การบิดของแท่งและส่วนที่มีผนังบาง

เก็บเนื้อหาจากผู้เชี่ยวชาญ: ข้อความและสูตรสื่อถึงมุมมองทางทฤษฎีในอดีตและไม่ใช่โครงการ การคำนวณแบบคงที่ การตรวจสอบความสามารถในการรับน้ำหนัก การประเมินองค์ประกอบที่มีอยู่ หรือคำแนะนำสำหรับการก่อสร้างหรือการฟื้นฟู การกำหนด สมมติฐาน และรูปแบบโดยประมาณจะต้องได้รับการตรวจสอบโดยเทียบกับระบบ วัสดุ เรขาคณิต เงื่อนไขขอบเขต และมาตรฐานที่เกี่ยวข้อง การคำนวณแรงบิด ความเสถียร ความล้า ข้อต่อ และความเค้นเนื่องจากการป้องกันการโค้งงอ ควรทำโดยวิศวกรที่ได้รับอนุญาต โดยมีการควบคุมอิสระเมื่อจำเป็น

Savo Kusić มุ่งเน้นไปที่ หน้าต่างไม้, หน้าต่างไม้-อลูมิเนียม, หน้าต่างแบบกำหนดเอง, ประตู และ ขอใบเสนอราคา บทความนี้ยังคงเป็นเอกสารสำคัญทางประวัติศาสตร์ของมืออาชีพ และไม่ได้เป็นตัวแทนของบริการออกแบบการก่อสร้าง

ทฤษฎีแรงบิดของ Saint-Venant (แรงบิดอิสระ)

สมการเชิงอนุพันธ์

รูปที่. 1

ให้ยึดก้านตรงที่ปลายด้านหนึ่ง x=0 และปล่อยให้รับน้ำหนักที่ปลายอีกด้านหนึ่งด้วยโมเมนต์บิด M (รูปที่ 1) จากนั้นแต่ละส่วนของมันจะหมุนด้วยมุมที่กำหนด α(x) รอบเส้นตรงขนานกับแกนของแท่งไม้ ซึ่งเราจะใช้เป็นแกน x- หากทุกส่วนเท่ากัน เส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับแกน x จะส่งผ่านเข้าไปในขดลวด และมุม α จะเป็นสัดส่วนกับระยะห่างจากปลายคงที่: α=ϑx ซึ่งการกระจัดของส่วนประกอบในระนาบของส่วนนั้นเกิดขึ้น (รูปที่ 2):

v = - บาป__ψ = - ϑ x z,

w = r a cos__ψ = ϑ x y.  (1a)

ปริมาณ ϑ เรียกว่ามุมบิด (มิติ: ความยาว-1, การหมุนต่อหน่วยความยาว) มุมบิดเป็นสัดส่วนกับโมเมนต์บิด M:

ϑ = M/GJT.   (2)

รูปที่. 2

ปัจจัยสัดส่วน GJT ความแข็งบิด เท่ากับผลคูณของโมดูลัสแรงเฉือน G และปัจจัย JT ซึ่งแสดงถึงผลกระทบของรูปร่างและขนาดของหน้าตัด

การหมุนของส่วนนี้ไม่ได้แสดงถึงการเสียรูปของก้านเพียงอย่างเดียว นอกจากนี้ ยังมีการโก่งตัวของหน้าตัดด้วย เช่น การกระจัด u ในทิศทางของแกน x-ซึ่งมีขนาดเท่ากันสำหรับจุดที่สอดคล้องกันของหน้าตัดทั้งหมด และดังนั้นจึงเป็นเพียงฟังก์ชันของพิกัดในระนาบของหน้าตัดเท่านั้น และมิฉะนั้นจะเป็นสัดส่วนกับโหลด M หรือมุมบิด ϑ:

u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z),   dφ/dx=0.   (1b)

