Konteni ekspè nan achiv: tèks la ak fòmil yo transmèt yon prezantasyon teyorik istorik epi yo pa yon pwojè, kalkil estatik, tcheke kapasite chaj, evalyasyon yon eleman ki egziste deja, oswa enstriksyon pou konstriksyon oswa reyabilitasyon. Deziyasyon, sipozisyon ak modèl apwoksimatif dwe tcheke kont sistèm espesifik, materyèl, jeyometri, kondisyon fwontyè ak estanda ki aplikab yo. Kalkil torsion, estabilite, fatig, jwenti ak estrès akòz anpeche koube ta dwe fè pa yon enjenyè ki gen lisans, ak kontwòl endepandan lè sa nesesè.
Jodi a, Savo Kusić konsantre sou fenèt an bwa, fenèt bwa-aliminyòm, fenèt koutim, pòt ak demann pou sitasyon pi ba. Atik sa a rete kòm yon achiv pwofesyonèl istorik epi li pa reprezante yon sèvis konsepsyon estriktirèl.
Saint-Venant teyori torsion (gratis torsion)
Ekwasyon diferans
Sl.1
Se pou yo fikse yon baton dwat nan youn nan bout li yo x=0epi kite l chaje nan lòt bout la ak yon moman torsion M (fig.1). Lè sa a, chak nan seksyon li yo wotasyon pa yon sèten ang α(x) alantou yon sèten liy paralèl ak aks baton an, ke nou pral adopte kòm x-aks la. Si tout seksyon yo egal youn ak lòt, nenpòt liy dwat paralèl ak aks x la pral pase nan yon bobin, ak ang α pral pwopòsyonèl ak distans ki soti nan fen fiks la: α = ϑx, ki soti nan deplasman eleman yo nan plan an nan seksyon an leve (Fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Kantite ϑ yo rele ang torsion (dimansyon: longè -1, wotasyon pou chak longè inite). Ang torsion pwopòsyonèl ak moman torsion M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
Faktè pwopòsyonèl GJT, rèd torsional, egal a pwodwi modil taye G ak faktè JT, ki reprezante efè fòm ak gwosè seksyon an.
Wotasyon sa a nan seksyon an se pa sèlman deformation nan baton an. Anplis de sa, gen tou koube nan koup transvèsal la, sa vle di nan deplasman u nan direksyon x-aks la, ki gen menm grandè a pou pwen korespondan yo nan tout koup transvèsal yo epi se poutèt sa se sèlman yon fonksyon nan kowòdone yo nan plan an nan seksyon an, epi li se pwopòsyonèl ak chaj la M oswa _ϑ_torsion ang la:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Si ekspresyon ki anwo yo prezante nan ekwasyon deplasman ki koresponn yo, nou jwenn ke estrès nòmal prensipal yo egal a zewo, kite sèlman de estrès eleman τxy ak τxz:
Youn.3
Yo jwenn ekwasyon diferans lan pwoblèm torsion baze sou ekwasyon yo (3) mete:
Youn.4e mwen4b
epi rezoud ekwasyon diferansye sa yo pou enkoni τxy ak τxz pa entwodwi fonksyon estrès F(y,z) ki:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Avèk sa a, ekwasyon an (4a) idantik satisfè, ak soti nan ekwasyon an (4b) yo jwenn ekwasyon diferans ki nesesè yo
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Kondisyon fwontyè ki nesesè pou solisyon inik nan ekwasyon sa a jwenn nan egzijans ke pa gen okenn estrès taye sou anvlòp la baton, ki soti nan ki, akòz nati a konjige nan estrès yo taye, li swiv ke estrès la nan plan an seksyon pa dwe gen yon eleman pèpandikilè ak li sou kontou a. Soti isit la, fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
se poutèt sa
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
sa vle di diferans total fonksyon F dwe zewo, sa vle di li dwe F=const. sou kontou a.
