아카이브 전문가 콘텐츠: 텍스트와 공식은 역사적 이론적 관점을 전달하며 프로젝트, 정적 계산, 하중 지지력 확인, 기존 요소 평가 또는 건설 또는 재건 지침이 아닙니다. 지정, 가정 및 대략적인 패턴은 특정 시스템, 재료, 형상, 경계 조건 및 적용 가능한 표준에 대해 확인되어야 합니다. 비틀림, 안정성, 피로, 조인트 및 방지된 굽힘으로 인한 응력의 계산은 인증된 엔지니어가 수행해야 하며 필요할 경우 독립적으로 제어해야 합니다.
Savo Kusić는 오늘 목재 창, 목재-알루미늄 창, 맞춤형 창, 문 및 견적 요청에 중점을 둡니다. 이 글은 역사적인 전문 기록 보관소로 남으며 건축 설계 서비스를 대표하지 않습니다.
Saint-Venant 비틀림 이론(자유 비틀림)
미분 방정식
그림. 1
직선 막대의 한쪽 끝 x=0을 고정하고 반대쪽 끝은 비틀림 모멘트 _M_로 하중을 가합니다(그림 1). 그런 다음 각 섹션은 막대의 축과 평행한 특정 선을 중심으로 특정 각도 α(x)만큼 회전하며 이를 x\축으로 채택합니다. 모든 섹션이 서로 동일하면 x축에 평행한 직선이 코일을 통과하고 각도 _α_는 고정 끝으로부터의 거리에 비례합니다: α=ϑx, 여기서 섹션 평면의 구성요소 변위가 발생합니다(그림 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
양 _ϑ_을 비틀림 각도라고 합니다(치수: 길이-1, 길이 단위당 회전). 비틀림 각도는 비틀림 모멘트에 비례합니다 M:
ϑ = M/GJT. (2)
그림. 2
비례 계수 GJT, 즉 비틀림 강성은 전단 계수 _G_와 단면의 모양과 크기의 영향을 나타내는 JT 계수의 곱과 같습니다.
이러한 단면의 회전이 로드의 변형만을 나타내는 것은 아닙니다. 또한 단면의 굽힘, 즉 x\축 방향의 변위 _u_가 있습니다. 이는 모든 단면의 해당 지점에 대해 동일한 크기를 가지며 따라서 단면 평면의 좌표 함수일 뿐이며 하중 M 또는 비틀림 각도 _ϑ_에 비례합니다.
u = u(y,z) = ϑ ∙ Φ(y,z), dΦ/dx=0. (1b)
위의 식을 해당 변위 방정식에 도입하면 주 법선 응력이 0과 같고 구성 요소 응력 τxy 및 τxz 두 개만 남게 됩니다.
Eq. 3
비틀림 문제의 미분 방정식은 방정식(3)을 기반으로 다음을 입력하여 얻습니다.
유닛. 4a 및 4b
그리고 다음과 같은 응력 함수 _F(y,z)_를 도입하여 미지수 τxy 및 _τxz_에 대한 미분 방정식을 해결합니다.
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
이것은 식 (4a)를 동일하게 만족하며, 식 (4b)로부터 필요한 미분방정식
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
이 방정식의 고유한 해법에 필요한 경계 조건은 로드 엔벨로프에 전단 응력이 없다는 요구 사항에서 얻어지며, 전단 응력의 공액 특성으로 인해 단면 평면의 응력에는 윤곽선을 따라 수직인 성분이 있어서는 안 됩니다. 여기에서 그림. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
그러므로
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
예. 함수 _F_의 전체 미분은 0이어야 합니다. 즉, F=const여야 합니다. 윤곽을 따라.
섹션에 윤곽선이 하나만 있는 경우 간단히 F=0를 그 위에 놓을 수 있습니다. 왜냐하면 우리가 실제로 도함수에만 관심이 있는 전압 함수에서는 임의의 추가 상수가 역할을 하지 않기 때문입니다. 둘 이상의 윤곽선이 있는 단면의 경우 이 질문은 더 복잡합니다.