หากนิพจน์ข้างต้นถูกนำมาใช้ในสมการการกระจัดที่สอดคล้องกัน จะได้ว่าความเค้นปกติหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ โดยเหลือเพียงสององค์ประกอบความเค้น τxy และ τxz:

Eq. 3

สมการเชิงอนุพันธ์ของปัญหาแรงบิดได้มาจากสมการ (3) โดยการใส่:

หน่วย. 4a และ 4b

และแก้สมการเชิงอนุพันธ์เหล่านี้สำหรับค่าที่ไม่รู้จัก τxy และ τxz โดยการแนะนำฟังก์ชันความเครียด F(y,z) ที่:

τxy = - dF/dz,   τxz = + dF/dy.   (5)

สิ่งนี้เป็นไปตามสมการ (4a) เหมือนกัน และสมการเชิงอนุพันธ์ที่ต้องการ

d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ  (6)

เงื่อนไขขอบเขตที่จำเป็นสำหรับการแก้โจทย์เฉพาะของสมการนี้ได้มาจากข้อกำหนดที่ว่าไม่มีความเค้นเฉือนบนเปลือกแท่ง ซึ่งเนื่องจากลักษณะคอนจูเกตของความเค้นเฉือน จึงตามมาด้วยว่าความเค้นในระนาบหน้าตัดจะต้องไม่มีส่วนประกอบที่ตั้งฉากกับมันตามแนวเส้นชั้นความสูง จากที่นี่ รูปที่. 2:

dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)

ดังนั้น

dF/dy dy + dF/dz dz = 0,

เช่น. ผลต่างรวมของฟังก์ชัน F ต้องเป็นศูนย์ นั่นคือ จะต้องเป็น F=const ตามแนวเส้นโครง

หากส่วนนั้นมีรูปทรงเดียว ก็ใส่ F=0 ลงไปได้ เพราะด้วยฟังก์ชันแรงดันไฟฟ้า ซึ่งจริงๆ แล้วเราสนใจเฉพาะอนุพันธ์เท่านั้น ค่าคงที่บวกตามอำเภอใจจะไม่มีบทบาท ด้วยส่วนที่มีรูปร่างมากกว่าหนึ่งชั้น คำถามนี้จึงซับซ้อนมากขึ้น

ดังที่เห็นได้จากสมการ (5) ผลลัพธ์ของความเค้นเฉือน τxy และ τxz ที่จุดตัดกันใดๆ จะมีขนาดเท่ากับความชันของฟังก์ชันความเค้น F แต่ตั้งฉากกับมัน กล่าวคือ มีทิศทางสัมผัสกับเส้นสัมผัส F=const.

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (6) จะให้แรงดันไฟฟ้า τ เป็นฟังก์ชันของ y, z และ ϑ แน่นอนว่างานของการคำนวณคือการกำหนดมุมบิด ϑ และความเค้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งความเค้นสูงสุดที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนต์บิด ดังนั้น การหาความแข็งของส่วน JT จากสมการ (2) และโมเมนต์บิดต้านทาน WT = Mmaxτ เพื่อให้ได้สิ่งเหล่านี้ จำเป็นต้องแสดง M เป็นฟังก์ชันของ F:

ส่วนเพิ่มเติมทั้งสองของอินทิกรัลนี้ ซึ่งควรเข้าแทนที่ส่วนทั้งหมด สามารถแปลงได้โดยการอินทิกรัลบางส่วน ตัวอย่างเช่น หากรายการแรกอินทิเกรตก่อนในบรรทัด z=const จากจุดบนเส้นขอบ y=y1 ถึงจุด y=y2 (รูปที่ 3) และคำนึงว่าในทั้งสองจุดเหล่านี้ F=0 เราได้รับ

