Ang sulud sa eksperto sa archival: ang teksto ug mga pormula nagpahayag sa usa ka makasaysayanon nga teoretikal nga presentasyon ug dili usa ka proyekto, static nga pagkalkula, pagsusi sa kapasidad sa pagdala sa karga, pagsusi sa usa ka naglungtad nga elemento, o mga panudlo alang sa pagtukod o rehabilitasyon. Ang mga designasyon, mga pangagpas ug gibana-bana nga mga sumbanan kinahanglan nga susihon batok sa piho nga sistema, materyal, geometry, kondisyon sa utlanan ug magamit nga mga sumbanan. Ang pagkalkula sa torsion, kalig-on, kakapoy, mga lutahan ug kapit-os tungod sa pagpugong sa pagduko kinahanglan nga buhaton sa usa ka lisensyado nga inhenyero, nga adunay independente nga pagkontrol kung gikinahanglan.
Karon, ang Savo Kusić nakatutok sa mga bintana nga kahoy, kahoy-aluminyo nga mga bintana, custom nga mga bintana, pultahan ug mga hangyo alang sa kinutlo. Kini nga artikulo nagpabilin nga usa ka makasaysayan nga propesyonal nga archive ug wala magrepresentar sa serbisyo sa disenyo sa istruktura.
Saint-Venant theory of torsion (libre nga torsion)
Differential equation
Si Sl.1
Ibutang ang usa ka tul-id nga sungkod sa usa sa mga tumoy niini x=0ug ipakarga kini sa pikas tumoy sa usa ka torsion moment M (fig.1). Dayon ang matag usa sa mga seksyon niini motuyok sa usa ka piho nga anggulo α(x) libot sa usa ka linya nga parallel sa axis sa sungkod, nga atong gamiton isip x-axis. Kung ang tanan nga mga seksyon managsama sa usag usa, ang bisan unsang tul-id nga linya nga parallel sa x-axis moagi sa usa ka coil, ug ang anggulo α mahimong proporsyonal sa gilay-on gikan sa pirmi nga tumoy: α = ϑx, diin gikan ang mga pagbalhin sa sangkap sa eroplano sa seksyon (Fig.2):
v = - r a sala__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Ang gidaghanon ϑ gitawag nga anggulo sa torsion (dimensyon: gitas-on-1, rotation kada yunit nga gitas-on). Ang anggulo sa torsion proporsyonal sa torsion moment M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
Ang proportionality factor GJT, ang torsional stiffness, katumbas sa produkto sa shear modulus G ug ang factor JT, nga nagrepresentar sa epekto sa porma ug gidak-on sa seksyon.
Kini nga rotation sa seksyon dili lamang ang deformation sa sungkod. Dugang pa, adunay usab bending sa cross-section, i.e. ngadto sa displacement u sa direksyon sa x-axis, nga adunay parehas nga magnitude alang sa katugbang nga mga punto sa tanan nga cross-sections ug busa usa lamang ka function sa mga coordinate sa eroplano sa seksyon, ug kung dili proporsyonal sa load M angle o ang ϑ _:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Kung ang mga ekspresyon sa ibabaw gipaila-ila sa katugbang nga mga equation sa pagbakwit, makuha nga ang mga nag-unang normal nga kapit-os katumbas sa sero, nga nagbilin lamang sa duha ka mga sangkap nga gibug-aton τxy ug τxz:
Usa.3
Ang differential equation sa problema sa torsion nakuha base sa mga equation (3) pagbutang:
Usa.4ug i4b
ug pagsulbad niini nga mga differential equation alang sa wala mailhi τxy ug τxz pinaagi sa pagpaila sa stress function F(y,z) nga:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Uban niini, ang equation (4a) parehas nga natagbaw, ug gikan sa equation (4b) ang gikinahanglan nga differential equation makuha
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Ang kondisyon sa utlanan nga gikinahanglan alang sa talagsaon nga solusyon niini nga equation nakuha gikan sa gikinahanglan nga walay mga shear stresses sa sungkod nga sobre, nga gikan niini, tungod sa conjugate nga kinaiya sa mga shear stress, kini nagsunod nga ang stress sa seksyon nga eroplano kinahanglan nga walay component nga patindog niini subay sa contour. Gikan dinhi, fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
busa
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
i.e. ang kinatibuk-ang differential sa function F kinahanglan nga zero, nga mao, kini kinahanglan nga F=const. subay sa contour.
