Архівний експертний вміст: текст і формули передають історичний теоретичний погляд і не є проектом, статичним розрахунком, перевіркою несучої здатності, оцінкою існуючого елемента або інструкціями щодо будівництва чи відновлення. Позначення, припущення та приблизні шаблони повинні бути перевірені на відповідність конкретної системи, матеріалу, геометрії, граничних умов і застосовних стандартів. Розрахунок кручення, стійкості, втоми, з’єднань і напруги внаслідок запобігання вигину повинен виконувати уповноважений інженер із незалежним контролем, якщо це необхідно.
Savo Kusić сьогодні зосереджується на дерев’яних вікнах, дерево-алюмінієвих вікнах, вікнах на замовлення, дверях та запитах на пропозиції. Ця стаття залишається історичним професійним архівом і не є послугою проектування будівництва.
Теорія кручення Сен-Венана (вільне кручення)
Диференціальне рівняння
Мал. 1
Нехай прямий стержень закріплений на одному зі своїх кінців x=0, а на іншому кінці він навантажений крутильним моментом M (рис. 1). Тоді кожна його ділянка повертається на певний кут α(x) навколо певної прямої, паралельної осі палиці, яку ми приймемо за вісь x. Якщо всі перерізи рівні між собою, то будь-яка пряма, паралельна осі х, переходитиме в котушку, а кут α буде пропорційний відстані від закріпленого кінця: α=ϑx, звідки виникають переміщення складових у площині перерізу (рис. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Величина ϑ називається торсійним кутом (розмір: довжина-1, поворот на одиницю довжини). Кут кручення пропорційний моменту кручення M:
ϑ = M/GJT. (2)
Мал. 2
Коефіцієнт пропорційності GJT, жорсткість на кручення, дорівнює добутку модуля зсуву G і коефіцієнта JT, який представляє вплив форми та розміру перерізу.
Це обертання секції не є єдиною деформацією стрижня. Крім того, існує також вигин поперечного перерізу, тобто до переміщення u в напрямку осі x, яке має однакову величину для відповідних точок усіх поперечних перерізів і, отже, є лише функцією координат у площині перерізу, а в інших випадках пропорційно навантаженню M або куту кручення ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Якщо наведені вище вирази ввести у відповідні рівняння переміщення, буде отримано, що головні нормальні напруги дорівнюють нулю, залишаючи лише дві складові напруги τxy і τxz:
Eq. 3
Диференціальне рівняння задачі кручення отримано на основі рівнянь (3), поклавши:
Од. 4a та 4b
і розв’язання цих диференціальних рівнянь для невідомих τxy і τxz шляхом введення функції напруги F(y,z), що:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Це тотожним чином задовольняє рівняння (4a), а шукане диференціальне рівняння
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Гранична умова, необхідна для єдиного розв’язку цього рівняння, виходить із вимоги відсутності напружень зсуву на огинаючій частині стрижня, з чого, через спряжену природу напружень зсуву, випливає, що напруга в площині поперечного перерізу не повинна мати компоненту, перпендикулярну до неї вздовж контуру. Звідси рис. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
отже
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ie. повний диференціал функції F повинен дорівнювати нулю, тобто він повинен бути F=const. по контуру.
Якщо перетин має лише один контур, на ньому можна просто поставити F=0, оскільки для функції напруги, від якої нас насправді цікавлять лише похідні, довільна адитивна константа не грає ролі. З розділами, які мають більше ніж один контур, це питання складніше.
Як видно з рівняння (5), результуюча напружень зсуву τxy і τxz у довільній точці перетину дорівнює за величиною градієнту функції напружень F, але перпендикулярна до нього, тобто має напрямок дотичної до лінії F=const.