ได้ค่าเดียวกันจากอินทิกรัลตัวที่สอง ดังนั้น

Eq. 7

รูปที่. 3

กรณีอื่นๆ ของส่วนเต็ม

สมการเชิงอนุพันธ์ (6) เป็นสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของทฤษฎีศักย์ไฟฟ้า ดังนั้น สำหรับการแก้ปัญหาแรงบิดในกรณีของหน้าตัดตามอำเภอใจ จึงมีวิธีการของทฤษฎีที่เป็นไปได้ ซึ่งช่วยให้สามารถค้นพบวิธีการดังกล่าวได้ตลอดเวลา อย่างไรก็ตาม วิธีการเหล่านี้โดยทั่วไปมีความซับซ้อนเกินกว่าจะนำไปใช้กับแต่ละกรณีที่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติได้ นั่นคือเหตุผลที่ตารางต่อไปนี้แสดงผลการคำนวณดังกล่าวสำหรับหลายส่วน

สำหรับหน้าตัดที่ใกล้กับวงกลม สามารถใส่ JT=F_4/40_Ip โดยที่ F คือพื้นที่และ Ip คือโมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของหน้าตัด

หมายเหตุเกี่ยวกับสูตรและตาราง: นิพจน์และค่าในภาพที่สแกนจะถูกจัดเก็บไว้เป็นแหล่งข้อมูลในอดีต ข้อความ OCR เครื่องหมายดัชนี และการสแกนไม่น่าเชื่อถือเพียงพอสำหรับการคำนวณ แต่ละสูตร หน่วย ค่าสัมประสิทธิ์ และขอบเขตควรได้รับการตรวจสอบจากแหล่งข้อมูลระดับมืออาชีพที่เชื่อถือได้และมาตรฐานที่ถูกต้องก่อนใช้งาน

การเปรียบเทียบกับเมมเบรน

ตัวช่วยที่ดีสำหรับการประมาณค่าความเค้นบิด และในขณะเดียวกัน ขั้นตอนในการกำหนดที่แม่นยำนั้นได้มาจากการเปรียบเทียบระหว่างฟังก์ชันความเค้น F ของปัญหาแรงบิดและการโก่งตัวตามขวางของเมมเบรน ปล่อยให้มีช่องเปิดโดยเฉลี่ยบนผนังเรียบของภาชนะซึ่งตรงกับหน้าตัดของแท่งเหล็กที่รับแรงบิด เมื่อเมมเบรนถูกยืดออกเหนือช่องเปิดนี้และเกิดแรงดันส่วนเกินเล็กน้อย p ในภาชนะ เมมเบรนจะนูนออกด้านนอก เพื่อให้การโก่งตัว ξ(y,z) เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์

โดยที่ N คือแรงตึงผิวในเมมเบรนที่เกิดจากแรงของเส้นเลือดฝอย (ขนาด: แรงต่อหน่วยความยาว) สมการนี้เกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (6) และเงื่อนไขขอบเขต ξ=0 จะเหมือนกับฟังก์ชันแรงดันไฟฟ้า ด้วยวิธีนี้ สามารถรับฟังก์ชันความเค้น F(y,z) ได้ด้วยความช่วยเหลือของกระจกนี้พร้อมกับเมมเบรน จึงช่วยแก้ปัญหาแรงบิดได้ ความเค้น τ สอดคล้องกับความชันของเมมเบรนที่สัมพันธ์กับระนาบ y-z- ดังนั้น จุดที่ลาดชันที่สุดคือจุดที่แกนที่สัมผัสกับแรงบิดจะมีความเค้นเฉือนสูงสุด

รูปที่. 4

รูปที่. 5

ขั้นตอนเมมเบรนนี้เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการรับรูปแบบโดยประมาณสำหรับส่วนที่มีผนังบาง ตัวอย่างเช่น เมื่อส่วน I ถูกแบ่งตามรูป 4 บนสี่เหลี่ยมสามรูปและสำหรับแต่ละรูปนั้นจะมีการเปรียบเทียบกับเมมเบรนแยกกันผลรวมของปริมาตรของส่วนที่ยื่นออกมาจะเล็กกว่าปริมาตรที่สอดคล้องกับฟังก์ชันแรงดันไฟฟ้าเพียงเล็กน้อยเท่านั้น ดังนั้น เมื่อความหนา b1 และ b2 มีขนาดเล็ก ประมาณ

