Artxiboko adituen edukia: testuak eta formulek aurkezpen teoriko historikoa ematen dute eta ez dira proiektu bat, kalkulu estatikoa, karga-gaitasunaren egiaztapena, lehendik dagoen elementu baten balorazioa edo eraikitzeko edo birgaitzeko jarraibideak. Izendapenak, hipotesiak eta gutxi gorabeherako ereduak sistema, material, geometria, muga-baldintza eta arau aplikagarriekin egiaztatu behar dira. Torsioa, egonkortasuna, nekea, junturak eta tolestura eragotzitako tentsioaren kalkulua lizentziadun ingeniari batek egin beharko du, behar denean kontrol independentearekin.
Gaur egun, Savo Kusić egurrezko leihoetan, egur-aluminiozko leihoak, leiho pertsonalizatuak, atea eta aurrekontu eskaerak. Artikulu hau artxibo profesional historiko gisa geratzen da eta ez du egiturazko diseinu zerbitzu bat adierazten.
Saint-Venant tortsioaren teoria (torsio librea)
Ekuazio diferentziala
Sl.1
Egin bedi haga zuzen bat bere muturretako batean x=0eta beste muturrean kargatu dadila M tortsio-momentu batekin (.1). Orduan bere atal bakoitzak α(x) angelu jakin batean biratzen du makilaren ardatzarekiko paralelo den lerro jakin baten inguruan, x-ardatz gisa hartuko duguna. Sekzio guztiak elkarren berdinak badira, x ardatzarekiko paraleloa den edozein zuzen espira batera pasatuko da, eta α angelua mutur finkoarekiko distantziarekiko proportzionala izango da: α=ϑx, hortik sortzen dira sekzioaren planoko osagaien desplazamenduak (Irudia.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
ϑ kantitateari tortsio-angelua deitzen zaio (dimentsioa: luzera-1, luzera unitateko biraketa). Torsio-angelua M tortsio-momentuarekiko proportzionala da:
ϑ = M/GJT. (2)
Irudia. 2
GJT proportzionaltasun-faktorea, bihurdura-zurruntasuna, G ebakidura-moduluaren eta JT faktorearen biderkaduraren berdina da, sekzioaren forma eta tamainaren eragina adierazten duena.
Sekzioaren biraketa hori ez da hagatxoaren deformazio bakarra. Horrez gain, sekzioaren tolestura ere badago, hau da, x-ardatzaren noranzkoan dagoen u desplazamenduarekiko, ebakidura guztien dagozkien puntuetarako magnitude bera duena eta, beraz, sekzioaren planoko koordenatuen funtzioa baino ez dena, eta bestela kargaren M edo _ϑ_tortsio-angeluarekiko proportzionala dena.
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Goiko adierazpenak dagozkien desplazamendu-ekuazioetan sartzen badira, tentsio normal nagusiak zeroren berdinak direla lortzen da, τxy eta τxz osagai bi tentsioak bakarrik utziz:
Bat.3
Torsio-problemaren ekuazio diferentziala ekuazioetan oinarrituta lortzen da (3) jarriz:
Bat.4eta i4b
eta τxy eta τxz ezezagunetarako ekuazio diferentzial hauek ebatziz F(y,z) tentsio funtzioa sartuz:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Honekin, ekuazioa (4a) berdin-berdin beteta, eta ekuaziotik (4b) eskatutako ekuazio diferentziala lortzen da
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Ekuazio honen soluzio bakarrerako behar den muga-baldintza hagaxka-inguruan ebakidura-esfortzurik ez egotearen eskakizunetik lortzen da, eta hortik, ebakidura-esfortzuen izaera konjokatua dela-eta, sekzio-planoko tentsioak ez duela osagai perpendikularrik izan behar sestran zehar. Hemendik aurrera, irud.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
beraz
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
hau da, F funtzioaren diferentzial totalak zero izan behar du, hau da, F=konst. sestran zehar.
