Argiefkundige inhoud: die teks en formules dra ’n historiese teoretiese aanbieding oor en is nie ’n projek, statiese berekening, drakragkontrole, assessering van ’n bestaande element, of instruksies vir konstruksie of rehabilitasie nie. Benamings, aannames en benaderde patrone moet gekontroleer word teen die spesifieke stelsel, materiaal, meetkunde, grenstoestande en toepaslike standaarde. Berekening van torsie, stabiliteit, moegheid, gewrigte en spanning as gevolg van verhinderde buiging moet deur ’n gelisensieerde ingenieur gedoen word, met onafhanklike beheer wanneer nodig.
Vandag is Savo Kusić gefokus op houtvensters, hout-aluminium vensters, pasgemaakte vensters, deur en versoeke om kwotasie. Hierdie artikel bly as ’n historiese professionele argief en verteenwoordig nie ’n strukturele ontwerpdiens nie.
Saint-Venant-teorie van torsie (vrye torsie)
Differensiaalvergelyking
Sl.1
Laat ’n reguit staaf aan een van sy ente vasgemaak word x=0en laat dit aan die ander kant gelaai word met ’n wringmoment M (fig.1). Dan draai elkeen van sy seksies met ’n sekere hoek α(x) om ’n sekere lyn parallel met die as van die stok, wat ons as die x-as sal aanneem. As alle snitte gelyk aan mekaar is, sal enige reguitlyn parallel met die x-as in ’n spoel beweeg, en die hoek α sal eweredig wees aan die afstand vanaf die vaste punt: α=ϑx, waaruit die komponentverplasings in die vlak van die snit ontstaan (Fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Die hoeveelheid ϑ word die torsiehoek genoem (afmeting: lengte-1, rotasie per lengte-eenheid). Die torsiehoek is eweredig aan die torsiemoment M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl.2
Die proporsionaliteitsfaktor GJT, die torsiestyfheid, is gelyk aan die produk van die skuifmodulus G en die faktor JT, wat die effek van die vorm en grootte van die snit verteenwoordig.
Hierdie rotasie van die seksie is nie die enigste vervorming van die staaf nie. Daarbenewens is daar ook buiging van die deursnee, dit wil sê na die verplasing u in die rigting van die x-as, wat dieselfde grootte het vir die ooreenstemmende punte van alle deursnee en dus slegs ’n funksie is van die koördinate in die vlak van die snit, en andersins eweredig is aan die las M of die _ torsie : ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
As die uitdrukkings hierbo in die ooreenstemmende verplasingsvergelykings ingebring word, word verkry dat die hoofnormaalspannings gelyk is aan nul, wat slegs twee komponentspannings τxy en τxz laat:
Een.3
Die differensiaalvergelyking van die torsieprobleem word verkry gebaseer op die vergelykings (3) plaas:
Een.4en ek4b
en los hierdie differensiaalvergelykings vir die onbekendes τxy en τxz op deur die spanningsfunksie F(y,z) bekend te stel wat:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Dit voldoen aan die vergelyking (4a) identies, en die vereiste differensiaalvergelyking
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Die grensvoorwaarde wat vir die unieke oplossing van hierdie vergelyking vereis word, word verkry uit die vereiste dat daar geen skuifspannings op die staafomhulsel is nie, waaruit, as gevolg van die gekonjugeerde aard van die skuifspannings, dit volg dat die spanning in die dwarssnitvlak nie ’n komponent loodreg daarop langs die kontoer moet hê nie. Van hier af, fig. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
dus
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ie. die totale differensiaal van die funksie F moet nul wees, dit wil sê dit moet F=konst. langs die kontoer.
As die seksie net een kontoer het, kan dit eenvoudig F=0 daarop geplaas word, want met die spanningsfunksie, waarvan ons eintlik net in afgeleides belangstel, speel ’n arbitrêre additiefkonstante nie ’n rol nie. Met afdelings wat meer as een kontoer het, is hierdie vraag meer kompleks.
Soos gesien kan word uit die vergelyking (5) is die resultant van die skuifspannings τxy en τxz by ’n arbitrêre snypunt gelyk in grootte aan die gradiënt van die spanningsfunksie F, maar is loodreg daarop, i. F=konst.