JT = 2JT1 + JT2,

โดยที่ JT1 และ JT2 คือปัจจัยความแข็งของสี่เหลี่ยมแต่ละรูปที่สามารถคำนวณได้จากตาราง 1 จะได้ค่าประมาณที่ดีขึ้นเมื่อใช้ JT2 = a2 b32/3 ใช้สำหรับซี่โครง นั่นคือเมื่อถือว่าซี่โครงเป็นส่วนหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ยาวมาก จะได้ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นตาม Trayer และ March\ จาก

JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,

โดยที่ D คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่ถูกจารึกไว้ดังแสดงในรูป 4 และ α สามารถหาได้จากรูปที่ 5. สำหรับส่วน T จะได้รับในทำนองเดียวกัน

JT = JT1 +JT2 + α D4,

โดยที่ JT2 คือครึ่งหนึ่งของค่าที่คำนวณตามตาราง 1 สำหรับ a=2 a2, b=b2 สำหรับส่วน L (รูปที่ 6) จะคล้ายกับนั้น

JT = JT1 + JT2 + β D4

โดยที่ JT1 สำหรับแขนที่หนากว่านั้นนำมาจากโต๊ะโดยตรง 1 ในขณะที่ JT2 สำหรับแขนที่บางกว่านั้นจะถูกคำนวณสำหรับส่วน T และ β นำมาจากรูปที่ 7.

รูปที่. 6

รูปที่. 7

เมื่อคำนวณความเค้น โมเมนต์บิดจะแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมส่วนประกอบ: ส่วนที่ตกบนหน้าแปลน M1=M JT2/JT; จากนั้นความเค้นเฉือนจะถูกคำนวณที่กึ่งกลางด้านยาวของแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามตาราง 1 ความเค้นที่ใหญ่ที่สุดไม่จำเป็นต้องเป็นความเค้นเฉือนที่ใหญ่ที่สุดที่ปรากฏในส่วนนี้ กล่าวคือ หากมุมตกกระทบไม่ปัดเศษ จะได้ τ=∞ ณ ตำแหน่งนั้น ดังนั้นสำหรับรัศมีการปัดเศษที่น้อยมาก จึงสามารถคาดหวังความเค้นเฉือนสูงสุดได้ที่นี่

หมายเหตุทางวิศวกรรม: ภาวะเอกฐานทางคณิตศาสตร์ที่มุมแหลมในอุดมคตินั้น ไม่อนุญาตให้ประมาณรายละเอียดจริงด้วยรูปแบบโดยประมาณนี้เพียงอย่างเดียว เรขาคณิตการปัดเศษตามจริง ค่าความคลาดเคลื่อน ความเป็นพลาสติก รอยเชื่อม ความเค้นตกค้าง ความเสถียรเฉพาะจุด และความล้า จำเป็นต้องมีการสร้างแบบจำลองที่เหมาะสมและการตรวจสอบโดยผู้เชี่ยวชาญ

สำหรับมุมด้านเดียวที่ความหนาของขาเป็น t ตาม Trefftz\ อยู่ที่การปัดเศษของเส้นผ่านศูนย์กลาง r:

โดยที่ τ0 หมายถึงแรงดันไฟฟ้าสูงสุดที่คำนวณสำหรับขาแต่ละข้างตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ที่นี่ สำหรับรัศมีการปัดเศษที่มากขึ้น สามารถใช้ τ=2__τ0.

