Archivgutachterinhalte: Die Texte und Formeln vermitteln eine historisch-theoretische Darstellung und sind kein Projekt, keine statische Berechnung, keine Tragfähigkeitsprüfung, keine Bestandsbewertung oder Bau- oder Sanierungsanleitung. Bezeichnungen, Annahmen und Näherungsmuster müssen anhand des spezifischen Systems, des Materials, der Geometrie, der Randbedingungen und der geltenden Normen überprüft werden. Die Berechnung von Torsion, Stabilität, Ermüdung, Gelenken und Spannung aufgrund verhinderter Biegung sollte von einem zugelassenen Ingenieur durchgeführt werden, bei Bedarf mit unabhängiger Kontrolle.
Heute konzentriert sich Savo Kusić auf Holzfenster, Holz-Aluminium-Fenster, kundenspezifische Fenster, Türen und Angebotsanfragen. Dieser Artikel bleibt ein historisches Facharchiv und stellt keine Tragwerksplanungsdienstleistung dar.
Saint-Venant-Torsionstheorie (freie Torsion)
Differentialgleichung
Sl. 1
Ein gerader Stab sei an einem seiner Enden befestigt x=0 und am anderen Ende mit einem Torsionsmoment M belastet (Abb. 1). Dann dreht sich jeder seiner Abschnitte um einen bestimmten Winkel α(x) um eine bestimmte Linie parallel zur Achse des Stocks, die wir für die x-Achse übernehmen. Wenn alle Abschnitte einander gleich sind, geht jede Linie parallel zur x-Achse in eine Spule über, und der Winkel α ist proportional zum Abstand vom festen Ende: α=ϑx, aus dem sich die Komponentenverschiebungen in der Ebene des Abschnitts ergeben (Abb. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Die Größe ϑ wird Torsionswinkel genannt (Maß: Länge-1, Drehung pro Längeneinheit). Der Torsionswinkel ist proportional zum Torsionsmoment M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl. 2
Der Proportionalitätsfaktor GJT, Torsionssteifigkeit, ist gleich dem Produkt aus dem Schubmodul G und dem Faktor JT, der den Einfluss der Form und Größe des Abschnitts darstellt.
Diese Drehung des Abschnitts ist nicht die einzige Verformung der Stange. Hinzu kommt noch eine Biegung des Querschnitts, also um die Verschiebung u in Richtung der x-Achse, die für die entsprechenden Punkte aller Querschnitte den gleichen Betrag hat und daher nur eine Funktion der Koordinaten in der Schnittebene ist, ansonsten aber proportional zur Belastung M bzw. zum Torsionswinkel ϑ ist:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Werden die obigen Ausdrücke in die entsprechenden Verschiebungsgleichungen eingeführt, erhält man, dass die Hauptnormalspannungen gleich Null sind, sodass nur noch zwei Komponentenspannungen τxy und τxz übrig bleiben:
Eins. 3
Die Differentialgleichung des Torsionsproblems wird basierend auf den Gleichungen (3) erhalten, indem man setzt:
Eins. 4a und 4b
und Lösen dieser Differentialgleichungen für die Unbekannten τxy und τxz durch Einführung der Spannungsfunktion F(y,z), die:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Damit ist die Gleichung (4a) identisch erfüllt und die erforderliche Differentialgleichung ergibt sich aus Gleichung (4b)
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Die für die eindeutige Lösung dieser Gleichung erforderliche Randbedingung ergibt sich aus der Forderung, dass an der Stabhülle keine Schubspannungen auftreten, woraus aufgrund der konjugierten Natur der Schubspannungen folgt, dass die Spannung in der Schnittebene entlang der Kontur keine dazu senkrechte Komponente haben darf. Von hier, Abb. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
daher
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
d.h. das Gesamtdifferential der Funktion F muss Null sein, also F=const. entlang der Kontur.
Wenn der Abschnitt nur eine Kontur hat, kann man einfach F=0 darauf setzen, denn bei der Spannungsfunktion, von der uns eigentlich nur Ableitungen interessieren, spielt eine beliebige additive Konstante keine Rolle. Bei Abschnitten mit mehr als einer Kontur ist dieses Problem komplexer.
