Odborný obsah archivu: text a vzorce vyjadřují historickou teoretickou prezentaci a nejsou projektem, statickým výpočtem, posudkem únosnosti, posouzením stávajícího prvku ani návodem na stavbu či sanaci. Označení, předpoklady a přibližné vzory musí být porovnány se specifickým systémem, materiálem, geometrií, okrajovými podmínkami a platnými normami. Výpočet kroucení, stability, únavy, spojů a napětí v důsledku zabránění ohybu by měl provádět licencovaný technik s nezávislým řízením, je-li třeba.
Dnes se Savo Kusić zaměřuje na dřevěná okna, dřevohliníková okna, vlastní okna, dveře a žádosti o cenovou nabídku. Tento článek zůstává jako historický odborný archiv a nepředstavuje službu projektování konstrukcí.
Saint-Venantova teorie torze (volná torze)
Diferenciální rovnice
Sl.1
Na jednom z jejích konců x= nechť je upevněna rovná tyč0a nechte jej na druhém konci zatížit torzním momentem M (obr.1). Potom se každý jeho úsek otočí o určitý úhel α(x) kolem určité přímky rovnoběžné s osou tyče, kterou přijmeme jako osu x-. Jsou-li si všechny úseky rovny, jakákoli přímka rovnoběžná s osou x přejde do cívky a úhel α bude úměrný vzdálenosti od pevného konce: α=ϑx, ze které vznikají posuny složek v rovině řezu (obr.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1A)
Veličina ϑ se nazývá torzní úhel (rozměr: délka-1, rotace na jednotku délky). Torzní úhel je úměrný kroutícímu momentu M:
ϑ = M/GJT. (2)
Obr. 2
Součinitel úměrnosti GJT, torzní tuhost, je roven součinu modulu smyku G a faktoru JT, který představuje vliv tvaru a velikosti průřezu.
Tato rotace sekce není jedinou deformací tyče. Kromě toho dochází také k ohybu průřezu, tj. k posunutí u ve směru osy x-, které má stejnou velikost pro odpovídající body všech průřezů a je tedy pouze funkcí souřadnic v rovině řezu a je jinak úměrné zatížení M nebo úhlu zkroucení ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Pokud se výše uvedené výrazy zavedou do odpovídajících rovnic přemístění, získá se, že hlavní normálová napětí jsou rovna nule, přičemž zůstanou pouze dvě složková napětí τxy a τxz:
Jeden.3
Diferenciální rovnice problému kroucení se získá na základě rovnic (3) uvedení:
Jeden.4a já4b
a řešení těchto diferenciálních rovnic pro neznámé τxy a τxz zavedením stresové funkce F(y,z), která:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
S tímto rovnice (4a) stejně splněno a z rovnice (4b) získá se požadovaná diferenciální rovnice
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Okrajová podmínka potřebná pro jednoznačné řešení této rovnice je získána z požadavku, aby na obálce tyče nevznikala žádná smyková napětí, z čehož vzhledem ke konjugované povaze smykových napětí vyplývá, že napětí v rovině řezu nesmí mít po obrysu složku k ní kolmou. Odtud, Obr.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
proto
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
tj. celkový diferenciál funkce F musí být nula, to znamená, že musí být F=konst. po vrstevnici.
Pokud má úsek pouze jeden obrys, lze na něj jednoduše umístit F=0, protože u napěťové funkce, u které nás vlastně zajímají jen derivace, nehraje libovolná aditivní konstanta roli. U řezů, které mají více než jeden obrys, je tento problém složitější.
Jak je vidět z rovnice (5) výslednice smykových napětí τxy a τxz v libovolném průsečíku je co do velikosti rovna gradientu funkce napětí F, ale je k němu kolmá, tj. má tečný směr k přímce F=konst.