Kung ang seksyon adunay usa ra ka contour, mahimo ra nga ibutang ang F= niini0, tungod kay sa function sa boltahe, diin kita interesado lamang sa mga derivatives, ang arbitrary additive constant wala magdula og papel. Alang sa mga seksyon nga adunay labaw sa usa ka contour, kini nga isyu mas komplikado.
Ingon sa nakita gikan sa equation (5) ang resulta sa shear stresses τxy ug τxz sa usa ka arbitraryong intersection point parehas sa magnitude sa gradient sa stress function F, apan perpendicular niini, i.e. adunay tangent nga direksyon sa linya F=const.
Pinaagi sa pagsulbad sa differential equation (6)) ang mga boltahe τ ingon nga mga gimbuhaton sa y, z ug ϑ makuha. Ang tahas sa kalkulasyon mao, siyempre, ang pagtino sa anggulo sa torsion ϑ ug ang stress, ilabi na ang pinakataas nga stress isip usa ka function sa torsional moment, busa, ang determinasyon sa pagkagahi sa seksyon JT gikan sa equation (2) ug ang resistensya torque WT = Mmaxτ. Aron makuha kini, gikinahanglan lamang nga ipahayag ang M isip usa ka function sa F:
Ang duha ka summasyon niining integral, nga kinahanglang kuhaon sa tibuok seksyon, mahimong mausab pinaagi sa partial integration. Kung, pananglitan, ang una niini nag-uban una sa linya z =const. gikan sa punto sa contour y=y1 ngadto sa punto y=y2 (fig.3) ug tagda nga sa duha niining mga punto F=0, nakuha
Ang parehas nga kantidad makuha gikan sa ikaduha nga integral, aron
Usa.7
Si Sl.3
Ubang mga kaso sa bug-os nga mga seksyon
Ang differential equation (6) mao ang inhomogeneous equation sa potensyal nga teorya. Busa, alang sa solusyon sa problema sa torsion sa kaso sa usa ka arbitraryong cross-section, ang mga pamaagi sa potensyal nga teorya anaa, nga makapahimo niini nga makita kanunay. Kini nga mga pamaagi, bisan pa, sa kasagaran komplikado kaayo nga magamit sa indibidwal nga mga kaso nga mitungha sa praktis. Busa, ang mosunod nga lamesa nagpakita sa mga resulta sa maong mga kalkulasyon alang sa pipila ka mga seksyon.
Para sa mga cross-section duol sa circular, JT=F pwede ibutang4/40_Ip_, diin ang F mao ang lugar ug ang Ip mao ang polar moment sa inertia sa seksyon.
Pahinumdom sa mga pormula ug mga lamesa: ang mga ekspresyon ug mga bili sa na-scan nga mga hulagway gitipigan isip usa ka tinubdan sa kasaysayan. Ang teksto sa OCR, mga marka sa indeks ug pag-scan dili igo nga kasaligan alang sa pagkalkula. Sa wala pa gamiton, ang matag pormula, yunit, coefficient ug area of validity kinahanglan nga susihon sa usa ka awtoritatibo nga gigikanan sa propesyonal ug balido nga sumbanan.
Analogy sa lamad
Ang usa ka maayo nga tabang alang sa pagtantiya sa torsional stress, ug sa samang higayon ang usa ka pamaagi alang sa ilang tukma nga determinasyon gihatag pinaagi sa analogy tali sa stress function F sa torsional nga problema ug ang deflection transverse load sa lamad. Himoa nga adunay kasagaran nga pag-abli sa patag nga bungbong sa usa ka sudlanan nga motakdo sa cross-section sa usa ka sungkod nga gikarga sa torsion. Sa diha nga ang lamad gituy-od sa ibabaw niini nga pag-abli ug ang usa ka gamay nga sobra nga presyur p ang hinungdan sa sudlanan, ang lamad bulge sa gawas, aron ang iyang mga deflections ξ(y,z) makatagbaw sa differential equation
diin ang N mao ang tensyon sa nawong sa lamad nga gipahinabo sa mga pwersa sa capillary (mga dimensyon: pwersa kada yunit sa gitas-on). Kini nga equation motakdo sa equation (6), ug ang kondisyon sa utlanan ξ=0parehas ra sa function sa boltahe. Niining paagiha, ang function sa boltahe F(y,z) mahimong makuha gamit kini nga salamin nga adunay lamad ug sa ingon masulbad ang problema sa torsion. Ang stress τ katumbas sa bakilid sa lamad nga may kalabotan sa y-z-plane, mao nga ang pinakatitip nga dapit mao ang dapit diin ang sungkod nga naladlad sa torsion adunay pinakataas nga shear stress.