Wie aus der Gleichung (5) ersichtlich ist, ist die Resultierende der Schubspannungen τxy und τxz an einem beliebigen Schnittpunkt betragsmäßig gleich dem Gradienten der Spannungsfunktion F, steht aber senkrecht dazu, d. h. hat eine Tangentialrichtung zur Geraden F=const.
Die Lösung der Differentialgleichung (6) ergibt die Spannungen τ als Funktionen von y, z und ϑ. Aufgabe der Berechnung ist natürlich die Bestimmung des Torsionswinkels ϑ und der Spannung, insbesondere der Maximalspannung als Funktion des Torsionsmoments, also die Bestimmung der Steifigkeit des Abschnitts JT aus der Gleichung (2) und des Widerstandstorsionsmoments WT = Mmaxτ. Um diese zu erhalten, muss lediglich M als Funktion von F ausgedrückt werden:
Beide Summen dieses Integrals, die über den gesamten Abschnitt genommen werden sollen, können durch partielle Integration transformiert werden. Wenn zum Beispiel der erste von ihnen zuerst entlang der Linie z=const integriert. Vom Punkt auf der Kontur y=y1 zum Punkt y=y2 (Abb. 3) und unter Berücksichtigung dessen, dass in beiden Punkten F=0 ist, erhalten wir
Der gleiche Wert ergibt sich aus dem zweiten Integral, also
Eins. 7
Sl. 3
Andere Fälle von vollständigen Abschnitten
Die Differentialgleichung (6) ist eine inhomogene Gleichung der Potentialtheorie. Für die Lösung des Torsionsproblems bei beliebigem Querschnitt stehen daher die Methoden der Potentialtheorie zur Verfügung, mit denen es immer gefunden werden kann. Diese Methoden sind jedoch in der Regel zu komplex, um sie auf einzelne in der Praxis auftretende Fälle anzuwenden. Daher zeigt die folgende Tabelle die Ergebnisse solcher Berechnungen für mehrere Abschnitte.
Für nahezu kreisförmige Abschnitte kann JT=F_4/40_Ip verwendet werden, wobei F die Fläche und Ip das polare Trägheitsmoment des Abschnitts ist.
Hinweis zu Formeln und Tabellen: Ausdrücke und Werte in gescannten Bildern werden als historische Quelle gespeichert. OCR-Text, Indexmarken und Scan sind für die Berechnung nicht zuverlässig genug. Vor der Verwendung sollten alle Formeln, Einheiten, Koeffizienten und Gültigkeitsbereiche in einer maßgeblichen professionellen Quelle und in der geltenden Norm überprüft werden.
Analogie zur Membran
Eine Analogie zwischen der Spannungsfunktion F des Torsionsproblems und der Auslenkung der Querlast der Membran bietet eine gute Hilfe zur Abschätzung von Torsionsspannungen und gleichzeitig ein Verfahren zu deren genauer Bestimmung. An der flachen Wand eines Gefäßes sei eine durchschnittliche Öffnung vorhanden, die mit dem Querschnitt eines auf Torsion belasteten Stabes übereinstimmt. Wenn die Membran über diese Öffnung gespannt wird und im Gefäß ein kleiner Überdruck p entsteht, wölbt sich die Membran nach außen, sodass ihre Auslenkungen ξ(y,z) der Differentialgleichung genügen
wobei N die durch Kapillarkräfte verursachte Oberflächenspannung in der Membran ist (Maße: Kraft pro Längeneinheit). Diese Gleichung stimmt mit der Gleichung (6) überein und die Randbedingung ξ=0 ist dieselbe wie für die Spannungsfunktion. Auf diese Weise kann man über diesen Spiegel mit der Membran die Spannungsfunktion F(y,z) erhalten und so das Torsionsproblem lösen. Die Spannung τ entspricht der Neigung der Membran im Verhältnis zur y-z-Ebene, sodass die steilste Stelle diejenige ist, an der der der Torsion ausgesetzte Stab die höchste Scherspannung aufweist.
