Archivia contenuti esperti: il testo e le formule trasmettono una visione teorica storica e non costituiscono un progetto, un calcolo statico, una verifica della capacità portante, una valutazione di un elemento esistente o istruzioni per la costruzione o la riabilitazione. Designazioni, ipotesi e modelli approssimativi devono essere verificati rispetto al sistema specifico, al materiale, alla geometria, alle condizioni al contorno e agli standard applicabili. Il calcolo di torsione, stabilità, fatica, articolazioni e sollecitazione dovuta alla flessione impedita deve essere effettuato da un ingegnere autorizzato, con controllo indipendente quando richiesto.
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Teoria della torsione di Saint-Venant (torsione libera)
Equazione differenziale
Fig. 1
Sia fissata un’asta diritta ad una delle sue estremità x=0 e lasciata che sia caricata all’altra estremità con un momento torcente M (fig. 1). Quindi ciascuna delle sue sezioni ruota di un certo angolo α(x) attorno ad una certa linea parallela all’asse del bastone, che adotteremo come asse x. Se tutte le sezioni sono uguali tra loro, qualsiasi retta parallela all’asse x passerà in una spira, e l’angolo α sarà proporzionale alla distanza dall’estremità fissa: α=ϑx, da cui derivano gli spostamenti componenti nel piano della sezione (fig. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
La quantità ϑ è chiamata angolo di torsione (dimensione: lunghezza-1, rotazione per unità di lunghezza). L’angolo di torsione è proporzionale al momento di torsione M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
Il fattore di proporzionalità GJT, rigidezza torsionale, è pari al prodotto del modulo di taglio G e del fattore JT, che rappresenta l’effetto della forma e dimensione della sezione.
Questa rotazione della sezione non rappresenta l’unica deformazione dell’asta. Inoltre si verifica anche una flessione della sezione trasversale, cioè allo spostamento u nella direzione dell’asse x, che ha la stessa grandezza per i punti corrispondenti di tutte le sezioni trasversali ed è quindi solo una funzione delle coordinate nel piano della sezione, ed è altrimenti proporzionale al carico M o all’angolo di torsione ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Se le espressioni precedenti vengono introdotte nelle corrispondenti equazioni di spostamento, si ottiene che le principali tensioni normali sono pari a zero, lasciando solo due tensioni componenti τxy e τxz:
Eq. 3
L’equazione differenziale del problema di torsione si ottiene basandosi sulle equazioni (3) ponendo:
Unità. 4ae 4b
e risolvendo queste equazioni differenziali per le incognite τxy e τxz introducendo la funzione di stress F(y,z) che:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Questo soddisfa l’equazione (4a) in modo identico e l’equazione differenziale richiesta
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
La condizione al contorno richiesta per l’unica soluzione di questa equazione è ottenuta dal requisito che non vi siano sforzi di taglio sull’involucro dell’asta, da cui, per la natura coniugata degli sforzi di taglio, ne consegue che lo sforzo nel piano della sezione non deve avere una componente perpendicolare ad esso lungo il contorno. Da qui, fig. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
quindi
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ie. il differenziale totale della funzione F deve essere zero, cioè deve essere F=cost. lungo il contorno.
Se la sezione ha un solo contorno, si può semplicemente metterci sopra F=0, perché con la funzione tensione, di cui in realtà ci interessano solo le derivate, una costante additiva arbitraria non ha alcun ruolo. Con le sezioni che hanno più di un contorno, questa domanda è più complessa.
Come si può vedere dall’equazione (5) la risultante delle sollecitazioni di taglio τxy e τxz in un punto di intersezione arbitrario è uguale in grandezza al gradiente della funzione di sollecitazione F, ma è perpendicolare ad essa, cioè ha una direzione tangente alla linea F=cost.
Risolvendo l’equazione differenziale (6) si ottengono le tensioni τ come funzioni di y, z e ϑ. Compito del calcolo è ovviamente la determinazione dell’angolo di torsione ϑ e della sollecitazione, in particolare la sollecitazione massima in funzione del momento torsionale, quindi la determinazione della rigidezza della sezione JT dall’equazione (2) e del momento torcente resistente WT = Mmaxτ. Per ottenerli è sufficiente esprimere M in funzione di F:
Entrambe le aggiunte di questo integrale, che dovrebbe essere ripreso nell’intera sezione, possono essere trasformate mediante integrazione parziale. Se, ad esempio, il primo di essi si integra per primo lungo la retta z=const. dal punto sul contorno y=y1 al punto y=y2 (fig. 3) e tenendo conto che in entrambi questi punti F=0, si ottiene
Lo stesso valore si ottiene dal secondo integrale, quindi
Eq. 7
Fig. 3
Altri casi di sezioni intere
L’equazione differenziale (6) è un’equazione disomogenea della teoria del potenziale. Pertanto, per la soluzione del problema della torsione nel caso di una sezione trasversale arbitraria, sono disponibili i metodi della teoria del potenziale, che consentono di trovarla sempre. Questi metodi, tuttavia, sono generalmente troppo complessi per essere applicati ai singoli casi che si presentano nella pratica. Ecco perché la tabella seguente mostra i risultati di tali calcoli per diverse sezioni.
