau, o loʻo maua auala o le aʻoaʻoga gafatia, lea e mafai ai ona maua i taimi uma. O nei metotia, e ui i lea, e masani ona faigata tele e faʻaoga i mataupu taʻitasi e tulaʻi mai i le faʻatinoga. O le mea lea, o le laulau o loʻo i lalo o loʻo faʻaalia ai taunuuga o ia faʻatusatusaga mo le tele o vaega.
Mo vaega fa’asaga e latalata ile li’o, e mafai ona tu’u JT=F_4/40_Ip, lea F o le eria ma Ip o le polar moment of inertia o le vaega.
Faʻamatalaga i fua faʻatatau ma laulau: faʻamatalaga ma faʻatauga i ata vaʻaia o loʻo teuina e avea o se tala faʻasolopito. O upu o le OCR, fa’ailoga fa’ailoga ma fa’ata’ita’iga e le lava fa’atuatuaina mo le fa’atatauina. Aʻo leʻi faʻaaogaina, o fua faʻatatau taʻitasi, iunite, coefficient ma vaega o le aoga e tatau ona siakiina i totonu o se punaoa faʻapolofesa faʻamaonia ma tulaga faʻamaonia.
Fa’ata’ita’iga ma le membrane
O se fesoasoani lelei mo le faʻatusatusaina o faʻamaʻi faʻamalosi, ma i le taimi lava e tasi e tuʻuina atu ai se faʻataʻitaʻiga mo lo latou faʻamoemoe saʻo e ala i le faʻatusatusaga i le va o le galuega faʻamalosi F o le faʻafitauli torsional ma le faʻafefe o le uta transverse o le membrane. Ia i ai se avanoa masani i luga o le puipui mafolafola o se vaa e fetaui lelei ma le koluse o se tootoo e utaina i le tau. Pe a fa’aloaloa le pa’u i luga o lenei avanoa ma fa’atupu ai se mamafa la’ititi p i totonu o le va’a, e fa’aoso le pa’u i fafo, ina ia fa’amalieina e ona fa’a’ese’ese ξ(y,z) le fa’avasegaga fa’avasega.
o le N o le fa’amata’u i luga o le pa’u e mafua mai i le malosi o capillary (fua: malosi i le umi o le iunite). O lea fa’atusa e fetaui lelei ma le fa’atusa (6), ma le tulaga tuaoi ξ=0e tutusa ma le galuega o le voltage. I lenei auala, o le galuega voltage _F (y, z) _ e mafai ona maua i le faʻaaogaina o lenei faʻata faʻatasi ma le membrane ma faʻapea ona foia le faʻafitauli torsion. O le mamafa τ e fetaui ma le fa’ata’amilosaga o le pa’u e fa’atatau i le y-z-vaalele, o lona uiga o le mea pito sili ona tifato o le mea lea e maua ai le tootoo e sili ona maualuga le mamafa o le sele.
Sl.4
Sl.5
O lenei faiga membrane e sili ona talafeagai mo le mauaina o mamanu faʻatatau mo vaega manifinifi puipui. A, mo se faʻataʻitaʻiga, e vaevaeina le I-vaega e tusa ai ma le fig.4i luga o le tolu rectangles ma mo i latou taʻitoʻatasi o le faʻatusa ma le membrane e faia eseese, o le aofaʻi o voluma o faʻauluuluga e oʻo mai o le a na o sina laʻititi laʻititi nai lo le voluma e fetaui tonu ma le galuega voltage. O le mea lea, pe a b1 ma b2 laititi, tusa
JT =2JT1+ JT2,
o fea JT1 ma JT2 mea fa’ama’a’a o fa’afa’afa’afa ta’itasi e mafai ona fa’atatau ile laulau1. E maua se auala sili atu pe a tu’u JT mo le ivi2 = a2e32/3, o le mea lea, pe a manatu le ivi ’aso’aso o se vaega o se tafa’afa umi tele. E maua mai se tau e sili atu ona sa’o e tusa ai ma Trayer ma March\ mai
JT =2JT1+1/3a2e32+2 α D4,
o le D o le lautele o le li’o sili ona tele ua tusia e pei ona faaalia i le ata.4, ma α e mafai ona ave mai le mati.5. Mo le T-vaega e maua tutusa
JT = JT1+ JT2+ α D4,
o fea JT2 afa o le tau fuafuaina e tusa ai ma le laulau1mo a=2_a2_, b=b2. Mo L-vaega (Fig.6) e tutusa ma lena
JT = JT1+ JT2+ β D4
o fea JT1 aua o le lima mafiafia e ave sa’o mai le laulau1, a o JT2 aua o le vae manifinifi ua fuafuaina e pei o le vaega T, ma β e maua mai le fig.7.