Sl. 4
Sl. 5
Dieses Membranverfahren eignet sich besonders zur Erstellung von Näherungsmustern für dünnwandige Abschnitte. Wenn beispielsweise das I-Profil gemäß Abb. geteilt wird. 4 auf drei Rechtecken, und für jedes von ihnen wird separat eine Analogie zur Membran durchgeführt, wird die Summe der Volumina der resultierenden Vorsprünge nur geringfügig kleiner sein als das Volumen, das tatsächlich der Spannungsfunktion entspricht. Daher, wenn die Dicken b1 und b2 ungefähr klein sind
JT = 2JT1 + JT2,
wobei JT1 und JT2 Steifigkeitsfaktoren einzelner Rechtecke sind, die anhand der Tabelle 1 berechnet werden können. Eine bessere Näherung erhält man, wenn man für die Rippe JT2 = a2 b32/3 setzt, also die Rippe als Teil eines sehr langgestreckten Rechtecks betrachtet. Einen noch genaueren Wert erhält man nach Trayer und March\ aus
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
wobei D der Durchmesser des größten eingeschriebenen Kreises ist, wie in Abb. gezeigt. 4 und α können der Abb. entnommen werden. 5. Für das T-Stück erhält man es analog
JT = JT1 +JT2 + α D4,
wobei JT2 die Hälfte des gemäß der Tabelle 1 für a=2 a2, b=b2 berechneten Wertes ist. Bei L-Profilen (Abb. 6) ist es ähnlich
JT = JT1 + JT2 + β D4
wobei JT1 für den dickeren Arm direkt der Tabelle 1 entnommen wird, während JT2 für den dünneren Arm wie im T-Abschnitt berechnet wird und β der Abb. entnommen wird. 7.
Sl. 6
Sl. 7
Bei der Berechnung der Spannung wird das Torsionsmoment in konstituierende Rechtecke unterteilt: der Teil, der auf die Flansche fällt M1=M JT2/JT; Anschließend wird die Scherspannung in der Mitte der längeren Seite jedes Rechtecks basierend auf Tabelle 1 berechnet. Die größte dieser Spannungen muss nicht die größte im Abschnitt auftretende Scherspannung sein. Wenn nämlich der Einfallswinkel nicht verrundet ist, ergibt sich an dieser Stelle τ=∞, so dass bei einem sehr kleinen Verrundungsradius hier mit der höchsten Schubspannung zu rechnen ist.
Technischer Hinweis: Die mathematische Singularität des idealisierten spitzen Winkels ist keine Lizenz, die tatsächlichen Details allein anhand dieses ungefähren Musters abzuschätzen. Die tatsächliche Rundungsgeometrie, Toleranzen, Plastizität, Schweißnähte, Eigenspannungen, lokale Stabilität und Ermüdung erfordern eine entsprechende Modellierung und fachmännische Überprüfung.
Für einen einseitigen Winkel, dessen Seitendicke gemäß Trefftz\ t beträgt, liegt auf der Rundung des Durchmessers r:
Dabei ist τ0 die höchste Spannung, die für jeden einzelnen Zweig basierend auf dem hier beschriebenen Verfahren berechnet wurde. Für größere Rundungsradien kann τ=2__τ0 übernommen werden.
Dünnwandige Rohre (Bradt-Muster)
Bei dünnwandigen Rohren hat die Wulstmembran die in Abb. dargestellte Form. 8, das aus einer Ebene über dem Hohlraum im Rohrinneren und einer diesen umgebenden schrägen Fläche besteht, die über dem wirksamen Abschnitt der Rohrwand liegt; diese Schrägfläche muss steiler sein, wenn die Rohrwände an entsprechender Stelle dünner sind. In diesem Fall verteilen sich die Schubspannungen ziemlich gleichmäßig über die Dicke der Wände und sind umgekehrt proportional zur Dicke der Wände, d. h. die Scherkraft T = τt ändert sich entlang des Umfangs des Abschnitts nicht.
