التواء القضبان والأقسام ذات الجدران الرقيقة

أرشفة محتوى الخبراء: ينقل النص والصيغ وجهة نظر نظرية تاريخية وليست مشروعًا أو حسابًا ثابتًا أو فحص قدرة التحمل أو تقييم عنصر موجود أو تعليمات للبناء أو إعادة التأهيل. يجب التحقق من التسميات والافتراضات والأنماط التقريبية مقابل النظام المحدد والمواد والهندسة وشروط الحدود والمعايير المعمول بها. يجب أن يتم حساب الالتواء والثبات والتعب والمفاصل والإجهاد الناتج عن منع الانحناء بواسطة مهندس معتمد، مع التحكم المستقل عند الحاجة.

Savo Kusic اليوم على النوافذ الخشبية، نوافذ الخشب والألمنيوم، النوافذ المخصصة، الأبواب وطلبات عرض الأسعار. تظل هذه المقالة بمثابة أرشيف احترافي تاريخي ولا تمثل خدمة تصميم إنشائي.

نظرية الالتواء سانت فينانت (الالتواء الحر)

المعادلة التفاضلية

الشكل. 1

ليثبت قضيب مستقيم عند أحد طرفيه x=0 وليكن محملاً في الطرف الآخر بعزم الالتواء M (شكل 1). ثم يدور كل قسم منها بزاوية معينة α(x) حول خط معين موازي لمحور العصا، والذي سنتخذه محور x-. إذا كانت جميع الأقسام متساوية مع بعضها البعض، فإن أي خط مستقيم موازٍ للمحور السيني سوف يمر في الملف، وستكون الزاوية α متناسبة مع المسافة من الطرف الثابت: α=ϑx، والتي تنشأ منها إزاحات المكونات في مستوى القسم (الشكل 2):

_v = - r a sin__ψ = - _ ϑ x z,

w = r a cos__ψ = ϑ x y.  (1a)

الكمية ϑ تسمى زاوية الالتواء (البعد: الطول-1، الدوران لكل وحدة طول). تتناسب زاوية الالتواء مع لحظة الالتواء M:

ϑ = M/GJT.   (2)

الشكل. 2

عامل التناسب GJT، الصلابة الالتوائية، يساوي منتج معامل القص G والعامل JT، الذي يمثل تأثير شكل وحجم المقطع.

لا يمثل هذا الدوران للقسم التشوه الوحيد للقضيب. بالإضافة إلى ذلك، هناك أيضًا انحناء للمقطع العرضي، أي إلى الإزاحة u في اتجاه المحور x-، والذي له نفس الحجم للنقاط المقابلة لجميع المقاطع العرضية وبالتالي فهو مجرد دالة للإحداثيات في مستوى القسم، ويتناسب بخلاف ذلك مع الحمل M أو زاوية الالتواء ϑ:

u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z),   dφ/dx=0.   (1b)

إذا تم إدخال التعبيرات أعلاه في معادلات الإزاحة المقابلة، فسيتم الحصول على أن الضغوط العادية الرئيسية تساوي الصفر، مما يترك فقط إجهادين مكونين τxy و τxz:

Eq. 3

يتم الحصول على المعادلة التفاضلية لمشكلة الالتواء بناء على المعادلات (3) بوضع:

الوحدة. 4a و 4b

وحل هذه المعادلات التفاضلية للمجهولين τxy و τxz من خلال إدخال دالة الإجهاد F(y,z) التي:

τxy = - dF/dz,   τxz = + dF/dy.   (5)

وهذا يحقق المعادلة (4a) بشكل مماثل، ويتم الحصول على المعادلة التفاضلية المطلوبة

d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ  (6)

يتم الحصول على الشرط الحدودي المطلوب للحل الفريد لهذه المعادلة من شرط عدم وجود ضغوط قص على غلاف القضيب، والتي، بسبب الطبيعة المترافقة لضغوط القص، يترتب على ذلك أن الضغط في مستوى المقطع العرضي يجب ألا يحتوي على مكون متعامد عليه على طول الكفاف. من هنا الشكل. 2:

dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)

لذلك

dF/dy dy + dF/dz dz = 0,

أي. يجب أن يكون التفاضل الإجمالي للدالة F صفرًا، أي أنه يجب أن يكون F=const. على طول الكفاف.

