Tensiones normales in virgis rectis et virgis cum parva curvatura
Definitio virium sectionalium
Sit virga recta onerata viribus directionis arbitrariae, de quibus tantum supponitur omnes in eodem plano iacere (planum virium), quod per axem virgae transit (linea quae centra gravitatis sectionum transversarum coniungit).
SI.1
Ut tensiones, quae in quolibet sectione transversali n – n (fig. 1) agunt, computentur, necesse est cognoscere vim, quae per hanc sectionem ex una parte virgae in alteram transfertur. Ea manifeste magnitudine et situ aequalis est resultanti omnium virium, quae in unam partem virgae agunt. Haec resultans in componentes resolvitur in systemate coordinatarum, cuius axis x cum axe virgae congruit, axis autem z est linea, qua planum sectionis transversalis planum virium secat. Componens in directione axis z transversalis vis Q sive Qz appellatur, et apud trabem simplicem positiva habetur, si ad sinistram sectionis sursum dirigitur, ad dextram autem deorsum.
Cum virga curvata est, axes coordinati x et z in singulis sectionibus aliam habent directionem, et semper ita ut axis x tangentem ad axem virgae constituat. Si planum, in quo axis virgae iacet, cum plano virium non congruit, aut si axis virgae curva spatii est, resultantia virium a sinistra sectionis etiam tertiam componentem habet, vim transversalem Qy. Per N, Qz et Qy magnitudo et directio vis, quae per sectionem transmittitur, definiuntur, sed non et eius positio. Ad hoc etiam eius momenta respectu axium coordinatarum cognosci oportet. In casu flexionis planae satis est momenti flexionis M vel My notum esse. In casu universalissimo apparet adhuc aliud momentum flexionis Mz et momentum circa axem x, Mx.
Sex vires et momenta in praecedenti expositione definita sub nomine communi „vires sectionis“ comprehenduntur. Eorum determinatio est una ex praecipuis rebus staticae structurarum aedificiorum.
Inter onus continuo divisum p (dimensio: vis per unitatem longitudinis), vim transversalem Q et momentum flectens M simplex relatio in casu flexionis planae exsistit. Ex conditionibus aequilibrii unius elementi virgae (fig. 2) enim obtinetur
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
ergo
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
SI.2
Distributio tensionum normalium
Si virga sola vi axiali oneratur, in sectione apparet tantum aequale distributum normalis tensio σ (virga tensa, vel compressa). Si praeterea momentum flexionis apparet, hae tensiones aliquo modo inaequaliter distribui debent, ut eorum resultantia iam non per centrum gravitatis sectionis transeat. Ut haec distributio determinetur, theoria technica flexionis non a stricta solutione aequationum fundamentalium proficiscitur, sed partem harum aequationum suppositione plausibili substituit, quae in uno casu praesertim simplici simul etiam stricte impletur. Hic casus specialis est flexio virgae prismaticae rectae sine actione virium transversalium (fig. 3). Omnes elementa virgae satis a finibus eius remota eandem deformationem patiuntur, unde statim sequitur axem virgae in arcum circuli mutari et omnes planos sectionum transversarum, qui initio axi virgae erant perpendiculares, in deformatione planos manere, quia quisque eorum est planum symmetriae partium vicinarum virgae deformatae. Naturaliter suppositio se offert sectiones transversas etiam prope planas manere, cum et momentum flexionis et sectio transversa virgae non sint constantes, sed per virgam gradatim mutentur. Haec suppositio, quae Navier-iana hypothesis appellatur, fundamento est theoriae flexionis.
SI.3
Magnitudo tensionum normalium
Cum elementum rectum trabis flectitur, una pars eius „fibrarum“, id est linearum materialium axis baculi parallelum, extenditur, dum altera pars breviatur (fig. 4). Inter has duas partes iacent fibrae neutrales z=0, quarum longitudo in flexione non mutatur. Sit radius curvaturae harum fibrarum in statu flexo ϱ et sit ille in plano x-z. Ex fig. 4 m legi potest
Δ dx/z = _dx/_ϱ
et inde computatam extensionem fibrarum ad distantiam z ab axe neutro, quae est
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
itaque ex lege Hookeana tensio
σ _= Ez/_ϱ (2)
SI.4
Hoc tensio proportionalis est distantiae a fibris neutralibus. Talis effectus cum suppositione coniungitur quod ante deformationem omnes fibrae elementi virgae eiusdem longitudinis fuerunt, ita ut virga initio recta esset, aut saltem tam parva curvatura haberet ut effectus curvaturae neglegi posset. Recta, per quam stratum neutrum et planum sectionis secantur, axis neutralis appellatur. Eum pro axe y assumimus (fig. 5). Situs axis neutralis in sectione transversa ex conditione aequilibrii virium in directione axis x obtinetur: si vis normalis N=0 (flexio sine vi normali), tum etiam resultantia virium internarum per tensiones normales in sectione expressa nulla esse debet:
Integrale in parte dextra est momentum staticum superficiei respectu axis y. Ut hoc nullum sit, hic axis debet esse unus ex axibus centroidalibus.
