Inhalter vum Archivexpert: den Text an d’Formelen vermëttelen eng historesch theoretesch Presentatioun a si kee Projet, statesch Berechnung, Iwwerpréiwung vun der Laaschtkapazitéit, Bewäertung vun engem existente Element oder Instruktioune fir Bau oder Rehabilitatioun. Bezeechnungen, Viraussetzungen an ongeféier Mustere musse géint de spezifesche System, Material, Geometrie, Grenzbedéngungen an applicabel Normen iwwerpréift ginn. Berechnung vun Torsioun, Stabilitéit, Middegkeet, Gelenker a Stress wéinst verhënnert Béie soll vun engem lizenzéierte Ingenieur gemaach ginn, mat onofhängeg Kontroll wann néideg.
Haut konzentréiert de Savo Kusić sech op Holzfenster, Holz-Aluminiumfenster, personaliséiert Fënsteren, Dier an Demande fir Zitat. Dësen Artikel bleift als historescht professionnellt Archiv a representéiert net e strukturellen Designservice.
Saint-Venant Theorie vun Torsioun (fräi Torsioun)
Differentialgleichung
Sl.1
Loosst eng riicht Staang op ee vun hiren Enden fixéieren x=0a loosst et um aneren Enn mat engem Torsiounsmoment M (Fig.1). Dann rotéiert all seng Sektiounen duerch e bestëmmte Wénkel α(x) ëm eng gewësse Linn parallel zu der Achs vum Bengel, déi mir als x-Achs adoptéieren. Wann all Ofschnëtter matenee gläich sinn, wäert all riichter Linn parallel zu der x-Achs an eng Spule passéieren, an de Wénkel α wäert proportional zu der Distanz vum fixen Enn sinn: α=ϑx, aus deem d’Komponentenverschiebungen am Fliger vun der Sektioun entstinn (Fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
D’Quantitéit ϑ gëtt den Torsiounswinkel genannt (Dimensioun: Längt-1, Rotatioun pro Unitéit Längt). Den Torsiounswinkel ass proportional zum Torsiounsmoment M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl.2
De Proportionalitéitsfaktor GJT, d’Torsiounssteifheet, ass gläich mam Produkt vum Schéiermodul G an dem Faktor JT, deen den Effekt vun der Form a Gréisst vun der Sektioun duerstellt.
Dës Rotatioun vun der Sektioun ass net déi eenzeg Deformatioun vun der Staang. Donieft gëtt et och Béie vum Querschnitt, also zur Verrécklung u a Richtung x-Achs, déi fir déi entspriechend Punkte vun alle Querschnëtter déiselwecht Gréisst huet an dofir nëmmen eng Funktioun vun de Koordinaten am Schnëttplang ass, an soss proportional zu der Belaaschtung M oder der _Torsioun ass:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Wann déi uewe genannte Ausdréck an déi entspriechend Verschiebungsgleichungen agefouert ginn, gëtt et kritt datt d’Haaptnormalspannunge gläich Null sinn, wat nëmmen zwee Komponentspannungen τxy an τxz hannerloosst:
Eent.3
D’Differentialgleichung vum Torsiounsproblem gëtt op Basis vun den Equatiounen kritt (3) setzen:
Eent.4an ech4b
an dës Differentialgleichunge fir déi Onbekannten τxy an τxz ze léisen andeems d’Stressfunktioun F(y,z) agefouert gëtt, déi:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Dëst entsprécht der Equatioun (4a) identesch, an déi erfuerderlech Differentialgleichung
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
D’Grenzbedingung, déi fir déi eenzegaarteg Léisung vun dëser Equatioun erfuerderlech ass, gëtt aus der Fuerderung kritt datt et keng Schéierspannungen op der Staangenveloppe gëtt, aus deem, wéinst der konjugéierter Natur vun de Schéierspannungen, et folgt datt de Stress an der Querschnittsfläch net e Bestanddeel senkrecht dozou laanscht d’Kontur hunn. Vun hei aus, Fig. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
dofir
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ie. den Total Differential vun der Funktioun F muss null sinn, dat heescht, et muss F=const. laanscht d’Kontur.
Wann d’Sektioun nëmmen eng Kontur huet, kann se einfach F=0 drop gesat ginn, well mat der Spannungsfunktioun, vun där mir eigentlech nëmmen un Derivate interesséiert sinn, spillt eng arbiträr Additivkonstant keng Roll. Mat Sektiounen déi méi wéi eng Kontur hunn, ass dës Fro méi komplex.
