Isi ahli arsip: teks dan rumus menyampaikan pandangan teoretis historis dan bukan merupakan proyek, perhitungan statis, pemeriksaan kapasitas penahan beban, penilaian elemen yang ada, atau instruksi untuk konstruksi atau rehabilitasi. Penunjukan, asumsi dan pola perkiraan harus diperiksa terhadap sistem spesifik, material, geometri, kondisi batas dan standar yang berlaku. Perhitungan torsi, stabilitas, kelelahan, sambungan dan tegangan akibat pencegahan pembengkokan harus dilakukan oleh teknisi yang berwenang, dengan kendali independen bila diperlukan.
Savo Kusić hari ini berfokus pada jendela kayu, jendela kayu-aluminium, jendela khusus, pintu dan permintaan penawaran. Artikel ini tetap sebagai arsip profesional sejarah dan tidak mewakili jasa desain konstruksi.
Teori torsi Saint-Venant (torsi bebas)
Persamaan diferensial
Gbr. 1
Biarkan sebuah batang lurus dipasang pada salah satu ujungnya x=0 dan ujung lainnya dibebani dengan momen puntir M (gbr. 1). Kemudian masing-masing bagiannya berputar dengan sudut tertentu α(x) di sekitar garis tertentu yang sejajar dengan sumbu tongkat, yang akan kita adopsi sebagai sumbu x. Jika semua penampang sama besar, setiap garis lurus yang sejajar sumbu x akan masuk ke dalam kumparan, dan sudut α akan sebanding dengan jarak dari ujung tetap: α=ϑx, yang menyebabkan komponen perpindahan pada bidang penampang tersebut (gbr. 2):
v = - r a dosa__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Besaran ϑ disebut sudut puntir (dimensi: panjang-1, putaran per satuan panjang). Sudut puntir sebanding dengan momen puntir M:
ϑ = M/GJT. (2)
Gbr. 2
Faktor proporsionalitas GJT, kekakuan puntir, sama dengan hasil kali modulus geser G dan faktor JT, yang menyatakan pengaruh bentuk dan ukuran penampang.
Rotasi bagian ini tidak mewakili satu-satunya deformasi batang. Selain itu, terjadi juga pembengkokan pada penampang, yaitu terhadap perpindahan u searah sumbu x, yang besarnya sama untuk titik-titik yang bersesuaian pada semua penampang dan oleh karena itu hanya merupakan fungsi dari koordinat pada bidang penampang, dan sebaliknya sebanding dengan beban M atau sudut puntir ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Jika persamaan di atas dimasukkan ke dalam persamaan perpindahan yang sesuai, diperoleh tegangan normal utama sama dengan nol, hanya menyisakan dua komponen tegangan τxy dan τxz:
Persamaan. 3
Persamaan diferensial masalah torsi diperoleh berdasarkan persamaan (3) dengan menuliskan:
Satuan. 4a dan 4b
dan menyelesaikan persamaan diferensial ini untuk variabel τxy dan τxz yang tidak diketahui dengan memasukkan fungsi tegangan F(y,z) sehingga:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Ini memenuhi persamaan (4a) secara identik, dan persamaan diferensial yang diperlukan
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Kondisi batas yang diperlukan untuk penyelesaian unik persamaan ini diperoleh dari persyaratan bahwa tidak ada tegangan geser pada selubung batang, yang karena sifat konjugasi tegangan geser, maka tegangan pada bidang penampang tidak boleh mempunyai komponen yang tegak lurus sepanjang kontur. Dari sini, gambar. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
oleh karena itu
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
yaitu. diferensial total fungsi F harus nol, yaitu harus F=const. sepanjang kontur.
Jika suatu bagian hanya memiliki satu kontur, maka dapat dengan mudah diberi F=0 di atasnya, karena dengan fungsi tegangan, yang sebenarnya hanya kita minati pada turunannya, konstanta aditif sembarang tidak berperan. Untuk bagian yang memiliki lebih dari satu kontur, pertanyaan ini menjadi lebih kompleks.
