Arhivski stručni sadržaj: tekst i formule prenose istorijski teorijski prikaz i nisu projekat, statički proračun, provera nosivosti, procena postojećeg elementa ili uputstva za izgradnju ili sanaciju. Oznake, pretpostavke i približni obrasci moraju se provjeriti u odnosu na specifični sistem, materijal, geometriju, granične uvjete i primjenjive standarde. Proračun torzije, stabilnosti, zamora, spojeva i naprezanja zbog spriječenog savijanja treba obaviti licencirani inženjer, uz nezavisnu kontrolu po potrebi.
Danas je Savo Kusić fokusiran na drvene prozore, drvo-aluminijum prozori, prilagođeni prozori, vrata i zahtjevi za ponudu. Ovaj članak ostaje kao istorijska stručna arhiva i ne predstavlja uslugu projektovanja konstrukcija.
Saint-Venant teorija torzije (slobodna torzija)
Diferencijalna jednadžba
Sl.1
Neka je ravan štap pričvršćen na jednom od njegovih krajeva x=0a na drugom kraju neka bude opterećen torzijskim momentom M (sl.1). Tada se svaki njegov dio rotira za određeni ugao α(x) oko određene linije paralelne s osi štapa, koju ćemo usvojiti kao x-os. Ako su svi preseci međusobno jednaki, svaka prava linija paralelna sa x-osi će preći u zavojnicu, a ugao α će biti proporcionalan udaljenosti od fiksnog kraja: α=ϑx, iz koje nastaju pomaci komponenti u ravni preseka (Sl.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Količina ϑ naziva se ugao torzije (dimenzija: dužina-1, rotacija po jedinici dužine). Ugao torzije je proporcionalan momentu torzije M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl.2
Faktor proporcionalnosti GJT, torzijska krutost, jednak je proizvodu modula smicanja G i faktora JT, koji predstavlja efekat oblika i veličine presjeka.
Ova rotacija preseka nije jedina deformacija štapa. Osim toga, postoji i savijanje poprečnog presjeka, odnosno na pomak u u smjeru x-ose, koji ima istu veličinu za odgovarajuće točke svih poprečnih presjeka i stoga je samo funkcija koordinata u ravnini presjeka, a inače je proporcionalan opterećenju M ili _ tor_
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Ako se gornji izrazi uvedu u odgovarajuće jednadžbe pomaka, dobije se da su glavni normalni naponi jednaki nuli, ostavljajući samo dva komponentna naprezanja τxy i τxz:
Jedan.3
Diferencijalna jednačina torzijskog problema se dobija na osnovu jednačina (3) stavljajući:
Jedan.4i ja4b
i rješavanje ovih diferencijalnih jednadžbi za nepoznate τxy i τxz uvođenjem funkcije naprezanja F(y,z) koja:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Sa ovim, jednačina (4a) identično zadovoljen, i iz jednačine (4b) dobije se tražena diferencijalna jednačina
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Granični uvjet potreban za jedinstveno rješenje ove jednadžbe dobija se iz zahtjeva da na ovojnici štapa nema posmičnog naprezanja, iz čega, zbog konjugirane prirode posmičnih napona, slijedi da napon u ravnini poprečnog presjeka ne smije imati komponentu okomitu na nju duž konture. Odavde, sl. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
prema tome
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
tj. ukupni diferencijal funkcije F mora biti nula, odnosno mora biti F=const. duž konture.
Ako presjek ima samo jednu konturu, na njega se jednostavno može staviti F=0, jer kod naponske funkcije, od koje nas zapravo zanimaju samo izvodnice, proizvoljna aditivna konstanta ne igra ulogu. Sa sekcijama koje imaju više od jedne konture, ovo pitanje je složenije.
Kao što se može vidjeti iz jednačine (5) rezultanta posmičnih naprezanja τxy i τxz u proizvoljnoj tački presjeka jednaka je po veličini gradijentu funkcije naprezanja F, ali je okomita na nju, ima pravac itangenta, i. F=konst.