Wéi aus der Equatioun (5) ka gesi ginn, ass d’Resultat vun de Schéierspannungen τxy an τxz bei engem arbiträren Schnëttpunkt gläich an der Gréisst zum Gradient vun der Spannungsfunktioun F, awer ass senkrecht doropshin, d.h. F=const.
Duerch d’Léisung vun der Differentialgleichung (6)) ginn d’Spannungen τ als Funktioune vun y, z an ϑ kritt. D’Aufgab vun der Berechnung ass natierlech d’Bestëmmung vum Torsiounswinkel ϑ an de Spannung, besonnesch de Maximumspannung als Funktioun vum Torsiounsmoment, dofir d’Bestëmmung vun der Steifheit vum Sektioun JT aus der Equatioun (2) an d’Resistenzmoment WT = Mmaxτ. Fir dës ze kréien, ass et nëmmen néideg fir M als Funktioun vun F auszedrécken:
Béid Summatioune vun dësem Integral, deen iwwer de ganze Sektioun sollt iwwerholl ginn, kënnen duerch partiell Integratioun transforméiert ginn. Wann zum Beispill déi éischt vun hinnen als éischt laanscht d’Linn z=const. vum Punkt op der Kontur y=y1 zum Punkt y=y2 (Abb.3) a berücksichtegt datt an deenen zwee Punkten F=0, kritt
Dee selwechte Wäert gëtt aus dem zweeten Integral kritt, sou datt
Eent.7
Sl.3
Aner Fäll vu voller Sektiounen
Differentialgleichung (6) ass déi inhomogen Equatioun vun der Potenzialtheorie. Dofir, fir d’Léisung vum Torsiounsproblem am Fall vun engem arbiträren Querschnitt, sinn d’Methoden vun der Potenzialtheorie verfügbar, déi et erméiglecht et ëmmer ze fannen. Dës Methoden sinn awer allgemeng ze komplex fir op eenzel Fäll applizéiert ze ginn, déi an der Praxis entstinn. Dofir weist déi folgend Tabell d’Resultater vun esou Berechnungen fir verschidde Sektiounen.
Fir Querschnëtter no bei kreesfërmeg, kann JT=F gesat ginn4/40_Ip_, wou F d’Gebitt ass an Ip de polare Inertiamoment vun der Sektioun ass.
** Notiz iwwer Formelen an Tabellen: ** Ausdréck a Wäerter a gescannte Biller ginn als historesch Quell gespäichert. OCR Text, Indexmarken a Scan sinn net zouverlässeg genuch fir d’Berechnung. Virun der Benotzung soll all Formel, Eenheet, Koeffizient a Validitéitsberäich an enger autoritärer professioneller Quell a gültege Standard gepréift ginn.
Analogie mat der Membran
Eng gutt Hëllef fir Torsiounsspannungen ze schätzen, a gläichzäiteg eng Prozedur fir hir genee Bestëmmung gëtt duerch d’Analogie tëscht der Spannungsfunktioun F vum Torsiounsproblem an der Oflehnung transversal Belaaschtung vun der Membran geliwwert. Loosst et eng duerchschnëttlech Ouverture op der flächeger Mauer vun engem Schiff sinn, deen mat dem Querschnitt vun enger Staang fällt, déi an der Torsioun gelueden ass. Wann d’Membran iwwer dës Ouverture gestreckt gëtt an e klengen Iwwerdrock p am Gefäss verursaacht gëtt, bulgt d’Membran no baussen, sou datt seng Oflenkungen ξ(y,z) der Differentialgleichung erfëllen
wou N d’Uewerflächespannung an der Membran ass, déi duerch Kapillarkräften verursaacht gëtt (Dimensiounen: Kraaft pro Längt-Eenheet). Dës Equatioun entsprécht der Equatioun (6), an d’Grenzkonditioun ξ=0ass d’selwecht wéi déi vun der Spannungsfunktioun. Op dës Manéier kann d’Spannungsfunktioun F(y,z) mat dësem Spigel mat der Membran kritt ginn an domat de Torsiounsproblem léisen. De Spannung τ entsprécht dem Hang vun der Membran par rapport zum y-z-Fläch, sou datt déi steilste Plaz déi ass, wou d’Staang, déi dem Torsioun ausgesat ass, den héchste Schéierspannung huet.