Per sezioni trasversali prossime alla circolare, è possibile inserire JT=F_4/40_Ip, dove F è l’area e Ip è il momento di inerzia polare della sezione.
Nota su formule e tabelle: le espressioni e i valori sulle immagini scansionate vengono archiviati come fonte storica. Il testo OCR, i contrassegni di indice e la scansione non sono sufficientemente affidabili per il calcolo. Ogni formula, unità, coefficiente e ambito devono essere controllati in una fonte professionale autorevole e in uno standard valido prima dell’uso.
Analogia con la membrana
Un buon aiuto per la stima delle tensioni torsionali, e allo stesso tempo una procedura per la loro esatta determinazione, è fornito dall’analogia tra la funzione di stress F del problema torsionale e il carico trasversale di deflessione della membrana. Sia sulla parete piana di un vaso un’apertura media che coincida con la sezione trasversale di un’asta caricata in torsione. Quando la membrana viene tesa su questa apertura e si crea una piccola pressione in eccesso p nel vaso, la membrana si gonfia verso l’esterno, in modo che le sue deflessioni ξ(y,z) soddisfino l’equazione differenziale
dove N è la tensione superficiale nella membrana causata dalle forze capillari (dimensioni: forza per unità di lunghezza). Questa equazione coincide con l’equazione (6) e la condizione al contorno ξ=0 è la stessa della funzione tensione. In questo modo, utilizzando questo specchio con la membrana, è possibile ottenere la funzione di tensione F(y,z) e risolvere così il problema della torsione. La sollecitazione τ corrisponde alla pendenza della membrana rispetto al piano y-z, quindi il punto più ripido è quello in cui l’asta esposta a torsione presenta la massima sollecitazione di taglio.
Fig. 4
Fig. 5
Questa procedura con membrana è particolarmente adatta per ottenere modelli approssimativi per sezioni a parete sottile. Quando, ad esempio, la sezione ad I viene divisa secondo la fig. 4 su tre rettangoli e per ciascuno di essi si effettua separatamente un’analogia con la membrana, la somma dei volumi delle sporgenze risultanti sarà solo leggermente inferiore al volume che corrisponde effettivamente alla funzione tensione. Pertanto, quando gli spessori b1 e b2 sono piccoli, circa
JT = 2JT1 + JT2,
dove JT1 e JT2 sono i fattori di rigidità dei singoli rettangoli che possono essere calcolati in base alla tabella 1. Una migliore approssimazione si ottiene quando JT2 = a2 b32/3 viene utilizzato per la nervatura, cioè quando la nervatura è considerata come parte di un rettangolo molto allungato. Un valore ancora più accurato si ottiene secondo Trayer e March\ da
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
dove D è il diametro del cerchio più grande inscritto come mostrato in fig. 4, e α possono essere presi dalla fig. 5. Per la sezione a T si ottiene in modo simile
JT = JT1 +JT2 + α D4,
dove JT2 è la metà del valore calcolato secondo la tabella 1 per a=2 a2, b=b2. Per le sezioni a L (fig. 6) è simile a quello
JT = JT1 + JT2 + β D4
dove JT1 per il braccio più spesso è preso direttamente dalla tabella 1, mentre JT2 per il braccio più sottile è calcolato come per la sezione a T, e β è preso dalla fig. 7.
Fig. 6
Fig. 7
Nel calcolo della sollecitazione, il momento torcente viene suddiviso nei rettangoli costitutivi: la parte che cade sulle flange M1=M JT2/JT; lo sforzo di taglio viene quindi calcolato al centro del lato più lungo di ciascun rettangolo in base alla tabella 1. Non è necessario che la maggiore di queste sollecitazioni sia la maggiore sollecitazione di taglio che appare nella sezione. Vale a dire, se l’angolo di incidenza non è arrotondato, in quel punto si ottiene τ=∞, così che per un raggio di arrotondamento molto piccolo, qui ci si può aspettare la massima sollecitazione di taglio.