Si Sl.4
Si Sl.5
Kini nga pamaagi sa lamad labi nga angay alang sa pagkuha sa gibanabana nga mga sumbanan alang sa nipis nga mga seksyon nga adunay dingding. Kung, pananglitan, ang I-seksyon gibahin sumala sa fig.4sa tulo ka mga rektanggulo ug alang sa matag usa kanila ang analohiya sa lamad gihimo nga gilain, ang gidaghanon sa mga volume sa mga resulta nga protrusions mahimong gamay ra nga gamay kaysa sa volume nga aktuwal nga katumbas sa function sa boltahe. Busa, kung ang gibag-on mao ang b1 ug b2 gamay, gibanabana
JT =2Si JT1+ JT2,
diin JT1 ug JT2 stiffness factors sa tagsa-tagsa ka rectangles nga makwenta base sa table1. Ang usa ka mas maayo nga pamaagi makuha kung ang JT gibutang para sa gusok2 = a2b32/3, busa, kung ang gusok giisip nga bahin sa usa ka taas kaayo nga rektanggulo. Mas tukma nga bili ang makuha sumala sa Trayer ug March\ gikan sa
JT =2Si JT1+1/3a2b32+2 α D4,
diin ang D mao ang diametro sa kinadak-ang lingin nga gisulatan sama sa gipakita sa fig.4, ug α mahimong makuha gikan sa fig.5. Alang sa T-seksyon kini nakuha nga parehas
JT = JT1+JT2+ α D4,
diin JT2 katunga sa kantidad nga kalkulado sumala sa lamesa1kay a=2_a2_, b=b2. Alang sa L-seksyon (Fig.6) susama niana
JT = JT1+ JT2+ β D4
diin JT1 kay ang mas baga nga bukton gikuha direkta gikan sa lamesa1, samtang si JT2 kay ang nipis nga bitiis gikalkulo sama sa T-section, ug β gikuha gikan sa fig.7.
Fig. 6
Si Sl.7
Kung gikalkula ang tensiyon, ang torsional moment gibahin sa mga constituent rectangles: ang bahin nga nahulog sa mga flanges M1=M JT2/JT; ang shear stress unya kalkulado sa tunga-tunga sa mas taas nga kilid sa matag rectangle base sa lamesa1. Ang kinadak-an niini nga mga kapit-os dili kinahanglan nga ang kinadak-ang paggunting nga kapit nga makita sa seksyon. Sa ato pa, kung ang anggulo sa insidente dili lingin, τ=∞ makuha sa maong dapit, aron sa gamay kaayong radius sa rounding, ang pinakataas nga shear stress mahimong mapaabot dinhi.
Note sa Engineering: ang mathematical singularity sa idealized acute angle dili lisensya sa pagbanabana sa aktuwal nga detalye pinaagi lamang niining gibanabana nga pattern. Ang aktuwal nga rounding geometry, tolerances, plasticity, welds, residual stresses, lokal nga kalig-on ug kakapoy nagkinahanglan sa tukma nga modelo ug eksperto verification.
Alang sa usa ka kilid nga anggulo kansang gibag-on sa kilid mao ang t sumala sa Trefftz\ anaa sa rounding sa diametro r:
diin uban sa τ0 gimarkahan ang labing taas nga boltahe nga gikalkula alang sa matag indibidwal nga paa base sa pamaagi nga gihulagway dinhi. Para sa mas dako nga rounding radii, τ= pwede gamiton2__τ0.
Nipis nga Walled Pipe (Bradt Patterns)
Sa nipis nga mga tubo nga adunay dingding, ang bulging membrane adunay porma nga gipakita sa fig.8, nga naglangkob sa usa ka eroplano sa ibabaw sa haw-ang nga luna sulod sa tubo ug usa ka sloping surface nga naglibot niini ug nahimutang sa ibabaw sa epektibo nga seksyon sa pipe wall; kini nga hilig nga nawong kinahanglan nga mas titip kung ang mga dingding sa tubo mas nipis sa angay nga lugar. Sa kini nga kaso, ang mga paggunting nga mga stress giapod-apod nga patas sa gibag-on sa mga dingding ug inversely proporsyonal sa gibag-on sa mga dingding, i.e. shear force T = τt wala magbag-o subay sa sirkumperensya sa seksyon.