Sl.4
Sl.5
Dës Membranprozedur ass besonnesch gëeegent fir ongeféier Mustere fir dënnwandeg Sektiounen ze kréien. Wann zum Beispill den I-Sektioun no Fig.4op dräi Rechtecker a fir jidderee vun hinnen gëtt d’Analogie mat der Membran getrennt duerchgefouert, d’Zomm vun de Volumen vun de resultéierende Protrusiounen wäert nëmme liicht méi kleng sinn wéi de Volume deen tatsächlech mat der Spannungsfunktioun entsprécht. Dofir, wann d’Dicke _b sinn1_an b2 kleng, ongeféier
JT =2JT1+ JT2,
wou JT1 an JT2 Steifheitsfaktoren vun eenzelne Rechtecker déi op der Tabell berechent kënne ginn1. Eng besser Approche gëtt kritt wann JT fir d’Ripp gesat gëtt2 = a2b32/3 also, wann d’Ripp als Deel vun engem ganz verlängerten Rechteck ugesi gëtt. En nach méi genee Wäert kritt no Trayer an March\ vun
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,_
wou D den Duerchmiesser vum gréisste Krees ass ageschriwwen wéi an der Fig.4, an α kann aus Fig.5. Fir den T-Sektioun gëtt et ähnlech kritt
JT = JT1+ JT2+ α D4,
wou JT2 d’Halschent vum Wäert berechent no der Tabell1fir a=2_a2_, b=b2. Fir L-Sektiounen (Fig.6) ass ähnlech wéi dat
JT = JT1+ JT2+ β D4
wou JT1 fir den décke Aarm gëtt direkt vum Dësch geholl1, während JT2 fir de méi dënnen Been gëtt berechent wéi fir den T-Sektioun, an β gëtt aus Fig.7.
Abb. 6
Sl.7
Beim Berechnung vum Spannung gëtt den Torsiounsmoment an konstituéierende Rechtecker opgedeelt: den Deel deen op d’Flanges fält M1=M JT2/JT; de Schéierspannung gëtt dann um Mëttelpunkt vun der méi laanger Säit vun all Rechteck op Basis vun der Tabell berechent1. De gréisste vun dëse Spannungen muss net de gréisste Schéierspannung sinn, deen an der Sektioun optrieden. Wann nämlech den Inzidenzwénkel net ofgeronnt ass, gëtt op där Plaz τ=∞ kritt, sou datt fir e ganz klenge Rondingsradius deen héchste Schéierspannung hei erwaart gëtt.
Engineering Notiz: déi mathematesch Singularitéit vum idealiséierte spitzen Wénkel ass keng Lizenz fir den aktuellen Detail duerch dëst ongeféier Muster eleng ze schätzen. Déi tatsächlech Ronngeometrie, Toleranzen, Plastizitéit, Schweißen, Reschtspannungen, lokal Stabilitéit a Middegkeet erfuerderen eng adequat Modelléierung an Expertverifizéierung.
Fir e eensäitege Wénkel, deem seng Säitdicke t no Trefftz\ ass op der Ronn vum Duerchmiesser r:
wou mat τ0 markéiert maximal Volt berechent fir all eenzelne Been baséiert op der Prozedur hei beschriwwen. Fir gréissere Ronnradië kann τ= ugeholl ginn2__τ0.
Dënnwandige Pipes (Bradt Muster)
Bei dënnwandleche Päifen huet d’bulging Membran d’Form an der Fig.8, déi aus engem Fliger iwwer dem Huelraum an der Päif besteet an enger schréiegt Uewerfläch, déi et ëmginn an iwwer dem effektive Sektioun vun der Päifmauer läit; dës Schréiegt Uewerfläch muss méi steil sinn, wann d’Päifmaueren op der entspriechender Plaz méi dënn sinn. An dësem Fall sinn d’Schéierspannungen zimlech gläichméisseg iwwer d’Dicke vun de Maueren verdeelt a sinn ëmgekéiert proportional zu der Dicke vun de Maueren, dh Schéierkraaft T = τt ännert sech net laanscht den Ëmfang vun der Sektioun.