Sl. 8
Das Flächenelement t_∙ds_ nimmt einen Teil des Torsionsmoments auf
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
also der Gesamtmoment ist
Eins. 8
wobei die FR-Oberfläche von der Mittellinie bedeckt ist, die in Abb. durch Linien und Punkte markiert ist. 8. Es wird von hier bezogen
Eins. 9 – _Bredt_s erste Form
Torsionssteifigkeit erhält man am einfachsten, wenn man die Verformungsarbeit einerseits durch Torsionsmoment und Torsionswinkel und andererseits durch Schubspannungen ausdrückt. Auf diese Weise erhält man für ein Stabelement der Länge l
also, indem wir den Wert für τ gemäß der Gleichung (8) einführen,
das heißt, im Vergleich mit der Gleichung (2):
Eins. 10
Wenn die Dicke der Wände rundherum gleich ist, dann ist es einfach (2. _Bredts Formel):
Eins. 11
Normale Torsionsspannungen aufgrund der Profilbiegung
Grundbegriffe und Differentialgleichung
Komponentenverschiebungen u, Gleichung (1b), bestimmen die Krümmung der Abschnitte aus ihren Ebenen. Bei konstantem Torsionsmoment ist diese Biegung in allen Abschnitten gleich und Normalspannungen σx treten nicht auf.
In vielen Fällen ist die Krümmung des Querschnitts, die auf der Grundlage von _St entstehen sollte. Venants Theorie ist nicht möglich. Bei einer sprunghaften Änderung des Torsionsmoments in einem Querschnitt würde es auf beiden Seiten des Querschnitts zu unterschiedlich großen Biegungen kommen und die Kontinuität der Verformung wäre gestört. Ein Ende des Stabes kann so festgeklemmt werden, dass ein Durchbiegen des Abschnittes an dieser Stelle völlig ausgeschlossen ist. In solchen Fällen sollte eine Änderung vorgenommen werden _St. Venants Theorien. Im Stab treten zusätzliche Spannungen σx in Richtung der Stabachse und zusätzliche Scherkräfte T (Scherspannungen T/t) auf, die in dem Abschnitt, in dem die Kontinuität der Verformung unterbrochen ist, am höchsten sind und mit der Entfernung von diesem Abschnitt exponentiell abnehmen. Bei massiven Stäben und Rohren ist diese Theorie komplex und die Zusatzspannungen nehmen so schnell ab, dass sich ihre Bestimmung in den meisten Fällen nicht lohnt. Bei dünnwandigen Stäben mit offenem Profil ist diese Korrektur von großer Bedeutung und lässt sich relativ einfach berechnen.
Sl. 9
Sl. 9 zeigt die Linie, entlang der sich die Mittelfläche der Wand und die Schnittebene schneiden (die Mittellinie des Schnitts). O ist der Mittelpunkt der relativen Drehung zweier benachbarter Abschnitte. Beträgt ihr Abstand dx, der Torsionswinkel ϑ dx, dann erfährt ein beliebiger Punkt der Mittellinie eine Verschiebung u ϑ dx. Diese Verschiebung hat eine Komponente rt ϑ dx in der Richtung tangential zum Querschnitt und ist die Verschiebung des Elements der Mittelfläche der Wand (unter Berücksichtigung von _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Da die Schubspannung in der Mittelfläche der Wand Null ist, muss sie auch γ=0 sein, und daher
Dieses Formular enthält drei beliebige Parameter: den Startpunkt, von dem aus die Bogenlänge berechnet wird s und die Koordinaten des Zentrums der relativen Rotation O, von dem rt abhängt. Der Ausgangspunkt, von dem aus die Bogenlänge s berechnet wird, kann so gewählt werden, dass der mittlere Krümmungswert Null ist:
und die Koordinaten des Mittelpunkts O können so bestimmt werden, dass die Momente aufgrund der Biegung des Abschnitts Null sind:
Es lässt sich zeigen, dass das so ermittelte Rotationszentrum mit dem in der erwähnten Darstellung beschriebenen Schubmittelpunkt übereinstimmt, der dort auf andere Weise definiert wird.
Wenn die Biegung des durch diese Muster beschriebenen Abschnitts ganz oder teilweise verhindert wird, müssen Normalspannungen σx in Richtung der Stabachse auftreten. Eine genauere Untersuchung zeigt, dass diese Spannungen als proportional zur Biegefunktion φ: σx=k__φ angesehen werden können, wobei φ nur von s und k nur von x abhängt. Gemäß dem Hookeschen Gesetz:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
muss k=E d__ϑ/dx sein. Normalspannungen σx werden Spannungen aufgrund der Profilbiegung genannt. Unter Berücksichtigung der obigen Gleichungen bilden sie in jedem Abschnitt ein Kräftegleichgewichtssystem, ein Kräftesystem aufgrund der Biegung des Abschnitts.