Seperti yang dapat dilihat dari persamaan (5) resultan tegangan geser τxy dan τxz pada suatu titik potong sembarang besarnya sama dengan gradien fungsi tegangan F, tetapi tegak lurus terhadapnya, yaitu mempunyai arah singgung terhadap garis F=const.
Menyelesaikan persamaan diferensial (6) menghasilkan tegangan τ sebagai fungsi dari y, z dan ϑ. Tugas perhitungannya tentu saja menentukan sudut puntir ϑ dan tegangan, terutama tegangan maksimum sebagai fungsi momen puntir, oleh karena itu penentuan kekakuan penampang JT dari persamaan (2) dan momen puntir resistan WT = Mmaxτ. Untuk memperolehnya, kita hanya perlu menyatakan M sebagai fungsi dari F:
Kedua penjumlahan integral ini, yang seharusnya mengambil alih keseluruhan bagian, dapat ditransformasikan dengan integrasi parsial. Jika, misalnya, yang pertama terintegrasi terlebih dahulu di sepanjang garis z=const. dari titik pada kontur y=y1 ke titik y=y2 (gbr. 3) dan dengan memperhitungkan bahwa di kedua titik ini F=0, kita mendapatkan
Diperoleh nilai yang sama dari integral kedua, sehingga
Persamaan. 7
Gbr. 3
Kasus lain dari bagian lengkap
Persamaan Diferensial (6) merupakan persamaan teori potensial yang tidak homogen. Oleh karena itu, untuk penyelesaian masalah torsi pada kasus penampang sembarang, tersedia metode teori potensial yang memungkinkannya selalu ditemukan. Namun metode-metode ini umumnya terlalu rumit untuk diterapkan pada kasus-kasus individual yang muncul dalam praktik. Oleh karena itu tabel berikut menunjukkan hasil perhitungan tersebut untuk beberapa bagian.
Untuk penampang mendekati lingkaran, dapat diletakkan JT=F_4/40_Ip, dengan F adalah luas dan Ip adalah momen inersia polar dari penampang tersebut.
Catatan pada rumus dan tabel: ekspresi dan nilai pada gambar yang dipindai disimpan sebagai sumber sejarah. Teks OCR, tanda indeks, dan pindaian tidak cukup andal untuk penghitungan. Setiap rumus, satuan, koefisien, dan ruang lingkup harus diperiksa di sumber profesional yang berwenang dan standar yang valid sebelum digunakan.
Analogi dengan membran
Bantuan yang baik untuk memperkirakan tegangan puntir, dan pada saat yang sama prosedur untuk penentuannya secara tepat diberikan oleh analogi antara fungsi tegangan F dari masalah puntir dan pembebanan defleksi melintang membran. Misalkan ada bukaan rata-rata pada dinding datar kapal yang bertepatan dengan penampang batang yang dibebani torsi. Ketika membran diregangkan pada bukaan ini dan tekanan berlebih kecil p terjadi di dalam bejana, membran menonjol keluar, sehingga defleksinya ξ(y,z) memenuhi persamaan diferensial
di mana N adalah tegangan permukaan pada membran yang disebabkan oleh gaya kapiler (dimensi: gaya per satuan panjang). Persamaan ini bertepatan dengan persamaan (6), dan kondisi batas ξ=0 sama dengan fungsi tegangan. Dengan cara ini, fungsi tegangan F(y,z) dapat diperoleh menggunakan cermin dengan membran ini dan dengan demikian memecahkan masalah torsi. Tegangan τ berhubungan dengan kemiringan membran terhadap bidang y-z, jadi tempat paling curam adalah tempat batang yang terkena torsi mempunyai tegangan geser tertinggi.
