Arhivska strokovna vsebina: besedilo in formule podajajo zgodovinsko teoretični pogled in niso projekt, statični izračun, preverjanje nosilnosti, ocena obstoječega elementa ali navodilo za gradnjo ali sanacijo. Oznake, predpostavke in približne vzorce je treba preveriti glede na določen sistem, material, geometrijo, robne pogoje in veljavne standarde. Izračun torzije, stabilnosti, utrujenosti, spojev in napetosti zaradi preprečenega upogiba naj opravi pooblaščeni inženir, po potrebi z neodvisnim nadzorom.
Savo Kusić se danes osredotoča na lesena okna, les-alu okna, okna po meri, vrata in prošnje za ponudbe. Ta članek ostaja kot zgodovinski strokovni arhiv in ne predstavlja storitve gradbenega projektiranja.
Saint-Venantova teorija torzije (prosta torzija)
Diferencialna enačba
Sl. 1
Ravna palica naj bo pritrjena na enem od svojih koncev x=0, na drugem koncu pa naj bo obremenjena s torzijskim momentom M (slika 1). Nato se vsak njen odsek zavrti za določen kot α(x) okoli določene premice, vzporedne z osjo palice, ki jo bomo sprejeli za x-os. Če so vsi odseki med seboj enaki, bo vsaka premica, vzporedna z osjo x, prešla v tuljavo, kot α pa bo sorazmeren z razdaljo od fiksnega konca: α=ϑx, iz katerega izhajajo premiki komponent v ravnini odseka (slika 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Veličino ϑ imenujemo torzijski kot (dimenzija: dolžina-1, rotacija na dolžinsko enoto). Torzijski kot je sorazmeren z vrtilnim momentom M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl. 2
Proporcionalni faktor GJT, torzijska togost, je enak zmnožku strižnega modula G in faktorja JT, ki predstavlja učinek oblike in velikosti preseka.
Ta rotacija preseka ne predstavlja edine deformacije palice. Poleg tega je prisoten tudi upogib prereza, to je na pomik u v smeri x-osi, ki ima enako velikost za ustrezne točke vseh prerezov in je torej le funkcija koordinat v ravnini prereza, sicer pa je sorazmeren z obremenitvijo M oziroma torzijskim kotom ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Če zgornje izraze vnesemo v ustrezne enačbe premika, dobimo, da so glavne normalne napetosti enake nič, pri čemer ostaneta samo dve komponentni napetosti τxy in τxz:
Eq. 3
Diferencialno enačbo torzijskega problema dobimo na podlagi enačb (3), tako da postavimo:
Enota. 4a in 4b
in reševanje teh diferencialnih enačb za neznanki τxy in τxz z uvedbo napetostne funkcije F(y,z), ki:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
To identično zadosti enačbi (4a), zahtevana diferencialna enačba
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Robni pogoj, potreben za edinstveno rešitev te enačbe, je dobljen iz zahteve, da na ovojnici palice ni strižnih napetosti, iz česar zaradi konjugirane narave strižnih napetosti sledi, da napetost v prečni ravnini ne sme imeti komponente, ki je pravokotna nanjo vzdolž obrisa. Od tod sl. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
torej
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
tj. skupni diferencial funkcije F mora biti nič, to pomeni, da mora biti F=const. po konturi.
Če ima odsek le eno konturo, lahko nanj preprosto napišemo F=0, saj pri napetostni funkciji, katere pravzaprav nas zanimajo samo odvodi, poljubna aditivna konstanta ne igra vloge. Pri odsekih, ki imajo več kot eno konturo, je to vprašanje bolj zapleteno.
Kot je razvidno iz enačbe (5), je rezultanta strižnih napetosti τxy in τxz v poljubni presečni točki po velikosti enaka gradientu napetostne funkcije F, vendar je pravokotna nanj, tj. ima tangentno smer na premico F=konst.