Das gesamte Torsionsmoment besteht aus zwei Teilen: Einer davon M1=GJT__ϑ entsteht durch Scherspannungen während der Torsion, was _St ergibt. Venant_s Theorie, und der zweite M2 tritt aufgrund der Biegung des Abschnitts auf:
Eins. 13
Da das Moment M als Funktion von x gegeben ist, stellt dieser Ausdruck eine Differentialgleichung für den Torsionswinkel ϑ dar. Sobald diese Gleichung gelöst ist, können M1 und M2 und damit alle Spannungen und Dehnungen berechnet werden.
Lösung und Anwendungen
Wenn das Torsionsmoment M konstant ist, lautet die allgemeine Lösung der Gleichung (13):
Aus den beiden Randbedingungen müssen die Integrationskonstanten C1, C2 ermittelt werden.
a) Starr eingespanntes Ende x=0 (Abb. 1)
An diesem Ende ist u≡0, also basierend auf Gleichung (1b) ϑ=0. Wenn der Stab sehr lang ist (αl>>1), dann C1=0 und C2= -M/GJT. Bei kurzen Stäben wird das Auftreten von Spannungen aufgrund der Biegung des Abschnitts durch den Zustand am rechten Ende des Stabs beeinflusst. Wenn die Biegung des Abschnitts an dieser Stelle nicht verhindert wird, entsteht σx≡0 und dϑ/dx=0. Es wird von hier bezogen
b) Symmetrische Torsionsbelastung gemäß Abb. 10
Auf der linken Stabhälfte beträgt das Torsionsmoment -M/2, auf der rechten Hälfte +M/2. Bei freier Torsion würden die Abschnitte links und rechts der Stabmitte in die entgegengesetzte Richtung verdreht, sodass die Kontinuität der Verformung nicht erhalten bliebe. Daher muss an der Stelle x=0 das gesamte Torsionsmoment durch die Spannungen übertragen werden, die aufgrund der Biegung des Abschnitts auftreten, und daher in diesem Abschnitt M1=0 und daher ϑ=0. An diesem Punkt wirkt ein Kräftesystem, das dafür sorgt, dass der Abschnitt gerade bleibt, auch wenn Abschnitte weiter von der Stabmitte entfernt liegen. Wird zusätzlich gefordert, dass die Enden des Stabes Spannungen σx≡0 aufweisen, so ergibt sich für jede Stabhälfte, also für die rechte Hälfte, eine weitere Randbedingung
Sl. 10
c) Äußeres Moment M an einem beliebigen Ort (Abb. 11)
In diesem Fall muss die Lösung ϑ für beide Teile des Stabes separat geschrieben werden, sodass insgesamt vier Konstanten C1, C2, C3, C4 erscheinen. Darüber hinaus sind auch die Torsionsmomente Ma, Mb unbekannt. Es stehen sechs Gleichungen zur Verfügung: eine Kontinuitätsbedingung für ϑ (ausgedrückt durch u) und für dϑ/dx (ausgedrückt durch σx) am Angriffspunkt der Last, eine Bedingung an jedem Ende der Stange (z. B. starres Einklemmen ϑ=0 oder ungestörte Biegung), dϑ/dx=0), die Bedingung des Gleichgewichts nach Momenten -Ma+Mb=M und schließlich die Bedingung, dass sich die Endabschnitte nicht zueinander drehen: ∫ ϑdx = 0.
Sl. 11
Schlussbemerkung: Die Wahl des Torsionsmodells hängt vom offenen oder geschlossenen Abschnitt, der Schlankheit, der Art der Lagerung, dem Ort der Momenteneinleitung und der Möglichkeit der freien Biegung ab. Für ein reales Element müssen die Grenzzustände der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit, örtliche Details, Verbindungen, Ermüdung und Stabilität überprüft werden, nicht nur eine isolierte Formel aus dem Artikel.