Řešením diferenciální rovnice (6)) získají se napětí τ jako funkce y, z a ϑ. Úkolem výpočtu je samozřejmě určení úhlu zkroucení ϑ a napětí, zejména maximálního napětí v závislosti na kroutícím momentu, proto určení tuhosti průřezu JT z rovnice (2) a odporový moment WT = Mmaxτ. K jejich získání je pouze nutné vyjádřit M jako funkci F:
Oba součty tohoto integrálu, který by měl převzít celý úsek, lze transformovat částečnou integrací. Pokud se například první z nich integruje jako první podél čáry z=konst. z bodu na vrstevnici y=y1 do bodu y=y2 (obr.3) a vezměte v úvahu, že v obou těchto bodech F=0, se získá
Stejná hodnota se získá z druhého integrálu, takže
Jeden.7
Sl.3
Další případy plných sekcí
Diferenciální rovnice (6) je nehomogenní rovnice teorie potenciálu. Pro řešení problému kroucení v případě libovolného průřezu jsou proto k dispozici metody teorie potenciálu, které jej umožňují vždy nalézt. Tyto metody jsou však obecně příliš složité na to, aby je bylo možné aplikovat na jednotlivé případy, které v praxi nastanou. Proto následující tabulka ukazuje výsledky takových výpočtů pro několik sekcí.
Pro průřezy blízké kruhovému lze zadat JT=F_4/40_Ip, kde F je plocha a Ip je polární moment setrvačnosti úseku.
Poznámka ke vzorcům a tabulkám: výrazy a hodnoty v naskenovaných obrázcích jsou uloženy jako historický zdroj. Text OCR, indexové značky a skenování nejsou pro výpočet dostatečně spolehlivé. Před použitím by měl být každý vzorec, jednotka, koeficient a oblast platnosti zkontrolována v důvěryhodném profesionálním zdroji a příslušné normě.
Analogie s membránou
Dobrou pomůckou pro odhad torzních napětí a zároveň postupem pro jejich přesné určení je analogie mezi napěťovou funkcí F torzního problému a průhybovým příčným zatížením membrány. Nechť je na ploché stěně nádoby průměrný otvor, který se shoduje s průřezem tyče zatížené torzí. Když se membrána natáhne přes tento otvor a v nádobě vznikne malý přetlak p, membrána se vyboulí směrem ven, takže její průhyby ξ(y,z) splňují diferenciální rovnici
kde N je povrchové napětí v membráně způsobené kapilárními silami (rozměry: síla na jednotku délky). Tato rovnice se shoduje s rovnicí (6) a okrajová podmínka ξ=0je stejná jako funkce napětí. Tímto způsobem lze pomocí tohoto zrcadla s membránou získat napěťovou funkci F(y,z) a vyřešit tak problém kroucení. Napětí τ odpovídá sklonu membrány vůči rovině y-z-, takže nejstrmější místo je to, kde má tyč vystavená kroucení nejvyšší smykové napětí.
Obr. 4
Sl.5
Tento membránový postup je zvláště vhodný pro získání přibližných vzorů pro tenkostěnné úseky. Když je např. I-profil rozdělen podle obr.4na třech obdélnících a pro každý z nich je analogie s membránou provedena samostatně, součet objemů výsledných výstupků bude jen o málo menší než objem, který skutečně odpovídá napěťové funkci. Proto, když jsou tloušťky b1 a b2 malý, přibližně
JT =2JT1+ JT2,
kde JT1 a JT2 faktory tuhosti jednotlivých obdélníků, které lze vypočítat na základě tabulky1. Lepšího přístupu se dosáhne, když je JT umístěno pro žebro2 = a2b32/3 tedy, když je žebro považováno za součást velmi protáhlého obdélníku. Ještě přesnější hodnotu získáme podle Trayer a March\ z
JT =2JT1+1/3A2b32+2 α D4,
kde D je průměr největší kružnice vepsané podle obr.4a α lze převzít z Obr.5. Pro T-profil se získá obdobně
JT = JT1+ JT2+ α D4,
kde JT2 polovina hodnoty vypočtené podle tabulky1pro a=2_A2_, b=b2. Pro L-profily (obr.6) je tomu podobné
JT = JT1+ JT2+ β D4
kde JT1 pro silnější rameno se odebírá přímo ze stolu1, zatímco JT2 pro tenkou nohu se vypočítá jako pro T-profil a β je převzato z obr.7.