Si Sl. 8
Ang elemento sa ibabaw t_∙ds_ nakadawat bahin sa torsional moment
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
mao nga ang kinatibuk-ang gutlo mao
Usa.8
diin ang nawong sa FR gitabonan sa tunga nga linya nga gimarkahan sa mga linya ug mga tuldok sa fig.8. Kini nakuha gikan dinhi
Usa.9- Ang unang Bredt\ pattern
Ang torsional stiffness makuha sa labing yano kung ang buhat sa deformation gipahayag sa usa ka bahin pinaagi sa torsional moment ug anggulo sa torsion ug sa pikas bahin pinaagi sa mga stress sa paggunting. Niining paagiha, makuha kini alang sa usa ka elemento sa sungkod sa gitas-on l
busa, pagpaila sa bili alang sa τ sumala sa equation (8),
nga mao, pinaagi sa pagtandi sa equation (2):
Usa.10
Kung ang gibag-on sa mga dingding parehas sa palibot, nan kini yano (2. Sumbanan ni Bredt):
Usa.11
Normal nga kapit-os sa torsion tungod sa pagduko sa seksyon
Basic nga termino ug differential equation
Pagbalhin sa mga sangkap u, equation (1b), nagtino sa curvature sa mga seksyon gikan sa ilang mga eroplano. Kung ang torsion moment kanunay, kini nga pagduko parehas sa tanan nga mga seksyon ug ang normal nga mga stress σx dili makita.
Sa daghang mga kaso, ang curvature sa cross-section, nga kinahanglan nga motumaw sa basehan sa _St. Dili mahimo ang teorya ni Venant. Kung ang torsional moment kalit nga mausab sa usa ka cross-section, ang bending sa lain-laing mga magnitude mahitabo sa duha ka kilid sa cross-section, ug ang pagpadayon sa deformation mabalda. Ang usa ka tumoy sa sungkod mahimong ma-clamp nga ang pagyukbo sa seksyon hingpit nga wala iapil sa kana nga punto. Sa maong mga kaso, ang usa ka pag-amendar kinahanglang himoon _St. Mga teyoriya ni Venant. Ang mga dugang nga stress σx sa direksyon sa axis sa rod ug supplementary shear force T (shearing stresses T / t) makita sa sungkod, nga mao ang pinakataas sa seksyon diin ang pagpadayon sa deformation nabuak ug nga pagkunhod exponentially sa gilay-on gikan niini nga seksyon. Sa kaso sa solid rods ug tubes, kini nga teorya komplikado, ug ang supplementary voltages mikunhod kaayo nga ang ilang determinasyon dili mapuslanon sa kadaghanan sa mga kaso. Alang sa nipis nga bungbong nga open-profile nga mga sungkod, kini nga pagtul-id hinungdanon kaayo ug dali nga makalkula.
Si Sl.9
Si Sl.9nagpakita sa linya diin ang tunga-tunga nga nawong sa bungbong ug ang seksyon nga eroplano nag-intersect (ang tunga nga linya sa seksyon). O mao ang sentro sa relatibong rotation sa duha ka kasikbit nga mga seksyon. Kung ang ilang gilay-on mao ang dx, ang anggulo sa torsion kay ϑ dx, mao nga ang usa ka arbitraryong punto sa tunga-tunga nga linya moagi sa usa ka pagbalhin u ϑ dx. Kini nga displacement adunay usa ka component rt ϑ dx sa direksyon tangent sa seksyon, ug mao ang slip sa elemento sa tunga-tunga nga nawong sa bungbong (sa pagkonsiderar nga _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Tungod kay ang shear stress sa tunga-tunga nga bahin sa bungbong zero, kini kinahanglan usab nga γ=0, mao nga
Kini nga sumbanan naglangkob sa tulo ka arbitraryong mga parametro: ang gigikanan diin ang gitas-on sa arko s gikalkula ug ang mga koordinasyon sa sentro sa relatibong rotation O, diin ang rt nagdepende. Ang punto sa pagsugod diin ang gitas-on sa arko s kalkulado mahimong mapili aron ang mean curvature value mao ang zero:
ug ang mga koordinasyon sa sentro O mahimong matino sa paagi nga ang mga gutlo tungod sa bending sa seksyon mao ang zero:
Mapakita nga ang sentro sa rotation sa ingon determinado motakdo sa shear center nga dinhi gihulagway ug gihubit sa laing paagi.
Kung ang pagduko sa seksyon nga gihulagway niini nga mga sumbanan hingpit o bahin nga gipugngan, ang normal nga mga stress σx sa direksyon sa axis sa sungkod kinahanglan nga makita. Ang mas duol nga eksaminasyon nagpakita nga kini nga mga kapit-os mahimong isipon nga proporsyonal sa curvature function φ: σx=k__φ, diin ang φ nagdepende lamang sa s ug k lamang sa x. Sumala sa balaod ni Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
kinahanglan nga k=E d__ϑ/dx. Ang normal nga stress σx gitawag nga section bending stresses. Sa pagkonsiderar sa mga equation sa ibabaw, nagporma sila og usa ka sistema sa ekwilibriyo sa mga pwersa sa matag seksyon, usa ka sistema sa mga pwersa tungod sa pagduko sa seksyon.
