Архіўны экспертны змест: тэкст і формулы перадаюць гістарычны тэарэтычны погляд і не з’яўляюцца праектам, статычным разлікам, праверкай апорнай здольнасці, ацэнкай існуючага элемента або інструкцыямі па будаўніцтве або рэканструкцыі. Абазначэнні, здагадкі і прыблізныя шаблоны павінны быць правераны ў адпаведнасці з канкрэтнай сістэмай, матэрыялам, геаметрыяй, межавымі ўмовамі і дзеючымі стандартамі. Разлік кручэння, устойлівасці, стомленасці, злучэнняў і напружання з-за прадухіленага выгібу павінен быць выкананы ўпаўнаважаным інжынерам з незалежным кантролем, калі патрабуецца.
Саво Кусіч сёння факусуюць на драўляных вокнах, дрэва-алюмініевых вокнах, вокнах на заказ, дзвярах і запытах цытат. Гэты артыкул з’яўляецца гістарычным прафесійным архівам і не прадстаўляе паслугі па праектаванні будаўніцтва.
Тэорыя скручвання Сен-Венана (свабоднае кручэнне)
Дыферэнцыяльнае ўраўненне
Мал. 1
Няхай прамы стрыжань замацаваны на адным са сваіх канцоў x=0, а на другім канцы ён нагружаны круцільным момантам M (мал. 1). Тады кожная яго секцыя паварочваецца на пэўны вугал α(x) вакол пэўнай прамой, паралельнай восі палкі, якую мы прымем за вось x. Калі ўсе сячэнні роўныя адзін аднаму, то любая прамая, паралельная восі х, пяройдзе ў катушку, а вугал α будзе прапарцыянальны адлегласці ад замацаванага канца: α=ϑx, адкуль узнікаюць перамяшчэнні кампанентаў у плоскасці сячэння (мал. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Велічыня ϑ называецца торсійным вуглом (памер: даўжыня-1, паварот на адзінку даўжыні). Вугал кручэння прапарцыянальны круцільнаму моманту M:
ϑ = M/GJT. (2)
Мал. 2
Каэфіцыент прапарцыянальнасці GJT, калянасць на скручванне, роўны здабытку модуля зруху G і каэфіцыента JT, які адлюстроўвае ўплыў формы і памеру сячэння.
Гэты паварот секцыі не з’яўляецца адзінай дэфармацыяй стрыжня. Акрамя таго, існуе таксама выгіб папярочнага сячэння, г.зн. са зрушэннем u у напрамку восі x, якое мае аднолькавую велічыню для адпаведных пунктаў усіх папярочных сячэнняў і, такім чынам, з’яўляецца толькі функцыяй каардынат у плоскасці сячэння, а ў адваротным выпадку прапарцыянальна нагрузцы M або вуглу кручэння ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Калі прыведзеныя вышэй выразы ўвесці ў адпаведныя ўраўненні перамяшчэння, атрымліваецца, што галоўныя нармальныя напружанні роўныя нулю, застаючыся толькі два кампаненты напружання τxy і τxz:
Eq. 3
Дыферэнцыяльнае ўраўненне задачы кручэння атрымліваецца на аснове ўраўненняў (3), паставіўшы:
Адзінка. 4a і 4b
і рашаючы гэтыя дыферэнцыяльныя ўраўненні для невядомых τxy і τxz шляхам увядзення функцыі напружання F(y,z), якая:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Гэта ідэнтычна задавальняе ўраўненне (4a), а неабходнае дыферэнцыяльнае ўраўненне
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Гранічная ўмова, неабходная для адназначнага рашэння гэтага ўраўнення, атрымана з патрабавання адсутнасці напружанняў зруху на абалонцы стрыжня, з чаго, з-за спалучанага характару напружанняў зруху, вынікае, што напружанне ў плоскасці папярочнага сячэння не павінна мець кампанента, перпендыкулярнага ёй па контуры. Адсюль мал. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
таму
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
г.зн. поўны дыферэнцыял функцыі F павінен быць роўны нулю, гэта значыць, ён павінен быць F=const. па контуры.
