Arşiv uzman içeriği: metin ve formüller tarihsel bir teorik bakış açısı taşır ve bir proje, statik hesap, yük taşıma kapasitesi kontrolü, mevcut bir elemanın değerlendirilmesi veya inşaat veya rehabilitasyon talimatları değildir. Gösterimler, varsayımlar ve yaklaşık modeller belirli sistem, malzeme, geometri, sınır koşulları ve geçerli standartlara göre kontrol edilmelidir. Burulmanın, stabilitenin, yorulmanın, birleşim yerlerinin ve bükülmenin engellenmesinden kaynaklanan gerilmelerin hesaplanması yetkili bir mühendis tarafından, gerektiğinde bağımsız kontrolle yapılmalıdır.
Savo Kusić bugün ahşap pencereler, ahşap-alüminyum pencereler, özel pencereler, kapılar ve teklif talepleri konularına odaklanıyor. Bu makale tarihi bir profesyonel arşiv olarak kalmaktadır ve bir inşaat tasarım hizmetini temsil etmemektedir.
Saint-Venant burulma teorisi (serbest burulma)
Diferansiyel denklem
Şek. 1
Düz bir çubuğun uçlarından biri x=0 sabitlensin ve diğer ucuna M burulma momenti yüklensin (şek. 1). Daha sonra bölümlerinin her biri, çubuğun eksenine paralel belirli bir çizgi etrafında belirli bir α(x) açısı kadar döner; bunu x-ekseni olarak kabul edeceğiz. Tüm bölümler birbirine eşitse, x eksenine paralel herhangi bir düz çizgi bir bobine geçecektir ve α açısı, bölüm düzlemindeki bileşen yer değiştirmelerinin ortaya çıktığı sabit uçtan olan mesafeyle orantılı olacaktır: α=ϑx (şek. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
ϑ miktarına burulma açısı denir (boyut: uzunluk-1, uzunluk birimi başına dönüş). Burulma açısı burulma momentiyle orantılıdır M:
ϑ = M/GJT. (2)
Şek. 2
Orantı faktörü GJT, yani burulma sertliği, kesitin şekli ve boyutunun etkisini temsil eden kesme modülü G ile JT faktörünün çarpımına eşittir.
Bölümün bu dönüşü çubuğun tek deformasyonunu temsil etmez. Ek olarak, enine kesitte bir bükülme de vardır, yani x-ekseni yönünde u yer değiştirmesi vardır; bu, tüm kesitlerin karşılık gelen noktaları için aynı büyüklüğe sahiptir ve bu nedenle yalnızca kesit düzlemindeki koordinatların bir fonksiyonudur ve aksi takdirde M yüküyle veya ϑ burulma açısıyla orantılıdır:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Yukarıdaki ifadeler karşılık gelen yer değiştirme denklemlerine dahil edilirse, ana normal gerilimlerin sıfıra eşit olduğu ve geriye yalnızca iki bileşen geriliminin τxy ve τxz:
Denk. 3
Burulma probleminin diferansiyel denklemi (3) denklemlerine dayanılarak şu şekilde elde edilir:
Birim. 4a ve 4b
ve τxy ve τxz bilinmeyenleri için bu diferansiyel denklemleri, F(y,z) stres fonksiyonunu tanıtarak çözme:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Bu, (4a) denklemini aynı şekilde karşılar ve gerekli diferansiyel denklem
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Bu denklemin benzersiz çözümü için gereken sınır koşulu, çubuk zarfı üzerinde hiçbir kayma gerilmesinin olmaması gerekliliğinden elde edilir; bundan, kayma gerilmelerinin eşlenik doğasından dolayı, kesit düzlemindeki gerilmenin, kontur boyunca kendisine dik bir bileşene sahip olmaması gerektiği sonucu çıkar. Buradan, şek. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
bu nedenle
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ie. F fonksiyonunun toplam diferansiyeli sıfır olmalıdır, yani F=const olmalıdır. kontur boyunca.