Atalak ingerada bakarra badu, F= jarri besterik ez dago0, izan ere, deribatuak soilik interesatzen zaizkigun tentsio-funtzioarekin, konstante gehigarri arbitrarioak ez du zereginik betetzen. Ingerada bat baino gehiago duten ataletarako, arazo hau konplexuagoa da.
Ekuazioan ikusten denez (5) ebakidura-puntu arbitrario batean τxy eta τxz ebakidura-esfortzuen erresultantea F tentsio-funtzioaren gradientearen magnitudea da, baina harekin perpendikularra da, hau da, F=konst. zuzenarekiko ukitzailea du.
ekuazio diferentziala ebatziz (6)) τ tentsioak y, z eta ϑ-ren funtzio gisa lortzen dira. Kalkuluaren zeregina, noski, ϑ tortsio-angelua eta esfortzua zehaztea da, batez ere tentsio maximoa tortsio-momentuaren arabera, beraz, JT sekzioaren zurruntasuna ekuazioaren arabera zehaztea (2) eta erresistentzia-momentua WT = Mmaxτ. Hauek lortzeko, M adieraztea F-ren funtzioan baino ez da beharrezkoa:
Sekzio osoa hartu beharko litzatekeen integral honen bi batuketak integrazio partzialaren bidez eraldatu daitezke. Bada, adibidez, lehenengoa lehenengo integratzen bada z=const. sestraren puntutik y=y1 punturaino y=y2 (irudia.3) eta kontuan hartu bi puntu hauetan F=0, lortzen da
Bigarren integraletik balio bera lortzen da, beraz
Bat.7
Sl.3
Atal osoen beste kasu batzuk
ekuazio diferentziala (6) potentzialen teoriaren ekuazio ez homogeneoa da. Beraz, ebakidura arbitrario baten kasuan tortsio-problemaren ebazpenerako, potentzialaren teoriaren metodoak eskuragarri daude, beti aurkitzea ahalbidetzen dutenak. Metodo hauek, ordea, orokorrean konplexuegiak dira praktikan sortzen diren kasu indibidualetan aplikatzeko. Hori dela eta, hurrengo taulak hainbat ataletako kalkulu horien emaitzak erakusten ditu.
Zirkularretik hurbil dauden sekzioetarako, JT=F jar daiteke4/40_Ip_, non F azalera den eta Ip sekzioaren inertzi momentu polarra den.
Formulei eta taulei buruzko oharra: eskaneatutako irudietako adierazpenak eta balioak iturri historiko gisa gordetzen dira. OCR testua, indize-markak eta eskaneatzea ez dira nahikoa fidagarriak kalkulatzeko. Erabili aurretik, formula, unitate, koefiziente eta baliozko eremu bakoitza egiaztatu behar da iturri profesional autoritario batean eta baliozko estandar batean.
Mintzarekiko analogia
Tortsio-esfortzuak estimatzeko laguntza ona eta, aldi berean, hauen zehaztasun-determinazio prozedura bat ematen da tortsio-arazoaren F esfortzu-funtzioaren eta mintzaren desbideratze zeharkako kargaren arteko analogiak. Izan bedi ontzi baten horma lauan torsioan kargatutako haga baten ebakidurarekin bat datorren batez besteko irekidura bat. Mintza irekidura honen gainean luzatzen denean eta ontzian p gehiegizko presio txiki bat sortzen denean, mintza kanpora ateratzen da, eta, beraz, bere ξ(y,z) desbideratzeek ekuazio diferentziala betetzen dute.
non N indar kapilarrek eragindako mintzean gainazaleko tentsioa den (dimentsioak: indarra luzera-unitateko). Ekuazio hau bat dator (6), eta muga-baldintza ξ=0tentsio funtzioaren berdina da. Modu honetan, F(y,z) tentsio-funtzioa lor daiteke ispilu hori mintzarekin duen eta horrela tortsio-problema konpon daiteke. τ tentsioa mintzak y-z-planoarekiko duen maldari dagokio, beraz, lekurik aldapatsuena tortsioaren eraginpean dagoen hagaxk ebakidura-esfortzu handiena duena da.