Рішення диференціального рівняння (6) дає напруги τ як функції y, z та ϑ. Завданням розрахунку є, звичайно, визначення кута кручення ϑ і напруги, особливо максимального напруження як функції крутильного моменту, отже, визначення жорсткості перерізу JT з рівняння (2) та опору крутильного моменту WT = Mmaxτ. Щоб отримати їх, необхідно лише виразити M як функцію F:
Обидва додавання цього інтеграла, які слід взяти по всьому розділу, можна перетворити частковим інтегруванням. Якщо, наприклад, перший з них інтегрується спочатку по лінії z=const. від точки на контурі y=y1 до точки y=y2 (рис. 3) і враховуючи, що в обох цих точках F=0, отримуємо
Те саме значення отримуємо з другого інтеграла, так що
Eq. 7
Мал. 3
Інші випадки повних розділів
Диференціальне рівняння (6) є неоднорідним рівнянням теорії потенціалу. Отже, для розв’язування задачі про кручення у випадку довільного перерізу доступні методи теорії потенціалу, які дозволяють завжди його знайти. Однак ці методи, як правило, надто складні, щоб застосовувати їх до окремих випадків, які виникають на практиці. Тому в наступній таблиці наведені результати таких розрахунків для кількох розділів.
Для поперечних перерізів, близьких до круглих, можна поставити JT=F_4/40_Ip, де F — площа, а Ip — полярний момент інерції перетину.
Примітка щодо формул і таблиць: вирази та значення в сканованих зображеннях зберігаються як історичне джерело. OCR-текст, індексні позначки та сканування недостатньо надійні для розрахунку. Перед використанням кожна формула, одиниця, коефіцієнт і область дії повинні бути перевірені в авторитетному професійному джерелі та чинному стандарті.
Аналогія з мембраною
Хорошу допомогу для оцінки напружень кручення і водночас процедуру їх точного визначення забезпечує аналогія між функцією напружень F задачі кручення та поперечним навантаженням мембрани на прогин. Нехай на плоскій стінці посудини є середній отвір, що збігається з поперечним перерізом стержня, навантаженого на кручення. Коли мембрана натягується на цей отвір і в посудині створюється невеликий надлишковий тиск p, мембрана випирає назовні, так що її відхилення ξ(y,z) задовольняють диференціальне рівняння
де N поверхневий натяг мембрани, спричинений капілярними силами (розміри: сила на одиницю довжини). Це рівняння збігається з рівнянням (6), а гранична умова ξ=0 така ж, як і для функції напруги. Таким чином, функція напруги F(y,z) може бути отримана за допомогою цього дзеркала з мембраною і таким чином вирішити проблему кручення. Напруга τ відповідає нахилу мембрани по відношенню до площини y-z, тому найкрутішим місцем є те, де стрижень, що піддається скрученню, має найвищу напругу зсуву.
Мал. 4
Мал. 5
Ця мембранна процедура особливо підходить для отримання приблизних моделей для тонкостінних секцій. Коли, наприклад, двотавровий переріз розділено відповідно до рис. 4 на трьох прямокутниках і для кожного з них окремо проведена аналогія з мембраною, сума об’ємів результуючих виступів буде лише трохи меншою за об’єм, який реально відповідає функції напруги. Тому, коли товщини b1 та b2 малі, приблизно
JT = 2JT1 + JT2,
де JT1 і JT2 є коефіцієнтами жорсткості окремих прямокутників, які можна розрахувати на основі таблиці 1. Краще наближення досягається, коли JT2 = a2 b32/3 використовується для ребра, тобто коли ребро розглядається як частина дуже витягнутого прямокутника. Ще більш точне значення отримано згідно з Trayer і March\ від
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
де D діаметр найбільшого кола, вписаного, як показано на рис. 4, а α можна взяти з рис. 5. Для Т-подібного перетину це виходить аналогічно
JT = JT1 +JT2 + α D4,
де JT2 це половина значення, обчисленого згідно з таблицею 1 для a=2 a2, b=b2. Для L-профілів (рис. 6) це подібно до
JT = JT1 + JT2 + β D4
, де JT1 для товстого плеча береться безпосередньо з таблиці 1, тоді як JT2 для тоншого плеча розраховується як для Т-подібного перерізу, а β береться з рис. 7.