Gbr. 4
Gbr. 5
Prosedur membran ini sangat cocok untuk mendapatkan pola perkiraan untuk bagian berdinding tipis. Ketika, misalnya, bagian I dibagi menurut gambar. 4 pada tiga persegi panjang dan untuk masing-masing persegi panjang tersebut analogi dengan membran dilakukan secara terpisah, jumlah volume tonjolan yang dihasilkan hanya akan sedikit lebih kecil dari volume yang sebenarnya sesuai dengan fungsi tegangan. Oleh karena itu, bila ketebalan b1 dan b2 kecil, kira-kira
JT = 2JT1 + JT2,
dimana JT1 dan JT2 adalah faktor kekakuan masing-masing persegi panjang yang dapat dihitung berdasarkan tabel 1. Perkiraan yang lebih baik diperoleh ketika JT2 = a2 b32/3 digunakan untuk rusuk, yaitu ketika rusuk dianggap sebagai bagian dari persegi panjang yang sangat memanjang. Nilai yang lebih akurat diperoleh menurut Trayer dan March\ dari
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
di mana D adalah diameter lingkaran terbesar yang tertulis seperti pada gambar. 4, dan α dapat diambil dari gambar. 5. Untuk bagian T diperoleh serupa
JT = JT1 +JT2 + α D4,
di mana JT2 adalah setengah dari nilai yang dihitung berdasarkan tabel 1 untuk a=2 a2, b=b2. Untuk bagian L (gbr. 6) mirip dengan itu
JT = JT1 + JT2 + β D4
di mana JT1 untuk lengan yang lebih tebal diambil langsung dari tabel 1, sedangkan JT2 untuk lengan yang lebih tipis dihitung seperti untuk bagian T, dan β diambil dari gambar. 7.
Gbr. 6
Gbr. 7
Saat menghitung tegangan, momen puntir dibagi menjadi persegi panjang penyusunnya: bagian yang jatuh pada flensa M1=M JT2/JT; tegangan geser kemudian dihitung pada titik tengah sisi panjang setiap persegi panjang berdasarkan tabel 1. Tegangan terbesar di antara tegangan-tegangan ini tidak harus merupakan tegangan geser terbesar yang muncul pada bagian tersebut. Yaitu, jika sudut datang tidak dibulatkan, maka diperoleh τ=∞ di tempat tersebut, sehingga untuk radius pembulatan yang sangat kecil, tegangan geser tertinggi dapat diharapkan di sini.
Catatan Teknik: singularitas matematis pada sudut lancip yang diidealkan bukanlah izin untuk memperkirakan detail sebenarnya hanya dengan pola perkiraan ini. Geometri pembulatan, toleransi, plastisitas, pengelasan, tegangan sisa, stabilitas lokal, dan kelelahan aktual memerlukan pemodelan yang tepat dan verifikasi ahli.
Untuk sudut satu sisi yang tebal kakinya t menurut Trefftz\ berada pada pembulatan diameter r:
di mana τ0 menunjukkan tegangan tertinggi yang dihitung untuk setiap kaki berdasarkan prosedur yang dijelaskan di sini. Untuk radius pembulatan yang lebih besar, τ=2__τ0.
Pipa Dinding Tipis (Pola Bradt)
Pada pipa berdinding tipis, membran cembung berbentuk seperti pada gambar. 8, terdiri dari bidang di atas ruang berlubang di dalam pipa dan permukaan miring yang mengelilinginya dan terletak di atas bagian efektif dinding pipa; permukaan miring ini harus lebih curam jika dinding pipa lebih tipis pada tempatnya. Dalam hal ini, tegangan geser didistribusikan cukup merata pada ketebalan dinding dan berbanding terbalik dengan ketebalan dinding, yaitu gaya geser T = τt tidak berubah sepanjang keliling bagian tersebut.