إذا كان القسم يحتوي على كفاف واحد فقط، فيمكن ببساطة وضع F=0 عليه، لأنه مع دالة الجهد، التي نحن مهتمون بها فقط في المشتقات، لا يلعب الثابت الإضافي التعسفي دورًا. مع الأقسام التي تحتوي على أكثر من كفاف، يكون هذا السؤال أكثر تعقيدًا.

كما يتبين من المعادلة (5) فإن محصلة إجهاد القص τxy و τxz عند نقطة تقاطع عشوائية تساوي في الحجم تدرج دالة الإجهاد F، ولكنها متعامدة معها، أي لها اتجاه مماس للخط F=const.

حل المعادلة التفاضلية (6) ينتج الفولتية τ كوظائف y وz و_ϑ_. مهمة الحساب هي بالطبع تحديد زاوية الالتواء ϑ والإجهاد، وخاصة الإجهاد الأقصى كدالة لعزم الالتوائي، وبالتالي تحديد صلابة المقطع JT من المعادلة (2) وعزم الالتو المقاوم WT = Mmaxτ. للحصول عليها، من الضروري فقط التعبير عن M كدالة لـ F:

يمكن تحويل كلا الإضافات لهذا التكامل، والتي ينبغي أن تشمل القسم بأكمله، عن طريق التكامل الجزئي. على سبيل المثال، إذا كان أولهما يتكامل أولاً على طول الخط z=const. من النقطة على الكفاف y=y1 إلى النقطة y=y2 (شكل 3) ومع الأخذ في الاعتبار أنه في كلتا النقطتين F=0 نحصل على

يتم الحصول على نفس القيمة من التكامل الثاني، بحيث

Eq. 7

الشكل. 3

حالات أخرى للأقسام كاملة

المعادلة التفاضلية (6) هي معادلة غير متجانسة للنظرية المحتملة. لذلك، لحل مشكلة الالتواء في حالة وجود مقطع عرضي تعسفي، تتوفر طرق النظرية المحتملة، والتي تمكن من العثور عليها دائمًا. ومع ذلك، فإن هذه الأساليب عمومًا معقدة جدًا بحيث لا يمكن تطبيقها على الحالات الفردية التي تنشأ في الممارسة العملية. ولهذا فإن الجدول التالي يوضح نتائج هذه الحسابات لعدة أقسام.

للمقاطع العرضية القريبة من الدائرية، يمكن وضع JT=F_4/40_Ip، حيث F هي المنطقة و Ip هي عزم القصور الذاتي القطبي للمقطع العرضي.

ملاحظة حول الصيغ والجداول: يتم تخزين التعبيرات والقيم الموجودة على الصور الممسوحة ضوئيًا كمصدر تاريخي. لا يمكن الاعتماد على نص التعرف الضوئي على الحروف وعلامات الفهرس والمسح الضوئي بدرجة كافية لإجراء الحساب. يجب التحقق من كل صيغة ووحدة ومعامل ونطاق في مصدر احترافي موثوق ومعيار صالح قبل الاستخدام.

التشبيه بالغشاء

مساعدة جيدة لتقدير الإجهادات الالتوائية، وفي نفس الوقت يتم توفير إجراء لتحديدها بدقة من خلال التشابه بين وظيفة الإجهاد F لمشكلة الالتواء والتحميل العرضي للانحراف للغشاء. يجب أن تكون هناك فتحة متوسطة على الجدار المسطح للسفينة تتوافق مع المقطع العرضي للقضيب المحمّل بالالتواء. عندما يتم تمدد الغشاء فوق هذه الفتحة ويحدث ضغط زائد صغير p في الوعاء، ينتفخ الغشاء إلى الخارج، بحيث تحقق انحرافاته ξ(y,z) المعادلة التفاضلية

حيث N هو التوتر السطحي في الغشاء الناتج عن القوى الشعرية (الأبعاد: القوة لكل وحدة طول). تتطابق هذه المعادلة مع المعادلة (6)، والشرط الحدي ξ=0 هو نفسه بالنسبة لدالة الجهد. وبهذه الطريقة يمكن الحصول على دالة الجهد F(y,z) باستخدام هذه المرآة مع الغشاء وبالتالي حل مشكلة الالتواء. يتوافق الإجهاد τ مع ميل الغشاء بالنسبة إلى المستوى y-z-، لذا فإن المكان الأكثر انحدارًا هو المكان الذي يكون فيه القضيب المعرض للالتواء لديه أعلى إجهاد قص.