Калі сячэнне мае толькі адзін контур, на ім можна проста паставіць F=0, таму што для функцыі напругі, ад якой нас фактычна цікавяць толькі вытворныя, адвольная адытыўная канстанта не гуляе ролі. З раздзеламі, якія маюць больш чым адзін контур, гэтае пытанне больш складанае.
Як відаць з ураўнення (5), выніковая напружанняў зруху τxy і τxz у адвольным пункце перасячэння роўная па велічыні градыенту функцыі напружання F, але перпендыкулярная яму, г.зн. мае датычны кірунак да прамой F=канст.
Рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення (6) дае напружанне τ як функцыі y, z і ϑ. Задачай разліку з’яўляецца, вядома, вызначэнне вугла кручэння ϑ і напружання, асабліва максімальнага напружання ў залежнасці ад круцільнага моманту, такім чынам, вызначэнне калянасці сячэння JT з ураўнення (2) і супраціўляльнага круцільнага моманту WT = Mmaxτ. Каб атрымаць іх, неабходна толькі выразіць M як функцыю F:
Абодва складанні гэтага інтэграла, якія павінны быць зроблены па ўсім раздзеле, могуць быць пераўтвораны шляхам частковага інтэгравання. Калі, напрыклад, першы з іх інтэгруецца першым па лініі z=const. ад кропкі на контуры y=y1 да кропкі y=y2 (мал. 3) і з улікам таго, што ў абодвух гэтых кропках F=0, атрымліваем
Тое ж значэнне атрымліваецца з другога інтэграла, так што
Eq. 7
Мал. 3
Іншыя выпадкі поўных раздзелаў
Дыферэнцыяльнае ўраўненне (6) — неаднароднае ўраўненне тэорыі патэнцыялу. Такім чынам, для рашэння задачы кручэння ў выпадку адвольнага сячэння даступныя метады тэорыі патэнцыялу, якія дазваляюць заўсёды яго знайсці. Гэтыя метады, аднак, звычайна занадта складаныя, каб прымяняцца да асобных выпадкаў, якія ўзнікаюць на практыцы. Таму ў наступнай табліцы прыведзены вынікі такіх разлікаў для некалькіх участкаў.
Для папярочных сячэнняў, блізкіх да круглых, можна паставіць JT=F_4/40_Ip, дзе F — плошча, а Ip — палярны момант інэрцыі папярочнага сячэння.
Заўвага да формул і табліц: выразы і значэнні на адсканаваных выявах захоўваюцца як гістарычная крыніца. OCR-тэкст, індэксныя знакі і сканаванне недастаткова надзейныя для разліку. Перад выкарыстаннем кожная формула, адзінка, каэфіцыент і вобласць прымянення павінны быць правераны ў аўтарытэтнай прафесійнай крыніцы і дзеючым стандартам.
Аналогія з мембранай
Добрая дапамога для ацэнкі напружанняў кручэння, і ў той жа час працэдура іх дакладнага вызначэння забяспечваецца аналогіяй паміж функцыяй напружання F задачы кручэння і папярочнай нагрузкай ад прагіну мембраны. Няхай на плоскай сценцы сасуда ёсць сярэдняе адтуліну, якое супадае з папярочным сячэннем стрыжня, нагружанага на кручэнне. Калі мембрана нацягваецца на гэтую адтуліну і ў пасудзіне ствараецца невялікі залішні ціск p, мембрана выпінаецца вонкі, так што яе адхіленні ξ(y,z) задавальняюць дыферэнцыяльнаму ўраўненню
, дзе N - павярхоўнае нацяжэнне ў мембране, выкліканае капілярнымі сіламі (памеры: сіла на адзінку даўжыні). Гэта ўраўненне супадае з ураўненнем (6), а гранічная ўмова ξ=0 такая ж, як і для функцыі напругі. Такім чынам можна атрымаць функцыю напружання F(y,z) з дапамогай гэтага люстэрка з мембранай і такім чынам вырашыць праблему кручэння. Напружанне τ адпавядае нахілу мембраны ў адносінах да плоскасці y-z, таму самае крутое месца - гэта месца, дзе стрыжань, падвергнуты кручэнню, мае найбольшае напружанне зруху.