sl. 8
Elemen permukaan t_∙ds_ menerima sebagian momen puntir
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
jadi total momennya adalah
Persamaan. 8
dimana permukaan FR ditutupi oleh garis tengah yang ditandai dengan garis dan titik pada gambar. 8. Dari sini Anda mendapatkan
Persamaan. 9 - Bredt\ pola pertama
Kekakuan torsi diperoleh paling sederhana jika kerja deformasi dinyatakan melalui momen puntir dan sudut puntir di satu sisi, dan melalui tegangan geser di sisi lain. Dengan cara ini diperoleh elemen batang dengan panjang l
jadi, masukkan nilai τ menurut persamaan (8),
yaitu dibandingkan dengan persamaan (2):
Persamaan. 10
Jika tebal dinding sekelilingnya sama, maka sederhana (2. Pola Bredt):
Persamaan. 11
Tegangan normal pada torsi akibat pembengkokan bagian
Suku-suku dasar dan persamaan diferensial
Perpindahan komponen u, persamaan (1b), menentukan kelengkungan bagian dari bidangnya. Ketika momen puntir konstan, tekukan ini sama di semua bagian dan tegangan normal σx tidak muncul.
Dalam banyak kasus, kelengkungan penampang yang seharusnya timbul berdasarkan _St. Teori Venant tidak mungkin terjadi. Jika momen puntir berubah secara tiba-tiba pada suatu penampang, maka akan terjadi pembengkokan yang besarnya berbeda pada kedua sisi penampang tersebut, dan kontinuitas deformasi tersebut akan terganggu. Salah satu ujung batang dapat dijepit sedemikian rupa sehingga tidak ada pembengkokan bagian pada titik tersebut. Dalam kasus seperti itu, amandemen harus dilakukan _St. teori Venant. Tegangan tambahan σx dalam arah sumbu batang dan gaya geser tambahan T (tegangan geser T/t) muncul pada batang, yang paling tinggi pada bagian yang kontinuitas deformasinya terputus dan berkurang secara eksponensial seiring dengan jarak dari bagian tersebut. Dalam kasus batang dan tabung padat, teori ini rumit, dan tegangan tambahan berkurang begitu cepat sehingga penentuannya tidak bermanfaat dalam banyak kasus. Untuk batang berdinding tipis dengan profil terbuka, koreksi ini sangat penting dan dapat dihitung dengan relatif mudah.
Gbr. 9
Gbr. 9 menunjukkan garis perpotongan permukaan tengah dinding dan bidang penampang (garis tengah penampang). O adalah pusat rotasi relatif dari dua bagian yang berdekatan. Jika jaraknya dx, sudut puntirnya adalah ϑ dx, sehingga titik sembarang pada garis tengah mengalami perpindahan u ϑ dx. Perpindahan ini mempunyai komponen rt ϑ dx pada arah singgung penampang, dan slip elemen permukaan tengah dinding adalah (dengan memperhatikan _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Karena tegangan geser pada permukaan tengah dinding adalah nol, maka tegangan gesernya juga harus γ=0, sehingga
Pola ini berisi tiga parameter arbitrer: titik asal penghitungan panjang busur s dan koordinat pusat rotasi relatif O, yang menjadi sandaran rt. Titik awal penghitungan panjang busur s dapat dipilih sehingga nilai rata-rata kelengkungan adalah nol:
dan koordinat pusat O dapat ditentukan sedemikian rupa sehingga momen akibat pembengkokan penampang juga sama dengan nol:
Dapat ditunjukkan bahwa pusat rotasi yang ditentukan dengan cara ini bertepatan dengan pusat geser yang dijelaskan di sini dan didefinisikan dengan cara lain.
Jika pembengkokan bagian yang dijelaskan oleh pola ini dapat dicegah seluruhnya atau sebagian, tegangan normal σx pada arah sumbu batang harus muncul. Pemeriksaan lebih dekat menunjukkan bahwa tegangan-tegangan ini dapat dianggap sebanding dengan fungsi kelengkungan φ: σx=k__φ, dimana φ hanya bergantung pada s dan k hanya pada x. Caranya menurut hukum Hooke :
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
harus k=E d__ϑ/dx. Tegangan normal σx disebut tegangan lentur bagian. Dengan memperhatikan persamaan di atas maka membentuk sistem keseimbangan gaya-gaya pada setiap bagian, sistem gaya-gaya akibat pembengkokan bagian tersebut.
