Arkivekspertindhold: teksten og formlerne formidler en historisk teoretisk fremstilling og er ikke et projekt, statisk beregning, bæreevnekontrol, vurdering af et eksisterende element eller instruktioner til konstruktion eller istandsættelse. Betegnelser, antagelser og omtrentlige mønstre skal kontrolleres i forhold til det specifikke system, materiale, geometri, randbetingelser og gældende standarder. Beregning af vridning, stabilitet, træthed, led og spændinger på grund af forhindret bøjning bør udføres af en autoriseret ingeniør med uafhængig kontrol, når det er nødvendigt.
I dag er Savo Kusić fokuseret på trævinduer, træ-aluminium vinduer, tilpassede vinduer, dør og anmodninger om tilbud. Denne artikel forbliver som et historisk professionelt arkiv og repræsenterer ikke en strukturel designtjeneste.
Saint-Venant teori om torsion (fri torsion)
Differentialligning
Sl.1
Lad en lige stang fastgøres i en af dens ender x=0og lad den belastes i den anden ende med et torsionsmoment M (fig.1). Derefter roterer hver af dens sektioner med en bestemt vinkel α(x) omkring en bestemt linje parallel med stokkens akse, som vi vil anvende som x-aksen. Hvis alle sektioner er ens med hinanden, vil enhver ret linje parallel med x-aksen passere ind i en spole, og vinklen α vil være proportional med afstanden fra den faste ende: α=ϑx, hvorfra komponentforskydningerne i sektionens plan opstår (fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1en)
Størrelsen ϑ kaldes torsionsvinklen (dimension: længde-1, rotation pr. længdeenhed). Torsionsvinklen er proportional med torsionsmomentet M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl.2
Proportionalitetsfaktoren GJT, torsionsstivheden, er lig med produktet af forskydningsmodulet G og faktoren JT, som repræsenterer effekten af sektionens form og størrelse.
Denne rotation af sektionen er ikke den eneste deformation af stangen. Derudover er der også bøjning af tværsnittet, altså til forskydningen u i retning af x-aksen, som har samme størrelse for de tilsvarende punkter i alle tværsnit og derfor kun er en funktion af koordinaterne i snittets plan, og i øvrigt er proportional med lasten M eller torsionen: ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Hvis udtrykkene ovenfor introduceres i de tilsvarende forskydningsligninger, opnås det, at hovednormalspændingerne er lig med nul, hvilket kun efterlader to komponentspændinger τxy og τxz:
En.3
Differentialligningen for torsionsproblemet opnås baseret på ligningerne (3) sætter:
En.4og jeg4b
og løse disse differentialligninger for de ukendte τxy og τxz ved at introducere spændingsfunktionen F(y,z) at:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Hermed er ligningen (4a) identisk opfyldt, og fra ligningen (4b) den nødvendige differentialligning opnås
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Grænsebetingelsen, der kræves for den unikke løsning af denne ligning, er opnået ud fra kravet om, at der ikke er nogen forskydningsspændinger på stanghylsteret, hvoraf det på grund af forskydningsspændingernes konjugerede karakter følger, at spændingen i snitplanet ikke må have en komponent vinkelret på sig langs konturen. Herfra viser fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
derfor
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
dvs. den samlede differens af funktionen F skal være nul, det vil sige, den skal være F=konst. langs konturen.
Hvis sektionen kun har én kontur, kan den blot sættes F= på den0, for med spændingsfunktionen, som vi faktisk kun interesserer os for afledte, spiller den vilkårlige additivkonstant ikke nogen rolle. For sektioner, der har mere end én kontur, er dette problem mere komplekst.
Som det ses af ligningen (5) resultanten af forskydningsspændingerne τxy og τxz ved et vilkårligt skæringspunkt er lig med gradienten af spændingsfunktionen F, men er vinkelret på den, dvs. har en tangentretning til linjen F=konst.