Мал. 4
Мал. 5
Гэта мембранная працэдура асабліва падыходзіць для атрымання прыблізных узораў для танкасценных секцый. Калі, напрыклад, двутавровое сячэнне падзелена па мал. 4 на трох прамавугольніках і для кожнага з іх асобна праводзіцца аналогія з мембранай, сума аб’ёмаў атрыманых выступаў будзе толькі крыху меншая за аб’ём, які рэальна адпавядае функцыі напругі. Такім чынам, калі таўшчыні b1 і b2 малыя, прыкладна
JT = 2JT1 + JT2,
, дзе JT1 і JT2 з’яўляюцца каэфіцыентамі калянасці асобных прамавугольнікаў, якія можна разлічыць на аснове табліцы 1. Лепшае набліжэнне атрымліваецца, калі JT2 = a2 b32/3 выкарыстоўваецца для рабрыны, гэта значыць, калі рабро разглядаецца як частка вельмі выцягнутага прамавугольніка. Яшчэ больш дакладнае значэнне атрымана паводле Trayer і March\ з
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
, дзе D — дыяметр найбольшай акружнасці, упісанай, як паказана на мал. 4, а α можна ўзяць з мал. 5. Для Т-вобразнага перасеку гэта атрымліваецца аналагічна
JT = JT1 +JT2 + α D4,
, дзе JT2 складае палову значэння, разлічанага ў адпаведнасці з табліцай 1 для a=2 a2, b=b2. Для L-секцый (мал. 6) гэта падобна на
JT = JT1 + JT2 + β D4
, дзе JT1 для больш тоўстага плеча бярэцца непасрэдна з табліцы 1, у той час як JT2 для больш тонкага пляча разлічваецца як для Т-вобразнага сячэння, а β бярэцца з мал. 7.
Мал. 6
Мал. 7
Пры разліку напружання круцільны момант разбіваецца на складовыя прамавугольнікі: частка, якая прыпадае на фланцы M1=M JT2/JT; затым вылічваецца напружанне зруху ў сярэдзіне большага боку кожнага прамавугольніка на аснове табліцы 1. Самае вялікае з гэтых напружанняў неабавязкова павінна быць самым вялікім напружаннем зруху, якое ўзнікае ў разрэзе. А менавіта, калі вугал падзення не закруглены, у гэтым месцы атрымліваецца τ=∞, так што пры вельмі малым радыусе закруглення тут можна чакаць найбольшага напружання зруху.
Інжынерная заўвага: матэматычная сінгулярнасць пад ідэалізаваным вострым вуглом не з’яўляецца дазволам ацэньваць фактычныя дэталі толькі па гэтай прыблізнай схеме. Фактычная геаметрыя акруглення, допускі, пластычнасць, зварныя швы, рэшткавыя напружанні, лакальная стабільнасць і стомленасць патрабуюць адпаведнага мадэлявання і экспертнай праверкі.
Для аднабаковага вугла, таўшчыня катэта якога роўная t паводле Trefftz, акругленне дыяметра r:
, дзе τ0 абазначае самае высокае напружанне, разлічанае для кожнай асобнай ногі ў адпаведнасці з апісанай тут працэдурай. Для большых радыусаў закруглення можна прыняць τ=2__τ0.
Трубы з тонкай сценкай (узоры Брэдта)
У трубах з тонкімі сценкамі выпуклая мембрана мае форму, паказаную на мал. 8, які складаецца з плоскасці над полай прасторай унутры трубы і нахільнай паверхні, якая акружае яе і ляжыць над эфектыўным участкам сценкі трубы; гэтая нахіленая паверхня павінна быць больш стромай, калі сценкі трубы ў адпаведным месцы танчэй. У гэтым выпадку напружанне зруху размяркоўваецца даволі раўнамерна па таўшчыні сцен і зваротна прапарцыянальна таўшчыні сцен, г.зн. сіла зруху T = τt не змяняецца па акружнасці сячэння.