Мал. 6
Мал. 7
При розрахунку напруги крутний момент розбивають на складові прямокутники: частина, що припадає на фланці M1=M JT2/JT; потім розраховується напруга зсуву в середині довшої сторони кожного прямокутника на основі таблиці 1. Найбільша з цих напруг не обов’язково повинна бути найбільшою напругою зсуву, що виникає в перерізі. А саме, якщо кут падіння не округлений, у цьому місці виходить τ=∞, так що для дуже малого радіуса округлення тут можна очікувати найвищу напругу зсуву.
Інженерна примітка: математична сингулярність в ідеалізованому гострому куті не є дозволом оцінювати фактичні деталі лише за цією приблизною схемою. Фактична геометрія округлення, допуски, пластичність, зварні шви, залишкові напруги, локальна стабільність і втома вимагають відповідного моделювання та експертної перевірки.
Для одностороннього кута, товщина катета якого становить t згідно з Trefftz, округлення діаметра r:
де τ0 позначає найвищу напругу, розраховану для кожної окремої ноги на основі описаної тут процедури. Для більших радіусів округлення можна прийняти τ=2__τ0.
Труби з тонкими стінками (візерунки Бредта)
У трубах з тонкими стінками опукла мембрана має форму, показану на рис. 8, який складається з площини над порожнистим простором усередині труби та похилої поверхні, що оточує її та лежить над ефективним перетином стінки труби; ця похила поверхня повинна бути крутішою, якщо стінки труби у відповідному місці тонші. У цьому випадку напруги зсуву розподіляються досить рівномірно по товщині стінок і обернено пропорційні товщині стінок, тобто сила зсуву T = τt не змінюється по колу секції.
Сл. 8
Елемент поверхні t_∙ds_ отримує частину крутильного моменту
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
тож загальний момент
Eq. 8
, де поверхня FR закрита середньою лінією, позначеною лініями та крапками на рис. 8. Звідси ви отримуєте
Eq. 9 - Перший візерунок Bredt\
Жорсткість на кручення досягається найпростіше, коли робота деформації виражається, з одного боку, через момент кручення та кут кручення, а з іншого боку, через напруги зсуву. Таким чином, для стержневого елемента довжиною l
тому, вводячи значення для τ відповідно до рівняння (8),
, тобто, у порівнянні з рівнянням (2):
Eq. 10
Якщо товщина стін однакова навколо, то це просто (2. Bredt's pattern):
Eq. 11
Нормальні напруги при крученні через вигин профілю
Основні терміни та диференціальне рівняння
Переміщення компонентів u, рівняння (1b), визначає кривизну перерізів від їхніх площин. Коли крутний момент постійний, цей вигин є однаковим у всіх перерізах і нормальні напруги σx не з’являються.
У багатьох випадках кривизна поперечного перерізу, яка повинна виникнути на основі _St. Теорія Венанта неможлива. Якщо крутний момент різко змінюється в одному поперечному перерізі, то з обох боків поперечного перерізу виникне вигин різної величини, і безперервність деформації порушиться. Один кінець стрижня можна затиснути таким чином, щоб вигин секції в цьому місці був повністю виключений. У таких випадках слід внести поправку _St. Теорії Венанта. У стрижні виникають додаткові напруження σx в напрямку осі стержня і додаткове зсувне зусилля T (напруження зсуву T/t), які найбільші в ділянці, де порушується безперервність деформації, і експоненціально зменшуються з віддаленням від цієї ділянки. У випадку твердих стрижнів і труб ця теорія є складною, і додаткові напруги зменшуються настільки швидко, що їх визначення в більшості випадків не має значення. Для тонкостінних стрижнів з відкритим профілем ця поправка має велике значення і може бути розрахована порівняно легко.
Мал. 9
Мал. 9 показує лінію, по якій перетинаються середня поверхня стіни і площина перетину (середня лінія перетину). O — центр відносного обертання двох сусідніх ділянок. Якщо їх відстань дорівнює dx, торсійний кут дорівнює ϑ dx, тому довільна точка середньої лінії зазнає зміщення u ϑ dx. Це переміщення має складову rt ϑ dx в напрямку дотичної до перерізу, а ковзання елемента серединної поверхні стінки становить (враховуючи, що _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Оскільки напруга зсуву в середній поверхні стіни дорівнює нулю, вона також має бути γ=0, а тому
Цей шаблон містить три довільні параметри: початок, від якого обчислюється довжина дуги s, і координати центру відносного обертання O, від яких залежить rt. Початок, від якого обчислюється довжина дуги s, можна вибрати так, щоб середнє значення кривизни дорівнювало нулю:
і координати центру O можна визначити так, що моменти, обумовлені вигином перетину, також дорівнюють нулю:
Можна показати, що центр обертання, визначений таким чином, збігається з центром зсуву, описаним тут і визначеним іншим способом.