Reševanje diferencialne enačbe (6) prinese napetosti τ kot funkcije y, z in ϑ. Naloga izračuna je seveda določitev torzijskega kota ϑ in napetosti, predvsem največje napetosti v odvisnosti od torzijskega momenta, torej določitev togosti preseka JT iz enačbe (2) in upornega torzijskega momenta WT = Mmaxτ. Da jih dobimo, je potrebno samo izraziti M kot funkcijo F:
Oba dodatka tega integrala, ki ju je treba prevzeti čez celoten odsek, lahko transformiramo z delno integracijo. Če se na primer prvi med njimi najprej integrira vzdolž črte z=const. od točke na konturi y=y1 do točke y=y2 (slika 3) in ob upoštevanju, da v obeh teh točkah F=0, dobimo
Enako vrednost dobimo iz drugega integrala, tako da
Eq. 7
Sl. 3
Drugi primeri polnih razdelkov
Diferencialna enačba (6) je nehomogena enačba potencialne teorije. Zato so za rešitev torzijskega problema v primeru poljubnega prereza na voljo metode potencialne teorije, ki omogočajo, da ga vedno najdemo. Te metode pa so na splošno preveč zapletene, da bi jih lahko uporabili za posamezne primere, ki se pojavljajo v praksi. Zato naslednja tabela prikazuje rezultate takih izračunov za več odsekov.
Za prereze, ki so blizu krožnim, lahko postavite JT=F_4/40_Ip, kjer je F površina in Ip polarni vztrajnostni moment odseka.
Opomba o formulah in tabelah: izrazi in vrednosti v skeniranih slikah so shranjeni kot zgodovinski vir. OCR besedilo, indeksne oznake in skeniranje niso dovolj zanesljivi za izračun. Pred uporabo je treba vsako formulo, enoto, koeficient in območje veljavnosti preveriti v verodostojnem strokovnem viru in veljavnem standardu.
Analogija z membrano
V dobro pomoč pri ocenjevanju torzijskih napetosti, hkrati pa tudi postopek za njihovo natančno določitev, je analogija med napetostno funkcijo F torzijskega problema in upogibno prečno obremenitvijo membrane. Naj bo na ravni steni posode povprečna odprtina, ki sovpada s prerezom palice, obremenjene na torzijo. Ko se membrana raztegne čez to odprtino in se v posodi povzroči majhen nadtlak p, se membrana izboči navzven, tako da njeni upogibi ξ(y,z) zadostijo diferencialni enačbi
kjer je N površinska napetost v membrani, ki jo povzročajo kapilarne sile (dimenzije: sila na enoto dolžine). Ta enačba sovpada z enačbo (6), robni pogoj ξ=0 pa je enak kot za napetostno funkcijo. Na ta način lahko z uporabo tega zrcala z membrano dobimo napetostno funkcijo F(y,z) in tako rešimo torzijsko težavo. Napetost τ ustreza naklonu membrane glede na ravnino y-z, zato je najbolj strmo mesto tisto, kjer ima palica, izpostavljena torziji, največjo strižno napetost.
Sl. 4
Sl. 5
Ta membranski postopek je posebej primeren za pridobivanje približnih vzorcev za tankostenske odseke. Ko je na primer I-prerez razdeljen v skladu s sl. 4 na treh pravokotnikih in za vsakega od njih je ločeno izvedena analogija z membrano, bo vsota volumnov nastalih izboklin le malo manjša od volumna, ki dejansko ustreza napetostni funkciji. Zato, ko sta debelini b1 in b2 majhni, približno
JT = 2JT1 + JT2,
, pri čemer sta JT1 in JT2 faktorja togosti posameznih pravokotnikov, ki jih je mogoče izračunati na podlagi tabele 1. Boljši približek je dosežen, če se za rebro uporabi JT2 = a2 b32/3, to je, ko se rebro obravnava kot del zelo podolgovatega pravokotnika. Še natančnejšo vrednost dobimo glede na Trayer in March\ iz
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
kjer je D premer največjega kroga, včrtanega, kot je prikazano na sl. 4 in α lahko vzamete s sl. 5. Za T-prerez se dobi podobno
JT = JT1 +JT2 + α D4,
kjer je JT2 polovica vrednosti, izračunane v skladu s tabelo 1 za a=2 a2, b=b2. Za L-odseke (slika 6) je podobno kot
JT = JT1 + JT2 + β D4
, kjer je JT1 za debelejši krak vzet neposredno iz tabele 1, medtem ko je JT2 za tanjši krak izračunan kot za T-prerez, β pa je vzet iz sl. 7.
Sl. 6
Sl. 7
Pri izračunu napetosti se torzijski moment razdeli na sestavne pravokotnike: del, ki pade na prirobnice M1=M JT2/JT; strižna napetost se nato izračuna na sredini daljše stranice vsakega pravokotnika na podlagi tabele 1. Ni nujno, da je največja od teh napetosti največja strižna napetost, ki se pojavlja v prerezu. Namreč, če vpadni kot ni zaokrožen, dobimo na tem mestu τ=∞, tako da lahko pri zelo majhnem radiju zaokroževanja tukaj pričakujemo največjo strižno napetost.