Eğer kesitin sadece bir konturu varsa, üzerine basitçe F=0 yerleştirilebilir, çünkü aslında sadece türevleriyle ilgilendiğimiz gerilim fonksiyonunda, keyfi bir toplamsal sabit bir rol oynamaz. Birden fazla kontura sahip kesitlerde bu soru daha karmaşıktır.
Denklemden görülebileceği gibi (5) τxy ve τxz kayma gerilmelerinin rastgele bir kesişme noktasındaki sonucu, büyüklük olarak F gerilme fonksiyonunun gradyanına eşittir, ancak ona diktir, yani F=const.
Diferansiyel denklemin (6) çözülmesi, τ gerilimlerini y, z ve ϑ fonksiyonları olarak verir. Hesaplamanın görevi, elbette, burulma açısının (ϑ) ve gerilimin, özellikle de burulma momentinin bir fonksiyonu olarak maksimum gerilimin belirlenmesi, dolayısıyla, (2) denkleminden kesit sertliğinin (JT) ve dirençli burulma momentinin (WT = Mmaxτ) belirlenmesidir. Bunları elde etmek için yalnızca M’yi F’nin bir fonksiyonu olarak ifade etmek gerekir:
Bölümün tamamına alınması gereken bu integralin her iki toplaması da kısmi integralle dönüştürülebilir. Örneğin, bunlardan ilki z=const doğrusu boyunca ilk olarak integral alırsa. Kontur üzerindeki y=y1 noktasından y=y2 noktasına (şek. 3) ve bu noktaların her ikisinde de F=0 olduğunu hesaba katarsak,
İkinci integralden de aynı değer elde edilir, böylece
Denk. 7
Şek. 3
Tam bölümlerin diğer durumları
Diferansiyel denklem (6), potansiyel teorisinin homojen olmayan bir denklemidir. Bu nedenle keyfi kesit durumunda burulma probleminin çözümü için potansiyel teorisinin her zaman bulunmasını sağlayan yöntemleri mevcuttur. Ancak bu yöntemler genellikle pratikte ortaya çıkan bireysel vakalara uygulanamayacak kadar karmaşıktır. Bu nedenle aşağıdaki tabloda çeşitli bölümler için bu tür hesaplamaların sonuçları gösterilmektedir.
Dairesele yakın kesitler için, JT=F_4/40_Ip konulabilir; burada F alan ve Ip kesitin kutupsal atalet momentidir.
Formüller ve tablolarla ilgili not: Taranan görüntülerdeki ifadeler ve değerler, geçmiş bir kaynak olarak saklanır. OCR metni, indeks işaretleri ve tarama, hesaplama için yeterince güvenilir değildir. Her formül, birim, katsayı ve kapsam, kullanılmadan önce yetkili bir profesyonel kaynakta ve geçerli bir standartta kontrol edilmelidir.
Membran ile benzetme
Burulma gerilimlerini tahmin etmek için iyi bir yardımdır ve aynı zamanda burulma probleminin gerilim fonksiyonu F ile membranın enine sapma yükü arasındaki analoji ile bunların kesin olarak belirlenmesine yönelik bir prosedür sağlanır. Bir kabın düz duvarında burulma yüklü bir çubuğun kesitiyle çakışan ortalama bir açıklık olsun. Zar bu açıklığın üzerine gerildiğinde ve kapta küçük bir aşırı basınç p oluştuğunda, zar dışarı doğru şişer, böylece ξ(y,z) sapmaları diferansiyel denklemi
burada N kılcal kuvvetlerin neden olduğu membrandaki yüzey gerilimidir (boyutlar: birim uzunluk başına kuvvet). Bu denklem (6) denklemiyle örtüşür ve ξ=0 sınır koşulu gerilim fonksiyonuyla aynıdır. Bu şekilde membranlı bu ayna kullanılarak F(y,z) gerilim fonksiyonu elde edilebilir ve böylece burulma problemi çözülebilir. τ gerilimi, y-z-düzlemine göre membranın eğimine karşılık gelir, dolayısıyla en dik yer, burulmaya maruz kalan çubuğun en yüksek kayma gerilimine sahip olduğu yerdir.