Якщо вигин ділянки, описаний цими моделями, повністю або частково запобігає, повинні з’явитися нормальні напруги σx у напрямку осі стрижня. Більш детальний розгляд показує, що ці напруги можна вважати пропорційними функції кривизни φ: σx=k__φ, де φ залежить тільки від s, а k тільки від x. Як згідно із законом Гука:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
має бути k=E d__ϑ/dx. Нормальні напруження σx називаються перерізними напруженнями згину. Враховуючи наведені вище рівняння, вони утворюють рівноважну систему сил у кожному перерізі, систему сил, спричинену згином перерізу.
Загальний крутний момент складається з двох частин: одна з них M1=GJT__ϑ виникає внаслідок напруг зсуву під час кручення, що дає St. Теорія Venant, а інший M2 виникає внаслідок вигину ділянки:
Eq. 13
Оскільки момент M задано як функція x, цей вираз представляє диференціальне рівняння для кута кручення ϑ. Коли це рівняння розв’язано, можна обчислити M1 і M2, а отже, і всі напруги та деформації.
Рішення та програми
Якщо крутний момент M постійний, загальний розв’язок рівняння (13) є:
Константи інтегрування C1, C2 повинні бути визначені з двох граничних умов.
a) Жорстко затиснутий кінець x=0 (мал. 1)
На цьому кінці знаходиться u≡0, тому на основі рівняння (1b) ϑ=0. Якщо стрижень дуже довгий (αl>>1), то C1=0 і C2= -M/GJT. У випадку коротких стрижнів на появу напруги внаслідок вигину секції впливає стан правого кінця стрижня. Якщо в цьому місці не запобігти вигину секції, будуть σx≡0 та dϑ/dx=0. Звідси ви отримуєте
б) Симетричне навантаження кручення згідно з рис. 10
На лівій половині стрижня крутний момент становить -M/2, а на правій +M/2. У разі вільного кручення ділянки ліворуч і праворуч від середини стержня були б скручені в протилежний бік, тому безперервність деформації не збереглася б. Тому в місці x=0 весь крутний момент повинен передаватися через напруги, які виникають внаслідок вигину перерізу, і тому в цьому перерізі M1=0 і тому ϑ=0. У цей момент діє система сил, яка гарантує, що ділянка залишається прямолінійною, навіть якщо ділянки лежать далі від центру кривої стрижня. Якщо, крім того, потрібно, щоб на кінцях стрижня напруження становили σx≡0, то для кожної половини стрижня виходить ще одна гранична умова, отже, для правої половини
Мал. 10
c) Зовнішній момент M у довільному місці (рис. 11)
У цьому випадку розв’язок ϑ для обох частин стержня має бути записаний окремо, тому з’явиться чотири константи C1, C2, C3, C4. Крім того, моменти кручення Ma, Mb також невідомі. Доступно шість рівнянь: умова безперервності для ϑ (виражена u) і для dϑ/dx (виражена σx) у точці дії навантаження, по одній умові на кожному кінці стрижня (наприклад, жорстке защемлення ϑ=0 або безперешкодний згин, dϑ/dx=0), умова моментної рівноваги -Ma+Mb=M і, нарешті, умова, що кінцеві ділянки не повертаються одна до одної: ∫ ϑdx = 0.
Мал. 11
Останнє зауваження: вибір торсіонної моделі залежить від відкритого або закритого перерізу, стрункості, способу опори, місця введення моменту та можливості вільного вигину. Для реального елемента необхідно перевірити граничні стани несучої здатності та експлуатаційної придатності, локальні деталі, з’єднання, втому та стійкість, а не лише одну ізольовану формулу зі статті.