Inženirska opomba: matematična singularnost pri idealiziranem ostrem kotu ni dovoljenje za ocenjevanje dejanskih podrobnosti samo s tem približnim vzorcem. Dejanska geometrija zaokroževanja, tolerance, plastičnost, zvari, preostale napetosti, lokalna stabilnost in utrujenost zahtevajo ustrezno modeliranje in strokovno preverjanje.
Za enostranski kot, katerega debelina kraka je t po Trefftz\ je na zaokrožitvi premera r:
kjer τ0 označuje najvišjo napetost, izračunano za vsako posamezno nogo na podlagi tukaj opisanega postopka. Za večje radije zaokroževanja se lahko sprejme τ=2__τ0.
Tankostenske cevi (Bradtov vzorec)
V ceveh s tankimi stenami ima izbočena membrana obliko, prikazano na sl. 8, ki je sestavljen iz ravnine nad votlim prostorom znotraj cevi in nagnjene površine, ki jo obdaja in leži nad efektivnim odsekom stene cevi; ta nagnjena površina mora biti bolj strma, če so stene cevi na ustreznem mestu tanjše. V tem primeru so strižne napetosti dokaj enakomerno porazdeljene po debelini sten in so obratno sorazmerne z debelino sten, tj. strižna sila T = τt se ne spreminja po obodu preseka.
Sl. 8
Površinski element t_∙ds_ prejme del torzijskega momenta
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
torej je skupni trenutek
Eq. 8
kjer FR površino pokriva srednja črta, označena s črtami in pikami na sl. 8. Od tu dobite
Eq. 9 - Prvi Bredt\ vzorec
Torzijska togost je najpreprosteje dosežena, ko je deformacijsko delo izraženo na eni strani skozi torzijski moment in torzijski kot ter na drugi strani skozi strižne napetosti. Na ta način dobimo za palični element dolžine l
torej, če uvedemo vrednost za τ v skladu z enačbo (8),
to je v primerjavi z enačbo (2):
Eq. 10
Če je debelina sten povsod enaka, potem je preprosto (2. Bredtov vzorec):
Eq. 11
Normalne torzijske napetosti zaradi upogibanja preseka
Osnovni izrazi in diferencialna enačba
Premiki komponent u, enačba (1b), določa ukrivljenost odsekov iz njihovih ravnin. Ko je torzijski moment konstanten, je ta upogib enak v vseh odsekih in normalne napetosti σx se ne pojavijo.
V mnogih primerih je ukrivljenost prečnega prereza, ki bi morala nastati na podlagi _St. Venantova teorija ni mogoča. Če se torzijski moment v enem prerezu nenadoma spremeni, bi na obeh straneh prereza prišlo do upogibov različnih velikosti in kontinuiteta deformacije bi bila motena. En konec palice je lahko tako vpet, da je na tem mestu upogibanje profila popolnoma izključeno. V takih primerih je treba narediti spremembo _St. Venantove teorije. V palici se pojavijo dopolnilne napetosti σx v smeri osi palice in dopolnilne strižne sile T (strižne napetosti T/t), ki so največje v odseku, kjer je prekinjena kontinuiteta deformacije in ki z oddaljenostjo od tega odseka eksponentno upadajo. V primeru trdnih palic in cevi je ta teorija zapletena in dodatne napetosti padajo tako hitro, da se njihova določitev v večini primerov ne splača. Za tankostenske palice z odprtim profilom je ta popravek zelo pomemben in ga je mogoče razmeroma enostavno izračunati.
Sl. 9
Sl. 9 prikazuje črto, po kateri se sekata sredinska ploskev stene in presečna ravnina (srednja črta preseka). O je središče relativne rotacije dveh sosednjih odsekov. Če je njuna razdalja dx, je torzijski kot ϑ dx, zato je poljubna točka srednje črte podvržena premiku u ϑ dx. Ta pomik ima komponento rt ϑ dx v smeri tangente na prerez, zdrs elementa srednje površine stene pa je (ob upoštevanju, da je _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Ker je strižna napetost na srednji površini stene enaka nič, mora biti tudi γ=0, in zato
Ta vzorec vsebuje tri poljubne parametre: izhodišče, iz katerega se izračuna dolžina loka s, in koordinate središča relativne rotacije O, od katerih je rt odvisno. Začetek, od katerega se izračuna dolžina loka s, lahko izberete tako, da je srednja vrednost ukrivljenosti nič:
in koordinate središča O lahko določimo tako, da so tudi momenti zaradi upogiba odseka enaki nič:
Lahko se pokaže, da središče vrtenja, določeno na ta način, sovpada s strižnim središčem, ki je opisano tukaj in definirano na drug način.