Fig. 6
Sl.7
Pe a fuafuaina le faʻalavelave, o le taimi faʻafefe e vaevaeina i ni faʻamaufaʻailoga faʻavae: o le vaega e paʻu i luga o flanges M1=M JT2/JT; ona fuafua lea o le mamafa o le sele i le ogatotonu o le itu umi o ta’i tafa’i ta’itasi e fa’atatau i le laulau1. O le mamafa tele o nei fa’amalosi e le mana’omia le fa’asili sili ona mamafa o lo’o fa’aalia i le vaega. O lona uiga, afai e le fa’ata’amilomilo le tulimanu o le fa’alavelave, e maua le τ=∞ i lena nofoaga, ina ia mo se fa’ata’amilomilo la’ititi lava, e mafai ona fa’amoemoeina i’inei le mamafa o le sile maualuga.
Fa’amatalaga Fa’ainisinia: O le tulaga fa’a-matematika o le tulimanu mata’utia fa’atatau e le’o se laisene e fa’atatau ai le fa’amatalaga sa’o e ala i lenei fua fa’atatau. O le fa’ata’amilosaga fa’ata’amilosaga, fa’apalepale, palasitika, uelo, fa’amamafa o totoe, mautu fa’apitonu’u ma le vaivai e mana’omia le fa’ata’ita’iga talafeagai ma fa’amaoniga fa’apitoa.
Mo se tulimanu tasi itu o lona mafiafia o itu e t e tusa ai ma Trefftz\ o loʻo i luga o le lapotopoto o le lautele r:
o fea ma τ0 ua fa’ailogaina le maualuga o le voltage fuafuaina mo vae ta’itasi e fa’atatau i le fa’atinoga o lo’o fa’amatalaina iinei. Mo radii lapotopoto tetele, τ= e mafai ona fa’aaogaina2__τ0.
Paipa Fai puipui manifinifi (Mamanu a Bradt)
I paipa paʻu manifinifi, o le paʻu faʻafefeteina e iai foliga faʻaalia i le fig.8, lea e aofia ai se vaalele i luga aʻe o le avanoa gaogao i totonu o le paipa ma se mea faʻafefeteina o loʻo siomia ai ma taoto i luga aʻe o le vaega aoga o le puipui paipa; e tatau ona sili atu le maualuga o lenei mea fa’afefe pe afai e manifinifi puipui o paipa i le nofoaga talafeagai. I lenei tulaga, o le mamafa o le solo e tufatufa tutusa i luga o le mafiafia o puipui ma e faʻatusatusa i le mafiafia o puipui, o lona uiga o le shear force _T = _ τt e le suia i luga o le taamilosaga o le vaega.
Sl. 8
O le elemene i luga o le t_∙ds_ e maua se vaega o le taimi toso
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
o le taimi atoa la
Tasi.8
o lo’o ufiufi ai le pito i luga ole FR ile laina ogatotonu fa’ailogaina i laina ma togitogi ile fig.8. E maua mai iinei
Tasi.9- Le ata muamua Bredt\
O le ma’a’a tu’i e maua i le fa’afaigofie pe a fa’aalia le galuega fa’aletonu i le tasi itu e ala i le ta’amilosaga ma le tulimanu fa’atosina ae i le isi itu e ala i le mamafa o le sile. I lenei auala, e maua ai mo se elemene tootoo o le umi l
o lea, faʻaofiina le tau mo le τ e tusa ai ma le faʻatusa (8),
o lona uiga, pe a fa’atusatusa i le fa’atusa (2):
Tasi.10
Afai o le mafiafia o puipui e tutusa uma faataamilo, ona faigofie lea (2. Bredt’s mamanu):
Tasi.11
Fa’alavelave masani i le fa’aoso ona o le pi’o o vaega
Fa’aupuga fa’avae ma fa’atusa fa’avasega
Su’ega vaega u, tutusa (1b), fuafua le curvature o vaega mai o latou vaalele. Pe a tumau pea le taimi o le toso, o le pi’o lea e tutusa i vaega uma ma le mamafa masani σx e le aliali mai.
