档案专家内容： 文本和公式传达历史理论观点，不是项目、静态计算、承载能力检查、现有元素的评估或施工或修复说明。名称、假设和近似模式必须根据特定系统、材料、几何形状、边界条件和适用标准进行检查。扭转、稳定性、疲劳、接头和防止弯曲引起的应力的计算应由授权工程师完成，并在需要时进行独立控制。
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圣维南扭转理论（自由扭转）
微分方程
SL。 1
将一根直杆固定在其一端_x_=0，并在另一端加载扭矩_M_（图1）。然后它的每个部分围绕平行于棒轴的特定线旋转一定的角度 α(x)，我们将采用该线作为 x\ 轴。如果所有截面都彼此相等，则任何平行于 x 轴的直线都会进入线圈，并且角度 α 将与距固定端的距离成正比：α=ϑx，由此产生截面平面中的分量位移（图 2）：
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
数量_ϑ_称为扭转角（量纲：长度-1，单位长度的旋转量）。扭转角与扭矩_M_成正比：
ϑ = M/GJT。 (2)
图2
比例系数_GJT_，扭转刚度，等于剪切模量_G_和系数_JT_的乘积，它代表截面形状和尺寸的影响。
截面的旋转并不是杆的唯一变形。此外，还存在横截面的弯曲，即 x\ 轴方向上的位移 u，其对于所有横截面的对应点具有相同的大小，因此仅是横截面平面中坐标的函数，并且与载荷 M 或扭转角 ϑ 成正比：
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
如果将上式代入相应的位移方程，则主法向应力为零，只剩下两个分应力_τxy_和_τxz_：
一。 3
扭转问题的微分方程基于方程 (3) 得到：
一。 4a 和 4b
并通过引入应力函数 F(y,z) 来求解未知数 τxy 和 τxz 的微分方程：
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
同样满足式(4a)，由式(4b)得到所需的微分方程
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
该方程唯一解所需的边界条件是根据杆包络面上不存在剪应力的要求而获得的，由此，由于剪应力的共轭性质，得出结论，横截面中的应力不得具有沿轮廓垂直于其的分量。从这里开始，图。 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
因此
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
即。函数 F 的全微分必须为零，即它必须为 F=const。沿着轮廓。
如果截面只有一个轮廓，则可以简单地在其上加上_F_=0，因为对于电压函数，我们实际上只对导数感兴趣，任意加性常数不起作用。对于具有多个轮廓的截面，这个问题更加复杂。
从方程(5)可以看出，任意交点处的剪应力_τxy_和_τxz_的合力与应力函数_F_的梯度大小相等，但垂直于它，即与直线_F_=const有切线方向。
求解微分方程 (6) 可得出作为 y、z 和 ϑ 函数的应力 τ。当然，计算的任务是确定扭转角 ϑ 和应力，特别是作为扭矩函数的最大应力，因此，根据方程 (2) 确定截面刚度 JT 和抗扭矩 WT = Mmaxτ。要获得这些，只需将 M 表示为 F 的函数：
该积分的两个求和均应在整个截面上进行，可以通过部分积分进行变换。例如，如果它们中的第一个首先沿着线 z=const 积分。从轮廓上的点 y=y1 到点 y=y2（图 3）并考虑到这两个点 F=0，我们得到
第二次积分得到相同的值，因此
一。 7
SL。 3
全断面的其他情况
微分方程(6)是势论的非齐次方程。因此，对于任意截面情况下的扭转问题的求解，可用势论的方法，使其总能找到。然而，这些方法通常过于复杂，无法应用于实践中出现的个别案例。这就是为什么下表显示了几个部分的此类计算结果的原因。
对于接近圆形的横截面，可以输入_JT_=F_4/40_Ip，其中_F_是面积，_Ip_是横截面的极惯性矩。