Сл. 8
Элемент паверхні t_∙ds_ атрымлівае частку круцільнага моманту
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
так што агульны момант
Eq. 8
, дзе паверхня FR пакрыта сярэдняй лініяй, пазначанай лініямі і кропкамі на мал. 8. Адсюль вы атрымаеце
Eq. 9 - Першы ўзор Bredt\
Жорсткасць на кручэнне атрымліваецца прасцей за ўсё, калі праца дэфармацыі выяўляецца, з аднаго боку, праз круцільны момант і вугал кручэння, а з іншага боку, праз напружанне зруху. Такім чынам атрыманы стрыжань даўжынёй l
таму, уводзячы значэнне для τ у адпаведнасці з ураўненнем (8),
гэта значыць, у параўнанні з ураўненнем (2):
Eq. 10
Калі таўшчыня сцен навокал аднолькавая, значыць, усё проста (2. Узор Bredt):
Eq. 11
Нармальныя напружанні пры кручэнні з-за выгібу секцый
Асноўныя тэрміны і дыферэнцыяльнае ўраўненне
Перамяшчэнні кампанентаў u, ураўненне (1b), вызначае крывізну сячэнняў ад іх плоскасцей. Калі круцільны момант пастаянны, гэты выгіб аднолькавы ва ўсіх сячэннях і нармальныя напружанні σx не з’яўляюцца.
У многіх выпадках крывізна папярочнага сячэння, якая павінна ўзнікнуць на аснове _St. Тэорыя Венанта немагчымая. Калі круцільны момант рэзка змяняецца ў адным папярочным сячэнні, з абодвух бакоў сячэння будзе адбывацца выгіб рознай велічыні, і бесперапыннасць дэфармацыі будзе парушана. Адзін канец стрыжня можна заціснуць такім чынам, каб выгіб секцыі ў гэтым месцы быў цалкам выключаны. У такіх выпадках варта ўнесці папраўку _St. Тэорыі Венанта. У стрыжні ўзнікаюць дадатковыя напружанні σx у напрамку восі стрыжня і дадатковыя сілы зруху T (напружання зруху T/t), якія з’яўляюцца найбольшымі ў раздзеле, дзе парушаецца бесперапыннасць дэфармацыі, і якія экспанентна памяншаюцца з аддаленнем ад гэтага ўчастка. У выпадку цвёрдых стрыжняў і трубак гэтая тэорыя з’яўляецца складанай, і дадатковыя напружання памяншаюцца так хутка, што іх вызначэнне ў большасці выпадкаў не мае сэнсу. Для танкасценных стрыжняў з адкрытым профілем гэтая папраўка мае вялікае значэнне і можа быць разлічана адносна лёгка.
Мал. 9
Мал. 9 паказвае лінію, па якой перасякаюцца сярэдняя паверхня сцяны і плоскасць сячэння (сярэдняя лінія сячэння). O — цэнтр адноснага вярчэння двух сумежных сячэнняў. Калі іх адлегласць роўная dx, торсійны вугал роўны ϑ dx, таму адвольная кропка сярэдняй лініі зведвае зрушэнне u ϑ dx. Гэта перамяшчэнне мае складнік rt ϑ dx у датычным да сячэння кірунку, а слізгаценне элемента сярэдняй паверхні сцяны складае (з улікам таго, што _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Паколькі напружанне зруху ў сярэдняй паверхні сцяны роўна нулю, яно таксама павінна быць γ=0, і таму
Гэты шаблон утрымлівае тры адвольныя параметры: пачатак, ад якога вылічваецца даўжыня дугі s, і каардынаты цэнтра адноснага кручэння O, ад якога залежыць rt. Пачатак, ад якога вылічваецца даўжыня дугі s, можна выбраць так, каб сярэдняе значэнне крывізны было роўным нулю:
і каардынаты цэнтра O можна вызначыць такім чынам, што моманты ад выгібу сячэння таксама роўныя нулю:
Можна паказаць, што цэнтр вярчэння, вызначаны такім чынам, супадае з цэнтрам зруху, апісаным тут і вызначаным іншым спосабам.