Obr. 6
Sl.7
Při výpočtu napětí se krouticí moment rozdělí na jednotlivé obdélníky: část, která dopadá na příruby M1=M JT2/JT; the shear stress is then calculated at the midpoint of the longer side of each rectangle based on the table1. Největší z těchto napětí nemusí být největším smykovým napětím vyskytujícím se v řezu. Totiž, pokud není úhel dopadu zaoblený, získá se v tomto místě τ=∞, takže pro velmi malý poloměr zaoblení zde lze očekávat nejvyšší smykové napětí.
Technická poznámka: matematická singularita idealizovaného ostrého úhlu není licencí k odhadu skutečných detailů pouze podle tohoto přibližného vzoru. Vlastní geometrie zaoblení, tolerance, plasticita, svary, zbytková napětí, lokální stabilita a únava vyžadují vhodné modelování a odborné ověření.
Pro jednostranný úhel, jehož tloušťka strany je t podle Trefftz\ je na zaoblení průměru r:
kde s τ0 vyznačené maximální napětí vypočtené pro každou jednotlivou větev na základě zde popsaného postupu. Pro větší poloměry zaoblení lze použít τ=2__τ0.
Tenkostěnné trubky (Bradtovy vzory)
U tenkostěnných trubek má vypouklá membrána tvar znázorněný na obr.8, která se skládá z roviny nad dutým prostorem uvnitř trubky a ze šikmé plochy, která ji obklopuje a leží nad účinnou částí stěny trubky; tato nakloněná plocha musí být strmější, pokud jsou stěny potrubí na příslušném místě tenčí. V tomto případě jsou smyková napětí rozložena poměrně rovnoměrně po tloušťce stěn a jsou nepřímo úměrná tloušťce stěn, tj. smyková síla T = τt se po obvodu průřezu nemění.
Sl. 8
Plošný prvek t_∙ds_ přijímá část krouticího momentu
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
takže celkový moment je
Jeden.8
kde povrch FR je pokryt střední čarou vyznačenou čarami a tečkami na obr.8. Získává se odtud
Jeden.9- První Bredt\ vzor
Torzní tuhost se nejjednodušeji získá, když je deformační práce vyjádřena na jedné straně kroutícím momentem a úhlem kroucení a na druhé straně smykovým napětím. Tímto způsobem se získá pro tyčový prvek délky l
takže zavedení hodnoty pro τ podle rovnice (8),
tedy ve srovnání s rovnicí (2):
Jeden.10
Pokud je tloušťka stěn všude stejná, pak je to jednoduché (2. Vzor Bredta):
Jeden.11
Normální napětí v krutu v důsledku ohýbání průřezu
Základní pojmy a diferenciální rovnice
Posuny součástí u, rovnice (1b), určuje zakřivení řezů z jejich rovin. Při konstantním torzním momentu je tento ohyb ve všech řezech stejný a normálová napětí σx se neobjevují.
In many cases, the curvature of the cross-section, which should arise on the basis of _St. Venantova teorie není možná. Při náhlé změně krouticího momentu v jednom průřezu by došlo na obou stranách průřezu k různě velkému ohybu a byla by narušena spojitost deformace. Jeden konec tyče může být upnut tak, že je v tomto místě zcela vyloučeno ohýbání sekce. V takových případech by měla být provedena změna _St. Venantovy teorie. V tyči se objevují doplňková napětí σx ve směru osy tyče a doplňková smyková síla T (smyková napětí T/t), která jsou nejvyšší v úseku, kde je porušena spojitost deformace a která se vzdáleností od tohoto úseku exponenciálně klesají. V případě pevných tyčí a trubek je tato teorie složitá a doplňková napětí klesají tak rychle, že se jejich určování ve většině případů nevyplatí. For thin-walled, open-profile rods, this correction is of great importance and can be calculated relatively easily.
Sl.9
Sl.9ukazuje čáru, podél které se protíná střední plocha stěny a rovina řezu (střední čára řezu). O je střed relativní rotace dvou sousedních sekcí. Je-li jejich vzdálenost dx, úhel zkroucení je ϑ dx, takže libovolný bod středové čáry se posune u ϑ dx. Toto posunutí má složku rt ϑ dx ve směru tečném k řezu a je skluzem prvku střední plochy stěny (s přihlédnutím k tomu, že _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Protože smykové napětí ve střední ploše stěny je nulové, musí být také γ=0, tak proto
Tento vzor obsahuje tři libovolné parametry: počátek, ze kterého se počítá délka oblouku s, a souřadnice středu relativní rotace O, na kterých závisí rt. Počáteční bod, ze kterého se počítá délka oblouku s, lze zvolit tak, aby střední hodnota zakřivení byla nula:
a souřadnice středu O lze určit tak, že momenty způsobené ohybem úseku jsou nulové:
Lze ukázat, že takto určený střed rotace se shoduje se středem smyku, který je zde popsané a definované jiným způsobem.