Rješavanje diferencijalne jednadžbe (6) daje napone τ kao funkcije y, z i ϑ. Zadatak proračuna je, naravno, određivanje ugla torzije ϑ i napona, posebno maksimalnog naprezanja u funkciji momenta torzije, dakle, određivanje krutosti presjeka JT iz jednačine (2) i momenta torzije otpora WT = Mmaxτ. Da biste ih dobili, potrebno je samo izraziti M kao funkciju F:
Oba sabiranja ovog integrala, koje treba preuzeti na cijelom odsjeku, mogu se transformirati djelomičnom integracijom. Ako se, na primjer, prvi od njih integrira prvi duž linije z=const. iz tačke na konturi y=y1 do tačke y=y2 (sl.3) i uzmite u obzir da je u obje ove tačke F=0, dobija se
Ista vrijednost se dobija iz drugog integrala, tako da
Jedan.7
Sl.3
Ostali slučajevi punih sekcija
Diferencijalna jednadžba (6) je nehomogena jednadžba teorije potencijala. Stoga su za rješenje problema torzije u slučaju proizvoljnog poprečnog presjeka dostupne metode teorije potencijala koje omogućavaju da se on uvijek pronađe. Ove metode su, međutim, općenito previše složene da bi se mogle primijeniti na pojedinačne slučajeve koji se javljaju u praksi. Stoga, sljedeća tabela prikazuje rezultate takvih proračuna za nekoliko odjeljaka.
Za poprečne presjeke bliske kružnom, može se staviti JT=F_4/40_Ip, gdje je F površina, a Ip polarni moment inercije presjeka.
Napomena o formulama i tabelama: izrazi i vrijednosti u skeniranim slikama pohranjuju se kao povijesni izvor. OCR tekst, oznake indeksa i skeniranje nisu dovoljno pouzdani za proračun. Prije upotrebe, svaku formulu, jedinicu, koeficijent i područje valjanosti treba provjeriti u autoritativnom stručnom izvoru i važećem standardu.
Analogija sa membranom
Dobra pomoć za procjenu torzijskih naprezanja, a ujedno i postupak za njihovo točno određivanje, pruža analogija između funkcije naprezanja F torzijskog problema i poprečnog opterećenja membrane ugiba. Neka na ravnoj stijenci posude postoji prosječan otvor koji se poklapa sa poprečnim presjekom šipke opterećene torzijom. Kada se membrana rastegne preko ovog otvora i izazove mali višak pritiska p u posudi, membrana se izboči prema van, tako da njeni otkloni ξ(y,z) zadovoljavaju diferencijalnu jednadžbu
gdje je N površinski napon u membrani uzrokovan kapilarnim silama (dimenzije: sila po jedinici dužine). Ova jednadžba se poklapa sa jednačinom (6), i granični uslov ξ=0je isti kao i funkcija napona. Na ovaj način se pomoću ovog ogledala sa membranom može dobiti funkcija napona F(y,z) i tako riješiti problem torzije. Napon τ odgovara nagibu membrane u odnosu na y-z-ravninu, tako da je najstrmije mjesto gdje šipka izložena torziji ima najveće posmično naprezanje.
Sl.4
Sl.5
Ovaj membranski postupak je posebno pogodan za dobivanje približnih uzoraka za tankozidne profile. Kada je, na primjer, I-presjek podijeljen prema sl.4na tri pravokutnika i za svaki od njih analogija s membranom se provodi zasebno, zbir volumena rezultirajućih izbočina bit će tek nešto manji od volumena koji zapravo odgovara funkciji napona. Stoga, kada su debljine b1 i b2 mali, otprilike
JT =2JT1+ JT2,
gdje je JT1 i JT2 faktori krutosti pojedinačnih pravougaonika koji se mogu izračunati na osnovu tabele1. Bolji pristup se postiže kada se JT postavi za rebro2 = a2b32/3, dakle, kada se rebro smatra dijelom veoma izduženog pravokutnika. Još preciznija vrijednost se dobija prema Trayer i Mart\ od
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
gdje je D prečnik najvećeg kruga upisanog kao što je prikazano na sl.4, a α se može uzeti sa sl.5. Za T-presjek se dobija slično
JT = JT1+JT2+ α D4,
gdje je JT2 polovina vrijednosti izračunate prema tabeli1za a=2_a2_, b=b2. Za L-presjeke (sl.6) je sličan tome
JT = JT1+ JT2+ β D4
gdje je JT1 za deblji krak uzima se direktno iz tabele1, dok je JT2 za tanju nogu se računa kao za T-presjek, a β je uzeto sa sl.7.