I le tele o tulaga, o le curvature o le koluse-vaega, lea e tatau ona tulai mai i luga o le faavae o _St. E le mafai le talitonuga a Venant. Afai e suia faʻafuaseʻi le taimi faʻafefe i le tasi vaega, o le punou o le tele o le tele o le a tupu i itu uma e lua o le koluse, ma o le a faʻalavelaveina le faʻaauauina o le suiga. O le tasi pito o le u’amea e mafai ona pipii ma o le punou o le vaega e matua le aofia ai i lena taimi. I ia tulaga, e tatau ona faia se teuteuga _St. O a’oa’oga a Venant. Faʻaopoopoga faʻamalosi σx i le itu o le axis o le uʻamea ma le faʻaopoopoga faʻamalosi malosi T (shearing stresses T / t) faʻaalia i totonu o le tootoo, e sili ona maualuga i le vaega o loʻo malepe ai le faʻaauauina o le deformation ma o loʻo faʻaitiitia faʻateleina i le mamao mai lenei vaega. I le tulaga o tootoo ma paipa, o lenei aʻoaʻoga e lavelave, ma o le faʻaopoopoga o voltage e faʻaitiitia vave ma e le aoga a latou filifiliga i le tele o tulaga. Mo u’amea matala fa’alava manifinifi, o lenei fa’asa’oga e taua tele ma e mafai ona fa’atatau faigofie.
Sl.9
Sl.9o loʻo faʻaalia ai le laina lea e fesoʻotaʻi ai le vaeluagalemu o le puipui ma le vaʻalele vaega (le laina ogatotonu o le vaega). O o le totonugalemu o le felafolafoaiga o vaega e lua e sosoo. Afai o lo latou mamao o le dx, o le tulimanu o le torsion o le ϑ dx, o lona uiga o se mea fa’aletonu o le laina ogatotonu e o’o i se suiga u ϑ dx. O lenei suiga o loʻo i ai se vaega rt ϑ dx i le itu faʻasaga i le vaega, ma o le faʻaseʻe o le elemene o le ogatotonu o le puipui (ia amanaia e _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Talu ai o le mamafa o le sele i le ogatotonu o le puipui e leai se mea, e tatau foi ona γ=0, o le mea lea
O lenei mamanu o loʻo i ai ni faʻamaufaʻailoga se tolu: o le amataga lea e fuafua ai le umi o le arc s ma faʻamaopoopoina o le ogatotonu o le fesuiaʻiga O, lea e faalagolago i ai le rt. O le amataga lea e fuafua ai le umi o le arc s e mafai ona filifilia ina ia leai le tau o le curvature:
ma o le faamaopoopoina o le ogatotonu O e mafai ona fuafuaina i se auala e leai se taimi ona o le punou o le vaega:
E mafai ona fa’aalia o le centre of rotation lea ua fuafuaina e fetaui lelei ma le ogatotonu o sele o lo’o inei faamatalaina ma faauigaina i se isi auala.
Afai o le punou o le vaega o loʻo faʻamatalaina e nei faʻataʻitaʻiga o loʻo puipuia atoatoa pe o se vaega, o le mamafa masani σx i le itu o le axis o le tootoo e tatau ona aliali mai. O su’esu’ega toto’a e fa’aalia ai o nei fa’amamafa e mafai ona fa’atatau i le gaioioiga curvature φ: σx=k__φ, lea φ e fa’alagolago na’o le s ma le k na’o le x. E tusa ai ma le tulafono a Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
e tatau ona k=E d__ϑ/dx. O fa’amamafa masani σx e ta’ua o fa’amamafa punou o vaega. Mafaufau i faʻataʻitaʻiga o loʻo i luga, latou te fausia se faiga paleni o malosiaga i vaega taʻitasi, o se faiga o malosiaga ona o le punou o le vaega.