Si seksyon an gen yon sèl kontou, li ka tou senpleman mete F= sou li0, paske ak fonksyon vòltaj la, nan ki nou aktyèlman sèlman enterese nan dérivés, konstan aditif abitrè a pa jwe yon wòl. Pou seksyon ki gen plis pase yon kontou, pwoblèm sa a pi konplèks.
Jan yo wè nan ekwasyon an (5) rezilta ensiste taye τxy ak τxz nan yon pwen entèseksyon abitrè egal nan grandè ak gradyan fonksyon estrès F, men li pèpandikilè ak li, sa vle di gen yon direksyon tanjant ak liy F=const.
Lè w rezoud ekwasyon diferans lan (6)) yo jwenn vòltaj τ kòm fonksyon y, z ak ϑ. Travay la nan kalkil la se, nan kou, detèminasyon an nan ang tòsyon an ϑ ak estrès la, espesyalman estrès la maksimòm kòm yon fonksyon nan moman an torsional, Se poutèt sa, detèminasyon an nan rèd la nan seksyon an JT soti nan ekwasyon an (2) ak koupl rezistans WT = Mmaxτ. Pou jwenn sa yo, li nesesè sèlman eksprime M kòm yon fonksyon nan F:
Tou de somasyon entegral sa a, ki ta dwe pran sou tout seksyon an, ka transfòme pa entegrasyon pasyèl. Si, pa egzanp, premye nan yo entegre premye sou liy lan z=const. soti nan pwen sou kontou a y=y1 nan pwen y=y2 (fig.3) epi pran an kont ke nan tou de pwen sa yo F=0, se jwenn
Se menm valè a jwenn nan dezyèm entegral la, se konsa ke
Youn.7
Sl.3
Lòt ka nan seksyon konplè
Ekwasyon diferans lan (6) se ekwasyon inomojèn teyori potansyèl la. Se poutèt sa, pou solisyon an nan pwoblèm nan Torsion nan ka a nan yon koup transvèsal abitrè, metòd yo nan teyori potansyèl yo disponib, ki pèmèt li toujou jwenn. Metòd sa yo, sepandan, yo jeneralman twò konplèks yo dwe aplike nan ka endividyèl ki rive nan pratik. Se poutèt sa, tablo ki anba la a montre rezilta yo nan kalkil sa yo pou plizyè seksyon.
Pou koup transvèsal ki pre sikilè, yo ka mete JT=F_4/40_Ip, kote F se zòn nan ak Ip se moman polè inèsi seksyon an.
Remak sou fòmil ak tab: ekspresyon ak valè nan imaj analize yo estoke kòm yon sous istorik. Tèks OCR, mak endèks ak eskanè yo pa ase serye pou kalkil. Anvan w itilize, chak fòmil, inite, koyefisyan ak zòn validite yo ta dwe tcheke nan yon sous pwofesyonèl otorite ak estanda valab.
Analoji ak manbràn nan
Yon bon èd pou estime estrès torsional, epi an menm tan an se yon pwosedi pou detèminasyon egzat yo bay pa analoji ki genyen ant fonksyon an estrès F nan pwoblèm nan torsional ak chaj transverse defleksyon an nan manbràn an. Se pou gen yon ouvèti mwayèn sou miray plat yon veso ki kowenside ak koup transvèsal yon baton ki chaje nan torsion. Lè manbràn an lonje sou ouvèti sa a epi yo gen yon ti presyon depase p nan veso a, manbràn an gonfle deyò, konsa ke defleksyon li yo ξ(y,z) satisfè ekwasyon diferans lan.
kote N se tansyon sifas nan manbràn ki te koze pa fòs kapilè (dimansyon: fòs pou chak longè inite). Ekwasyon sa a konyenside ak ekwasyon an (6), ak kondisyon fwontyè ξ=0se menm jan ak fonksyon vòltaj la. Nan fason sa a, fonksyon vòltaj F(y,z) ka jwenn lè l sèvi avèk glas sa a ak manbràn nan epi konsa rezoud pwoblèm nan Torsion. Estrès τ a koresponn ak pant manbràn an parapò ak plan y-z-, kidonk kote ki pi apik se youn kote baton ki ekspoze a torsion gen pi gwo estrès taye.