Momentum M, quod deformationem efficit, respectu axium y et z in plano sectionis (fig. 5) has partes habet:
Aeq. (3)
where Iy, Iyz are the equatorial and centrifugal moments of inertia of the cross-section with respect to the indicated axes.
Najvažniji je specijalan slučaj kada je Mz=0. Ovaj slučaj nastupa kada je Iyz=0, tj. kada su y i z glavne osovine inercije preseka. To znači da se ravan savijanja koja je ovde usvojena sa x-z-ravni poklapa sa ravni u kojoj deluje moment savijanja M=My, tj. sa ravni sila.
SI.5
Si ex aequationibus (2) et (3) _E/_ϱ eliminatur, obtinetur formula ad determinandos stressus in flexione recta (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
pro puncta marginalia 1 et 2 praesertim est:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Magnitudines W1,2 = I/h1,2 (dimensio: longitudo ad potentiam tertiam) appellantur momenta resistentia. Si axis gravitatis horizontalis simul est axis symmetriae sectionis, tum W1 = W2, ideoque tensiones marginales magnitudine absoluta aequales sunt.
Fleksibilna linija
SI.6
Momentum formularum supra memoratarum cum lege Hookeana coniunctum est. Hoc postulat ut σ << E, igitur secundum (2) h << ϱ. Flectio tamen tanta esse potest ut ϱ eiusdem ordinis magnitudinis sit ac longitudo virgae l. In virgis flexis quae in aedificatione considerantur, hic casus non accidit; semper ϱ multo maius est quam l et ideo deflexio w << l (fig. 6). Tum proxime valet:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
et ex (3):
w’’ = - M/EI.
Haec aequatio et conditio aequilibrii (1b) systema aequationum differentialium virgae flexae constituunt. Eae per eliminationem ad unam aequationem quarti ordinis reduci possunt:
wIV = + p/EI
vel, si momentum inertiae variabile est:
(EIw’’)’’ = +p.
Ex iis per integrationem forma lineae elasticae inveniri potest, cum onus datum sit p=p(x) et cum pro unoquoque casu virgae duo condiciones limitis notae sint. Ex his saltem duae ad deformationem pertinere debent. De singulis v. articulum Statika građevinskih konstrukcija.
Nucleus sectionis
Si axis neutralis sectionem transversam secat, eam in zonam tractionis et zonam pressionis dividit. Apud materias parva vi tractionis resistentes quaestio oritur ubi vis pressionis impingere debeat, si in sectione transversa nusquam tensio oriri potest. Situs puncti impingentis vis tum ad regionem restringitur, quae nucleus sectionis appellatur. Terminus nuclei manifeste est locus geometricus punctorum, quorum axes neutri sectionem transversam per circumferentiam tangunt. Hac ratione simul eius constructio data est.
The distance of the kernel boundary from the centroid, measured in any direction, we shall denote by k with an index corresponding to that direction. For the principal axes of inertia according to the equation
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
Expositiones sunt hae:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Pro sectione transversali circulari radio r distantia nuclei est k = r/4, et pro anulo circuli (radiis: externo R, interno r) k = (R2 + r2) / 4R.
For the rectangle (fig. 7) it holds that ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Therefore, when loading a rectangular cross-section in one of the planes of symmetry (but only then), it is sufficient for the resultant to act in the middle third of the height or width of the cross-section for the stresses in the section to have the same sign.
SI.7
Flectio in regione plastica
Cum in fibris extremis virgulae flexae limen cedendi attingitur, eius capacitas portans eo ipso nondum exhausta est, quia dum fibrae exteriores plastice deформantur sub tensione constanti, in partibus quae propius ad axem neutralem iacent, ubi limen cedendi nondum est attingitum, tensio augetur, atque ita etiam momentum flexionis quod sectio recipere potest augetur.
Ako je poznat tačan tok dijagrama napona i deformacija, proces se za svostruko simetričke preseke (visine h) može lako računski pratiti na taj način što se, pod pretpostavkom da preseci ostaju ravni, iz dijagrama napona i deformacija odredi raspored napona σ usled savijanja koji odgovara nekoj usvojenoj dilataciji krajnjih vlakana ε__r i odatle integrisanjem odredi moment savijanja. Ako se ovo sprovede za različite ε__r i s druge strane sračuna odgovarajuća krivina linije ugiba w’’ = 2 ε__r / h, dobija se niz tačaka kroz koje se može provući linija koja daje vezu između momenta savijanja i krivine M = M(w’’); ova veza više nije linearna, a kada je ona poznata moguće je grafičkom integracijom odrediti liniju ugiba koja odgovara datom rasporedu momenata. Ako je presek nesimetričan, račun postaje složeniji, utoliko što se za svako ε__r mora još odrediti i položaj neutralne osovine.