Калі выгіб секцыі, апісаны гэтымі ўзорамі, цалкам або часткова прадухілены, павінны з’явіцца нармальныя напружанні σx у напрамку восі стрыжня. Больш уважлівае вывучэнне паказвае, што гэтыя напружанні можна лічыць прапарцыянальнымі функцыі крывізны φ: σx=k__φ, дзе φ залежыць толькі ад s, а k толькі ад x. Як паводле закону Гука:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
павінен быць k=E d__ϑ/dx. Нармальныя напружанні σx называюцца напружаннямі выгібу сячэння. Улічваючы ўраўненні вышэй, яны ўтвараюць раўнаважную сістэму сіл у кожным сячэнні, сістэму сіл, абумоўленую выгібам сячэння.
Агульны круцільны момант складаецца з дзвюх частак: адна з іх M1=GJT__ϑ ўзнікае ў выніку напружання зруху падчас кручэння, якое дае St. Тэорыя Venant, а другі M2 адбываецца з-за выгібу сячэння:
Eq. 13
Паколькі момант M задаецца як функцыя x, гэты выраз уяўляе сабой дыферэнцыяльнае ўраўненне для вугла кручэння ϑ. Калі гэта ўраўненне вырашана, можна вылічыць M1 і M2, а значыць, і ўсе напружанні і дэфармацыі.
Рашэнне і прыкладанні
Калі круцільны момант M пастаянны, агульным рашэннем ураўнення (13) з’яўляецца:
Канстанты інтэгравання C1, C2 павінны быць вызначаны з двух межавых умоў.
a) Жорстка заціснуты канец x=0 (мал. 1)
На гэтым канцы знаходзіцца u≡0, таму на падставе ўраўнення (1b) ϑ=0. Калі стрыжань вельмі доўгі (αl>>1), то C1=0 і C2= -M/GJT. У выпадку кароткіх стрыжняў на з’яўленне напружання з-за выгібу секцыі ўплывае стан на правым канцы стрыжня. Калі ў гэтым месцы не прадухіліць выгіб секцыі, будуць σx≡0 і dϑ/dx=0. Адсюль вы атрымаеце
б) Сіметрычная тарсіённая нагрузка паводле мал. 10
На левай палове стрыжня круцільны момант роўны -M/2, а на правай +M/2. У выпадку свабоднага кручэння ўчасткі злева і справа ад сярэдзіны стрыжня былі б закручаны ў процілеглы бок, таму бесперапыннасць дэфармацыі не захавалася б. Такім чынам, у месцы x=0 увесь круцільны момант павінен перадавацца праз напружанні, якія ўзнікаюць з-за выгібу сячэння, і таму ў гэтым сячэнні M1=0 і, такім чынам, ϑ=0. У гэты момант дзейнічае сістэма сіл, каб участак заставаўся прамым, нават калі ўчасткі ляжаць далей ад цэнтра крывой стрыжня. Калі, акрамя таго, патрабуецца, каб на канцах стрыжня напружанні былі σx≡0, атрымліваецца яшчэ адна гранічная ўмова для кожнай паловы стрыжня, такім чынам, для правай паловы гэта
Мал. 10
c) Знешні момант M у адвольным месцы (мал. 11)
У гэтым выпадку рашэнне ϑ для абедзвюх частак стрыжня павінна быць запісана асобна, таму ў агульнай складанасці з’явяцца чатыры канстанты C1, C2, C3, C4. Акрамя таго, круцільныя моманты Ma, Mb таксама невядомыя. Даступна шэсць ураўненняў: умова бесперапыннасці для ϑ (выражаецца u) і для dϑ/dx (выражаецца σx) у кропцы дзеяння нагрузкі, адна ўмова на кожным канцы стрыжня (напрыклад, цвёрдае зацісканне ϑ=0 або беспарушаны згін, dϑ/dx=0), умова раўнавагі моманту -Ma+Mb=M і, нарэшце, умова, што канцавыя ўчасткі не паварочваюцца адзін да аднаго: ∫ ϑdx = 0.
Мал. 11
Апошняя заўвага: выбар торсионной мадэлі залежыць ад адкрытага або закрытага сячэння, стройнасці, спосабу апоры, месца ўводу моманту і магчымасці вольнага выгібу. Для рэальнага элемента павінны быць правераны гранічныя станы апорнай нагрузкі і эксплуатацыйнай прыдатнасці, лакальныя дэталі, злучэнні, стомленасць і ўстойлівасць, а не проста асобная формула з артыкула.