Sl.4
Sl.5
Pwosedi manbràn sa a se patikilyèman apwopriye pou jwenn modèl apwoksimatif pou seksyon ki gen miray mens. Lè, pou egzanp, I-seksyon divize dapre fig.4sou twa rektang ak pou chak nan yo analoji a ak manbràn la te pote soti separeman, sòm total volim yo nan protrusions ki kapab lakòz yo pral sèlman yon ti kras pi piti pase volim nan ki aktyèlman koresponn ak fonksyon an vòltaj. Se poutèt sa, lè epesè yo se b1 ak b2 piti, apeprè
JT =2JT1+ JT2,
kote JT1 ak JT2 Faktè rèd rektang endividyèl yo ki ka kalkile dapre tablo a1. Yo jwenn yon pi bon apwòch lè yo mete JT pou kòt la2 = a2b32/3, Se poutèt sa, lè kòt la konsidere kòm yon pati nan yon rektang trè long. Yo jwenn yon valè menm pi egzak dapre Trayer ak March\ soti nan
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
kote D se dyamèt pi gwo sèk ki enskri jan yo montre nan fig.4, ak α ka pran nan fig.5. Pou T-seksyon an li jwenn menm jan an
JT = JT1+JT2+ α D4,
kote JT2 mwatye nan valè a kalkile dapre tablo a1pou a=2_a2_, b=b2. Pou seksyon L (Fig.6) se menm jan ak sa
JT = JT1+ JT2+ β D4
kote JT1 pou bra a pi epè yo pran dirèkteman nan tab la1, pandan ke JT2 pou janm mens la kalkile tankou pou T-seksyon an, epi β yo pran nan fig.7.
Fig. 6
Sl.7
Lè w ap kalkile estrès la, moman torsional la divize an rektang konstitiyan: pati ki tonbe sou bride yo M1=M JT2/JT; Lè sa a, estrès taye taye a kalkile nan pwen mitan bò ki pi long nan chak rektang ki baze sou tablo a1. Pi gwo nan estrès sa yo pa bezwen pi gwo estrès taye ki parèt nan seksyon an. Savwa, si ang ensidans lan pa awondi, τ=∞ jwenn nan kote sa a, se konsa ke pou yon reyon awondi piti anpil, ou ka espere pi gwo estrès taye taye isit la.
Remak Jeni: singularité matematik ang egi idealize a se pa yon lisans pou estime detay aktyèl la pa modèl apwoksimatif sa a sèlman. Jeyometri awondi aktyèl la, tolerans, plastisit, soude, estrès rezidyèl, estabilite lokal ak fatig mande pou modèl apwopriye ak verifikasyon ekspè.
Pou yon ang yon sèl kote ki gen epesè bò t dapre Trefftz\ se sou awondi dyamèt la r:
kote ak τ0 ki make vòltaj maksimòm kalkile pou chak janm endividyèl baze sou pwosedi ki dekri isit la. Pou pi gwo reyon awondi, yo ka adopte τ=2__τ0.
Tiyo ki gen miray mens (modèl Bradt)
Nan tiyo mens ak miray ranpa yo, manbràn gonfle a gen fòm yo montre nan fig frans.8, ki gen ladann yon avyon anlè espas ki kre andedan tiyo a ak yon sifas ki an pant ki antoure li epi ki kouche pi wo a seksyon efikas miray tiyo a; sifas enkline sa a dwe pi apik si mi tiyo yo pi mens nan kote ki apwopriye a. Nan ka sa a, estrès taye yo distribye san patipri respire sou epesè mi yo epi yo envès pwopòsyonèl ak epesè mi yo, sa vle di shear force T = τt pa chanje sou sikonferans nan seksyon an.