O le aofaʻi o le torque e aofia ai vaega e lua: tasi o latou M1=GJT__ϑ e tula’i mai ona o le mamafa o le vili fa’ata’ita’i na tu’uina mai e St. Venant's theory, ma le isi M2 e tupu ona o le punou o le vaega:
Tasi.13
Talu ai ona o le taimi o le M ua tuʻuina atu o se galuega a x, o lenei faʻamatalaga o loʻo faʻatusalia se faʻatusatusaga faʻapitoa mo le angle torsion ϑ. O le taimi lava e foia ai lea fa’atusa, M e mafai ona fa’atatauina1 ma M2, ma fa’apea fo’i fa’alavelave uma ma fa’alavelave.
Fofo ma talosaga
Pe a tumau pea le taimi faʻafefe M, o le fofo lautele o le faʻatusa (13) o le:
Tuufaatasiga tumau C1, C2 e tatau ona fa’amauina mai tu’utu’uga e lua.
a) Tu’u pipii mau x=0(fig.1)
I le pito lea o le u≡0, e fa’atatau i le fa’atusa (1e) ϑ=0. Afai e umi tele le tootoo (αl>>1), ona C1=0ma C2= -M/GJT. I le tulaga o laʻau pupuu, o le faʻaalia o le atuatuvale ona o le punou o le vaega e aʻafia i le tulaga i le pito taumatau o le tootoo. Afai e le taofia le punou o le vaega i lena nofoaga, o le ai ai σx≡0ma dϑ/dx=0. E maua mai iinei
e) uta fa’ata’i tutusa e tusa ai ma le ata.10
I le afa agavale o le tootoo, o le taimi toso o le -M/2, ma le itu taumatau +M/2. I le tulaga o le faʻasalaga saoloto, o vaega i le agavale ma le taumatau o le ogatotonu o le tootoo o le a mimilo i le itu faʻafeagai, o le mea lea o le faʻaauauina o le faʻaleagaina o le a le faʻasaoina. O lea, i le nofoaga x=0e tatau ona fa’afeiloa’i atoa le taimi fa’atosina e ala i fa’alavelave e tupu ona o le punou o le vaega fa’asaga, ma o lea la i lenei vaega fa’asaga M1=0ma o lea ϑ=0. I le taimi nei, o se faiga o malosiaga e galue e faʻamautinoa o loʻo tumau pea le saʻo o le vaega, e ui lava o vaega e taoto mamao mai le ogatotonu o le pupuni o le tootoo. Afai, e le gata i lea, e manaʻomia e pito o le tootoo e iai faʻamalosi σx≡0, e toe tasi le tulaga tuaoi e maua mo afa taitasi o le tootoo, e faapena foi mo le afa taumatau
Fig. 10
c) Taimi i fafo M i se nofoaga fa’apitoa (fig.11)
I lenei tulaga, o le fofo ϑ mo vaega uma e lua o le tootoo e tatau ona tusia eseese, o lea o le aofaʻi o faʻamaumau C e aliali mai.1, C2, C3, C4. E le gata i lea, e le o iloa foi le taimi o torsion Ma, Mb. E ono fa’atusatusaga o lo’o maua: o se tulaga fa’aauau mo ϑ (fa’aalia e u) ma mo dϑ/dx (fa’aalia e σx) i le tulaga o le uta, tasi le tulaga i pito ta’itasi o le to’oto’o (eg.0, po’o le punou lē fa’alavelave, dϑ/dx=0), o le tulaga o le paleni i taimi -Ma+Mb=M ma mulimuli ane le tulaga e le feliuliuaʻi vaega pito e faʻatatau i le tasi ma le isi: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Fa’amatalaga mulimuli: O le filifiliga o le fa’ata’ita’iga fa’ata’ita’iga e fa’alagolago i le vaega tatala pe tapuni, fa’ama’i, auala o le lagolago, nofoaga o le taimi e tu’u ai ma le avanoa e punou fua. Mo se elemene moni, o le uta-tauave ma le tautua faʻatapulaʻa setete, faʻamatalaga faʻapitonuʻu, sooga, vaivai ma le mautu e tatau ona siaki, ae le na o le tasi le fua faʻavae mai le tusiga.