Sl. 6
Sl. 7
Prilikom izračunavanja napona moment torzije se dijeli na sastavne pravougaonike: dio koji pada na prirubnice M1=M JT2/JT; napon smicanja se tada izračunava na sredini duže strane svakog pravougaonika na osnovu tabele 1. Najveće od ovih naprezanja ne mora biti najveće posmično naprezanje koje se pojavljuje u presjeku. Naime, ako se upadni ugao ne zaokružuje, na tom mjestu se dobija τ=∞, tako da se za vrlo mali radijus zaokruživanja ovdje može očekivati najveće posmično naprezanje.
Inženjerska napomena: matematička singularnost kod idealiziranog oštrog ugla nije licenca za procjenu stvarnih detalja samo na osnovu ovog približnog uzorka. Stvarna geometrija zaokruživanja, tolerancije, plastičnost, zavareni spojevi, zaostala naprezanja, lokalna stabilnost i zamor zahtijevaju odgovarajuće modeliranje i stručnu verifikaciju.
Za jednostrani ugao čija je debljina kraka t prema Trefftz\ je na zaokruženju prečnika r:
⟦SKPH17)
gdje τ0 označava najviši napon izračunat za svaku pojedinačnu nogu na osnovu ovdje opisane procedure. Za veće radijuse zaokruživanja može se usvojiti τ=2__τ0.
Tankozidne cijevi (Bradt uzorci)
U cijevima tankih stijenki, ispupčena membrana ima oblik prikazan na sl.8, koji se sastoji od ravni iznad šupljeg prostora unutar cijevi i nagnute površine koja ga okružuje i leži iznad efektivnog dijela zida cijevi; ova nagnuta površina mora biti strmija ako su zidovi cijevi na odgovarajućem mjestu tanji. U ovom slučaju, posmična naprezanja su raspoređena prilično ravnomjerno po debljini zidova i obrnuto su proporcionalna debljini zidova, tj. posmična sila T = τt se ne mijenja duž obima presjeka.
Sl. 8
Element površine t_∙ds_ prima dio torzijskog momenta
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
tako da je ukupni trenutak
Jedan.8
gdje je FR površina prekrivena srednjom linijom označenom linijama i tačkama na sl.8. Dobija se odavde
Jedan.9- Prvi Bredt\ obrazac
Torziona krutost se najjednostavnije postiže kada se rad deformacije izražava s jedne strane kroz torzijski moment i kut torzije, a s druge strane kroz posmična naprezanja. Na ovaj način se dobija za štapni element dužine l
dakle, uvodeći vrijednost za τ prema jednačini (8),
odnosno u poređenju sa jednadžbom (2):
Jedan.10
Ako je debljina zidova svuda okolo ista, onda je jednostavno (2. _Bredtov obrazac):
Jedan.11
Normalna naprezanja u torziji zbog savijanja presjeka
Osnovni pojmovi i diferencijalna jednačina
Pomaci komponenti u, jednačina (1b), određuje zakrivljenost presjeka od njihovih ravnina. Kada je moment torzije konstantan, ovo savijanje je isto u svim presjecima i normalna naprezanja σx se ne pojavljuju.
U mnogim slučajevima, savijanje poprečnog presjeka, koje bi trebalo nastati na osnovu _Sv. Venantova teorija nije moguća. Ako se moment torzije naglo promijeni u jednom poprečnom presjeku, došlo bi do savijanja različitih veličina s obje strane poprečnog presjeka i narušio bi se kontinuitet deformacije. Jedan kraj šipke može se tako stegnuti da je na tom mjestu potpuno isključeno savijanje presjeka. U takvim slučajevima treba izvršiti izmjenu _Sv. Venantove teorije. U štapu se pojavljuju dodatni naponi σx u smjeru ose štapa i pomoćna posmična sila T (posmični naponi T/t), koji su najveći u presjeku gdje je prekinut kontinuitet deformacije i koji se eksponencijalno smanjuju s rastojanjem od ovog presjeka. U slučaju čvrstih šipki i cijevi, ova teorija je složena, a dodatni naponi se smanjuju tako brzo da njihovo određivanje u većini slučajeva nije vrijedno truda. Za šipke sa tankim zidovima sa otvorenim profilom, ova korekcija je od velike važnosti i može se relativno lako izračunati.