Sl. 8
D’Uewerflächelement t_∙ds_ kritt en Deel vum Torsiounsmoment
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
also de Gesamtmoment ass
Eent.8
wou d’FR Uewerfläch duerch d’Mëttlinn bedeckt ass mat Linnen a Punkten an der Fig.8. Et gëtt vun hei kritt
Eent.9- Déi éischt Bredt\ Muster
Torsiounssteifheit gëtt am einfachsten kritt, wann d’Verformungsaarbecht engersäits duerch Torsiounsmoment an Torsiounswénkel ausgedréckt gëtt an op der anerer Säit duerch Schéierspannungen. Op dës Manéier gëtt et fir e Staangelement vun der Längt l kritt
also, agefouert de Wäert fir τ no der Equatioun (8),
dat ass, am Verglach mat der Equatioun (2):
Eent.10
Wann d’Dicke vun de Mauere ronderëm d’selwecht ass, dann ass et einfach (2. Bredt’s Muster):
Eent.11
Normale Spannungen am Torsioun wéinst Sektiounsbéi
Basis Begrëffer an Differentialgleichung
Komponent Verschiebungen u, Equatioun (1b), bestëmmt d’Krümmung vun de Sektiounen aus hire Fligeren. Wann de Torsiounsmoment konstant ass, ass dës Béi an alle Sektiounen d’selwecht an normal Spannungen σx erschéngen net.
A ville Fäll ass d’Krümmung vum Querschnitt, déi op der Basis vun _St. Dem Venant seng Theorie ass net méiglech. Wann de Torsiounsmoment an engem Querschnitt abrupt ännert, da géif op béide Säite vum Querschnitt Béie vu verschiddene Gréissten optrieden, an d’Kontinuitéit vun der Verformung géif gestéiert ginn. Een Enn vun der Staang kann esou ageklemmt ginn, datt d’Biege vun der Sektioun op deem Punkt komplett ausgeschloss ass. An esou Fäll soll eng Ännerung gemaach ginn _St. Venants Theorien. Ergänzungsspannungen σx a Richtung vun der Achs vun der Staang an zousätzlech Schéierkraaft T (Schéierspannungen T/t) erschéngen an der Staang, déi am héchste sinn an der Sektioun wou d’Kontinuitéit vun der Verformung gebrach ass an déi exponentiell mat der Distanz vun dëser Sektioun erofgoen. Am Fall vu festen Staangen a Réier ass dës Theorie komplex, an d’Ergänzungsspannungen falen sou séier datt hir Determinatioun an de meeschte Fäll net wäert ass. Fir dënnwandeg Open-Profil Staang ass dës Korrektur vu grousser Wichtegkeet a kann relativ einfach berechent ginn.
Sl.9
Sl.9weist d’Linn laanscht déi d’Mëttfläch vun der Mauer an d’Sektiounsfläche kräizen (d’Mëttlinn vun der Sektioun). O ass den Zentrum vun der relativer Rotatioun vun zwee ugrenzend Sektiounen. Wann hir Distanz dx ass, ass den Torsiounswénkel ϑ dx, sou datt en arbiträre Punkt vun der Mëttellinn eng Verréckelung u ϑ dx mécht. Dës Verschiebung huet e Bestanddeel rt ϑ dx an der Richtung Tangent zu der Sektioun, an ass de Rutsch vum Element vun der Mëtt Uewerfläch vun der Mauer (berécksiichtegt datt _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Well de Schéierspannung an der Mëttfläch vun der Mauer null ass, muss et och γ= sinn0, also dofir
Dëst Muster enthält dräi arbiträr Parameteren: den Urspronk vun deem d’Boulängt s berechent gëtt an d’Koordinate vum Zentrum vun der relativer Rotatioun O, op deem rt hänkt. Den Ausgangspunkt, aus deem d’Boulängt s berechent gëtt, ka gewielt ginn sou datt de mëttlere Krümmungswäert null ass:
an d’Koordinate vum Zentrum O kënnen esou festgeluecht ginn datt d’Momenter wéinst der Béie vun der Sektioun null sinn:
Et kann ugewise ginn datt den Rotatiounszentrum esou bestëmmt gläichzäiteg mam Schéierzentrum deen hei op eng aner Manéier beschriwwen an definéiert.