Ved at løse differentialligningen (6)) spændingerne τ som funktioner af y, z og ϑ opnås. Opgaven med beregningen er naturligvis bestemmelsen af torsionsvinklen ϑ og spændingen, især den maksimale spænding som funktion af vridningsmomentet, derfor bestemmes stivheden af sektionen JT ud fra ligningen (2) og modstandsmomentet WT = Mmaxτ. For at opnå disse er det kun nødvendigt at udtrykke M som en funktion af F:
Begge summeringer af dette integral, som bør overtages over hele sektionen, kan transformeres ved delvis integration. Hvis den første af dem f.eks. integreres først langs linjen z=const. fra punktet på konturen y=y1 til punktet y=y2 (fig.3) og tag i betragtning, at i begge disse punkter F=0, opnås
Den samme værdi opnås fra det andet integral, således at
En.7
Sl.3
Andre tilfælde af hele sektioner
Differentialligningen (6) er den inhomogene ligning af potentialteori. Til løsning af torsionsproblemet i tilfælde af et vilkårligt tværsnit er derfor potentialteoriens metoder tilgængelige, som gør det muligt altid at finde den. Disse metoder er dog generelt for komplekse til at kunne anvendes på enkeltsager, der opstår i praksis. Derfor viser følgende tabel resultaterne af sådanne beregninger for flere sektioner.
For tværsnit tæt på cirkulære kan JT=F sættes4/40_Ip_, hvor F er arealet og Ip er sektionens polære inertimoment.
Bemærkning til formler og tabeller: udtryk og værdier i scannede billeder gemmes som en historisk kilde. OCR-tekst, indeksmærker og scanning er ikke pålidelige nok til beregning. Før brug skal hver formel, enhed, koefficient og gyldighedsområde kontrolleres i en autoritativ professionel kilde og gyldig standard.
Analogi med membranen
En god hjælp til at estimere torsionsspændinger, og samtidig en procedure for deres nøjagtige bestemmelse er tilvejebragt af analogien mellem spændingsfunktionen F af torsionsproblemet og afbøjningstværbelastningen af membranen. Lad der være en gennemsnitlig åbning på den flade væg af et fartøj, der falder sammen med tværsnittet af en stang belastet i torsion. Når membranen strækkes over denne åbning, og der forårsages et lille overtryk p i karret, buler membranen udad, så dens udbøjninger ξ(y,z) opfylder differentialligningen
hvor N er overfladespændingen i membranen forårsaget af kapillarkræfter (dimensioner: kraft pr. længdeenhed). Denne ligning falder sammen med ligningen (6), og grænsebetingelsen ξ=0er det samme som for spændingsfunktionen. På denne måde kan spændingsfunktionen F(y,z) opnås ved hjælp af dette spejl med membranen og dermed løse torsionsproblemet. Spændingen τ svarer til membranens hældning i forhold til y-z-planet, så det stejleste sted er det, hvor stangen udsat for vridning har den højeste forskydningsspænding.
Sl.4
Sl.5
Denne membranprocedure er særligt velegnet til at opnå omtrentlige mønstre for tyndvæggede sektioner. Når fx I-sektionen er opdelt efter fig.4på tre rektangler og for hver af dem udføres analogien med membranen separat, summen af volumen af de resulterende fremspring vil kun være lidt mindre end det volumen, der faktisk svarer til spændingsfunktionen. Derfor, når tykkelserne er b1 og b2 lille, ca
JT =2JT1+ JT2,
hvor JT1 og JT2 stivhedsfaktorer for individuelle rektangler, der kan beregnes ud fra tabellen1. En bedre tilgang opnås, når JT placeres for ribben2 = a2b32/3 derfor, når ribben betragtes som en del af et meget aflangt rektangel. En endnu mere nøjagtig værdi opnås ifølge Trayer og March\ fra
JT =2JT1+1/3-en2b32+2 α D4,
hvor D er diameteren af den største cirkel indskrevet som vist i fig.4, og α kan tages fra fig.5. For T-sektionen opnås det tilsvarende
JT = JT1+JT2+ α D4,
hvor JT2 halvdelen af værdien beregnet efter tabellen1for a=2_en2_, b=b2. For L-sektioner (fig.6) ligner det
JT = JT1+ JT2+ β D4
hvor JT1 for den tykkere arm tages direkte fra bordet1, mens JT2 for det tyndere ben beregnes som for T-sektionen, og β er taget fra fig.7.
Fig. 6
Sl.7
Ved beregning af spændingen opdeles torsionsmomentet i konstituerende rektangler: den del, der falder på flangerne M1=M JT2/JT; forskydningsspændingen beregnes derefter ved midtpunktet af den længere side af hvert rektangel baseret på tabellen1. Den største af disse spændinger behøver ikke at være den største forskydningsspænding, der optræder i sektionen. Nemlig hvis indfaldsvinklen ikke er afrundet, opnås τ=∞ på det sted, således at der for en meget lille afrundingsradius kan forventes den højeste forskydningsspænding her.