Sl. 8
Eleman sifas t_∙ds_ resevwa yon pati nan moman torsional la
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
se konsa moman total la se
Youn.8
kote sifas FR kouvri pa liy mitan an ki make pa liy ak pwen nan fig.8. Li se jwenn soti isit la
Youn.9- Premye modèl Bredt\
Rèd torsional jwenn pi tou senpleman lè travay la deformation eksprime sou yon bò nan moman torsion ak ang torsion ak sou lòt men an nan estrès taye. Nan fason sa a, li jwenn pou yon eleman baton ki gen longè l
kidonk, entwodwi valè a pou τ dapre ekwasyon an (8),
sa vle di, an konparezon ak ekwasyon an (2):
Youn.10
Si epesè mi yo se menm tout otou, Lè sa a, li se senp (2. Modèl Bredt a):
Youn.11
Estrès nòmal nan torsion akòz koube seksyon
Tèm debaz ak ekwasyon diferans
Deplasman eleman u, ekwasyon (1b), detèmine koub seksyon yo nan plan yo. Lè moman torsion la konstan, koube sa a se menm bagay la nan tout seksyon ak estrès nòmal σx pa parèt.
Nan anpil ka, koub la nan koup transvèsal la, ki ta dwe leve sou baz _St. Teyori Venant a pa posib. Si moman torsional la chanje sibitman nan yon sèl koup transvèsal, koube nan diferan grandè ta rive sou tou de bò koup transvèsal la, epi kontinwite deformation la ta detounen. Youn nan bout baton an ka tèlman sere ke koube nan seksyon an konplètman eskli nan pwen sa a. Nan ka sa yo, yo ta dwe fè yon amannman _St. Teyori Venant yo. Estrès siplemantè σx nan direksyon aks baton an ak fòs taye siplemantè T (ensiste taye T/t) parèt nan baton an, ki se pi wo a nan seksyon kote kontinwite deformation la kase epi ki diminye eksponansyèlman ak distans soti nan seksyon sa a. Nan ka baton solid ak tib, teyori sa a se konplèks, ak vòltaj siplemantè yo diminye tèlman vit ke detèminasyon yo pa entérésan nan pifò ka yo. Pou branch bwa wofil ki gen miray mens, koreksyon sa a gen gwo enpòtans epi yo ka kalkile relativman fasil.
Sl.9
Sl.9montre liy ki sou kote sifas mitan miray la ak plan seksyon an kwaze (liy presegondè seksyon an). O se sant wotasyon relatif de seksyon adjasan yo. Si distans yo se dx, ang torsion la se ϑ dx, kidonk yon pwen abitrè liy mitan an sibi yon deplasman u ϑ dx. Deplasman sa a gen yon eleman rt ϑ dx nan direksyon tanjant nan seksyon an, epi li se glise nan eleman nan sifas mitan an nan miray la (pran an kont ke _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Depi estrès taye nan mitan sifas miray la se zewo, li dwe tou γ=0, Se poutèt sa
Modèl sa a gen twa paramèt abitrè: orijin kote yo kalkile longè arc s ak kowòdone sant wotasyon relatif O, sou ki rt depann. Ou ka chwazi pwen depa apati ki longè arc s yo kalkile pou valè koub mwayen an se zewo:
epi kowòdone sant O yo ka detèmine nan yon fason pou moman yo akòz koube seksyon an se zewo:
Li ka montre ke sant wotasyon konsa detèmine kowenside ak sant taye ki se isit la dekri ak defini nan yon lòt fason.