Ang kinatibuk-ang torque naglangkob sa duha ka bahin: ang usa kanila M1=GJT__ϑ mitungha tungod sa torsional shear stresses nga gihatag ni St. Venant's theory, ug ang uban nga M2 mahitabo tungod sa pagduko sa seksyon:
Usa.13
Tungod kay ang higayon nga M gihatag isip usa ka function sa x, kini nga ekspresyon nagrepresentar sa usa ka differential equation alang sa torsion anggulo ϑ. Sa higayon nga kini nga equation masulbad, M mahimong kalkulado1 ug M2, ug sa ingon ang tanan nga mga kapit-os ug mga palabihan.
Solusyon ug mga aplikasyon
Kung ang torsion moment M makanunayon, ang kinatibuk-ang solusyon sa equation (13) mao ang:
Mga panagsama nga makanunayon C1, C2 kinahanglan matino gikan sa duha ka kondisyon sa utlanan.
a) Hugot nga gi-clamp nga tumoy x=0(fig.1)
Niini nga katapusan mao ang u≡0, busa base sa equation (1b) ϑ=0. Kung ang sungkod taas kaayo (αl>>1), unya C1=0ug C2= -M/GJT. Sa kaso sa mugbo nga mga sungkod, ang dagway sa tensiyon tungod sa pagduko sa seksyon apektado sa kondisyon sa tuo nga tumoy sa sungkod. Kung ang pagliko sa seksyon dili mapugngan sa kana nga lugar, adunay σx≡0ug dϑ/dx=0. Kini nakuha gikan dinhi
b) Symmetrical torsion load sumala sa fig.10
Sa wala nga katunga sa sungkod, ang torsional moment mao ang -M/2, ug sa tuo +M/2. Sa kaso sa libre nga torsion, ang mga seksyon sa wala ug tuo sa tunga-tunga sa sungkod iliko sa atbang nga direksyon, busa ang pagpadayon sa deformation dili mapreserbar. Busa, sa dapit x=0ang tibuok nga torsional moment kinahanglan nga ibalhin pinaagi sa mga stress nga mahitabo tungod sa bending sa cross-section, ug busa niini nga cross-section M1=0ug busa ϑ=0. Niini nga punto, ang usa ka sistema sa mga pwersa molihok aron masiguro nga ang seksyon magpabilin nga tul-id, bisan kung ang mga seksyon nga nahimutang sa layo gikan sa sentro sa kurba sa sungkod. Kung, dugang pa, gikinahanglan nga ang mga tumoy sa sungkod adunay mga gibug-aton σx≡0, usa pa ka kondisyon sa utlanan ang makuha alang sa matag katunga sa sungkod, mao nga kini alang sa tuo nga katunga
Fig. 10
c) External moment M sa usa ka arbitraryong dapit (fig.11)
Sa kini nga kaso, ang solusyon ϑ alang sa duha ka bahin sa sungkod kinahanglan nga isulat nga gilain, aron ang usa ka kinatibuk-an nga upat ka mga constants C makita1, C2, C3, C4. Dugang pa, ang mga torsion moments Ma, Mb wala usab mailhi. Unom ka equation ang anaa: usa ka continuity condition para sa ϑ (gipahayag sa u) ug para sa dϑ/dx (gipahayag sa σx) sa load point, usa ka kondisyon sa matag tumoy sa rod (e.g. rigid clamping ϑ=0, o dili matugaw nga pagduko, dϑ/dx=0), ang kondisyon sa balanse pinaagi sa mga gutlo -Ma+Mb=M ug sa kataposan ang kondisyon nga ang kataposang mga seksyon dili magtuyok sa usag usa: ∫ ϑdx =0.
Si Sl.11
Katapusang nota: ang pagpili sa modelo sa torsion nagdepende sa bukas o sirado nga seksyon, slenderness, pamaagi sa suporta, dapit sa pag-input sa gutlo ug ang posibilidad sa libre nga pagduko. Para sa usa ka tinuod nga elemento, ang load-bearing ug serviceability limit nag-ingon, lokal nga mga detalye, mga lutahan, kakapoy ug kalig-on kinahanglang susihon, dili lang usa ka hilit nga pormula gikan sa artikulo.