방정식(5)에서 볼 수 있듯이 임의의 교차점에서 전단 응력 τxy 및 _τxz_의 결과는 크기가 응력 함수 _F_의 기울기와 동일하지만 이에 수직입니다. 즉 선 F=const에 접선 방향을 갖습니다.
미분 방정식(6)을 풀면 전압 _τ_가 y, z 및 _ϑ_의 함수로 나옵니다. 물론 계산 작업은 비틀림 각도 ϑ와 응력, 특히 비틀림 모멘트의 함수로서 최대 응력을 결정하는 것입니다. 따라서 방정식 (2)에서 섹션 강성 _JT_와 저항 비틀림 모멘트 _WT = Mmaxτ_를 결정합니다. 이를 얻으려면 _M_을 _F_의 함수로 표현하면 됩니다:
전체 구간을 포괄해야 하는 이 적분의 두 가지 추가는 부분 적분으로 변환할 수 있습니다. 예를 들어, 그 중 첫 번째가 z=const 선을 따라 먼저 적분되는 경우. 윤곽선의 점 _y=y1_에서 점 y=y2(그림 3)까지 그리고 이 두 점 F=0을 고려하면
두 번째 적분에서 동일한 값을 얻으므로
Eq. 7
그림. 3
기타 전체 단면 사례
미분 방정식(6)은 전위 이론의 불균일 방정식입니다. 따라서 임의 단면의 경우 비틀림 문제를 해결하기 위해 전위 이론의 방법을 사용할 수 있으며 이를 항상 찾을 수 있습니다. 그러나 이러한 방법은 실제로 발생하는 개별 사례에 적용하기에는 일반적으로 너무 복잡합니다. 이것이 바로 다음 표에 여러 섹션에 대한 계산 결과가 나와 있는 이유입니다.
단면이 원형에 가까운 경우 JT=_F_4/40_Ip_를 넣을 수 있습니다. 여기서 _F_는 면적이고 _Ip_는 단면의 극관성 모멘트입니다.
공식 및 표에 대한 참고사항: 스캔한 이미지의 표현식과 값은 기록 소스로 저장됩니다. OCR 텍스트, 색인 표시 및 스캔은 계산하기에 충분히 신뢰할 수 없습니다. 각 공식, 단위, 계수 및 범위는 사용하기 전에 권위 있는 전문 출처와 유효한 표준에서 확인해야 합니다.
멤브레인과 비유
비틀림 응력을 추정하는 데 도움이 되며 동시에 비틀림 문제의 응력 함수 _F_와 멤브레인의 편향 가로 하중 사이의 유추를 통해 정확한 결정을 위한 절차가 제공됩니다. 용기의 편평한 벽에는 비틀림 하중을 받는 막대의 단면과 일치하는 평균 구멍이 있다고 가정합니다. 막이 이 개구부 위로 늘어나고 용기에 약간의 과잉 압력 _p_이 발생하면 막이 바깥쪽으로 부풀어 오르고 편향 _ξ(y,z)_이 미분 방정식
여기서 _N_은 모세관력(치수: 단위 길이당 힘)으로 인해 발생하는 막의 표면 장력입니다. 이 방정식은 (6) 방정식과 일치하며 경계조건 ξ=0은 전압함수와 동일하다. 이러한 방식으로, 멤브레인이 있는 거울을 사용하여 전압 함수 _F(y,z)_를 얻을 수 있으므로 비틀림 문제를 해결할 수 있습니다. 응력 _τ_는 y-z-평면에 대한 멤브레인의 기울기에 해당하므로 가장 가파른 곳은 비틀림에 노출된 막대가 가장 높은 전단 응력을 갖는 곳입니다.