Deur die differensiaalvergelyking op te los (6)) die spannings τ as funksies van y, z en ϑ word verkry. Die taak van die berekening is natuurlik die bepaling van die torsiehoek ϑ en die spanning, veral die maksimum spanning as ’n funksie van die torsiemoment, dus die bepaling van die styfheid van die snit JT uit die vergelyking (2) en die weerstand wringkrag WT = Mmaxτ. Om dit te verkry, is dit slegs nodig om M uit te druk as ’n funksie van F:
Beide opsommings van hierdie integraal, wat oor die hele afdeling geneem moet word, kan deur gedeeltelike integrasie getransformeer word. As, byvoorbeeld, die eerste van hulle integreer eerste langs die lyn z=const. vanaf die punt op die kontoer y=y1 tot by die punt y=y2 (fig.3) en neem in ag dat in beide hierdie punte F=0, verkry word
Dieselfde waarde word verkry uit die tweede integraal, sodat
Een.7
Sl.3
Ander gevalle van volledige afdelings
Die differensiaalvergelyking (6) is die inhomogene vergelyking van potensiaalteorie. Daarom, vir die oplossing van die torsieprobleem in die geval van ’n arbitrêre deursnit, is die metodes van die potensiaalteorie beskikbaar, wat dit moontlik maak om altyd gevind te word. Hierdie metodes is egter oor die algemeen te kompleks om toegepas te word op individuele gevalle wat in die praktyk voorkom. Daarom toon die volgende tabel die resultate van sulke berekeninge vir verskeie afdelings.
Vir deursnee naby aan sirkelvormig, kan JT=F gestel word4/40_Ip_, waar F die area is en Ip die polêre traagheidsmoment van die seksie is.
Nota oor formules en tabelle: uitdrukkings en waardes in geskandeerde beelde word as ’n historiese bron gestoor. OCR-teks, indeksmerke en skandering is nie betroubaar genoeg vir berekening nie. Voor gebruik moet elke formule, eenheid, koëffisiënt en geldigheidsgebied nagegaan word in ’n gesaghebbende professionele bron en toepaslike standaard.
Analogie met die membraan
’n Goeie hulp vir die skatting van torsiespannings, en terselfdertyd ’n prosedure vir hul akkurate bepaling, word verskaf deur die analogie tussen die spanningsfunksie F van die torsieprobleem en die defleksie-dwarslas van die membraan. Laat daar ’n gemiddelde opening op die plat wand van ’n vaartuig wees wat saamval met die deursnee van ’n staaf wat in torsie gelaai is. Wanneer die membraan oor hierdie opening gestrek word en ’n klein oormatige druk p word in die vat veroorsaak, bult die membraan uitwaarts, sodat sy afbuigings ξ(y,z) aan die differensiaalvergelyking voldoen
waar N die oppervlakspanning in die membraan is wat veroorsaak word deur kapillêre kragte (afmetings: krag per lengte-eenheid). Hierdie vergelyking val saam met die vergelyking (6), en die grensvoorwaarde ξ=0is dieselfde as dié van die spanningsfunksie. Op hierdie manier kan die spanningsfunksie F(y,z) verkry word deur hierdie spieël met die membraan te gebruik en sodoende die torsieprobleem op te los. Die spanning τ stem ooreen met die helling van die membraan in verhouding tot die y-z-vlak, dus die steilste plek is die een waar die staaf wat aan torsie blootgestel is, die hoogste skuifspanning het.
Sl.4
Sl.5
Hierdie membraanprosedure is veral geskik vir die verkryging van benaderde patrone vir dunwandige gedeeltes. Wanneer byvoorbeeld die I-gedeelte volgens fig.4op drie reghoeke en vir elkeen van hulle word die analogie met die membraan afsonderlik uitgevoer, die som van die volumes van die resulterende uitsteeksels sal net effens kleiner wees as die volume wat eintlik ooreenstem met die spanningsfunksie. Daarom, wanneer die diktes b is1 en b2 klein, ongeveer
JT =2JT1+ JT2,
waar JT1 en JT2 styfheidsfaktore van individuele reghoeke wat op grond van die tabel bereken kan word1. ’n Beter benadering word verkry wanneer JT vir die rib geplaas word2 = a2b32/3 dus wanneer die rib as deel van ’n baie langwerpige reghoek beskou word. ’n Selfs meer akkurate waarde word verkry volgens Trayer en March\ vanaf
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,_
waar D die deursnee is van die grootste sirkel wat ingeskryf is soos in fig.4, en α kan geneem word uit fig.5. Vir die T-seksie word dit op soortgelyke wyse verkry
JT = JT1+JT2+ α D4,
waar JT2 helfte van die waarde bereken volgens die tabel1vir a=2_a2_, b=b2. Vir L-afdelings (fig.6) is soortgelyk daaraan
JT = JT1+ JT2+ β D4
waar JT1 want die dikker arm word direk van die tafel af geneem1, terwyl JT2 vir die dun been word bereken soos vir die T-seksie, en β is geneem uit fig.7.
