Contido experto arquivístico: o texto e as fórmulas transmiten unha presentación teórica histórica e non son un proxecto, cálculo estático, comprobación da capacidade de carga, avaliación dun elemento existente ou instrucións de construción ou rehabilitación. As designacións, as hipóteses e os patróns aproximados deben ser contrastados co sistema específico, o material, a xeometría, as condicións de contorno e as normas aplicables. O cálculo da torsión, estabilidade, fatiga, articulacións e tensión debido á flexión evitada debe ser feito por un enxeñeiro licenciado, con control independente cando sexa necesario.
Información relacionada: Fiestras de madeira feitas segundo o teu proxecto. · Fiestras de madeira e aluminio feitas por encargo. · Fiestras personalizadas para casas, proxectos e exportación. · Portas de madeira e madeira-aluminio feitas por encargo. · Enviar unha solicitude de cotización.
Teoría da torsión de Saint-Venant (torsión libre)
Ecuación diferencial
Sl.1
Fixe unha vara recta nun dos seus extremos x=0e déixao cargar no outro extremo cun momento de torsión M (fig.1). Despois cada unha das súas seccións xira un certo ángulo α(x) arredor dunha determinada liña paralela ao eixe do pau, que adoptaremos como eixe x. Se todas as seccións son iguais entre si, calquera liña recta paralela ao eixe x pasará a unha bobina e o ángulo α será proporcional á distancia desde o extremo fixo: α=ϑx, a partir do cal xorden os desprazamentos dos compoñentes no plano da sección (Fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
A cantidade ϑ chámase ángulo de torsión (dimensión: lonxitude-1, rotación por unidade de lonxitude). O ángulo de torsión é proporcional ao momento de torsión M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
O factor de proporcionalidade GJT, a rixidez torsional, é igual ao produto do módulo de corte G e o factor JT, que representa o efecto da forma e tamaño da sección.
Esta rotación da sección non é a única deformación da vara. Ademais, tamén hai flexión da sección transversal, é dicir, ao desprazamento u na dirección do eixe x, que ten a mesma magnitude para os puntos correspondentes de todas as seccións transversais e, polo tanto, só é unha función das coordenadas no plano da sección e, doutro xeito, é proporcional á carga M ou ao ángulo de torsión _ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Se as expresións anteriores se introducen nas correspondentes ecuacións de desprazamento, obtense que as principais tensións normais son iguais a cero, quedando só dúas tensións compoñentes τxy e τxz:
Un.3
A ecuación diferencial do problema de torsión obtense a partir das ecuacións (3) poñendo:
Un.4e eu4b
e resolvendo estas ecuacións diferenciais para as incógnitas τxy e τxz introducindo a función de tensión F(y,z) que:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Con isto, a ecuación (4a) idénticamente satisfeito, e a partir da ecuación (4b) obtense a ecuación diferencial requirida
d2F/día2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
A condición de contorno requirida para a solución única desta ecuación obtense a partir do requisito de que non existan esforzos cortantes na envolvente da varilla, polo que, debido á natureza conxugada dos esforzos cortantes, despréndese que o esforzo no plano de sección non debe ter unha compoñente perpendicular a el ao longo do contorno. A partir de aquí, a fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
polo tanto
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
é dicir, o diferencial total da función F debe ser cero, é dicir, debe ser F=const. ao longo do contorno.
Se a sección só ten un contorno, pódese simplemente poñer F= nela0, porque coa función de tensión, da que en realidade só nos interesan as derivadas, a constante aditiva arbitraria non xoga un papel. Para as seccións que teñen máis dun contorno, este problema é máis complexo.
Como se ve a partir da ecuación (5) a resultante dos esforzos cortantes τxy e τxz nun punto de intersección arbitrario é igual en magnitude ao gradiente da función de tensión F, pero é perpendicular a ela, é dicir, ten unha dirección tanxente á recta F=const.