Nota tecnica: la singolarità matematica nell’angolo acuto idealizzato non autorizza a stimare il dettaglio effettivo solo mediante questo modello approssimativo. La geometria effettiva dell’arrotondamento, le tolleranze, la plasticità, le saldature, le tensioni residue, la stabilità locale e la fatica richiedono una modellazione adeguata e una verifica da parte di esperti.
Per un angolo unilaterale il cui spessore della gamba è t secondo Trefftz\ è sull’arrotondamento del diametro r:
dove τ0 indica la tensione più alta calcolata per ogni singola gamba in base alla procedura qui descritta. Per raggi di arrotondamento maggiori è possibile adottare τ=2__τ0.
Tubi a parete sottile (modelli Bradt)
Nei tubi con pareti sottili la membrana rigonfia ha la forma mostrata in fig. 8, costituito da un piano sovrastante l’intercapedine interna del tubo e da un piano inclinato che lo circonda e sovrasta la sezione effettiva della parete del tubo; questa superficie inclinata deve essere più ripida se le pareti del tubo sono più sottili nel punto appropriato. In questo caso, le sollecitazioni di taglio sono distribuite abbastanza uniformemente sullo spessore delle pareti e sono inversamente proporzionali allo spessore delle pareti, cioè la forza di taglio T = τt non cambia lungo la circonferenza della sezione.
Sl. 8
L’elemento di superficie t_∙ds_ riceve parte del momento di torsione
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
quindi il momento totale è
Eq. 8
dove la superficie FR è coperta dalla linea mediana contrassegnata da linee e punti in fig. 8. Da qui ottieni
Eq. 9 - Primo modello Bredt\
La rigidezza torsionale si ottiene più semplicemente quando il lavoro di deformazione è espresso da un lato attraverso il momento di torsione e l’angolo di torsione e dall’altro attraverso le tensioni di taglio. In questo modo si ottiene per un elemento asta di lunghezza l
quindi, introducendo il valore di τ secondo l’equazione (8),
cioè, rispetto all’equazione (2):
Eq. 10
Se lo spessore delle pareti è lo stesso tutt’intorno, allora è semplice (2. Modello di Bredt):
Eq. 11
Sollecitazioni normali a torsione dovute alla flessione della sezione
Termini di base ed equazione differenziale
Spostamenti dei componenti u, equazione (1b), determina la curvatura delle sezioni dai loro piani. Quando il momento torcente è costante, questa flessione è la stessa in tutte le sezioni e le tensioni normali σx non compaiono.
In molti casi, la curvatura della sezione trasversale che dovrebbe presentarsi sulla base di _St. La teoria di Venant non è possibile. Se il momento torsionale cambia bruscamente in una sezione trasversale, si verificherebbero flessioni di diversa entità su entrambi i lati della sezione trasversale e la continuità della deformazione sarebbe disturbata. Un’estremità dell’asta può essere fissata in modo tale che in quel punto la flessione del profilato sia completamente esclusa. In questi casi, dovrebbe essere apportata una modifica _St. Le teorie di Venant. Nella barra compaiono tensioni supplementari σx nella direzione dell’asse della barra e forze di taglio supplementari T (sforzi di taglio T/t), che sono maggiori nella sezione dove è interrotta la continuità della deformazione e che diminuiscono esponenzialmente con la distanza da questa sezione. Nel caso di barre e tubi pieni questa teoria è complessa e le tensioni supplementari diminuiscono così rapidamente che nella maggior parte dei casi la loro determinazione non vale la pena. Per le aste a parete sottile con profilo aperto questa correzione è di grande importanza e può essere calcolata in modo relativamente semplice.
Fig. 9
Fig. 9 mostra la linea lungo la quale si intersecano la superficie media del muro e il piano di sezione (la linea mediana della sezione). O è il centro di rotazione relativa di due sezioni adiacenti. Se la loro distanza è dx, l’angolo di torsione è ϑ dx, quindi un punto arbitrario della linea mediana subisce uno spostamento u ϑ dx. Questo spostamento ha una componente rt ϑ dx nella direzione tangente alla sezione, e lo scorrimento dell’elemento della superficie media del muro è (tenendo conto che _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Poiché lo sforzo di taglio nella superficie media del muro è zero, deve essere anche γ=0, e quindi
Questo modello contiene tre parametri arbitrari: l’origine da cui viene calcolata la lunghezza dell’arco s e le coordinate del centro di rotazione relativa O, da cui dipende rt. L’inizio da cui calcolare la lunghezza dell’arco s può essere scelto in modo che il valore medio della curvatura sia zero:
e le coordinate del centro O possono essere determinate in modo tale che anche i momenti dovuti alla flessione della sezione siano nulli:
Si può dimostrare che il centro di rotazione così determinato coincide con il centro di taglio descritto qui e definito in altro modo.