Fig. 6
Sl.7
Wanneer die spanning bereken word, word die torsiemoment in samestellende reghoeke verdeel: die deel wat op die flense val M1=M JT2/JT; die skuifspanning word dan bereken op die middelpunt van die langer sy van elke reghoek gebaseer op die tabel1. Die grootste van hierdie spannings hoef nie die grootste skuifspanning te wees wat in die seksie voorkom nie. As die invalshoek naamlik nie afgerond is nie, word τ=∞ op daardie plek verkry, sodat vir ’n baie klein radius van afronding die hoogste skuifspanning hier verwag kan word.
Ingenieursnota: die wiskundige singulariteit van die geïdealiseerde skerphoek is nie ’n lisensie om die werklike detail deur hierdie benaderde patroon alleen te skat nie. Die werklike afrondingsgeometrie, toleransies, plastisiteit, sweislasse, oorblywende spannings, plaaslike stabiliteit en moegheid vereis toepaslike modellering en deskundige verifikasie.
Vir ’n eensydige hoek waarvan die sydikte t is volgens Trefftz\ is op die afronding van die deursnee r:
waar met τ0 gemerk maksimum spanning bereken vir elke individuele been gebaseer op die prosedure wat hier beskryf word. Vir groter afrondingsradiusse kan τ= aangeneem word2__τ0.
Dunwandige pype (Bradt-patrone)
In dunwandige pype het die bultende membraan die vorm wat in fig.8, wat bestaan uit ’n vlak bokant die hol spasie binne die pyp en ’n skuins oppervlak wat dit omring en bo die effektiewe gedeelte van die pypwand lê; hierdie skuins oppervlak moet steiler wees as die pypwande op die toepaslike plek dunner is. In hierdie geval word die skuifspannings redelik eweredig oor die dikte van die mure versprei en is omgekeerd eweredig aan die dikte van die mure, dit wil sê skuifkrag T = τt verander nie langs die omtrek van die snit nie.
Sl. 8
Die oppervlakelement t_∙ds_ ontvang ’n deel van die torsiemoment
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
so die totale oomblik is
Een.8
waar die FR-oppervlak bedek word deur die middellyn wat deur lyne en kolletjies in fig.8. Dit word van hier af verkry
Een.9- Die eerste Bredt\ patroon
Wringstyfheid word die eenvoudigste verkry wanneer die vervormingswerk enersyds uitgedruk word deur torsiemoment en torsiehoek en andersyds deur skuifspannings. Op hierdie manier word dit verkry vir ’n staafelement van lengte l
dus, stel die waarde vir τ in volgens die vergelyking (8),
dit wil sê in vergelyking met die vergelyking (2):
Een.10
As die dikte van die mure rondom dieselfde is, dan is dit eenvoudig (2. Bredt se patroon):
Een.11
Normale spannings in torsie as gevolg van seksie buiging
Basiese terme en differensiaalvergelyking
Komponent verplasings u, vergelyking (1b), bepaal die kromming van die snitte vanaf hul vlakke. Wanneer die torsiemoment konstant is, is hierdie buiging dieselfde in alle seksies en normale spannings σx verskyn nie.
In baie gevalle is die kromming van die deursnee, wat moet ontstaan op grond van _St. Venant se teorie is nie moontlik nie. As die torsiemoment skielik in een deursnit verander, sal buiging van verskillende groottes aan beide kante van die deursnee plaasvind, en die kontinuïteit van die vervorming sal versteur word. Een punt van die staaf kan so vasgeklem word dat buiging van die gedeelte op daardie punt heeltemal uitgesluit is. In sulke gevalle moet ’n wysiging aangebring word _St. Venant se teorieë. Aanvullende spannings σx in die rigting van die as van die staaf en aanvullende skuifkrag T (skuifspannings T/t) kom in die staaf voor, wat die hoogste is in die gedeelte waar die kontinuïteit van vervorming gebreek word en wat eksponensieel afneem met afstand vanaf hierdie gedeelte. In die geval van soliede stawe en buise is hierdie teorie kompleks, en die aanvullende spannings neem so vinnig af dat hul bepaling in die meeste gevalle nie die moeite werd is nie. Vir dunwandige, oopprofielstawe is hierdie regstelling van groot belang en kan dit relatief maklik bereken word.
Sl.9
Sl.9toon die lyn waarlangs die middelvlak van die muur en die snitvlak sny (die middellyn van die snit). O is die middelpunt van relatiewe rotasie van twee aangrensende seksies. As hulle afstand dx is, is die torsiehoek ϑ dx, dus ondergaan ’n arbitrêre punt van die middellyn ’n verplasing u ϑ dx. Hierdie verplasing het ’n komponent rt ϑ dx in die rigting raaklyn aan die snit, en is die glip van die element van die middeloppervlak van die muur (met inagneming dat _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Aangesien die skuifspanning in die middeloppervlak van die muur nul is, moet dit ook γ= wees0, so dit is hoekom
Hierdie patroon bevat drie arbitrêre parameters: die oorsprong waaruit die booglengte s bereken word en die koördinate van die middelpunt van relatiewe rotasie O, waarvan rt afhang. Die beginpunt waaruit die booglengte s bereken word, kan so gekies word dat die gemiddelde krommingwaarde nul is:
en die koördinate van die middelpunt O kan op so ’n wyse bepaal word dat die momente as gevolg van die buiging van die snit nul is:
Dit kan aangetoon word dat die rotasiemiddelpunt so bepaal saamval met die skuifmiddelpunt wat hier op ’n ander manier beskryf en gedefinieer.