그림. 4
그림. 5
이 멤브레인 절차는 벽이 얇은 부분에 대한 대략적인 패턴을 얻는 데 특히 적합합니다. 예를 들어, I-섹션이 그림에 따라 분할된 경우. 4 세 개의 직사각형에 대해 각각 멤브레인과의 비유가 별도로 수행되며 결과 돌출부의 부피의 합은 실제로 전압 기능에 해당하는 부피보다 약간 작습니다. 따라서 두께 b1 및 _b2_가 작을 경우 약
JT = 2JT1 + JT2,
여기서 JT1 및 _JT2_는 표 1를 기반으로 계산할 수 있는 개별 직사각형의 강성 계수입니다. JT2 = _a2 b32/3_가 리브에 사용될 때, 즉 리브가 매우 길쭉한 직사각형의 일부로 간주될 때 더 나은 근사치를 얻습니다.
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
여기서 _D_는 그림에 표시된 대로 내접된 가장 큰 원의 직경입니다. 4, _α_는 그림에서 가져올 수 있습니다. 5. T-단면의 경우에도 비슷하게 얻습니다
JT = JT1 +JT2 + α D4,
여기서 _JT2_는 a=2 a2, b=_b2_에 대해 표 1에 따라 계산된 값의 절반입니다. L-단면(그림 6)의 경우
JT = JT1 + JT2 + β D4
여기서 더 두꺼운 암에 대한 _JT1_는 테이블 1에서 직접 가져오고, 얇은 암에 대한 _JT2_는 T-단면과 같이 계산되며 _β_는 그림에서 가져옵니다. 7.
그림. 6
그림. 7
응력을 계산할 때 비틀림 모멘트는 구성 직사각형으로 나뉩니다: 플랜지에 떨어지는 부분 M1=M JT2/JT; 그런 다음 표 1를 기준으로 각 직사각형의 긴 변 중앙에서 전단 응력을 계산합니다. 이러한 응력 중 가장 큰 것이 단면에 나타나는 가장 큰 전단 응력일 필요는 없습니다. 즉, 입사각이 반올림되지 않으면 그 위치에서 τ=π가 얻어지므로 아주 작은 반올림 반경에 대해서는 여기서 가장 높은 전단응력을 기대할 수 있습니다.
엔지니어링 참고 사항: 이상화된 예각의 수학적 특이점은 이 대략적인 패턴만으로 실제 세부 사항을 추정할 수 있는 라이센스가 아닙니다. 실제 반올림 형상, 공차, 가소성, 용접, 잔류 응력, 국부 안정성 및 피로에는 적절한 모델링과 전문가 검증이 필요합니다.
Trefftz\에 따라 다리 두께가 _t_인 단면 각도의 경우 직경 _r_의 반올림에 있습니다:
여기서 _τ0_는 여기에 설명된 절차를 기반으로 각 개별 레그에 대해 계산된 최고 전압을 나타냅니다. 더 큰 반올림 반경의 경우 τ=2__τ0.
얇은 벽 파이프(브래트 패턴)
벽이 얇은 파이프에서 돌출된 막은 그림과 같은 모양을 갖습니다. 8는 파이프 내부의 빈 공간 위의 평면과 이를 둘러싸고 파이프 벽의 유효 단면 위에 있는 경사면으로 구성됩니다. 파이프 벽이 적절한 위치에서 더 얇다면 이 경사면은 더 가파르게 되어야 합니다. 이 경우 전단 응력은 벽 두께 전체에 고르게 분포되며 벽 두께에 반비례합니다. 즉, 전단력 T = _τt_는 단면 원주를 따라 변하지 않습니다.
