Argyfekspertynhâld: de tekst en formules jouwe in histoaryske teoretyske presintaasje oer en binne gjin projekt, statyske berekkening, kontrôle fan draachfermogen, beoardieling fan in besteand elemint, of ynstruksjes foar bou of sanearring. Oantsjuttings, oannames en benadere patroanen moatte wurde kontrolearre tsjin it spesifike systeem, materiaal, mjitkunde, grinsbetingsten en jildende noarmen. Berekkening fan torsion, stabiliteit, wurgens, gewrichten en stress fanwege foarkommen bûgen moat dien wurde troch in fergunning yngenieur, mei ûnôfhinklike kontrôle as nedich.
Hjoed is Savo Kusić rjochte op houten finsters, hout-aluminium finsters, oanpaste finsters, doar en oanfragen foar offerte. Dit artikel bliuwt as in histoarysk profesjonele argyf en fertsjintwurdiget gjin struktureel ûntwerptsjinst.
Saint-Venant teory fan torsion (frije torsion)
Differinsjaalfergeliking
Sl.1
Lit in rjochte roede wurde fêstmakke oan ien fan syn úteinen x=0en lit it oan it oare ein laden wurde mei in torsjemomint M (fig.1). Dan draait elk fan syn seksjes mei in bepaalde hoeke α(x) om in bepaalde line parallel oan de as fan ’e stok, dy’t wy sille oannimme as de x-as. As alle seksjes lyk oan elkoar binne, sil elke rjochte line parallel oan de x-as yn in spoel passe, en de hoeke α sil evenredich wêze mei de ôfstân fan it fêste ein: α=ϑx, wêrfan de ferpleatsing fan de komponinten yn it flak fan ’e seksje ûntsteane (Fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1in)
De kwantiteit ϑ wurdt de torsjonshoek neamd (dimensje: lingte-1, rotaasje per ienheid lingte). De torsion hoeke is evenredich mei it torsion momint M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl.2
De evenredichheidsfaktor GJT, de torsjonele stivens, is lyk oan it produkt fan ’e skuormodulus G en de faktor JT, dy’t it effekt fan ’e foarm en grutte fan ’e seksje fertsjintwurdiget.
Dizze rotaasje fan ‘e seksje is net de ienige deformaasje fan’ e roede. Dêrnjonken is der ek bûging fan ’e trochsneed, dus nei de ferpleatsing u yn ’e rjochting fan ’e x-as, dy’t deselde grutte hat foar de oerienkommende punten fan alle trochsneden en dus allinnich in funksje is fan de koördinaten yn it flak fan de trochsneed, en is oars evenredich mei de lading M of de _ torsion : ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
As de boppesteande útdrukkingen wurde yntrodusearre yn de oerienkommende ferpleatsing fergelikingen, wurdt krigen dat de wichtichste normale spanningen binne gelyk oan nul, leaving mar twa komponint stress τxy en τxz:
Ien.3
De differinsjaalfergeliking fan it torsionprobleem wurdt krigen op basis fan de fergelikingen (3) sette:
Ien.4en ik4b
en it oplossen fan dizze differinsjaalfergelikingen foar de ûnbekenden τxy en τxz troch it ynfieren fan de stressfunksje F(y,z) dat:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Dit foldocht identyk oan de fergeliking (4a), en de fereaske differinsjaalfergeliking
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
De grinsbetingst dy’t nedich is foar de unike oplossing fan dizze fergeliking wurdt krigen fan ‘e eask dat d’r gjin skuorspanningen binne op’ e stangomhulling, wêrfan’t, fanwege de konjugearre aard fan ’e skuorspanningen, folget dat de spanning yn it dwerstrochsneedflak gjin komponint hawwe moat loodrecht op ’e kontour. Fan hjirút, fig. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
dêrom
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ie. it totale ferskil fan ’e funksje F moat nul wêze, dat is, it moat F=const. lâns de kontoer.
As de seksje mar ien kontoer hat, dan kin it der gewoan F=0 op set wurde, want by de spanningsfunksje, dêr’t wy eins allinnich mar yn derivatives fan binne, spilet in willekeurige additive konstante gjin rol. Mei seksjes dy’t mear as ien kontoer hawwe, is dizze fraach komplekser.