Če je upogibanje odseka, ki ga opisujejo ti vzorci, popolnoma ali delno onemogočeno, se morajo pojaviti normalne napetosti σx v smeri osi palice. Natančnejši pregled pokaže, da se te napetosti lahko štejejo za sorazmerne s funkcijo ukrivljenosti φ: σx=k__φ, kjer je φ odvisna samo od s in k samo od x. Kako po Hookovem zakonu:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
mora biti k=E d__ϑ/dx. Normalne napetosti σx imenujemo presečne upogibne napetosti. Ob upoštevanju zgornjih enačb tvorijo ravnotežni sistem sil v vsakem odseku, sistem sil zaradi upogiba odseka.
Celotni torzijski moment je sestavljen iz dveh delov: eden od njiju M1=GJT__ϑ je posledica strižnih napetosti med torzijo, ki daje _St. Venantova teorija, drugi M2 pa nastane zaradi upogibanja odseka:
Eq. 13
Ker je moment M podan kot funkcija x, ta izraz predstavlja diferencialno enačbo za torzijski kot ϑ. Ko je ta enačba rešena, je mogoče izračunati M1 in M2 ter s tem vse napetosti in deformacije.
Rešitev in aplikacije
Če je torzijski moment M konstanten, je splošna rešitev enačbe (13):
Integracijske konstante C1, C2 je treba določiti iz dveh robnih pogojev.
a) Togo vpet konec x=0 (slika 1)
Na tem koncu je u≡0, torej na podlagi enačbe (1b) ϑ=0. Če je palica zelo dolga (αl>>1), potem je C1=0 in C2= -M/GJT. Pri kratkih palicah na pojav napetosti zaradi upogiba preseka vpliva stanje na desnem koncu palice. Če upogibanje odseka na tem mestu ni preprečeno, bosta σx≡0 in dϑ/dx=0. Od tu dobite
b) Simetrična torzijska obremenitev po sl. 10
Na levi polovici palice je torzijski moment -M/2, na desni pa +M/2. V primeru prostega zvijanja bi bili odseki levo in desno od sredine palice zasukani v nasprotni smeri, zato se kontinuiteta deformacije ne bi ohranila. Zato se mora na mestu x=0 prenesti celoten torzijski moment preko napetosti, ki nastanejo zaradi upogiba preseka, zato je v tem preseku M1=0 in torej ϑ=0. Na tej točki deluje sistem sil, ki zagotavlja, da odsek ostane raven, čeprav odseki, ki ležijo dlje od središča krivulje palice. Če poleg tega zahtevamo, da so napetosti na koncih palice σx≡0, dobimo še en robni pogoj za vsako polovico palice, tako da je za desno polovico
Sl. 10
c) Zunanji moment M na poljubnem mestu (sl. 11)
V tem primeru je treba rešitev ϑ za oba dela palice zapisati ločeno, tako da se pojavijo skupno štiri konstante C1, C2, C3, C4. Poleg tega so neznani tudi torzijski momenti Ma, Mb. Na voljo je šest enačb: pogoj kontinuitete za ϑ (izraženo z u) in za dϑ/dx (izraženo z σx) na točki delovanja obremenitve, en pogoj na vsakem koncu palice (npr. togo stiskanje ϑ=0 ali nemoten upogib, dϑ/dx=0), pogoj momentnega ravnovesja -Ma+Mb=M in končno pogoj, da se končni deli ne obračajo drug proti drugemu: ∫ ϑdx = 0.
Sl. 11
Zadnja opomba: izbira torzijskega modela je odvisna od odprtega ali zaprtega preseka, vitkosti, načina podpore, mesta vnosa momenta in možnosti prostega upogibanja. Za pravi element je treba preveriti mejna stanja nosilnosti in uporabnosti, lokalne podrobnosti, spoje, utrujenost in stabilnost, ne le eno izolirano formulo iz artikla.