Wann d’Béie vun der Sektioun, déi vun dëse Mustere beschriwwe gëtt, komplett oder deelweis verhënnert gëtt, mussen normal Spannungen σx an der Richtung vun der Achs vun der Staang erscheinen. Méi genau Untersuchung weist datt dës Spannungen proportional zu der Krümmungsfunktioun φ: σx=k__φ geholl kënne ginn, wou φ nëmmen vun s an k nëmmen vun x ofhänkt. Geméiss dem Hooke säi Gesetz:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
muss k=E d__ϑ/dx sinn. Normal Spannungen σx ginn Sektiounsbéispannungen genannt. Wann Dir d’Equatiounen hei uewen berécksiichtegt, bilden se e Gläichgewiichtsystem vu Kräfte an all Sektioun, e System vu Kräfte wéinst der Béi vun der Sektioun.
De Gesamtmoment besteet aus zwee Deeler: ee vun hinnen M1=GJT__ϑ entsteet wéinst Torsiounsschéierspannungen, déi vum St. Venant's Theorie, an déi aner M2 geschitt wéinst Béie vun der Sektioun:
Eent.13
Zënter dem Moment M gëtt als Funktioun vun x uginn, duerstellt dësen Ausdrock eng Differentialgleichung fir den Torsiounswénkel ϑ. Wann dës Equatioun geléist ass, kann M berechent ginn1 an M2, an domat all Spannungen a Spannungen.
Léisung an Uwendungen
Wann den Torsiounsmoment M konstant ass, ass d’allgemeng Léisung vun der Equatioun (13) ass:
Integratiounskonstanten C1, C2 muss aus zwee Grenzbedéngungen bestëmmt ginn.
a) Steif ageklemmt Enn x=0(Fig.1)
Zu dësem Enn ass u≡0, also baséiert op der Equatioun (1b) ϑ=0. Wann d’Staang ganz laang ass (αl>>1), dann C1=0an C2= -M/GJT. Am Fall vu kuerze Stäben ass d’Erscheinung vu Stress wéinst Béie vun der Sektioun vun der Bedingung am richtege Enn vun der Staang beaflosst. Wann de Béie vun der Sektioun net op där Plaz verhënnert gëtt, gëtt et σx≡0an dϑ/dx=0. Et gëtt vun hei kritt
b) Symmetresch Torsiounslaascht no Fig.10
Op der lénker Halschent vun der Staang ass den Torsiounsmoment -M/2, an op der rietser Säit +M/2. Am Fall vu fräier Torsioun wäerten d’Sektiounen lénks a riets vun der Mëtt vun der Staang an der entgéintgesate Richtung verdreift ginn, dofir wier d’Kontinuitéit vun der Verformung net bewahrt. Dofir, op der Plaz x=0de ganze Torsiounsmoment muss duerch d’Spannungen iwwerdroe ginn, déi duerch d’Biege vum Querschnitt optrieden, an dofir an dësem Querschnitt M1=0an dofir ϑ=0. Op dësem Punkt wierkt e System vu Kräfte fir sécherzestellen datt d’Sektioun riicht bleift, obwuel Sektiounen déi méi wäit vum Zentrum vun der Staangkurve leien. Wann et zousätzlech erfuerderlech ass datt d’Enn vun der Staang Spannungen σx≡ hunn0, eng méi Grenzbedéngung gëtt fir all Halschent vun der Staang kritt, also ass et fir déi richteg Halschent
Abb. 10
c) Extern Moment M op enger arbiträrer Plaz (Fig.11)
An dësem Fall muss d’Léisung ϑ fir béid Deeler vun der Staang separat geschriwwe ginn, sou datt insgesamt véier Konstanten C erscheinen1, C2, C3, C4. Zousätzlech sinn d’Torsiounsmomenter Ma, Mb och onbekannt. Sechs Equatioune sinn verfügbar: e Kontinuitéitsbedéngung fir ϑ (ausgedréckt duerch u) a fir dϑ/dx (ausgedréckt duerch σx) um Laaschtpunkt, eng Conditioun op all Enn vun der Staang (z.0, oder ongestéiert Béie, dϑ/dx=0), den Zoustand vum Gläichgewiicht duerch Momenter -Ma+Mb=M a schliisslech d’Konditioun datt d’Endsektiounen net matenee rotéieren: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
** Endlech Notiz:** d’Wiel vum Torsiounsmodell hänkt vun der oppener oder zouener Sektioun of, Schlankheet, Ënnerstëtzungsmethod, Plaz vum Momentinput an der Méiglechkeet vu fräiem Béi. Fir e richtegt Element mussen d’Laascht- an d’Servicebarkeetsgrenzen, lokal Detailer, Gelenker, Middegkeet a Stabilitéit gepréift ginn, net nëmmen eng isoléiert Formel vum Artikel.