Pokud je zcela nebo částečně zabráněno ohybu úseku popsaného těmito vzory, musí se objevit normálová napětí σx ve směru osy tyče. Bližší zkoumání ukazuje, že tato napětí lze považovat za úměrná funkci křivosti φ: σx=k__φ, kde φ závisí pouze na s a k pouze na x. Podle Hookova zákona:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
musí být k=E d__ϑ/dx. Normálová napětí σx se nazývají průřezová ohybová napětí. S ohledem na výše uvedené rovnice tvoří v každém řezu rovnovážný systém sil, systém sil způsobený ohybem řezu.
Celkový točivý moment se skládá ze dvou částí: jedna z nich M1=GJT__ϑ vzniká v důsledku torzních smykových napětí daných _St. Venantova teorie a další M2 dochází v důsledku ohýbání sekce:
Jeden.13
Protože moment M je dán jako funkce x, představuje tento výraz diferenciální rovnici pro úhel zkroucení ϑ. Jakmile je tato rovnice vyřešena, lze vypočítat M1 a M2, a tím i všechna napětí a napětí.
Řešení a aplikace
Když je torzní moment M konstantní, obecné řešení rovnice (13) je:
Integrační konstanty C1, C2 musí být určeno ze dvou okrajových podmínek.
a) Pevně upnutý konec x=0(obr.1)
Na tomto konci je u≡0, takže na základě rovnice (1b) ϑ=0. Pokud je tyč velmi dlouhá (αl>>1), pak C1=0a C2= -M/GJT. U krátkých tyčí je vzhled napětí v důsledku ohybu sekce ovlivněn stavem na pravém konci tyče. Pokud se v tomto místě nezabrání ohybu sekce, bude σx≡0a dϑ/dx=0. Získává se odtud
b) Symetrické zatížení krutem podle obr. 10
Na levé polovině tyče je torzní moment -M/2 a na pravé +M/2. Při volném kroucení by byly úseky vlevo a vpravo od středu tyče stočeny v opačném směru, tudíž by nebyla zachována kontinuita deformace. Proto v místě x=0 musí být celý krouticí moment přenesen přes napětí, která vznikají ohybem průřezu, a proto v tomto průřezu M1=0 a tedy ϑ=0. V tomto bodě působí soustava sil, která zajišťuje, že úsek zůstane rovný, i když úseky, které leží dále od středu křivky tyče. Pokud se navíc požaduje, aby na koncích tyče byla napětí σx≡0, získá se pro každou polovinu tyče ještě jedna okrajová podmínka, takže pro pravou polovinu je to
Obr. 10
c) Vnější moment M na libovolném místě (obr. 11)
V tomto případě musí být řešení ϑ pro obě části tyče zapsáno samostatně, takže se objeví celkem čtyři konstanty C1, C2, C3, C4. Kromě toho nejsou známy ani torzní momenty Ma, Mb. K dispozici je šest rovnic: podmínka spojitosti pro ϑ (vyjádřená pomocí u) a pro dϑ/dx (vyjádřená pomocí σx) v bodě působení zatížení, jedna podmínka na každém konci tyče (např. tuhé sevření ϑ=0, nebo nenarušené ohýbání, dϑ/dx=0), podmínka momentové rovnováhy -Ma+Mb=M a nakonec podmínka, aby se koncové části neotáčely k sobě: ∫ ϑdx = 0.
Sl.11
Poznámka na závěr: výběr torzního modelu závisí na otevřeném nebo uzavřeném průřezu, štíhlosti, způsobu podepření, místě zadání momentu a možnosti volného ohybu. U reálného prvku je třeba zkontrolovat mezní stavy únosnosti a použitelnosti, místní detaily, spoje, únavu a stabilitu, nikoli pouze jeden izolovaný vzorec z článku.