Engineering note: den matematiske singularitet af den idealiserede spidse vinkel er ikke en tilladelse til at estimere den faktiske detalje ud fra dette omtrentlige mønster alene. Den faktiske afrundingsgeometri, tolerancer, plasticitet, svejsninger, restspændinger, lokal stabilitet og udmattelse kræver passende modellering og ekspertverifikation.
For en ensidig vinkel, hvis sidetykkelse er t ifølge Trefftz\ er på afrundingen af diameteren r:
hvor med τ0 mærket maksimal spænding beregnet for hvert enkelt ben baseret på proceduren beskrevet her. For større afrundingsradier kan τ= anvendes2__τ0.
Tyndvæggede rør (Bradt-mønstre)
I tyndvæggede rør har den svulmende membran formen vist i fig.8, som består af et plan over hulrummet inde i røret og en skrå flade, der omgiver det og ligger over rørvæggens effektive sektion; denne skrå overflade skal være stejlere, hvis rørvæggene er tyndere på det passende sted. I dette tilfælde er forskydningsspændingerne fordelt nogenlunde jævnt over væggenes tykkelse og er omvendt proportionale med væggenes tykkelse, dvs. forskydningskraften T = τt ændres ikke langs sektionens omkreds.
Sl. 8
Overfladeelementet t_∙ds_ modtager en del af torsionsmomentet
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
så det samlede øjeblik er
En.8
hvor FR overfladen er dækket af den midterste linje markeret med linjer og prikker i fig.8. Den er hentet herfra
En.9- Det første Bredt\ mønster
Torsionsstivhed opnås enklest, når deformationsarbejdet kommer til udtryk på den ene side gennem vridmoment og vridningsvinkel og på den anden side gennem forskydningsspændinger. På denne måde opnås det for et stangelement med længden l
så introducerer værdien for τ ifølge ligningen (8),
det vil sige ved sammenligning med ligningen (2):
En.10
Hvis tykkelsen af væggene er den samme hele vejen rundt, så er det enkelt (2. _Bredt_s mønster):
En.11
Normale spændinger i torsion på grund af sektionsbøjning
Grundlæggende udtryk og differentialligning
Komponentforskydninger u, ligning (1b), bestemmer krumningen af sektionerne ud fra deres planer. Når torsionsmomentet er konstant, er denne bøjning den samme i alle sektioner, og normale spændinger σx forekommer ikke.
I mange tilfælde er den krumning af tværsnittet, som skulle opstå på grundlag af _St. Venants teori er ikke mulig. Hvis torsionsmomentet ændrer sig brat i et tværsnit, vil bøjning af forskellig størrelse forekomme på begge sider af tværsnittet, og kontinuiteten af deformationen ville blive forstyrret. Den ene ende af stangen kan være så fastspændt, at bøjning af sektionen er helt udelukket på det tidspunkt. I sådanne tilfælde bør der foretages en ændring _St. Venants teorier. Supplerende spændinger σx i retning af stangens akse og supplerende forskydningskraft T (forskydningsspændinger T/t) optræder i stangen, som er de højeste i det afsnit, hvor kontinuiteten af deformationen brydes, og som aftager eksponentielt med afstanden fra dette afsnit. I tilfælde af massive stænger og rør er denne teori kompleks, og de supplerende spændinger falder så hurtigt, at deres bestemmelse i de fleste tilfælde ikke er umagen værd. For tyndvæggede stænger med åben profil er denne korrektion af stor betydning og kan beregnes relativt let.
Sl.9
Sl.9viser den linje, langs hvilken væggens midterflade og snitplanet skærer hinanden (sektionens midterlinje). O er centrum for relativ rotation af to tilstødende sektioner. Hvis deres afstand er dx, er torsionsvinklen ϑ dx, så et vilkårligt punkt på midtlinjen undergår en forskydning u ϑdx. Denne forskydning har en komponent rt ϑdx i retningen tangent til sektionen og er glidningen af elementet på væggens midterflade (under hensyntagen til, at _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Da forskydningsspændingen i væggens midterflade er nul, skal den også være γ=0, så det er derfor
Dette mønster indeholder tre vilkårlige parametre: oprindelsen, hvorfra buelængden s beregnes, og koordinaterne for centrum for relativ rotation O, som rt afhænger af. Udgangspunktet, hvorfra buelængden s beregnes, kan vælges således, at middelkrumningsværdien er nul:
og koordinaterne for midten O kan bestemmes på en sådan måde, at momenterne på grund af sektionens bøjning er nul:
Det kan vises, at det således bestemte drejningscenter falder sammen med forskydningscentret, som er her beskrevet og defineret på en anden måde.