Resolvendo a ecuación diferencial (6)) obtéñense as tensións τ como funcións de y, z e ϑ. A tarefa do cálculo é, por suposto, a determinación do ángulo de torsión ϑ e a tensión, especialmente a tensión máxima en función do momento torsional, polo tanto, a determinación da rixidez da sección JT a partir da ecuación (2) e o par de resistencia WT = Mmaxτ. Para obtelos, só é necesario expresar M en función de F:
Ambas as sumas desta integral, que deberían asumir toda a sección, pódense transformar por integración parcial. Se, por exemplo, o primeiro deles se integra primeiro pola liña z=const. dende o punto do contorno y=y1 ata o punto y=y2 (fig.3) e teña en conta que nestes dous puntos F=0, obtense
O mesmo valor obtense da segunda integral, de xeito que
Un.7
Sl.3
Outros casos de seccións completas
A ecuación diferencial (6) é a ecuación non homoxénea da teoría do potencial. Polo tanto, para a solución do problema da torsión no caso dunha sección transversal arbitraria, están dispoñibles os métodos da teoría do potencial, que permiten atopar sempre esta. Estes métodos, porén, son xeralmente demasiado complexos para ser aplicados a casos individuais que xorden na práctica. Polo tanto, a seguinte táboa mostra os resultados de tales cálculos para varias seccións.
Para seccións transversais próximas á circular, pódese poñer JT=F_4/40_Ip, onde F é a área e Ip é o momento polar de inercia da sección.
Nota sobre fórmulas e táboas: as expresións e os valores das imaxes dixitalizadas gárdanse como fonte histórica. O texto OCR, as marcas de índice e a dixitalización non son o suficientemente fiables para o cálculo. Antes do uso, cada fórmula, unidade, coeficiente e área de validez debe ser verificada nunha fonte profesional autorizada e estándar válido.
Analoxía coa membrana
A analoxía entre a función de tensión F do problema de torsión e a carga transversal de deflexión da membrana proporciona unha boa axuda para estimar os esforzos de torsión e, ao mesmo tempo, un procedemento para a súa determinación precisa. Que exista unha abertura media na parede plana dunha embarcación que coincida coa sección transversal dunha vara cargada en torsión. Cando a membrana se estira sobre esta abertura e se produce un pequeno exceso de presión p no vaso, a membrana sobrevólvese cara a fóra, polo que as súas deflexións ξ(y,z) satisfacen a ecuación diferencial.
onde N é a tensión superficial na membrana provocada polas forzas capilares (dimensións: forza por unidade de lonxitude). Esta ecuación coincide coa ecuación (6), e a condición de contorno ξ=0é o mesmo que a da función de tensión. Deste xeito, a función de tensión F(y,z) pódese obter utilizando este espello coa membrana e resolver así o problema de torsión. O esforzo τ corresponde á pendente da membrana en relación co plano y-z-, polo que o lugar máis empinado é aquel onde a barra exposta á torsión ten o maior esforzo cortante.
Sl.4
Sl.5
Este procedemento de membrana é especialmente axeitado para obter patróns aproximados para seccións de paredes finas. Cando, por exemplo, a sección I está dividida segundo a fig.4en tres rectángulos e para cada un deles a analoxía coa membrana realízase por separado, a suma dos volumes dos salientes resultantes será só lixeiramente menor que o volume que realmente corresponde á función de tensión. Polo tanto, cando os espesores son b1 e b2 pequeno, aproximadamente
JT =2JT1+ JT2,
onde JT1 e JT2 Factores de rixidez de rectángulos individuais que se poden calcular a partir da táboa1. Un mellor achegamento obtense cando se coloca JT para a costela2 = a2b32/3, polo tanto, cando a costela se considera parte dun rectángulo moi alongado. Obtense un valor aínda máis preciso segundo Trayer e March\ de
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
onde D é o diámetro do círculo máis grande inscrito como se mostra na fig.4, e α pódese tomar da fig.5. Para a sección en T obtense de forma similar
JT = JT1+ JT2+ α D4,
onde JT2 metade do valor calculado segundo a táboa1para a=2_a2_, b=b2. Para seccións en L (Fig.6) é semellante a iso
JT = JT1+ JT2+ β D4
onde JT1 para o brazo máis groso tómase directamente da mesa1, mentres que JT2 para a perna máis delgada calcúlase como para a sección en T, e β tómase da fig.7.