As kin sjoen wurde út de fergeliking (5) is de resultant fan de skuorspanningen τxy en τxz op in willekeurich krusingspunt lyk oan de gradient fan ’e spanningsfunksje F, mar hat in tangens op ’e line, i. F=const.
Troch it oplossen fan de differinsjaalfergeliking (6)) de spanningen τ as funksjes fan y, z en ϑ wurde krigen. De taak fan ‘e berekkening is fansels de bepaling fan’ e torsjonshoek ϑ en de spanning, benammen de maksimale spanning as funksje fan it torsjonele momint, dus de bepaling fan ‘e stivens fan’ e seksje JT út ’e fergeliking (2) en it wjerstânskoppel WT = Mmaxτ. Om dizze te krijen, is it allinich nedich om M út te drukken as funksje fan F:
Beide gearfettings fan dizze yntegraal, dy’t oer de hiele seksje oernommen wurde moatte, kinne troch parsjele yntegraasje omfoarme wurde. As bygelyks de earste fan har yntegreart earst lâns de line z=const. fan it punt op ’e kontoer y=y1 nei it punt y=y2 (fig.3) en hâld der rekken mei dat yn beide fan dizze punten F=0, wurdt krigen
Deselde wearde wurdt krigen fan de twadde yntegraal, sadat
Ien.7
Sl.3
Oare gefallen fan folsleine seksjes
De differinsjaalfergeliking (6) is de inhomogene fergeliking fan potinsjele teory. Dêrom, foar de oplossing fan it torsion probleem yn it gefal fan in willekeurige dwerstrochsneed, binne de metoaden fan ’e potinsjele teory beskikber, wêrtroch’t it altyd te finen is. Dizze metoaden binne lykwols oer it algemien te kompleks om tapast te wurden op yndividuele gefallen dy’t yn ’e praktyk ûntsteane. Dêrom toant de folgjende tabel de resultaten fan sokke berekkeningen foar ferskate seksjes.
Foar dwerstrochsneed tichtby sirkulêr, kin JT=F wurde set4/40_Ip_, wêrby’t F it gebiet is en Ip it poaltraagheidsmoment fan ’e seksje is.
Opmerking oer formules en tabellen: útdrukkingen en wearden yn skande ôfbyldings wurde opslein as in histoaryske boarne. OCR-tekst, yndeksmarkearrings en scan binne net betrouber genôch foar berekkening. Foardat gebrûk moat elke formule, ienheid, koeffizient en jildigensgebiet wurde kontrolearre yn in autoritative profesjonele boarne en jildige standert.
Analogy mei it membraan
In goede help foar it skatten fan torsjonele spanningen, en tagelyk in proseduere foar har krekte fêststelling wurdt levere troch de analogy tusken de stressfunksje F fan it torsjonele probleem en de ôfwiking dwerse lading fan it membraan. Lit d’r in gemiddelde iepening wêze op ’e platte muorre fan in skip dy’t oerienkomt mei de dwerstrochsneed fan in roede laden yn torsion. As it membraan oer dizze iepening spand wurdt en in lytse oerdruk p wurdt feroarsake yn it skip, bultet it membraan nei bûten, sadat syn ôfwikingen ξ(y,z) foldogge oan de differinsjaalfergeliking
wêr N is de oerflak spanning yn it membraan feroarsake troch capillary krêften (ôfmjittings: krêft per ienheid lingte). Dizze fergeliking komt oerien mei de fergeliking (6), en de grinsbetingst ξ=0is itselde as dy fan ’e spanningsfunksje. Op dizze manier kin de spanningsfunksje F(y,z) mei dizze spegel mei it membraan krigen wurde en dus it torsionprobleem oplosse. De spanning τ komt oerien mei de helling fan it membraan yn relaasje ta it y-z-fleantúch, dus it steilste plak is it iene dêr’t de roede bleatsteld oan torsion de heechste skuorspanning hat.