Hvis bøjningen af sektionen beskrevet af disse mønstre helt eller delvist forhindres, skal der forekomme normale spændinger σx i retning af stangens akse. En nærmere undersøgelse viser, at disse spændinger kan antages at være proportionale med krumningsfunktionen φ: σx=k__φ, hvor φ kun afhænger af s og k kun af x. I henhold til Hookes lov:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
skal være k=E d__ϑ/dx. Normalspændinger σx kaldes sektionsbøjningsspændinger. I betragtning af ligningerne ovenfor danner de et ligevægtssystem af kræfter i hver sektion, et system af kræfter på grund af sektionens bøjning.
Det samlede drejningsmoment består af to dele: en af dem M1=GJT__ϑ opstår på grund af vridningsforskydningsspændinger givet af St. Venant’s teori, og den anden M2 opstår på grund af bøjning af sektionen:
En.13
Da momentet M er givet som en funktion af x, repræsenterer dette udtryk en differentialligning for torsionsvinklen ϑ. Når denne ligning er løst, kan M beregnes1 og M2, og dermed alle belastninger og belastninger.
Løsning og applikationer
Når torsionsmomentet M er konstant, er den generelle løsning af ligningen (13) er:
Integrationskonstanter C1, C2 skal bestemmes ud fra to randbetingelser.
a) Fastspændt ende x=0(fig.1)
I denne ende er u≡0, så baseret på ligningen (1b) ϑ=0. Hvis stangen er meget lang (αl>>1), derefter C1=0og C2= -M/GJT. Ved korte stænger påvirkes udseendet af spændinger på grund af bøjning af sektionen af tilstanden i højre ende af stangen. Hvis bøjningen af sektionen ikke forhindres på det sted, vil der være σx≡0og dϑ/dx=0. Den er hentet herfra
b) Symmetrisk torsionsbelastning ifølge fig.10
På venstre halvdel af stangen er torsionsmomentet -M/2, og til højre +M/2. I tilfælde af fri vridning vil sektionerne til venstre og højre for midten af stangen være snoet i den modsatte retning, derfor vil kontinuiteten af deformationen ikke blive bevaret. Derfor på stedet x=0hele torsionsmomentet skal overføres gennem de spændinger, der opstår på grund af bøjningen af tværsnittet, og derfor i dette tværsnit M1=0og derfor ϑ=0. På dette tidspunkt virker et kraftsystem for at sikre, at sektionen forbliver lige, selvom sektioner, der ligger længere fra midten af stangen, kurver. Hvis det derudover kræves, at enderne af stangen har spændinger σx≡0, opnås en randbetingelse mere for hver halvdel af stangen, så det er for den højre halvdel
Fig. 10
c) Eksternt moment M på et vilkårligt sted (fig.11)
I dette tilfælde skal løsningen ϑ for begge dele af stangen skrives separat, så der i alt vises fire konstanter C1, C2, C3, C4. Derudover er torsionsmomenterne Ma, Mb også ukendte. Seks ligninger er tilgængelige: en kontinuitetsbetingelse for ϑ (udtrykt ved u) og for dϑ/dx (udtrykt ved σx) ved belastningspunktet, en betingelse i hver ende af stangen (f.eks. stiv fastspænding ϑ=0, eller uforstyrret bøjning, dϑ/dx=0), balancebetingelsen med momenter -Ma+Mb=M og endelig betingelsen om, at endeafsnittene ikke roterer i forhold til hinanden: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Sidste bemærkning: valget af torsionsmodel afhænger af den åbne eller lukkede sektion, slankhed, støttemetode, sted for momentinput og muligheden for fri bøjning. For et reelt element skal bære- og brugsgrænsetilstande, lokale detaljer, samlinger, træthed og stabilitet kontrolleres, ikke kun én isoleret formel fra artiklen.