Sl.4
Sl.5
Mintz-prozedura hau bereziki egokia da horma meheko sekzioen gutxi gorabeherako ereduak lortzeko. Esaterako, I-atala irudaren arabera banatzen denean.4hiru laukizuzenetan eta horietako bakoitzean mintzarekiko analogia bereizita egiten da, ondoriozko irtenguneen bolumenen batura tentsio-funtzioari benetan dagokion bolumena baino apur bat txikiagoa izango da. Beraz, lodierak b direnean1 eta b2 txikia, gutxi gorabehera
JT =2JT1+ JT2,
non JT1 eta JT2 Taulan oinarrituta kalkula daitezkeen laukizuzen banakoen zurruntasun-faktoreak1. Hurbilketa hobea lortzen da JT saihetsean jartzen denean2 = a2b32/3, hortaz, saihetsaldea oso laukizuzen luzangaren zatitzat hartzen denean. Are balio zehatzagoa lortzen da Trayer eta March-ren arabera
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
non D irudian agertzen den moduan inskribatutako zirkulu handienaren diametroa den.4, eta α irudetatik har daiteke.5. T-etalerako antzera lortzen da
JT = JT1+JT2+ α D4,
non JT2 taularen arabera kalkulatutako balioaren erdia1_a_=rentzat2_a2_, b=b2. L ataletarako (Irud.6) horren antzekoa da
JT = JT1+ JT2+ β D4
non JT1 beso lodiena mahaitik zuzenean hartzen da1, berriz, JT2 hanka meherako T-atalerako bezala kalkulatzen da, eta β irudetatik hartzen da.7.
Irudia. 6
Sl.7
Esfortzua kalkulatzean, tortsio-momentua osatzen duten laukizuzenetan banatzen da: briden gainean erortzen den pieza M1=M JT2/JT; orduan ebakidura-esfortzua laukizuzen bakoitzaren alde luzeagoaren erdiko puntuan kalkulatzen da taulan oinarrituta1. Esfortzu hauetatik handienak ez du zertan sekzioan agertzen den ebakidura-tentsio handiena izan. Hots, intzidentzia-angelua biribiltzen ez bada, τ=∞ lortzen da leku horretan, beraz, biribilketa-erradio oso txikirako, hemen espero daiteke ebakidura-tentsiorik handiena.
Ingeniaritza Oharra: angelu akutu idealizatuaren berezitasun matematikoa ez da benetako xehetasuna gutxi gorabeherako eredu honen bidez bakarrik estimatzeko lizentzia. Benetako biribilketa-geometriak, perdoiak, plastikotasunak, soldadurak, hondar-tentsioak, tokiko egonkortasunak eta nekeak modelizazio egokia eta adituen egiaztapena behar dute.
_Trefftz_ren arabera alde bateko lodiera t duen angelu bakarrerako r diametroaren biribilketaren gainean dago:
non τ-rekin0 hanka bakoitzerako kalkulatutako gehienezko tentsio markatua hemen azaldutako prozeduraren arabera. Biribilketa-erradio handiagoetarako, τ= har daiteke2__τ0.
Horma meheko hodiak (Bradt ereduak)
Horma meheko hodietan, mintz puztuak irudian ageri den forma du.8, hodiaren barruko hutsunearen gaineko plano batek eta hura inguratzen duen eta hodi-hormaren sekzio efektiboaren gainean dagoen gainazal malda batez osatua; gainazal inklinatu horrek malda handiagoa izan behar du hodiaren hormak meheagoak badira dagokion lekuan. Kasu honetan, ebakidura-esfortzuak nahiko uniformeki banatzen dira hormen lodieran eta hormen lodieraren alderantziz proportzionalak dira, hau da, ebakidura-indarra T = τt ez da aldatzen sekzioaren zirkunferentzian zehar.