SI.8
Computatio aliquatenus simplicatur, si praeter symmetriam sectionis etiam relatio simplificata inter tensiones et dilatationes secundum fig. 8 assumitur. Tunc tensiones ob flexionem, post excessum liminis cedendi, distributionem exhibent in fig. 9 ostensam et momentum flexionis est:
et ita curvatura lineae deflexionis obtinetur cum aequatio (2) in partem sectionis cuius tensiones in regione elastica sunt w’’ = σf / Ez’ applicatur. Si forma sectionis pro quolibet z’ assumpto nota est, integra calculare possunt. Exempli gratia, pro simplicissimo casu sectionis transversae rectangularis latitudinis b et altitudinis h est
Si hic z’ per w’’ exprimitur, obtinetur
In sectionibus I-formibus et similibus, cursus curvae M-w’’ in regione plastica adhuc magis inclinatus est, et momentum quo fluxio incipit tunc fere aequale est maximo momento flexionis quod sectio omnino sustinere potest. Quam ob rem momentum flexionis plasticae in arte structoria non in eo consistit quod augeatur momentum flexionis quod sectio ferre potest, sed in eo quod magna deformatiō localis quae ad limitem fluxionis oritur ad commodam mutationem distributionis virium in systematibus statice indeterminatis ducere potest.
SI.9
Hoc explicari potest per exemplum trabis continuae super duobus campis. Sit tigna (fig. 10) campis aequalis longitudinis, sectione constanti, atque onere uniformiter distributo onerata. Tunc, antequam finis cedendi attingatur, momentum super fulcro MB = _pl_2/8. Si onus p adeo augetur ut momentum in sectione sustentatoria valorem Mf attingat, quo cedens incipit, ulteriori oneris incremento curvatura in eo loco etiam augebitur sine notabili incremento momenti. Ita fit, quod vocatur cardo plasticus, id est traba sub onere addito ita se habet quasi supra medium fulcrum cardo exsisteret. Onus ulterius augeri potest donec etiam in loco maximi momenti in campo cedens incipiat. Ulterior augmentatio momenti flexionis iam non est possibilis et capacitas portans trabis exhauritur. Pondus sub quo hoc status oritur onus limitans appellatur.
SI.10
Generatim exspectari potest in systemate n vicibus statice indeterminato apparere debere (n+1) cardines plastici antequam systema mobile fiat atque ita limitem suam capacitatis portantis attingat. Haec regula tamen exceptiones habet utraque ex parte. Ut exemplum allatum demonstrat, ad limitem capacitatis portantis simul duo novi cardines plastici apparere possunt (in utroque campo), ita ut systema usque adhuc immobile subito in systema duorum graduum libertatis transeat. Contra fieri potest ut etiam cum minus quam (n+1) cardinibus plasticis capacitas portans localiter exhauriatur, e.g. cum apud trabem continuam unum tantum spatium deficiat. Fig. 11 demonstrat quomodo hoc accidere possit in systemate statice bis indeterminato cum n=2 cardines plastici. Si in parte dextra trabis etiam quartum spatium additur, trabs fit ter statice indeterminata, atque satis est (n-1) cardinum plasticorum ut solum spatium sinistrum ad limitem capacitatis portantis perducatur.
SI.11
Tensiones secantes in flexione
Calculus elementaris
SI.12
Tensiones normales σ, id est tensiones quae revera ex flexione oriuntur, non sunt solae in virga flexa, sed praeter eas etiam apparent tensiones secantes ex actione vis transversalis. Quoniam praecipua proprietas theoriae technicae flexionis in eo consistit quod deformationes ob tensiones secantes negleguntur, hae ex sola conditione aequilibrii determinari possunt. Ut haec statuatur, elementum trabis dx secatur, ut in fig. 12 indicatum est, plano horizontali in duas partes, atque conditio aequilibrii virium horizontalium quae in partem inferiorem agunt ponitur. In parte sinistra sunt vires internae per tensiones σ ob flexionem expressae, quas oportet integrare ab z’ = z ad z’ = h2
In dextra parte eadem tensiones agunt, sed a differentiali auctae secundum momentum flectens respondens M + dM. Differentia inter vires ex utraque parte elementi aequilibrio esse debet cum vi ex tensionibus secantibus τ, quae in superficie sectionis horizontali t dx agunt:
Hic integrale repraesentat momentum staticum partis sectionis transversae a plano transverso horizontali separatae respectu axis gravitatis sectionis. Signatur S. Ex dM/dx = Q ex conditione aequilibrii obtinetur:
τ = QS/It. (8)
Ita, secundum doctrinam de coniugatione tensionum secantium, simul est magnitudo tensionis secantis verticalis quae in superficie sectionis transversae agit et quae, una cum S et t, functio est z.