Fig. 6
Sl.7
Ao calcular a tensión, o momento torsional divídese en rectángulos constituíntes: a parte que cae sobre as alas M1=M JT2/JT; a tensión cortante calcúlase entón no punto medio do lado máis longo de cada rectángulo baseándose na táboa1. O maior destes esforzos non ten por que ser o maior esforzo cortante que aparece na sección. É dicir, se o ángulo de incidencia non se arredonda, obtense τ=∞ nese lugar, de xeito que para un raio de redondeo moi pequeno, pódese esperar aquí o esforzo cortante máis alto.
Nota de enxeñería: a singularidade matemática do ángulo agudo idealizado non é unha licenza para estimar o detalle real só con este patrón aproximado. A xeometría de redondeo real, as tolerancias, a plasticidade, as soldaduras, as tensións residuais, a estabilidade local e a fatiga requiren un modelado adecuado e unha verificación experta.
Para un ángulo unilateral cuxo espesor do lado é t segundo Trefftz\ está no redondeo do diámetro r:
onde con τ0 a tensión máxima marcada calculada para cada tramo individual segundo o procedemento descrito aquí. Para raios de redondeo maiores, pódese adoptar τ=2__τ0.
Tubos de parede fina (patróns Bradt)
Nos tubos de paredes finas, a membrana abombada ten a forma mostrada na fig.8, que consta dun plano sobre o oco do interior da tubaxe e dunha superficie inclinada que o rodea e sitúase por riba da sección efectiva da parede da tubaxe; esta superficie inclinada debe ser máis inclinada se as paredes dos tubos son máis finas no lugar axeitado. Neste caso, os esforzos cortantes distribúense de forma bastante uniforme sobre o espesor das paredes e son inversamente proporcionais ao grosor das paredes, é dicir, a forza cortante T = τt non cambia ao longo da circunferencia da sección.
Sl. 8
O elemento superficial t_∙ds_ recibe parte do momento torsional
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
polo que o momento total é
Un.8
onde a superficie FR está cuberta pola liña media marcada por liñas e puntos na fig.8. Obtense de aquí
Un.9- O primeiro patrón Bredt\
A rixidez torsional obtense de forma máis sinxela cando o traballo de deformación se expresa por unha banda mediante o momento torsional e o ángulo de torsión e, por outra banda, mediante esforzos cortantes. Deste xeito, obtense para un elemento de varilla de lonxitude l
entón, introducindo o valor de τ segundo a ecuación (8),
é dicir, en comparación coa ecuación (2):
Un.10
Se o grosor das paredes é o mesmo arredor, entón é sinxelo (2. Patrón de Bredt):
Un.11
Esforzos normais en torsión debido á flexión da sección
Termos básicos e ecuación diferencial
Desprazamento dos compoñentes u, ecuación (1b), determina a curvatura das seccións a partir dos seus planos. Cando o momento de torsión é constante, esta flexión é a mesma en todas as seccións e non aparecen esforzos normais σx.
En moitos casos, a curvatura da sección transversal, que debería xurdir en base a _St. A teoría de Venant non é posible. Se o momento torsional cambia bruscamente nunha sección transversal, produciríanse flexións de diferentes magnitudes a ambos os dous lados da sección transversal e perturbaríase a continuidade da deformación. Un extremo da varilla pódese suxeitar de tal xeito que o dobrado da sección estea completamente excluído nese punto. Nestes casos, deberíase facer unha emenda _St. Teorías de Venant. Na barra aparecen esforzos suplementarios σx na dirección do eixe da barra e forza cortante suplementaria T (esforzos cortantes T/t), que son os máis elevados no tramo onde se rompe a continuidade da deformación e que diminúen exponencialmente coa distancia deste tramo. No caso das varillas e tubos sólidos, esta teoría é complexa, e as tensións suplementarias diminúen tan rapidamente que a súa determinación non paga a pena na maioría dos casos. Para as varillas de perfil aberto de paredes delgadas, esta corrección é de gran importancia e pódese calcular con relativa facilidade.