Sl. 8
t_∙ds_ gainazaleko elementuak tortsio-momentuaren zati bat jasotzen du
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
beraz, momentu osoa da
Bat.8
non FR gainazala irudian lerro eta puntuz markatutako erdiko lerroak estaltzen duen.8. Hemendik lortzen da
Bat.9- Lehenengo Bredt\ eredua
Tortsio-zurruntasuna deformazio-lana alde batetik tortsio-momentuaren eta tortsio-angeluaren bidez eta bestetik ebakidura-esfortzuen bidez adierazten denean lortzen da. Modu honetan, l luzera duen haga-elementu baterako lortzen da
beraz, τ-ren balioa sartuz ekuazioaren arabera (8),
hau da, ekuazioarekin alderatuta (2):
Bat.10
Hormen lodiera berdina bada inguruan, orduan erraza da (2. _Bredt_ren eredua):
Bat.11
Torsioan tentsio normalak sekzio-tolesteagatik
Oinarrizko terminoak eta ekuazio diferentziala
Osagaien desplazamenduak u, ekuazioa (1b), sekzioen kurbadura zehazten du haien planoetatik. Torsio-momentua konstantea denean, tolestura hori berdina da sekzio guztietan eta σx tentsio normalak ez dira agertzen.
Kasu askotan, zeharkako sekzioaren kurbadura, _St. Venanten teoria ez da posible. Ebakidura batean bihurdura-momentua bat-batean aldatzen bada, sekzioaren bi aldeetan magnitude ezberdinetako tolestura gertatuko litzateke, eta deformazioaren jarraitutasuna aztoratuko litzateke. Hagatxoaren mutur bat horrela estutu daiteke sekzioaren tolesdura puntu horretan guztiz baztertuta gelditzen baita. Horrelakoetan, zuzenketa bat egin beharko litzateke _St. Venanten teoriak. Hagatxoaren ardatzaren noranzkoan σx esfortzu osagarriak eta T ebakidura-indar osagarria (ebakidura-esfortzuak T/t) agertzen dira hagatxoan, deformazioaren jarraipena hausten den sekzioan handienak direnak eta atal honetatik distantziarekin esponentzialki txikitzen direnak. Haga eta hodi solidoen kasuan, teoria hau konplexua da, eta tentsio osagarriak hain azkar jaisten dira, non haien determinazioak ez du merezi kasu gehienetan. Horma meheko profil irekiko hagaxketarako, zuzenketa honek garrantzi handia du eta nahiko erraz kalkula daiteke.
Sl.9
Sl.9hormaren erdiko gainazala eta sekzio-planoa gurutzatzen diren lerroa erakusten du (sekzioaren erdiko lerroa). O ondoko bi atalen biraketa erlatiboaren zentroa da. Haien distantzia dx bada, tortsio-angelua ϑ dx da, beraz, erdiko lerroaren puntu arbitrario batek u ϑ dx desplazamendu bat jasaten du. Desplazamendu honek rt ϑ dx osagaia du sekzioaren norabide ukitzailean, eta hormaren erdiko gainazaleko elementuaren irristadura da (_u=_φϑ dela kontuan hartuta):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Hormaren erdiko gainazaleko ebakidura-esfortzua nulua denez, γ= ere izan behar du0, horregatik
Eredu honek hiru parametro arbitrario ditu: s arku luzera kalkulatzen den jatorria eta O biraketa erlatiboko zentroaren koordenatuak, zeinaren araberakoa den rt. s arku luzera kalkulatzeko abiapuntua hauta daiteke, batez besteko kurbadura balioa zero izan dadin:
eta O zentroaren koordenatuak sekzioaren tolestearen ondoriozko momentuak nuluak izan daitezen era honetan zehaztu daitezke:
Lotutako informazioa: Lotutako informazioa
Eredu hauek deskribatzen duten sekzioaren tolestura guztiz edo partzialki eragozten bada, hagaxkaren ardatzaren norabidean σx tentsio normalak agertu behar dira. Hurbilago aztertuta, tentsio hauek φ: σx=k__φ makurdura-funtzioarekiko proportzionalak izan daitezkeela erakusten du, non φ s-ren menpe bakarrik dagoen eta k x-ren soilik. Hookeren legearen arabera:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
k=E d__ϑ/dx izan behar du. Esfortzu normalak σx sekzio-flexio-esfortzuak deitzen dira. Goiko ekuazioak kontuan hartuta, sekzio bakoitzean indar-sistema oreka bat osatzen dute, sekzioaren tolesturaren ondoriozko indar-sistema bat.