公式和表格注意事项： 扫描图像上的表达式和值存储为历史源。 OCR 文本、索引标记和扫描对于计算来说不够可靠。每个公式、单位、系数和范围在使用前均应经过权威专业来源和有效标准检查。
与膜的类比
对于估计扭转应力有很好的帮助，同时通过扭转问题的应力函数_F_与膜的偏转横向载荷之间的类比，提供了精确确定扭转应力的程序。假设容器的平坦壁上有一个平均开口，该开口与受扭转载荷的杆的横截面重合。当膜在该开口上拉伸并且在容器中产生小的超压 p 时，膜向外凸出，使其偏转 xi(y,z) 满足微分方程
其中_N_是由毛细管力引起的膜中的表面张力（量纲：每单位长度的力）。该方程与方程 (6) 一致，边界条件 xi=0 与电压函数相同。这样，利用带有薄膜的镜子就可以得到电压函数_F(y,z)_，从而解决扭转问题。应力 τ 对应于膜相对于 y-z-平面的斜率，因此最陡的地方是受到扭转的杆具有最高剪切应力的地方。
图4
SL。 5
该膜程序特别适合获得薄壁截面的近似图案。例如，当按照图 1 划分 I 形截面时。 4 在三个矩形上，对于每个矩形，分别与膜进行类比，所得突起的体积之和将仅略小于实际对应于电压函数的体积。因此，当厚度_b1_和_b2_较小时，大约为
JT = 2JT1 + JT2,
其中_JT1_和_JT2_是各个矩形的刚度系数，可以根据表1计算。当 JT2 = a2 b32/3 用于肋时，即当肋被视为非常细长的矩形的一部分时，可以获得更好的近似值。根据
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
其中_D_是最大内切圆的直径，如图1所示。 4，和_α_可以从图1中获取。 5。对于T形截面，类似地获得
JT = JT1 +JT2 + α D4,
其中_JT2_是根据表1计算的值的一半，其中_a_=2_a2_、b=b2。对于 L 型截面（图 6），与
JT = JT1 + JT2 + β D4
，其中粗臂的 JT1 直接从表 1 中获取，而细臂的 JT2 按照 T 形截面计算，β 取自图 2。 7.
图。 6
SL。 7
计算应力时，将扭矩分为组成矩形：落在法兰上的部分_M1_=M JT2/JT；然后根据表1计算每个矩形长边中间的剪应力。这些应力中最大的不一定是截面中出现的最大剪应力。也就是说，如果入射角不是圆角的，则在该位置获得_τ_=∞，因此对于非常小的圆角半径，可以预期此处具有最高的剪切应力。
工程注释： 理想化锐角处的数学奇点并不能单独通过这种近似模式来估计实际细节。实际的倒圆几何形状、公差、塑性、焊缝、残余应力、局部稳定性和疲劳需要适当的建模和专家验证。
对于根据 Trefftz\ 其腿厚度为 t 的单边角，位于直径 r 的舍入位置：
其中 τ0 表示根据此处描述的程序为每个单独支路计算的最高电压。对于较大的圆角半径，可采用_τ=2__τ0_.
薄壁管道（Bradt 模式）
在薄壁管道中，胀膜的形状如图1所示。 8，由管内中空空间上方的平面和围绕该平面且位于管壁有效截面上方的斜面组成；如果适当位置的管壁较薄，则该斜面必须更陡。在这种情况下，剪应力在壁厚上相当均匀地分布，并且与壁厚成反比，即_剪力_ T = τt 沿截面圆周不发生变化。
SL。 8
面元_t__∙ds_接收部分扭矩
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
所以总力矩为
方程。 8
其中FR表面被图中用线和点标记的中线覆盖。 8。从这里你得到
方程。 9 - 第一个 Bredt\ 图案
当变形功一方面通过扭矩和扭转角表示，另一方面通过剪应力表示时，可以最简单地获得扭转刚度。这样，就可以得到长度为_l_
所以，根据方程(8)引入τ的值，
即与式(2)比较：
方程。 10
如果四周的壁厚相同，那就很简单了（2。Bredt\的图案）：
方程。 11
由于截面弯曲而产生的扭转法向应力
基本术语和微分方程
分量位移 u，方程 (1b) 确定截面相对于其平面的曲率。当扭矩恒定时，所有截面的弯曲都是相同的，并且不会出现法向应力_σx_。