Sl.9
Sl.9mostra a liña ao longo da cal se cruzan a superficie media do muro e o plano de sección (a liña media da sección). O é o centro de rotación relativa de dúas seccións adxacentes. Se a súa distancia é dx, o ángulo de torsión é ϑ dx, polo que un punto arbitrario da liña media sofre un desprazamento u ϑ dx. Este desprazamento ten unha compoñente rt ϑ dx na dirección tanxente á sección, e é o deslizamento do elemento da superficie media do muro (tendo en conta que _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Dado que o esforzo cortante na superficie media da parede é cero, tamén debe ser γ=0, entón por iso
Este patrón contén tres parámetros arbitrarios: a orixe a partir da cal se calcula a lonxitude do arco s e as coordenadas do centro de rotación relativa O, das que depende rt. O punto de partida a partir do cal se calcula a lonxitude do arco s pódese escoller para que o valor medio da curvatura sexa cero:
e as coordenadas do centro O poden determinarse de tal xeito que os momentos debidos á flexión da sección sexan nulos:
Pódese demostrar que o centro de rotación así determinado coincide co centro de corte que é aquí descrito e definido doutro xeito.
Se se evita total ou parcialmente a flexión da sección descrita por estes patróns, deben aparecer esforzos normais σx na dirección do eixe da barra. Un exame máis detallado mostra que estes esforzos poden considerarse proporcionais á función de curvatura φ: σx=k__φ, onde φ depende só de s e k só de x. Segundo a lei de Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
debe ser k=E d__ϑ/dx. Os esforzos normais σx chámanse esforzos de flexión de sección. Considerando as ecuacións anteriores, forman un sistema de equilibrio de forzas en cada sección, un sistema de forzas debido á flexión da sección.
O par total consta de dúas partes: unha delas M1=GJT__ϑ xorde debido a esforzos cortantes de torsión dados por St. a teoría de Venant, e a outra M2 prodúcese por flexión da sección:
Un.13
Dado que o momento M está dado como función de x, esta expresión representa unha ecuación diferencial para o ángulo de torsión ϑ. Unha vez resolta esta ecuación, pódese calcular M1 e M2, e así todas as tensións e deformacións.
Solución e aplicacións
Cando o momento de torsión M é constante, a solución xeral da ecuación (13) é:
Constantes de integración C1, C2 debe determinarse a partir de dúas condicións de contorno.
a) Extremo ríxidamente suxeito x=0(fig.1)
Neste extremo é u≡0, polo que baseándose na ecuación (1b) ϑ=0. Se a vara é moi longa (αl>>1), entón C1=0e C2= -M/GJT. No caso de varas curtas, a aparición de tensión debido á flexión da sección vese afectada pola condición no extremo dereito da vara. Se non se impide a curvatura da sección nese lugar, haberá σx≡0e dϑ/dx=0. Obtense de aquí
b) Carga de torsión simétrica segundo a fig.10
Na metade esquerda da varilla, o momento torsional é -M/2, e á dereita +M/2. No caso de torsión libre, os tramos á esquerda e á dereita do medio da vara torceríanse en sentido contrario, polo que non se conservaría a continuidade da deformación. Polo tanto, no lugar x=0todo o momento torsional debe ser transferido a través dos esforzos que se producen debido á flexión da sección transversal, e polo tanto nesta sección transversal M1=0e polo tanto ϑ=0. Neste punto, un sistema de forzas actúa para garantir que a sección permaneza recta, aínda que se curven as seccións que se atopan máis afastadas do centro da vara. Se, ademais, é necesario que os extremos da vara teñan esforzos σx≡0, obtense unha condición límite máis por cada metade da vara, polo que é para a metade dereita
Fig. 10
c) Momento externo M nun lugar arbitrario (fig.11)
Neste caso, a solución ϑ para ambas partes da vara debe escribirse por separado, polo que aparecen un total de catro constantes C1, C2, C3, C4. Ademais, tamén se descoñecen os momentos de torsión Ma, Mb. Hai seis ecuacións dispoñibles: unha condición de continuidade para ϑ (expresada por u) e para dϑ/dx (expresada por σx) no punto de carga, unha condición en cada extremo da varilla (por exemplo, suxeición ríxida ϑ=0, ou flexión non perturbada, dϑ/dx=0), a condición de equilibrio por momentos -Ma+Mb=M e finalmente a condición de que os tramos extremos non xiren entre si: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Nota final: a elección do modelo de torsión depende da sección aberta ou pechada, da esbeltez, do método de apoio, do lugar de entrada do momento e da posibilidade de flexión libre. Para un elemento real, débense comprobar os estados límite de carga e utilidade, detalles locais, xuntas, fatiga e estabilidade, non só unha fórmula illada do artigo.