Şek. 4
Şek. 5
Bu membran prosedürü özellikle ince duvarlı kesitler için yaklaşık desenler elde etmek için uygundur. Örneğin, I bölümü şekil 2’ye göre bölündüğünde. 4 üç dikdörtgen üzerinde ve her biri için membranla bir benzetme ayrı ayrı yapıldığında, ortaya çıkan çıkıntıların hacimlerinin toplamı, gerçekte voltaj fonksiyonuna karşılık gelen hacimden yalnızca biraz daha küçük olacaktır. Bu nedenle, b1 ve b2 kalınlıkları küçük olduğunda, yaklaşık
JT = 2JT1 + JT2,
burada JT1 ve JT2, 1 tablosuna göre hesaplanabilen bireysel dikdörtgenlerin sertlik faktörleridir. Daha iyi bir yaklaşım, kaburga için JT2 = a2 b32/3 kullanıldığında, yani kaburga çok uzun bir dikdörtgenin parçası olarak kabul edildiğinde elde edilir. Trayer ve March'e göre
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
burada D, şekil 2’de gösterildiği gibi yazılı olan en büyük dairenin çapıdır. 4 ve α şekil 2’den alınabilir. 5. T kesiti için de benzer şekilde elde edilir
JT = JT1 +JT2 + α D4,
burada JT2, a=2 a2, b=b2 için 1 tablosuna göre hesaplanan değerin yarısıdır. L profiller için (şek. 6) buna benzer
JT = JT1 + JT2 + β D4
burada daha kalın kol için JT1 doğrudan 1 tablosundan alınır, daha ince kol için JT2 ise T kesiti için hesaplanır ve β şekil 2’den alınır. 7.
Şek. 6
Şek. 7
Gerilim hesaplanırken burulma momenti kurucu dikdörtgenlere bölünür: flanşların üzerine düşen kısım M1=M JT2/JT; daha sonra 1 tablosuna göre her dikdörtgenin uzun kenarının ortasında kayma gerilimi hesaplanır. Bu gerilimlerin en büyüğünün kesitte ortaya çıkan en büyük kayma gerilimi olması gerekmez. Yani geliş açısı yuvarlatılmamışsa o yerde τ=∞ elde edilir, böylece çok küçük bir yuvarlama yarıçapı için en yüksek kayma gerilmesi burada beklenebilir.
Mühendislik Notu: İdealleştirilmiş dar açıdaki matematiksel tekillik, gerçek ayrıntıyı yalnızca bu yaklaşık modelle tahmin etme yetkisi değildir. Gerçek yuvarlama geometrisi, toleranslar, plastisite, kaynaklar, artık gerilimler, yerel stabilite ve yorulma, uygun modelleme ve uzman doğrulaması gerektirir.
Trefftz'e göre bacak kalınlığı t olan tek taraflı bir açı için r çapının yuvarlanması üzerindedir:
burada τ0 burada açıklanan prosedüre göre her bir bacak için hesaplanan en yüksek voltajı belirtir. Daha büyük yuvarlama yarıçapları için, τ=2__τ0.
İnce Etli Borular (Bradt Desenleri)
İnce cidarlı borularda şişkin membran şekil 1’de gösterilen şekle sahiptir. 8, borunun içindeki içi boş alanın üzerinde bir düzlem ve onu çevreleyen eğimli bir yüzeyden oluşan ve boru duvarının etkin bölümünün üzerinde uzanan; Uygun yerde boru duvarları daha ince ise bu eğimli yüzey daha dik olmalıdır. Bu durumda kesme gerilmeleri duvarların kalınlığı boyunca oldukça eşit bir şekilde dağılır ve duvarların kalınlığı ile ters orantılıdır, yani kesme kuvveti T = τt kesitin çevresi boyunca değişmez.