Sl. 8
표면 요소 t_∙ds_는 비틀림 모멘트의 일부를 받습니다
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
총 순간은
Eq. 8
그림에서 선과 점으로 표시된 중간선으로 FR 표면이 덮여 있는 곳. 8. 여기에서
Eq. 9 - 첫 번째 Bredt\ 패턴
비틀림 강성은 변형작업이 비틀림 모멘트와 비틀림 각도, 그리고 전단응력으로 표현될 때 가장 간단하게 얻어집니다. 이러한 방식으로 길이가 l
그러므로 방정식 (8)에 따라 τ 값을 도입하고,
즉, 방정식(2)과 비교하면:
Eq. 10
벽의 두께가 전체적으로 동일하다면 간단합니다 (2. _Bredt_의 패턴):
Eq. 11
단면 굽힘으로 인한 비틀림의 수직 응력
기본용어 및 미분방정식
구성요소 변위 u, 방정식(1b)은 평면에서 단면의 곡률을 결정합니다. 비틀림 모멘트가 일정할 때 이 굽힘은 모든 단면에서 동일하며 법선응력 _σx_은 나타나지 않습니다.
많은 경우 _St.를 기준으로 단면의 곡률이 발생해야 합니다. 베넌트의 이론은 불가능하다. 비틀림 모멘트가 한 단면에서 급격하게 변하면 단면 양쪽에서 서로 다른 크기의 굽힘이 발생하고 변형의 연속성이 방해됩니다. 막대의 한쪽 끝을 고정하여 해당 지점에서 단면의 굽힘이 완전히 배제될 수 있습니다. 그러한 경우 수정이 이루어져야 합니다 _St. 베넌트의 이론. 로드 축 방향의 보충 응력 σx 및 보충 전단력 T(전단 응력 T/t)가 로드에 나타나며, 이는 변형의 연속성이 깨지는 구간에서 가장 높고 이 구간에서 멀어질수록 기하급수적으로 감소합니다. 고체 막대와 튜브의 경우 이 이론은 복잡하며, 보충 전압이 너무 빨리 감소하여 대부분의 경우 이에 대한 결정이 가치가 없습니다. 열린 프로파일을 가진 벽이 얇은 막대의 경우 이 수정은 매우 중요하며 상대적으로 쉽게 계산할 수 있습니다.
그림. 9
그림. 9는 벽의 중간면과 단면 평면이 교차하는 선(단면의 중간선)을 나타냅니다. _O_는 인접한 두 섹션의 상대 회전 중심입니다. 거리가 _dx_이면 비틀림 각도는 _ϑ dx_이므로 정중선의 임의 지점은 u ϑ dx 변위를 받습니다. 이 변위는 단면에 접하는 방향으로 rt ϑ dx 성분을 가지며 벽 중앙 표면 요소의 미끄러짐은 다음과 같습니다(_u=_ϑ 고려):
γ=__ϑ (rt + d__ϑ/ds).
벽 중앙면의 전단응력은 0이므로 역시 γ=0이어야 하므로
이 패턴에는 세 개의 임의 매개변수가 포함되어 있습니다. 즉, 호 길이 _s_가 계산되는 원점과 _rt_가 의존하는 상대 회전 중심 좌표 _O_입니다. 호 길이 _s_가 계산되는 시작점은 곡률의 평균값이 0이 되도록 선택할 수 있습니다:
및 중심 _O_의 좌표는 단면의 굽힘으로 인한 모멘트도 0이 되는 방식으로 결정될 수 있습니다.
이러한 방식으로 결정된 _회전 중심_은 여기에 설명된 전단 중심과 일치하고 다른 방식으로 정의되었음을 알 수 있습니다.
이러한 패턴으로 설명된 단면의 굽힘이 완전히 또는 부분적으로 방지되면 로드 축 방향의 수직 응력 _σx_이 나타나야 합니다. 자세히 조사해 보면 이러한 응력은 곡률 함수 ψ: _σx=k__ψ에 비례하는 것으로 간주될 수 있습니다. 여기서 _ψ_는 _s_에만 의존하고 _k_는 _x_에만 의존합니다. Hooke의 법칙에 따르면:
σx = E_∂u/∂x = Eϑ dϑ/dx_, (12)
은 _k=E d__ϑ/dx_여야 합니다. 수직 응력 _σx_을 단면 굽힘 응력이라고 합니다. 위의 방정식을 고려하면 각 단면에서 평형 힘 시스템, 즉 단면의 굽힘으로 인한 힘 시스템을 형성합니다.