Momen torsi total terdiri dari dua bagian: salah satunya M1=GJT__ϑ dihasilkan dari tegangan geser pada torsi yang menghasilkan St. Teori Venant, dan M2 lainnya terjadi karena pembengkokan bagian:
Persamaan. 13
Karena momen M diberikan sebagai fungsi dari x, persamaan ini mewakili persamaan diferensial untuk sudut puntir ϑ. Ketika persamaan ini diselesaikan, M1 dan M2 dapat dihitung, dan dengan demikian semua tegangan dan regangan.
Solusi dan aplikasi
Ketika momen torsi M konstan, solusi umum persamaan (13) adalah:
Konstanta integrasi C1, C2 harus ditentukan dari dua kondisi batas.
a) Ujung terjepit kaku x=0 (gbr. 1)
Di ujung ini adalah u≡0, jadi berdasarkan persamaan (1b) ϑ=0. Jika batangnya sangat panjang (αl>>1), maka C1=0 dan C2= -M/GJT. Pada kasus batang pendek, munculnya tegangan akibat pembengkokan bagian tersebut dipengaruhi oleh kondisi ujung kanan batang. Jika pembengkokan bagian tersebut tidak dicegah pada tempat tersebut, maka akan terjadi σx≡0 dan dϑ/dx=0. Dari sini Anda mendapatkan
b) Beban puntir simetris sesuai gambar. 10
Pada separuh batang kiri, momen puntirnya adalah -M/2, dan di sebelah kanan +M/2. Dalam kasus torsi bebas, bagian kiri dan kanan tengah batang akan terpelintir ke arah yang berlawanan, sehingga kontinuitas deformasi tidak akan dipertahankan. Oleh karena itu, di tempat x=0, seluruh momen puntir harus ditransfer melalui tegangan yang terjadi akibat pembengkokan bagian tersebut, dan oleh karena itu pada bagian ini M1=0 dan oleh karena itu ϑ=0. Pada titik ini, suatu sistem gaya bekerja untuk memastikan bahwa bagian tersebut tetap lurus, meskipun bagian tersebut terletak jauh dari pusat kurva batang. Selain itu, jika tegangan pada ujung-ujung batang disyaratkan sebesar σx≡0, maka diperoleh satu syarat batas lagi untuk tiap separuh batang, sehingga untuk separuh kanannya adalah
Gbr. 10
c) Momen eksternal M di tempat sembarang (gbr. 11)
Dalam hal ini penyelesaian ϑ untuk kedua bagian batang harus ditulis secara terpisah, sehingga muncul total empat konstanta C1, C2, C3, C4. Selain itu, momen puntir Ma, Mb juga belum diketahui. Terdapat enam persamaan yang tersedia: kondisi kontinuitas untuk ϑ (dinyatakan dengan u) dan untuk dϑ/dx (dinyatakan dengan σx) pada titik aksi beban, satu kondisi di setiap ujung batang (misalnya cubitan kaku ϑ=0, atau tekukan tidak terganggu, dϑ/dx=0), kesetimbangan momen kondisi -Ma+Mb=M dan terakhir kondisi bagian ujung tidak saling menghadap: ∫ ϑdx = 0.
Gbr. 11
Catatan akhir: pemilihan model torsi tergantung pada bagian terbuka atau tertutup, kelangsingan, metode tumpuan, tempat masukan momen dan kemungkinan lentur bebas. Untuk elemen nyata, status batas daya dukung dan kemudahan servis, detail lokal, sambungan, kelelahan dan stabilitas harus diperiksa, bukan hanya satu rumus tersendiri dari artikel tersebut.