Si koube nan seksyon ki dekri pa modèl sa yo konplètman oswa pasyèlman anpeche, estrès nòmal σx nan direksyon aks baton an dwe parèt. Egzamen pi pre a montre ke estrès sa yo ka pwopòsyonèl ak fonksyon koub φ: σx=k__φ, kote φ depann sèlman sou s ak k sèlman sou x. Dapre lwa Hooke a:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
dwe k=E d__ϑ/dx. Estrès nòmal σx yo rele estrès koube seksyon. Lè nou konsidere ekwasyon ki anwo yo, yo fòme yon sistèm ekilib fòs nan chak seksyon, yon sistèm fòs akòz koube seksyon an.
Koupl total la konsiste de de pati: youn nan yo M1=GJT__ϑ rive akòz estrès taye torsional bay pa St. Teyori Venant, ak lòt M2 rive akòz koube nan seksyon an:
Youn.13
Depi moman M yo bay kòm yon fonksyon x, ekspresyon sa a reprezante yon ekwasyon diferans pou ang torsion ϑ. Yon fwa ke ekwasyon sa a rezoud, M ka kalkile1 ak M2, e konsa tout estrès ak tansyon.
Solisyon ak aplikasyon yo
Lè moman torsion M konstan, solisyon jeneral ekwasyon an (13) se:
Konstan entegrasyon C1, C2 dwe detèmine apati de kondisyon fwontyè.
a) Rijidman sere fen x=0(fig.1)
Nan fen sa a se u≡0, kidonk baze sou ekwasyon an (1b) ϑ=0. Si baton an trè long (αl>>1), Lè sa a, C1=0ak C2= -M/GJT. Nan ka baton kout, aparans nan estrès akòz koube nan seksyon an afekte pa kondisyon an nan fen dwat baton an. Si koube nan seksyon an pa anpeche nan plas sa a, pral gen σx≡0ak dϑ/dx=0. Li se jwenn soti isit la
b) Chaj torsion simetrik dapre fig.10
Sou mwatye gòch baton an, moman torsional la se -M/2, ak sou bò dwat la +M/2. Nan ka a nan Torsion gratis, seksyon yo sou bò gòch la ak dwa nan mitan an nan baton an ta dwe trese nan direksyon opoze a, Se poutèt sa kontinwite nan deformation a pa ta dwe konsève. Se poutèt sa, nan plas la x=0tout moman torsional la dwe transfere nan estrès yo ki rive akòz koube nan koup transvèsal la, ak Se poutèt sa nan koup transvèsal sa a M1=0e se poutèt sa ϑ=0. Nan pwen sa a, yon sistèm fòs aji pou asire ke seksyon an rete dwat, menm si seksyon ki kouche pi lwen sant koub baton an. Si, anplis, li nesesè pou pwent baton an gen estrès σx≡0, yo jwenn yon lòt kondisyon fwontyè pou chak mwatye baton an, kidonk li se pou mwatye dwat la
Fig. 10
c) Moman ekstèn M nan yon kote abitrè (fig.11)
Nan ka sa a, solisyon ϑ pou tou de pati nan baton an dwe ekri separeman, kidonk yon total de kat konstan C parèt.1, C2, C3, C4. Anplis de sa, moman yo torsion Ma, Mb yo tou enkoni. Gen sis ekwasyon ki disponib: yon kondisyon kontinwite pou ϑ (eksprime pa u) ak pou dϑ/dx (eksprime pa σx) nan pwen chaj la, yon kondisyon nan chak pwent baton an (egzanp blocage rijid ϑ=0, oswa koube san pwoblèm, dϑ/dx=0), kondisyon balans pa moman -Ma+Mb=M epi finalman kondisyon pou seksyon final yo pa vire youn ak lòt: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
**Remak final la: ** chwa nan modèl Torsion depann sou seksyon an louvri oswa fèmen, slenderness, metòd sipò, kote nan opinyon moman ak posibilite pou koube gratis. Pou yon eleman reyèl, eta limit chaj-pote ak sèvis, detay lokal yo, jwenti, fatig ak estabilite dwe tcheke, pa sèlman yon fòmil izole nan atik la.