SI.13
Fig. 13.1
Aequatio (8) certa data praebet apud omnes sectiones tenuibus parietibus praeditas, si planum sectionis non parallelum axe neutrali ponatur, sed in directione crassitudinis parietis. Itaque profiled I transversim per alam et transversim per nervum secatur, quo fit distributio tensionum in fig. 13.1 ostensa. In sectione annulare (fig. 13) tensiones secantes symmetrice ad diametrum verticalem ordinantur et ad sinistram et ad dextram in linea neutrali maximum attingunt
τ = Q / πrt.
Si sectio in loco summo vel infimo incisa est, distributio tensionum secantium non mutatur; sin autem in extremo dextro diametri horizontalis incisa est (fig. 14), tensio secans in eo loco nulla est, dum eius valor in extremo sinistro eiusdem diametri duplicatur.
Fig. 14
Sectiones plenae
In sectionibus solidis cuiuslibet formae problemata tensionum secantium arcte cum problemate torsionis coniunguntur. Aequatio elementaris (8) in eo casu iam non est certa. Pro sectione circulari radio r aequatio (8) dat
τ = 4Q / 3__πr2
tamquam valor medius tensionis secantis per axem neutrum, valor autem exactus tantum paucis centesimis maior est.
Centrum sectionis
Si pro sectione U tensiones secantes modo supra descripto computantur, obtinetur distributio tensionum in fig. 15 exhibita. Resultans virium internarum respondentium est vis transversalis Q. Ex figura videre licet eius situm respectu sectionis, igitur neque per centrum gravitatis sectionis transit neque in plano costae iacet. Si vis transversalis ex viribus externis computata situm non habet in fig. 15 exhibitum, trabs non solum flexioni, sed etiam torsioni subicitur.
Ako se za isti poprečni presek odredi rezultanta koja odgovara smičućim naponima za neko horizontalno opterećenje, dobija se napadna linija horizontalne transverzalne sile. U preseku ovih dveju napadnih linija nalazi se karakteristična tačka za dati poprečni presek, koja se naziva središte smicanja M. U nosaču se ne pojavljuju naponi usled torzije kada središta smicanja svih poprečnih preseka leže na jednoj pravoj, a svi tereti upravni na osovinu štapa prolaze kroz tu pravu. U protivnom moment svakog tereta u odnosu na pravu koja spaja središta smicanja predstavlja torziono smicanje.
SI.15
Effectus virium transversarum in flexionem
Theoria technica flexionis in neglectu deformationum ob tensiones secantes nititur. Itaque revera applicari potest ad virgas graciles, in quibus hoc neglectum iustum est et ubi vis transversa nullum notabilem effectum in flexionem habet.
Iskustvo je, međutim, pokazalo da se tehnička teorija savijanja može sa izvesnim uspehom primeniti i na kratke, visoke nosače, za koje ona u stvari uopšte nije namenjena. Tada se ukazuje potreba da se uticaj deformacije usled smičućih napona, koji je u ovoj teoriji zanemaren, uzme, bar približno, naknadno u obzir.
Isto tako kao i smičući naponi τ usled transverzalnih sila i odgovarajuća klizanja γ_’ =_ τ_/G_ raspoređena su neravnomerno po preseku. Zbog toga se uvodi njihova srednja vrednost γ, koja se određuje tako da transverzalna sila pri ovoj srednjoj vrednosti deformacije vrši na elementu grede dx deformacioni rad jednak onome koji bi se dobio integrisanjem radova smičućih napona na pojedinim zapreminskim elementima koji sačinjavaju uočeni element grede:
unde est
Integral calculare potest cum distributio tensionum secantium per sectionem nota est. Cum omnes tensiones secantes sint proportionales Q/F, eius valor est proportionalis Q2/F2 * F, atque ponendo eum esse κ__Q2/F, obtinetur
γ = κ__Q / GF.
Constans κ appellatur coefficientis distributionis tensionum secantium. Pro sectionibus rectangularibus est κ=1,2.
SI.16
Cum coefficientis κ valor notus est, atque ita etiam lapsus medius γ, computari potest deflexio addita wQ, vi transversalium effecta, quae deflexionibus w addenda est: quia secundum fig. 16 est
ideoque ob Q = dM/dx:
quo fit ut constans integrationis ex una conditione terminali obtineatur.