在许多情况下，应基于_St. 产生的横截面曲率。维南特的理论是不可能的。如果某一截面上的扭矩突然变化，截面两侧就会出现不同程度的弯曲，变形的连续性就会受到干扰。可以将杆的一端夹紧，使得在该点处完全排除截面的弯曲。在这种情况下，应进行修正_St。维南特的理论。杆中出现杆轴线方向的附加应力_σx_和附加剪力_T_（剪应力_T/t_），它们在变形连续性被破坏的部分中最高，并且随着距该部分的距离呈指数函数减小。对于实心棒和管，该理论很复杂，并且补充电压下降得如此之快，以至于在大多数情况下不值得进行确定。对于具有开放轮廓的薄壁棒材，这种校正非常重要并且可以相对容易地计算。
图9
图9 表示墙的中表面与剖面相交的线（剖面中线）。 O_是两个相邻截面的相对旋转中心。如果它们的距离为_dx，则扭转角为_ϑ dx_，因此中线的任意点都会经历位移_u_ ϑ dx。该位移在与截面相切的方向上有一个分量 rt ϑ dx，壁中表面单元的滑移为（考虑到 _u=_φϑ）：
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
由于墙体中面剪应力为零，因此也必定为_γ_=0，因此
该模式包含三个任意参数：计算弧长_s_的原点和_rt_所依赖的相对旋转中心_O_的坐标。可以选择计算弧长_s_的起点，以使曲率的平均值为零：
和中心 O 的坐标可以这样确定，使得截面弯曲产生的力矩也为零：
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如果完全或部分防止这些图案所描述的截面弯曲，则必须出现杆轴线方向上的法向应力_σx_。仔细检查表明，这些应力可以认为与曲率函数 φ: σx=k__φ 成正比，其中 φ 仅取决于 s，而 k 仅取决于 x。如何根据胡克定律：
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
必须是_k=E d__ϑ/dx_。正应力 σx 称为截面弯曲应力。考虑到上面的方程，它们在每个截面中形成一个平衡力系统，一个由于截面弯曲而产生的力系统。
总扭矩由两部分组成：其中之一 M1=GJT__ϑ 由扭转期间的剪应力产生，从而给出 St。 Venant\的理论，另一个_M2_由于截面弯曲而发生：
方程。 13
由于力矩 M 作为 x 的函数给出，因此该表达式表示扭转角 ϑ 的微分方程。求解该方程后，可以计算 M1 和 M2，从而计算出所有应力和应变。
解决方案及应用
当扭矩_M_一定时，方程(13)的通解为：
积分常数_C1、C2_ 必须由两个边界条件确定。
a) 刚性夹紧端 x=0 (图 1)
在这一端是_u_≡0，因此基于方程(1b)ϑ=0。如果杆很长 (αl>>1)，则 C1=0 和 C2= -M/GJT。对于短杆，由于截面弯曲而出现的应力受到杆右端状况的影响。如果在该位置不阻止截面弯曲，则会出现 σx≡0 和 dϑ/dx=0。从这里你得到
b) 根据图 2 的对称扭转载荷。 10
左半杆的扭矩为_-M_/2，右半杆的扭矩为+M/2。在自由扭转的情况下，杆中部左侧和右侧的部分将沿相反方向扭转，因此不会保持变形的连续性。因此，在 x=0 处，整个扭矩必须通过由于截面弯曲而产生的应力来传递，因此在该截面中 M1=0，因此 ϑ=0。此时，力系统起作用以确保该部分保持笔直，即使部分距离杆曲线中心较远。另外，如果要求杆端部的应力为 σx≡0，则为杆的每一半都获得一个边界条件，因此对于右半杆来说，它是
图。 10
c) 任意位置的外力矩M（图11）
这种情况下，杆的两部分的解_ϑ_必须分开写，所以总共出现了四个常数_C1、C2、C3、C4_。此外，扭矩_Ma、Mb_也是未知的。有六个方程可供使用：负载作用点上 ϑ（由 u 表示）和 dϑ/dx（由 σx 表示）的连续性条件、杆每一端的一个条件（例如刚性夹紧 ϑ=0，或不受干扰的弯曲，dϑ/dx=0）、力矩平衡条件 -Ma+Mb=M 最后是末端部分不相互转向的条件： ∫ ϑdx = 0.
SL。 11
最后说明： 扭转模型的选择取决于开放或封闭截面、细长度、支撑方法、力矩输入位置以及自由弯曲的可能性。对于真实的元件，必须检查承载和适用性极限状态、局部细节、接头、疲劳和稳定性，而不仅仅是文章中的一个孤立公式。