Sl.4
Sl.5
Dizze membraanproseduere is benammen geskikt foar it krijen fan likernôch patroanen foar tinnemuorre seksjes. As bygelyks de I-seksje ferdield is neffens fig.4op trije rjochthoeken en foar elk fan harren wurdt de analogy mei it membraan apart útfierd, de som fan ‘e folumes fan’ e resultearjende protrusions sil mar wat lytser wêze as it folume dat eins oerienkomt mei de spanningsfunksje. Dêrom, as de dikten binne b1 en b2 lyts, likernôch
JT =2JT1+ JT2,
wêr JT1 en JT2 stivensfaktoaren fan yndividuele rjochthoeken dy’t kinne wurde berekkene op basis fan ’e tabel1. In bettere oanpak wurdt krigen as JT wurdt pleatst foar de rib2 = a2b32/3, dêrom, as de rib wurdt beskôge as ûnderdiel fan in hiel langwerpige rjochthoeke. In noch krekter wearde wurdt krigen neffens Trayer en March\ fan
JT =2JT1+1/3in2b32+2 α D4,_
wêr D is de diameter fan de grutste sirkel ynskreaun lykas werjûn yn fig.4, en α kin wurde nommen út fig.5. Foar de T-seksje wurdt it op deselde manier krigen
JT = JT1+JT2+ α D4,
wêr JT2 de helte fan de wearde berekkene neffens de tabel1foar a=2_in2_, b=b2. Foar L-seksjes (Fig.6) is gelyk oan dat
JT = JT1+ JT2+ β D4
wêr JT1 foar de dikker earm wurdt nommen direkt út ’e tafel1, wylst JT2 foar de tinner skonk wurdt berekkene as foar de T-seksje, en β wurdt nommen út fig.7.
Fig. 6
Sl.7
By it berekkenjen fan de spanning wurdt it torsjonele momint ferdield yn konstituerende rjochthoeken: it diel dat op ’e flenzen falt M1=M JT2/JT; de skuorspanning wurdt dan berekkene op ‘e midden fan’ e langere kant fan elke rjochthoek basearre op ’e tabel1. De grutste fan dizze spanningen hoecht net de grutste skuorspanning te wêzen dy’t yn ’e seksje ferskynt. As de ynfalshoek net ôfrûn is, wurdt nammentlik op dat plak τ=∞ krigen, sadat foar in tige lytse rûningsradius hjir de heechste skuorspanning ferwachte wurde kin.
** Engineering Opmerking: ** de wiskundige singulariteit fan ’e idealisearre skerpe hoeke is gjin lisinsje om it eigentlike detail te skatten troch dit sawat patroan allinich. De eigentlike rûngeometry, tolerânsjes, plastykens, welds, oerbliuwende spanningen, lokale stabiliteit en wurgens fereaskje passende modellering en saakkundige ferifikaasje.
Foar in iensidige hoeke wêrfan de syddikte t is neffens Trefftz\ is op de rûning fan de diameter r:
wêr mei τ0 markearre maksimum spanning berekkene foar eltse yndividuele skonk basearre op de proseduere beskreaun hjir. Foar gruttere rûne radii kin τ= oannommen wurde2__τ0.
tinne muorre buizen (Bradt-patroanen)
Yn tinne muorre buizen hat de útbulte membraan de foarm werjûn yn fig.8, dat bestiet út in flak boppe de holle romte binnen de piip en in skeante oerflak dat der omhinne en leit boppe it effektive diel fan de piip muorre; dit hellende oerflak moat wêze steiler as de pipe muorren binne tinner op it passend plak. Yn dit gefal wurde de skuorspanningen frij lykmjittich ferdield oer de dikte fan ‘e muorren en binne omkeard evenredich mei de dikte fan’ e muorren, d.w.s. shear krêft T = τt feroaret net lâns de omtrek fan ’e seksje.