Indien die buiging van die gedeelte wat deur hierdie patrone beskryf word, heeltemal of gedeeltelik voorkom word, moet normale spannings σx in die rigting van die as van die staaf voorkom. Nadere ondersoek toon dat hierdie spannings eweredig aan die krommingsfunksie φ: σx=k__φ geneem kan word, waar φ slegs afhanklik is van s en k slegs van x. Volgens Hooke se wet:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
moet k=E d__ϑ/dx wees. Normale spannings σx word seksiebuigspannings genoem. Met inagneming van die vergelykings hierbo, vorm hulle ’n ewewigstelsel van kragte in elke seksie, ’n stelsel van kragte as gevolg van die buiging van die seksie.
Die totale wringkrag bestaan uit twee dele: een daarvan M1=GJT__ϑ ontstaan as gevolg van torsieskuifspannings gegee deur St. Venant\ se teorie, en die ander M2 vind plaas as gevolg van buiging van die gedeelte:
Een.13
Aangesien die oomblik M gegee word as ’n funksie van x, verteenwoordig hierdie uitdrukking ’n differensiaalvergelyking vir die torsiehoek ϑ. Sodra hierdie vergelyking opgelos is, kan M bereken word1 en M2, en dus alle spanning en vervorming.
Oplossing en toepassings
Wanneer die torsiemoment M konstant is, is die algemene oplossing van die vergelyking (13) is:
Integrasiekonstantes C1, C2 moet uit twee randvoorwaardes bepaal word.
a) Styf vasgeklemde einde x=0(fig.1)
Aan hierdie einde is u≡0, dus gebaseer op die vergelyking (1b) ϑ=0. As die staaf baie lank is (αl>>1), dan C1=0en C2= -M/GJT. In die geval van kort stawe word die voorkoms van spanning as gevolg van buiging van die gedeelte beïnvloed deur die toestand aan die regterkant van die staaf. As die buiging van die gedeelte nie op daardie plek voorkom word nie, sal daar σx≡ wees0en dϑ/dx=0. Dit word van hier af verkry
b) Simmetriese torsiebelasting volgens fig.10
Op die linker helfte van die staaf is die torsiemoment -M/2, en aan die regterkant +M/2. In die geval van vrye torsie sal die gedeeltes links en regs van die middel van die staaf in die teenoorgestelde rigting gedraai word, daarom sal die kontinuïteit van die vervorming nie behoue bly nie. Daarom, by die plek x=0die hele torsiemoment moet oorgedra word deur die spannings wat plaasvind as gevolg van die buiging van die deursnee, en dus in hierdie deursnit M1=0en daarom ϑ=0. Op hierdie punt tree ’n stelsel van kragte in om te verseker dat die gedeelte reguit bly, alhoewel gedeeltes wat verder van die middel van die staafkromme lê. Indien daar bykomend vereis word dat aan die punte van die staaf die spannings σx≡ is0, word nog een grensvoorwaarde vir elke helfte van die staaf verkry, so dit is vir die regter helfte
Fig. 10
c) Eksterne moment M op ’n arbitrêre plek (fig.11)
In hierdie geval moet die oplossing ϑ vir beide dele van die staaf afsonderlik geskryf word, dus verskyn ’n totaal van vier konstantes C1, C2, C3, C4. Daarbenewens is die wringmomente Ma, Mb ook onbekend. Ses vergelykings is beskikbaar: ’n kontinuïteitsvoorwaarde vir ϑ (uitgedruk deur u) en vir dϑ/dx (uitgedruk deur σx) by die laspunt, een toestand aan elke punt van die staaf (bv. rigiede klem ϑ=0, of ongestoorde buiging, dϑ/dx=0), die toestand van balans deur momente -Ma+Mb=M en laastens die voorwaarde dat die eindseksies nie met betrekking tot mekaar roteer nie: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Laaste nota: die keuse van torsiemodel hang af van die oop of geslote gedeelte, slankheid, metode van ondersteuning, plek van momentinvoer en die moontlikheid van vrye buiging. Vir ’n werklike element moet die dra- en diensbaarheidsgrenstoestande, plaaslike besonderhede, gewrigte, moegheid en stabiliteit nagegaan word, nie net een geïsoleerde formule uit die artikel nie.