Se la flessione della sezione descritta da questi schemi viene evitata completamente o parzialmente, devono apparire tensioni normali σx nella direzione dell’asse dell’asta. Un esame più attento mostra che queste sollecitazioni possono essere considerate proporzionali alla funzione di curvatura φ: σx=k__φ, dove φ dipende solo da s e k solo da x. Come secondo la legge di Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
deve essere k=E d__ϑ/dx. Le tensioni normali σx sono chiamate sollecitazioni di flessione della sezione. Considerando le equazioni sopra, esse formano un sistema di forze di equilibrio in ciascuna sezione, un sistema di forze dovuto alla flessione della sezione.
Il momento torsionale totale è composto da due parti: una di queste M1=GJT__ϑ risulta dalle sollecitazioni di taglio durante la torsione che dà St. La teoria di Venant, e l’altro M2 si verifica a causa della flessione della sezione:
Eq. 13
Poiché il momento M è dato in funzione di x, questa espressione rappresenta un’equazione differenziale per l’angolo di torsione ϑ. Una volta risolta questa equazione, è possibile calcolare M1 e M2, e quindi tutte le sollecitazioni e le deformazioni.
Soluzioni e applicazioni
Quando il momento di torsione M è costante, la soluzione generale dell’equazione (13) è:
Le costanti di integrazione C1, C2 devono essere determinate da due condizioni al contorno.
a) Estremità fissata rigidamente x=0 (fig. 1)
A questa estremità c’è u≡0, quindi in base all’equazione (1b) ϑ=0. Se l’asta è molto lunga (αl>>1), allora C1=0 e C2= -M/GJT. Nel caso di aste corte, la comparsa di tensioni dovute alla flessione della sezione è influenzata dalle condizioni dell’estremità destra dell’asta. Se la flessione della sezione non viene impedita in quel punto, ci saranno σx≡0 e dϑ/dx=0. Da qui ottieni
b) Carico di torsione simmetrico secondo fig. 10
Nella metà sinistra dell’asta, il momento torcente è -M/2, e nella metà destra +M/2. Nel caso di torsione libera, le sezioni a sinistra e a destra del centro dell’asta verrebbero attorcigliate in senso opposto, quindi la continuità della deformazione non sarebbe preservata. Pertanto, nel punto x=0, l’intero momento torcente deve essere trasferito attraverso le tensioni che si verificano a causa della flessione della sezione, e quindi in questa sezione M1=0 e quindi ϑ=0. A questo punto un sistema di forze agisce per garantire che la sezione rimanga diritta, anche se le sezioni si trovano più lontane dal centro della curva dell’asta. Se inoltre si richiede che alle estremità dell’asta le tensioni siano σx≡0, si ottiene una condizione al contorno in più per ciascuna metà dell’asta, quindi per la metà destra è
Fig. 10
c) Momento esterno M in un luogo arbitrario (fig. 11)
In questo caso, la soluzione ϑ per entrambe le parti dell’asta deve essere scritta separatamente, quindi appaiono un totale di quattro costanti C1, C2, C3, C4. Inoltre non sono noti nemmeno i momenti torcenti Ma, Mb. Sono disponibili sei equazioni: condizione di continuità per ϑ (espresso da u) e per dϑ/dx (espresso da σx) nel punto di azione del carico, una condizione a ciascuna estremità dell’asta (ad esempio pizzicamento rigido ϑ=0, o flessione indisturbata, dϑ/dx=0), condizione di equilibrio del momento -Ma+Mb=M e infine la condizione che i tratti terminali non ruotino l’uno verso l’altro: ∫ ϑdx = 0.
Fig. 11
Nota finale: la scelta del modello di torsione dipende dalla sezione aperta o chiusa, dalla snellezza, dal metodo di supporto, dal luogo di immissione del momento e dalla possibilità di flessione libera. Per un elemento reale è necessario verificare gli stati limite di portanza e di esercizio, i dettagli locali, i giunti, la fatica e la stabilità, non solo una formula isolata dall’articolo.