Sl. 8
It oerflakelemint t_∙ds_ krijt in diel fan it torsjonele momint
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
dus it totale momint is
Ien.8
dêr’t de FR oerflak wurdt bedutsen troch de middelste line markearre troch linen en stippen yn fig.8. It wurdt hjirwei krigen
Ien.9- It earste Bredt\ patroan
Torsjonele stivens wurdt it ienfâldichst krigen as it deformaasjewurk oan ‘e iene kant útdrukt wurdt troch torsjonele momint en torsjonshoek en oan’ e oare kant troch skuorspanningen. Op dizze manier wurdt it krigen foar in stangelemint fan lingte l
dus, de wearde foar τ yntrodusearje neffens de fergeliking (8),
dat is, yn ferliking mei de fergeliking (2):
Ien.10
As de dikte fan ’e muorren rûnom itselde is, dan is it ienfâldich (2. Bredt’s patroan):
Ien.11
Normale spanningen yn torsion fanwege bûgen fan seksje
Basisbegripen en differinsjaalfergeliking
Component ferpleatsing u, fergeliking (1b), bepaalt de kromming fan ’e seksjes fan har fleantugen. As it torsionmomint konstant is, is dizze bûging yn alle seksjes itselde en normale spanningen σx ferskine net.
Yn in protte gefallen is de kromming fan ’e dwerstrochsneed, dy’t op grûn fan _St. De teory fan Venant is net mooglik. As de torsjonele momint feroaret abrupt yn ien dwerstrochsneed, bûgen fan ferskillende grutte soe foarkomme oan beide kanten fan ‘e dwerstrochsneed, en de kontinuïteit fan’ e deformation soe wurde fersteurd. Ien ein fan de roede kin sa clamped dat bûgen fan de seksje is hielendal útsletten op dat punt. Yn sokke gefallen moat in wiziging makke wurde _St. Venant syn teoryen. Oanfoljende spanningen σx yn ‘e rjochting fan’ e as fan ‘e roede en oanfoljende skuorkrêft T (skuorspanningen T/t) ferskine yn’ e roede, dy’t de heechste binne yn ’e seksje wêr’t de kontinuïteit fan ferfoarming wurdt brutsen en dy’t eksponentiell ôfnimme mei ôfstân fan dizze seksje. Yn it gefal fan fêste roeden en buizen is dizze teory kompleks, en de oanfoljende spanningen sakje sa gau dat har fêststelling yn ’e measte gefallen net wurdich is. Foar tinne muorre iepen-profyl roeden is dizze korreksje fan grut belang en kin relatyf maklik berekkene.
Sl.9
Sl.9lit de line sjen wêrby’t it middenflak fan ’e muorre en it seksjeflak krúsje (de middenline fan ’e seksje). O is it sintrum fan relative rotaasje fan twa neistlizzende seksjes. As harren ôfstân dx is, is de torsjonshoek ϑ dx, dus in willekeurige punt fan ’e middenline ûndergiet in ferpleatsing u ϑ dx. Dizze ferpleatsing hat in komponint rt ϑ dx yn ‘e rjochting tangens oan’ e seksje, en is de slip fan it elemint fan ‘e middenflak fan’ e muorre (mei rekken brocht dat _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Sûnt de skuorspanning yn it middenflak fan ’e muorre nul is, moat it ek γ= wêze0, dus dêrom
Dit patroan befettet trije willekeurige parameters: de oarsprong wêrfan de bôgelengte s wurdt berekkene en de koördinaten fan it sintrum fan relative rotaasje O, wêrfan rt hinget. It útgongspunt wêrfan de bôgelengte s wurdt berekkene kin sa keazen wurde dat de gemiddelde kromtewearde nul is:
en de koördinaten fan it sintrum O kinne bepaald wurde op sa’n manier dat de mominten fanwege it bûgen fan ’e seksje nul binne:
It kin oantoand wurde dat it sa bepaald rotaasjesintrum oerienkomt mei it skearsintrum dat hjir op in oare wize beskreaun en definiearre.