ท่อผนังบาง (ลายแบรดต์)

ในท่อที่มีผนังบาง เมมเบรนนูนจะมีรูปร่างดังแสดงในรูปที่ 1 8 ซึ่งประกอบด้วยระนาบเหนือช่องว่างภายในท่อและพื้นผิวลาดเอียงที่ล้อมรอบและอยู่เหนือส่วนที่มีประสิทธิภาพของผนังท่อ พื้นผิวเอียงนี้จะต้องชันกว่านี้หากผนังท่อบางลงในตำแหน่งที่เหมาะสม ในกรณีนี้ ความเค้นเฉือนจะกระจายเท่าๆ กันไปตามความหนาของผนัง และแปรผกผันกับความหนาของผนัง กล่าวคือ แรงเฉือน T = τt จะไม่เปลี่ยนแปลงไปตามเส้นรอบวงของหน้าตัด

สล. 8

องค์ประกอบพื้นผิว t_∙ds_ ได้รับส่วนหนึ่งของโมเมนต์แรงบิด

dM = t_∙ds∙τ∙h,_

ดังนั้น โมเมนต์รวมคือ

Eq. 8

โดยที่พื้นผิว FR ถูกปกคลุมไปด้วยเส้นกลางที่ทำเครื่องหมายด้วยเส้นและจุดในรูป 8. จากที่นี่คุณจะได้

Eq. 9 - Bredt\ รูปแบบแรก

ความแข็งแบบบิดจะเกิดขึ้นได้ง่ายที่สุดเมื่อการแสดงการเสียรูปบนมือข้างหนึ่งผ่านโมเมนต์บิดและมุมบิด และอีกด้านหนึ่งผ่านความเค้นเฉือน ด้วยวิธีนี้จะได้มาจากองค์ประกอบแท่งที่มีความยาว l

ดังนั้น แนะนำค่าสำหรับ τ ตามสมการ (8),

นั่นคือ โดยการเปรียบเทียบกับสมการ (2):

สมการ 10

หากความหนาของผนังเท่ากันทุกด้าน ก็เรียบง่าย (2. Bredt's pattern):

Eq. 11

ความเค้นปกติในการบิดเนื่องจากการดัดงอของส่วน

คำศัพท์พื้นฐานและสมการเชิงอนุพันธ์

การกระจัดของส่วนประกอบ u, สมการ (1b) เป็นตัวกำหนดความโค้งของส่วนต่างๆ จากระนาบ เมื่อโมเมนต์แรงบิดคงที่ การโค้งงอนี้จะเท่ากันในทุกส่วน และความเค้นปกติ σx จะไม่ปรากฏ

ในหลายกรณี ความโค้งของหน้าตัดที่ควรเกิดขึ้นบนพื้นฐานของ _St ทฤษฎีของเวแนนท์เป็นไปไม่ได้ หากโมเมนต์บิดเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันในหน้าตัดด้านใดด้านหนึ่ง การโค้งงอที่มีขนาดต่างกันจะเกิดขึ้นที่ทั้งสองด้านของหน้าตัด และความต่อเนื่องของการเสียรูปจะถูกรบกวน ปลายด้านหนึ่งของก้านสามารถจับยึดได้จนทำให้ส่วนโค้งงอไม่รวมอยู่ในจุดนั้น ในกรณีเช่นนี้ จำเป็นต้องเสริม _St. ทฤษฎีของเวแนนท์ ความเค้นเสริม σx ในทิศทางของแกนของแกนและแรงเฉือนเสริม T (ความเค้นในการตัด T/t) ปรากฏในแกน ซึ่งสูงที่สุดในส่วนที่ความต่อเนื่องของการเสียรูปหัก และลดลงแบบทวีคูณตามระยะห่างจากส่วนนี้ ในกรณีของแท่งและท่อตัน ทฤษฎีนี้มีความซับซ้อน และแรงดันไฟฟ้าเสริมจะลดลงอย่างรวดเร็วจนการตัดสินใจไม่คุ้มค่าในกรณีส่วนใหญ่ สำหรับแท่งเหล็กผนังบางที่มีโปรไฟล์เปิด การแก้ไขนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งและสามารถคำนวณได้ค่อนข้างง่าย