الشكل. 4

الشكل. 5

يعتبر إجراء الغشاء هذا مناسبًا بشكل خاص للحصول على أنماط تقريبية للمقاطع ذات الجدران الرقيقة. عندما، على سبيل المثال، يتم تقسيم القسم I حسب الشكل. 4 على ثلاثة مستطيلات ولكل منها يتم إجراء تشبيه للغشاء بشكل منفصل، وسيكون مجموع أحجام النتوءات الناتجة أصغر قليلاً فقط من الحجم الذي يتوافق فعليًا مع وظيفة الجهد. لذلك، عندما تكون السماكة b1 و_b2_ صغيرة، تقريبًا

JT = 2JT1 + JT2,

حيث JT1 و JT2 هي عوامل صلابة المستطيلات الفردية التي يمكن حسابها بناءً على الجدول 1. يتم الحصول على تقريب أفضل عند استخدام JT2 = a2 b32/3 للضلع، أي عندما يعتبر الضلع جزءًا من مستطيل ممدود للغاية. يتم الحصول على قيمة أكثر دقة وفقًا لـ Trayer و_March_\ من

JT = 2JT1 + 1/3 أ2 ب32 + 2 α د4،

حيث D هو قطر أكبر دائرة مدرجة كما هو موضح في الشكل. 4، و α يمكن أخذها من الشكل. 5. بالنسبة للقسم T يتم الحصول عليه بالمثل

JT = JT1 +JT2 + α D4,

حيث JT2 هي نصف القيمة المحسوبة وفقًا للجدول 1 لـ a=2 a2, b=b2. بالنسبة للأقسام L (شكل 6) فهو مشابه لذلك

JT = JT1 + JT2 + β D4

حيث JT1 للذراع السميكة مأخوذة مباشرة من الجدول 1، بينما JT2 للذراع الرقيقة يتم حسابها كما هو الحال مع القسم T، و_β_ مأخوذة من الشكل. 7.

الشكل. 6

الشكل. 7

عند حساب الإجهاد، يتم تقسيم لحظة الالتواء إلى مستطيلات مكونة: الجزء الذي يقع على الشفاه M1=M JT2/JT; ثم يتم حساب إجهاد القص في منتصف الجانب الأطول من كل مستطيل بناءً على الجدول 1. لا يلزم أن يكون أكبر هذه الضغوط هو أكبر إجهاد القص الذي يظهر في القسم. على وجه التحديد، إذا لم يتم تقريب زاوية الإصابة، فسيتم الحصول على τ=∞ في ذلك المكان، بحيث يمكن توقع أعلى إجهاد قص هنا بالنسبة لنصف قطر صغير جدًا من التقريب.

ملاحظة هندسية: التفرد الرياضي عند الزاوية الحادة المثالية ليس ترخيصًا لتقدير التفاصيل الفعلية من خلال هذا النمط التقريبي وحده. تتطلب هندسة التقريب الفعلية والتفاوتات واللدونة واللحامات والضغوط المتبقية والاستقرار المحلي والتعب النمذجة المناسبة والتحقق من الخبراء.

للزاوية أحادية الجانب التي يبلغ سمك ساقها t وفقًا لـ Trefftz\ على تقريب القطر r:

حيث تشير τ0 إلى أعلى جهد محسوب لكل ساق على حدة بناءً على الإجراء الموضح هنا. لتقريب نصف قطر أكبر، يمكن اعتماد τ=2__τ0.

مواسير رقيقة الجدران (أنماط برادت)

في الأنابيب ذات الجدران الرقيقة، يكون للغشاء المنتفخ الشكل الموضح في الشكل. 8، والذي يتكون من مستوى فوق المساحة المجوفة داخل الأنبوب وسطح مائل يحيط به ويقع فوق القسم الفعال من جدار الأنبوب؛ يجب أن يكون هذا السطح المائل أكثر انحدارًا إذا كانت جدران الأنابيب أرق في المكان المناسب. في هذه الحالة، يتم توزيع ضغوط القص بالتساوي إلى حد ما على سماكة الجدران وتتناسب عكسيا مع سماكة الجدران، أي أن قوة القص T = τt لا تتغير على طول محيط المقطع.