총 비틀림 모멘트는 두 부분으로 구성됩니다. 그 중 하나는 M1=GJT__ϑ 비틀림 중 전단 응력으로 인해 _St를 제공합니다. Venant_의 이론이고, 또 다른 _M2_는 단면의 휘어짐으로 인해 발생합니다:
Eq. 13
모멘트 _M_이 _x_의 함수로 주어지므로 이 식은 비틀림 각도 _ϑ_에 대한 미분방정식을 나타냅니다. 이 방정식을 풀면 M1 및 _M2_를 계산할 수 있으므로 모든 응력과 변형률이 계산됩니다.
솔루션 및 애플리케이션
비틀림 모멘트 _M_이 일정할 때 방정식(13)의 일반적인 해는 다음과 같습니다.
적분 상수 _C1, C2_는 두 가지 경계 조건에서 결정되어야 합니다.
a) 단단히 고정된 끝 x=0(그림 1)
이 끝은 _u_ל0이므로 방정식 (1b) ϑ=0에 기초합니다. 막대가 매우 긴 경우(αl>>1), C1=0 및 C2= -_M/GJT_입니다. 짧은 로드의 경우 단면의 굽힘으로 인한 응력의 출현은 로드 오른쪽 끝의 상태에 영향을 받습니다. 그 자리에서 단면의 굽힘이 방지되지 않는다면 _σx_ל0, dϑ/dx=0가 됩니다. 여기에서
b) 그림에 따른 대칭 비틀림 하중. 10
로드의 왼쪽 절반에서 비틀림 모멘트는 -M/2이고 오른쪽에서는 +M/2입니다. 자유 비틀림의 경우 로드 중앙의 왼쪽과 오른쪽 부분이 반대 방향으로 비틀려 변형의 연속성이 유지되지 않습니다. 따라서 x=0 위치에서 단면의 굽힘으로 인해 발생하는 응력을 통해 전체 비틀림 모멘트가 전달되어야 하므로 이 단면에서는 M1=0이므로 ϑ=0입니다. 이 시점에서 단면이 막대 곡선의 중심에서 더 멀리 떨어져 있더라도 단면이 직선으로 유지되도록 힘 시스템이 작용합니다. 또한, 막대 끝의 응력이 _σx_ל0이어야 하는 경우 막대의 각 절반에 대해 경계 조건이 하나 더 얻어지므로 오른쪽 절반의 경우
그림. 10
c) 임의의 장소에서의 외부 모멘트 M (그림 11)
이 경우 막대의 두 부분에 대한 해 _ϑ_를 별도로 작성해야 하므로 총 4개의 상수 _C1, C2, C3, C4_가 나타납니다. 또한 비틀림 모멘트 _Ma, Mb_도 알 수 없습니다. 6개의 방정식을 사용할 수 있습니다. 하중 작용점에서 ϑ(_u_로 표시) 및 dϑ/dx(_σx_로 표시)에 대한 연속 조건, 로드의 각 끝에서 하나의 조건(예: 강성 핀칭 ϑ=0 또는 방해받지 않는 굽힘, dϑ/dx=0), 모멘트 평형 조건 -Ma+Mb=M 그리고 마지막으로 끝 부분이 서로를 향하지 않는 조건: ∫ ϑdx = 0.
그림. 11
최종 참고 사항: 비틀림 모델의 선택은 개방형 또는 폐쇄형 단면, 세밀함, 지지 방법, 모멘트 입력 위치 및 자유 굽힘 가능성에 따라 달라집니다. 실제 요소의 경우 기사에서 분리된 하나의 공식이 아니라 하중 지지 및 사용 가능성 한계 상태, 국부적 세부 사항, 접합부, 피로 및 안정성을 확인해야 합니다.