As it bûgen fan ‘e seksje beskreaun troch dizze patroanen folslein of foar in part foarkommen wurdt, moatte normale spanningen σx yn’ e rjochting fan ‘e as fan’ e roede ferskine. Neier ûndersyk docht bliken dat dizze spanningen evenredich nommen wurde kinne mei de kromfunksje φ: σx=k__φ, wêrby’t φ allinnich hinget fan s en k allinnich fan x. Neffens de wet fan Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
moat k=E d__ϑ/dx wêze. Normale spanningen σx wurde seksjebûnspanningen neamd. Sjoen de boppesteande fergelikingen foarmje se in lykwichtsysteem fan krêften yn elke seksje, in systeem fan krêften troch it bûgen fan ’e seksje.
De totale koppel bestiet út twa dielen: ien fan harren M1=GJT__ϑ ûntstiet troch torsjonele skuorspanningen jûn troch St. Venant's teory, en de oare M2 komt foar troch bûgen fan ’e seksje:
Ien.13
Sûnt it momint M wurdt jûn as in funksje fan x, stelt dizze útdrukking in differinsjaalfergeliking foar de torsion hoeke ϑ. Ienris dizze fergeliking is oplost, kin M wurde berekkene1 en M2, en dus alle spanningen en spanningen.
Oplossing en applikaasjes
As it torsionmomint M konstant is, is de algemiene oplossing fan ’e fergeliking (13) is:
Yntegraasjekonstanten C1, C2 moat bepaald wurde út twa grinsbetingsten.
a) Stevig klemme ein x=0(fig.1)
Oan dit ein is u≡0, dus basearre op de fergeliking (1b) ϑ=0. As de roede tige lang is (αl>>1), dan C1=0en C2= -M/GJT. Yn it gefal fan koarte roeden wurdt it uterlik fan stress troch bûgen fan ‘e seksje beynfloede troch de betingst oan’ e rjochterkant fan ’e roede. As it bûgjen fan it stik op dat plak net foarkomt, komt der σx≡0en dϑ/dx=0. It wurdt hjirwei krigen
b) Symmetryske torsion load neffens fig.10
Op de linkerhelte fan de roede is it torsjonele momint -M/2, en rjochts +M/2. Yn it gefal fan frije torsion, de seksjes nei lofts en rjochts fan ‘e midden fan’ e stêf soe wurde ferdraaid yn ‘e tsjinoerstelde rjochting, dêrom soe de kontinuïteit fan’ e deformation net bewarre bleaun. Dêrom, op it plak x=0it hiele torsjoneel momint moat oerbrocht wurde troch de spanningen dy’t foarkomme troch it bûgen fan ’e dwerstrochsneed, en dus yn dizze dwerstrochsneed M1=0en dêrom ϑ=0. Op dit punt fungearret in systeem fan krêften om te soargjen dat de seksje bliuwt rjocht, ek al seksjes dy’t lizze fierder út it sintrum fan de roede kromme. As it boppedat fereaske is dat de úteinen fan ’e roede spanningen hawwe σx≡0, ien mear grins betingst wurdt krigen foar elke helte fan ’e roede, dus it is foar de rjochterhelte
Fig. 10
c) Eksterne momint M op in willekeurich plak (fig.11)
Yn dit gefal moat de oplossing ϑ foar beide dielen fan ’e roede apart skreaun wurde, sadat in totaal fan fjouwer konstanten C ferskine1, C2, C3, C4. Dêrneist binne de torsjonmominten Ma, Mb ek ûnbekend. Seis fergelikingen binne beskikber: in kontinuïteitsbetingst foar ϑ (útdrukt troch u) en foar dϑ/dx (útdrukt troch σx) by it loadpunt, ien betingst oan elk ein fan ’e roede (bgl. stive klemmen ϑ=0, of ûnfersteurd bûgen, dϑ/dx=0), de betingst fan lykwicht troch mominten -Ma+Mb=M en as lêste de betingst dat de einseksjes net nei elkoar draaie: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
** Finale notysje: ** de kar fan torsion model hinget ôf fan de iepen of sletten seksje, slenderness, metoade fan stipe, plak fan momint ynfier en de mooglikheid fan frije bûgen. Foar in echte elemint moatte de load-bearing en serviceability limyt steaten, lokale details, gewrichten, wurgens en stabiliteit wurde kontrolearre, net allinnich ien isolearre formule út it artikel.