س. 8

العنصر السطحي t_∙ds_ يستقبل جزء من لحظة الالتواء

dM = t_∙ds∙τ∙h,_

إجمالي اللحظة هي

Eq. 8

حيث يتم تغطية سطح FR بالخط الأوسط المميز بالخطوط والنقاط في الشكل. 8. من هنا تحصل على

Eq. 9 - نمط Bredt الأول

يتم الحصول على الصلابة الالتوائية بكل بساطة عندما يتم التعبير عن عمل التشوه من ناحية من خلال لحظة الالتواء وزاوية الالتواء ومن ناحية أخرى من خلال ضغوط القص. وبهذه الطريقة يتم الحصول على عنصر قضيب بطول l

، تقديم قيمة τ وفقًا للمعادلة (8)،

أي بالمقارنة مع المعادلة (2):

Eq. 10

إذا كان سمك الجدران هو نفسه في كل مكان، فهو بسيط (2. نمط Bredt):

Eq. 11

الضغوط الطبيعية في الالتواء بسبب انحناء القسم

المصطلحات الأساسية والمعادلات التفاضلية

إزاحة المكونات u، المعادلة (1b)، تحدد انحناء المقاطع من مستوياتها. عندما تكون لحظة الالتواء ثابتة فإن هذا الانحناء هو نفسه في جميع المقاطع ولا تظهر الاجهادات العادية σx.

في كثير من الحالات، يجب أن ينشأ انحناء المقطع العرضي على أساس _St. نظرية فينانت غير ممكنة. إذا تغير عزم الالتواء فجأة في مقطع عرضي واحد، فسيحدث انحناء بمقادير مختلفة على جانبي المقطع العرضي، وسوف تنزعج استمرارية التشوه. يمكن تثبيت أحد طرفي القضيب بحيث يتم استبعاد ثني القسم تمامًا عند تلك النقطة. في مثل هذه الحالات يجب إجراء التعديل _St. نظريات فينانت. تظهر في القضيب الضغوط التكميلية σx في اتجاه محور القضيب وقوة القص الإضافية T (ضغوط القص T/t) وهي الأعلى في القسم الذي تنكسر فيه استمرارية التشوه والتي تتناقص بشكل كبير مع المسافة من هذا القسم. في حالة القضبان والأنابيب الصلبة، تكون هذه النظرية معقدة، وتتناقص الجهود الإضافية بسرعة كبيرة بحيث لا يكون تحديدها جديرًا بالاهتمام في معظم الحالات. بالنسبة للقضبان ذات الجدران الرقيقة ذات المظهر الجانبي المفتوح، يعد هذا التصحيح ذا أهمية كبيرة ويمكن حسابه بسهولة نسبيًا.

الشكل. 9

الشكل. 9 يُظهر الخط الذي يتقاطع على طوله السطح الأوسط للجدار ومستوى القسم (الخط الأوسط للقسم). O هو مركز الدوران النسبي لقسمين متجاورين. إذا كانت المسافة بينهما dx، فإن زاوية الالتواء تكون ϑ dx، وبالتالي فإن أي نقطة عشوائية من خط الوسط تخضع للإزاحة u ϑ dx. تحتوي هذه الإزاحة على مكون rt ϑ dx في اتجاه مماس للقسم، ويكون انزلاق عنصر السطح الأوسط للجدار (مع مراعاة أن _u=_φϑ):

γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).

بما أن إجهاد القص في السطح الأوسط للجدار يساوي صفرًا، فيجب أيضًا أن يكون γ=0، وبالتالي

يحتوي هذا النمط على ثلاث معاملات اختيارية: الأصل الذي يتم حساب طول القوس منه s وإحداثيات مركز الدوران النسبي O الذي يعتمد عليه rt. يمكن اختيار البداية التي يتم منها حساب طول القوس s بحيث تكون القيمة المتوسطة للانحناء صفر:

ويمكن تحديد إحداثيات المركز O بحيث تكون العزوم الناتجة عن انحناء القسم صفرًا أيضًا:

يمكن إثبات أن مركز الدوران المحدد بهذه الطريقة يتطابق مع مركز القص الموصوف هنا والمحدد بطريقة أخرى.