รูปที่. 9

รูปที่. 9 แสดงเส้นที่พื้นผิวตรงกลางของผนังและระนาบส่วนตัดกัน (เส้นกลางของส่วน) O เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุนสัมพัทธ์ของสองส่วนที่อยู่ติดกัน หากระยะห่างคือ dx มุมบิดจะเป็น ϑ dx ดังนั้นจุดใดจุดหนึ่งของเส้นกึ่งกลางจึงต้องมีการกระจัด u ϑ dx การกระจัดนี้มีองค์ประกอบ rt ϑ dx ในทิศทางสัมผัสกับส่วน และการเลื่อนขององค์ประกอบของพื้นผิวตรงกลางของผนังคือ (โดยคำนึงถึงว่า _u=_φϑ):

γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).

เนื่องจากความเค้นเฉือนบนพื้นผิวตรงกลางของผนังเป็นศูนย์ มันจะต้องเท่ากับ γ=0 ด้วย ดังนั้น

รูปแบบนี้มีพารามิเตอร์ที่กำหนดเองสามตัว: ต้นกำเนิดที่ใช้คำนวณความยาวส่วนโค้ง s และพิกัดของจุดศูนย์กลางของการหมุนสัมพัทธ์ O ซึ่ง rt ขึ้นอยู่กับ สามารถเลือกจุดเริ่มต้นที่คำนวณความยาวส่วนโค้ง s ได้ เพื่อให้ค่าเฉลี่ยของความโค้งเป็นศูนย์:

และพิกัดของศูนย์กลาง O สามารถกำหนดได้ในลักษณะที่โมเมนต์เนื่องจากการโค้งงอของส่วนนั้นเป็นศูนย์ด้วย:

สามารถแสดงให้เห็นว่า ศูนย์กลางของการหมุน ที่กำหนดในลักษณะนี้เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางแรงเฉือนที่อธิบายไว้ ที่นี่ และ กำหนดไว้ในลักษณะอื่น

หากป้องกันการโค้งงอของส่วนที่อธิบายโดยรูปแบบเหล่านี้ทั้งหมดหรือบางส่วนได้ ความเค้นปกติ σx ในทิศทางของแกนของแกนจะต้องปรากฏขึ้น การตรวจสอบอย่างใกล้ชิดแสดงให้เห็นว่าความเค้นเหล่านี้สามารถนำมาเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันความโค้ง φ: σx=k__φ โดยที่ φ ขึ้นอยู่กับ s เท่านั้น และ k เฉพาะใน x ตามกฎของฮุคอย่างไร:

σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)

ต้องเป็น k=E d__ϑ/dx ความเค้นปกติ σx เรียกว่าความเค้นดัดส่วน เมื่อพิจารณาสมการข้างต้น จะทำให้เกิดระบบสมดุลของแรงในแต่ละส่วน ซึ่งเป็นระบบแรงที่เกิดจากการโค้งงอของส่วน

โมเมนต์แรงบิดรวมประกอบด้วยสองส่วน: หนึ่งในนั้น M1=GJT__ϑ ผลลัพธ์จากความเค้นเฉือนระหว่างแรงบิด ซึ่งให้ St ทฤษฎีของ Venant\ และ M2 อีกอันเกิดขึ้นเนื่องจากการโค้งงอของส่วน:

สมการ 13

เมื่อโมเมนต์ M ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของ x นิพจน์นี้แสดงถึงสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับมุมบิด ϑ เมื่อสมการนี้ถูกแก้แล้ว M1 และ M2 สามารถคำนวณได้ และทำให้ความเค้นและความเครียดทั้งหมด

โซลูชันและแอปพลิเคชัน

เมื่อโมเมนต์แรงบิด M คงที่ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ (13) จะเป็น:

ค่าคงที่การรวม C1, C2 ต้องถูกกำหนดจากเงื่อนไขขอบเขตสองข้อ

a) ปลายยึดอย่างแน่นหนา x=0 (รูปที่ 1)