Momentu osoa bi zatik osatzen dute: horietako bat M1=GJT__ϑ St-ek emandako tortsio-ebakidura-esfortzuen ondorioz sortzen da. Venant-ren teoria, eta bestea M2 sekzioaren tolesduragatik gertatzen da:
Bat.13
M momentua x-ren funtzio gisa ematen denez, adierazpen honek ϑ tortsio-angeluaren ekuazio diferentziala adierazten du. Behin ekuazio hori ebatzita, M kalkula daiteke1 eta M2, eta horrela tentsio eta tentsio guztiak.
Irtenbidea eta aplikazioak
Torsio-momentua M konstantea denean, ekuazioaren soluzio orokorra (13) hau da:
Integrazio-konstanteak C1, C2 bi muga-baldintzetatik zehaztu behar da.
a) X= zurrun estututako muturra0(irudia.1)
Mutur honetan u≡ dago0, beraz, ekuazioan oinarrituta (1b) ϑ=0. Hagatxoa oso luzea bada (αl>>1), gero C1=0eta C2= -M/GJT. Hagaxka motzen kasuan, sekzioaren tolestearen ondoriozko tentsioaren agerpena hagaren eskuineko muturrean dagoen egoerak eragiten du. Leku horretan sekzioaren makurdura eragozten ez bada, σx≡ izango da0eta dϑ/dx=0. Hemendik lortzen da
b) Torsio-karga simetrikoa irudiaren arabera.10
Hagaxkaren ezkerreko erdian, tortsio-momentua -M/ da2, eta eskuinaldean +M/2. Torsio askearen kasuan, hagaren erdiko ezkerreko eta eskuineko atalak kontrako noranzkoan bihurrituko lirateke, beraz, deformazioaren jarraitutasuna ez litzateke gordeko. Beraz, x= lekuan0sekzioaren tolestearen ondorioz gertatzen diren esfortzuen bidez bihurdura-momentu osoa transferitu behar da, eta, beraz, ebakidura honetan M1=0eta beraz ϑ=0. Puntu honetan, indar-sistema batek jarduten du sekzioa zuzen mantentzen dela ziurtatzeko, nahiz eta haga kurbaren erdigunetik urrunago dauden sekzioak. Gainera, hagatxoaren muturrek σx≡ esfortzuak izatea eskatzen bada0, muga-baldintza bat gehiago lortzen da hagaren erdi bakoitzeko, beraz, eskuineko erdirako da
Irudia. 10
c) Kanpo-momentua M leku arbitrario batean (fig.11)
Kasu honetan, hagatxoaren bi zatietarako ϑ soluzioa bereizita idatzi behar da, beraz, guztira C lau konstante agertzen dira1, C2, C3, C4. Horrez gain, Ma, Mb tortsio-momentuak ere ezezagunak dira. Sei ekuazio daude eskuragarri: ϑ-ren jarraitasun-baldintza bat (u-rekin adierazita) eta dϑ/dx-rentzat (σx-rekin adierazita) karga-puntuan, baldintza bat hagaren mutur bakoitzean (adibidez, ϑ= estutze zurruna).0, edo trabarik gabeko makurdura, dϑ/dx=0), -Ma+Mb=M momentuen oreka-baldintza eta, azkenik, amaierako sekzioek elkarren artean biratzeko baldintza: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Azken oharra: Torsio-ereduaren aukeraketa sekzio irekiaren edo itxiaren, lerdentasunaren, euskarri-metodoaren, momentuaren sarrera-lekuaren eta tolestura librearen aukeraren araberakoa da. Elementu erreal baterako, karga- eta zerbitzu-egoerak, tokiko xehetasunak, junturak, nekea eta egonkortasuna egiaztatu behar dira, ez artikulutik formula isolatu bat.