إذا تم منع انحناء القسم الموصوف بهذه الأنماط كليًا أو جزئيًا، فيجب أن تظهر ضغوط عادية σx في اتجاه محور القضيب. يُظهر الفحص الدقيق أن هذه الضغوط يمكن اعتبارها متناسبة مع دالة الانحناء φ: σx=k__φ، حيث φ تعتمد فقط على s و k فقط على x. كيف حسب قانون هوك:

σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)

يجب أن يكون k=E d__ϑ/dx. تسمى الضغوط العادية σx بضغوط انحناء القسم. بالنظر إلى المعادلات أعلاه، فإنها تشكل نظام توازن القوى في كل قسم، وهو نظام القوى بسبب انحناء القسم.

يتكون عزم الالتواء الكلي من جزأين: أحدهما M1=GJT__ϑ ينتج عن إجهادات القص أثناء الالتواء مما يعطي _St. نظرية فينانت والأخرى M2 تحدث بسبب انحناء المقطع:

Eq. 13

بما أن اللحظة M تُعطى كدالة لـ x، فإن هذا التعبير يمثل معادلة تفاضلية لزاوية الالتواء ϑ. عند حل هذه المعادلة يمكن حساب M1 و M2 وبالتالي حساب جميع الضغوط والانفعالات.

الحلول والتطبيقات

عندما تكون لحظة الالتواء M ثابتة، فإن الحل العام للمعادلة (13) هو:

ثوابت التكامل C1, C2 يجب تحديدها من شرطين حديين.

أ) نهاية مثبتة بقوة x=0 (الشكل 1)

في هذه النهاية هو u≡0، بناءً على المعادلة (1b) ϑ=0. إذا كان القضيب طويلًا جدًا (αl>>1)، ثم C1=0 و_C2_= -M/GJT. في حالة القضبان القصيرة، يتأثر مظهر الضغط الناتج عن ثني المقطع بالحالة الموجودة في الطرف الأيمن من القضيب. إذا لم يتم منع ثني القسم في ذلك المكان، فسيكون هناك σx≡0 و dϑ/dx=0. من هنا تحصل على

ب) حمل الالتواء المتماثل حسب الشكل. 10

على النصف الأيسر من القضيب، يكون عزم الالتواء -M/2، وعلى اليمين +M/2. في حالة الالتواء الحر، فإن المقاطع الموجودة على يسار ويمين منتصف القضيب سوف تكون ملتوية في الاتجاه المعاكس، وبالتالي لن يتم الحفاظ على استمرارية التشوه. لذلك، عند المكان x=0، يجب أن يتم نقل العزم الالتوائي بأكمله من خلال الضغوط التي تحدث بسبب انحناء المقطع، وبالتالي في هذا القسم M1=0 وبالتالي ϑ=0. عند هذه النقطة، يعمل نظام القوى على ضمان بقاء المقطع مستقيمًا، على الرغم من المقاطع التي تقع بعيدًا عن مركز منحنى القضيب. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان مطلوبًا أن تكون الضغوط في نهايات القضيب σx≡0، يتم الحصول على شرط حدي آخر لكل نصف القضيب، لذلك بالنسبة للنصف الأيمن يكون

الشكل. 10

ج) العزم الخارجي M في مكان عشوائي (الشكل 11)

في هذه الحالة، يجب كتابة الحل ϑ لكلا جزأي القضيب بشكل منفصل، بحيث يظهر إجمالي أربعة ثوابت C1، C2، C3، C4. بالإضافة إلى ذلك، فإن لحظات الالتواء Ma، Mb غير معروفة أيضًا. تتوفر ست معادلات: شرط الاستمرارية لـ ϑ (معبرًا عنها بـ u) و_dϑ/dx_ (معبر عنها بـ σx) عند نقطة حركة الحمل، شرط واحد عند كل طرف من طرفي القضيب (على سبيل المثال، الضغط الصلب ϑ=0، أو الانحناء غير المضطرب، dϑ/dx=0)، العزم شرط التوازن -Ma+Mb=M وأخيرًا شرط عدم دوران الأجزاء الطرفية تجاه بعضها البعض: ∫ ϑdx = 0.

الشكل. 11

ملاحظة أخيرة: يعتمد اختيار نموذج الالتواء على القسم المفتوح أو المغلق، والنحافة، وطريقة الدعم، ومكان إدخال العزم، وإمكانية الانحناء الحر. بالنسبة للعنصر الحقيقي، يجب التحقق من حالات حد التحمل وقابلية الخدمة والتفاصيل المحلية والمفاصل والتعب والثبات، وليس مجرد صيغة واحدة معزولة من المقالة.