SL. 8
t_∙ds_ yüzey elemanı burulma momentinin bir kısmını alır
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
yani toplam an
Denk. 8
FR yüzeyinin şekil 2’de çizgiler ve noktalarla işaretlenmiş orta çizgiyle kaplandığı yer. 8. Buradan
Denk. 9 - İlk Bredt\ desen
Burulma sertliği en basit şekilde, deformasyon işi bir yandan burulma momenti ve burulma açısıyla, diğer yandan da kayma gerilmeleriyle ifade edildiğinde elde edilir. Bu şekilde l
yani, (8),
yani (2) denklemiyle karşılaştırıldığında:
Denk. 10
Duvarların kalınlığı her yerde aynıysa, o zaman basittir (2. Bredt'in deseni):
Denk. 11
Bölüm bükülmesinden dolayı burulmadaki normal gerilmeler
Temel terimler ve diferansiyel denklem
Bileşen yer değiştirmeleri u, denklem (1b), kesitlerin düzlemlerinden eğriliğini belirler. Burulma momenti sabit olduğunda bu bükülme tüm kesitlerde aynı olur ve normal gerilmeler σx oluşmaz.
Birçok durumda _St bazında ortaya çıkması gereken kesit eğriliği. Venant’ın teorisi mümkün değil. Bir kesitte burulma momentinin aniden değişmesi durumunda kesitin her iki yanında farklı büyüklükte eğilmeler meydana gelecek ve deformasyonun sürekliliği bozulacaktır. Çubuğun bir ucu, o noktada bölümün bükülmesini tamamen ortadan kaldıracak şekilde kelepçelenebilir. Bu gibi durumlarda _St. Venant’ın teorileri. Çubuğun ekseni yönündeki ek gerilmeler σx ve ek kesme kuvveti T (kayma gerilmeleri T/t) çubukta görülür; bunlar deformasyon sürekliliğinin kırıldığı bölümde en yüksektir ve bu bölümden uzaklaştıkça üstel olarak azalır. Katı çubuklar ve tüpler söz konusu olduğunda, bu teori karmaşıktır ve ek gerilimler o kadar hızlı azalır ki çoğu durumda bunların belirlenmesine değmez. Açık profilli ince duvarlı çubuklar için bu düzeltme büyük önem taşır ve nispeten kolay hesaplanabilir.
Şek. 9
Şek. 9 duvarın orta yüzeyi ile kesit düzleminin kesiştiği çizgiyi (kesitin orta çizgisi) gösterir. O iki bitişik bölümün göreceli dönüş merkezidir. Eğer mesafeleri dx ise, burulma açısı ϑ dx olur, dolayısıyla orta çizginin rastgele bir noktası u ϑ dx yer değiştirmesine uğrar. Bu yer değiştirmenin kesite teğet yönde bir rt ϑ dx bileşeni vardır ve duvarın orta yüzeyi elemanının kayması (_u=_φϑ dikkate alınarak):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Duvarın orta yüzeyindeki kayma gerilmesi sıfır olduğundan aynı zamanda γ=0 olması gerekir ve dolayısıyla
Bu model üç isteğe bağlı parametre içerir: yay uzunluğunun s hesaplandığı orijin ve rt’nin bağlı olduğu bağıl dönme merkezinin O koordinatları. Yay uzunluğunun s hesaplandığı başlangıç noktası, eğriliğin ortalama değeri sıfır olacak şekilde seçilebilir:
ve O merkezinin koordinatları, kesitin bükülmesinden kaynaklanan momentler de sıfır olacak şekilde belirlenebilir:
Bu şekilde belirlenen dönme merkezinin, burada açıklanan ve başka bir şekilde tanımlanan kayma merkeziyle çakıştığı gösterilebilir.
Bu desenlerle tanımlanan kesitin bükülmesi tamamen veya kısmen önlenirse çubuğun ekseni yönünde σx normal gerilmeleri ortaya çıkmalıdır. Daha yakından inceleme, bu gerilimlerin eğrilik fonksiyonu φ: σx=k__φ ile orantılı olarak alınabileceğini gösterir; burada φ yalnızca s’ye ve k yalnızca x’ye bağlıdır. Hooke kanununa göre:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
k=E d__ϑ/dx olmalıdır. Normal gerilimler σx kesit eğilme gerilimleri olarak adlandırılır. Yukarıdaki denklemler dikkate alındığında her kesitte bir denge kuvvetleri sistemi, kesitin bükülmesinden kaynaklanan bir kuvvetler sistemi oluştururlar.