ที่จุดสิ้นสุดนี้คือ u≡0 ดังนั้นตามสมการ (1b) ϑ=0 ถ้าก้านยาวมาก (αl>>1) ดังนั้น C1=0 และ C2= -M/GJT ในกรณีของแท่งสั้น ลักษณะของความเค้นเนื่องจากการโค้งงอของหน้าตัดจะได้รับผลกระทบจากสภาพที่ปลายด้านขวาของแท่ง หากไม่สามารถป้องกันการโค้งงอของส่วนตรงจุดนั้นได้ จะมี σx≡0 และ dϑ/dx=0 จากที่นี่คุณจะได้รับ

b) โหลดแรงบิดแบบสมมาตรตามรูป 10

ที่ครึ่งซ้ายของแกน โมเมนต์บิดคือ -M/2 และทางด้านขวา +M/2 ในกรณีของแรงบิดอิสระ ส่วนทางซ้ายและขวาของตรงกลางของก้านจะถูกบิดไปในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นความต่อเนื่องของการเสียรูปจะไม่ถูกรักษาไว้ ดังนั้น ณ ตำแหน่ง x=0 โมเมนต์บิดทั้งหมดจะต้องถูกถ่ายโอนผ่านความเค้นที่เกิดขึ้นเนื่องจากการโค้งงอของส่วน ดังนั้นในส่วนนี้ M1=0 และด้วยเหตุนี้ ϑ=0 ณ จุดนี้ ระบบแรงทำหน้าที่เพื่อให้แน่ใจว่าส่วนโค้งยังคงตรง แม้ว่าส่วนที่อยู่ไกลจากจุดศูนย์กลางของส่วนโค้งของแท่งเหล็กก็ตาม นอกจากนี้ หากกำหนดให้ความเค้นที่ปลายของก้านเป็น σx≡0 จะได้เงื่อนไขขอบเขตเพิ่มเติมหนึ่งเงื่อนไขสำหรับแต่ละครึ่งของก้าน ดังนั้นสำหรับครึ่งทางขวาจะเป็น

รูปที่. 10

c) โมเมนต์ภายนอก M ณ ตำแหน่งใดๆ (รูปที่ 11)

ในกรณีนี้ คำตอบ ϑ สำหรับทั้งสองส่วนของแท่งจะต้องเขียนแยกกัน ดังนั้นค่าคงที่ทั้งหมดสี่ค่า C1, C2, C3, C4 จะปรากฏขึ้น นอกจากนี้ ยังไม่ทราบโมเมนต์แรงบิด Ma, Mb อีกด้วย มีสมการหกแบบให้เลือก: เงื่อนไขความต่อเนื่องสำหรับ ϑ (แสดงโดย u) และสำหรับ dϑ/dx (แสดงโดย σx) ที่จุดการกระทำของโหลด โดยมีเงื่อนไขหนึ่งประการที่ปลายแต่ละด้านของก้าน (เช่น การหนีบอย่างเข้มงวด ϑ=0 หรือการดัดงอที่ไม่ถูกรบกวน dϑ/dx=0) สภาพสมดุลของโมเมนต์ -Ma+Mb=M และเงื่อนไขสุดท้ายที่ส่วนท้ายไม่หันเข้าหากัน: ∫ ϑdx = 0.

รูปที่. 11

หมายเหตุสุดท้าย: การเลือกแบบจำลองแรงบิดขึ้นอยู่กับส่วนเปิดหรือปิด ความบาง วิธีการรองรับ ตำแหน่งที่ป้อนของโมเมนต์ และความเป็นไปได้ของการโก่งงออย่างอิสระ สำหรับองค์ประกอบจริง จะต้องตรวจสอบสถานะขีดจำกัดการรับน้ำหนักและความสามารถในการซ่อมบำรุง รายละเอียดเฉพาะจุด ข้อต่อ ความล้า และความมั่นคง ไม่ใช่เพียงสูตรเดียวจากบทความ