Toplam burulma momenti iki parçadan oluşur: bunlardan biri M1=GJT__ϑ burulma sırasındaki kesme gerilmelerinden kaynaklanır ve bu da St. Venant'ın teorisi ve diğer M2 kesitin bükülmesi nedeniyle oluşur:
Denk. 13
M momenti, x’in bir fonksiyonu olarak verildiğinden, bu ifade, burulma açısı ϑ için bir diferansiyel denklemi temsil eder. Bu denklem çözüldüğünde M1 ve M2 hesaplanabilir ve dolayısıyla tüm gerilmeler ve gerinimler hesaplanabilir.
Çözüm ve uygulamalar
Burulma momenti M sabit olduğunda (13) denkleminin genel çözümü:
Entegrasyon sabitleri C1, C2 iki sınır koşulundan belirlenmelidir.
a) Sert bir şekilde kenetlenmiş uç x=0 (şek. 1)
Bu uçta u≡0 vardır, dolayısıyla (1b) ϑ=0 denklemine dayanmaktadır. Çubuk çok uzunsa (αl>>1), o zaman C1=0 ve C2= -M/GJT. Kısa çubuklar durumunda, bölümün bükülmesinden kaynaklanan gerilimin görünümü, çubuğun sağ ucundaki durumdan etkilenir. Eğer bu noktada kesitin bükülmesi engellenmezse σx≡0 ve dϑ/dx=0 olacaktır. Buradan
b) Şekil 2’ye göre simetrik burulma yükü. 10
Çubuğun sol yarısında burulma momenti -M/2, sağ yarısında ise +M/2’dir. Serbest burulma durumunda çubuğun ortasının solunda ve sağında kalan kısımlar ters yönde büküleceğinden deformasyonun sürekliliği korunmayacaktır. Bu nedenle, x=0 noktasında, kesitin bükülmesi nedeniyle oluşan gerilmeler yoluyla burulma momentinin tamamının aktarılması gerekir ve dolayısıyla bu kesitte M1=0 ve dolayısıyla ϑ=0. Bu noktada, çubuk eğrisinin merkezinden daha uzakta yer alan bölümler olsa bile, bölümün düz kalmasını sağlamak için bir kuvvet sistemi harekete geçer. Ek olarak çubuğun uçlarındaki gerilmelerin σx≡0 olması gerekiyorsa, çubuğun her yarısı için bir sınır koşulu daha elde edilir, yani sağ yarısı için bu
Şek. 10
c) Herhangi bir yerde dış moment M (şek. 11)
Bu durumda çubuğun her iki kısmı için ϑ çözümü ayrı ayrı yazılmalıdır, böylece toplam dört sabit C1, C2, C3, C4 ortaya çıkar. Ayrıca Ma, Mb burulma momentleri de bilinmemektedir. Altı denklem mevcuttur: yük eylemi noktasında ϑ (u ile ifade edilir) ve dϑ/dx (σx ile ifade edilir) için süreklilik koşulu, çubuğun her bir ucunda bir koşul (örn. rijit sıkıştırma ϑ=0 veya bozulmamış bükülme, dϑ/dx=0), moment dengesi koşulu -Ma+Mb=M ve son olarak uç kısımların birbirine dönmemesi koşulu: ∫ ϑdx = 0.
Şek. 11
Son not: Burulma modelinin seçimi açık veya kapalı kesite, narinliğe, destek yöntemine, moment girişinin yerine ve serbest bükülme olasılığına bağlıdır. Gerçek bir eleman için, makaleden izole edilmiş tek bir formül değil, yük taşıma ve servis edilebilirlik sınır durumları, yerel detaylar, bağlantılar, yorulma ve stabilite kontrol edilmelidir.