Sl. 9
Sl. 9 prikazuje liniju duž koje se sijeku srednja površina zida i ravnina presjeka (srednja linija presjeka). O je centar relativne rotacije dva susjedna dijela. Ako je njihova udaljenost dx, ugao torzije je ϑ dx, tako da proizvoljna tačka srednje linije podliježe pomaku u ϑ dx. Ovaj pomak ima komponentu rt ϑ dx u pravcu tangente na presjek, i klizanje elementa srednje površine zida (uzimajući u obzir da je _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Kako je napon smicanja na srednjoj površini zida nula, on također mora biti γ=0, a samim tim i
Ovaj obrazac sadrži tri proizvoljna parametra: početak iz kojeg se izračunava dužina luka s i koordinate centra relativne rotacije O, od kojih zavisi rt. Početak od kojeg se izračunava dužina luka s može se odabrati tako da srednja vrijednost zakrivljenosti bude nula:
i koordinate centra O mogu se odrediti na način da su momenti zbog savijanja presjeka također jednaki nuli:
Može se pokazati da se tako određen centar rotacije poklapa sa centrom smicanja koji je ovdje opisano i definisano na drugi način.
Ako je savijanje presjeka opisanog ovim uzorcima potpuno ili djelomično spriječeno, moraju se pojaviti normalni naponi σx u smjeru ose štapa. Detaljnije ispitivanje pokazuje da se ovi naponi mogu uzeti kao proporcionalni funkciji zakrivljenosti φ: σx=k__φ, gdje φ ovisi samo o s i k samo o x. Prema Hookeovom zakonu:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
mora biti k=E d__ϑ/dx. Normalna naprezanja σx nazivaju se naprezanjima presjeka savijanja. Uzimajući u obzir gornje jednačine, one formiraju ravnotežni sistem sila u svakom preseku, sistem sila usled savijanja preseka.
Ukupni obrtni moment se sastoji od dva dela: jedan od njih M1=GJT__ϑ nastaje zbog torzijskih posmičnih naprezanja koje daje _St. Venantova teorija, a druga M2 nastaje zbog savijanja presjeka:
Jedan.13
Kako je trenutak M dat kao funkcija x, ovaj izraz predstavlja diferencijalnu jednačinu za ugao torzije ϑ. Kada se ova jednačina riješi, M1 i M2 mogu se izračunati, a time i svi naponi i deformacije.
Rješenje i aplikacije
Kada je moment torzije M konstantan, opšte rješenje jednačine (13) je:
Konstante integracije C1, C2 moraju se odrediti iz dva granična uslova.
a) Čvrsto stegnuti kraj x=0 (sl. 1)
Na ovom kraju je u≡0, dakle na osnovu jednačine (1b) ϑ=0. Ako je štap veoma dugačak (αl>>1), onda C1=0 i C2= -M/GJT. U slučaju kratkih šipki, na pojavu naprezanja zbog savijanja presjeka utiče stanje na desnom kraju štapa. Ako se na tom mjestu ne spriječi savijanje presjeka, postojaće σx≡0 i dϑ/dx=0. Odavde dobijate
b) Simetrično torzijsko opterećenje prema sl. 10
Na lijevoj polovini štapa, moment torzije je -M/2, a na desnoj +M/2. U slučaju slobodne torzije, presjeci lijevo i desno od sredine štapa bi bili uvrnuti u suprotnom smjeru, tako da se ne bi sačuvao kontinuitet deformacije. Dakle, na mjestu x=0, cijeli moment torzije mora se prenijeti kroz naprezanja koja nastaju zbog savijanja presjeka, pa prema tome u ovom presjeku M1=0 i samim tim ϑ=0. U ovoj tački, sistem sila djeluje kako bi osigurao da sekcija ostane ravna, čak i ako dijelovi leže dalje od centra krivine štapa. Ako se dodatno traži da na krajevima štapa naponi budu σx≡0, dobija se još jedan granični uslov za svaku polovinu štapa, pa je za desnu polovinu
Sl. 10
c) Vanjski moment M na proizvoljnom mjestu (sl. 11)
U ovom slučaju rješenje ϑ za oba dijela štapa mora biti napisano odvojeno, tako da se pojavljuju ukupno četiri konstante C1, C2, C3, C4. Osim toga, momenti torzije Ma, Mb su također nepoznati. Dostupno je šest jednačina: uslov kontinuiteta za ϑ (izražen sa u) i za dϑ/dx (izražen sa σx) na tački opterećenja, po jedan uslov na svakom kraju šipke (npr. kruto stezanje ϑ=0, ili neometano savijanje, dϑ/dx=0), uslov ravnoteže po momentima -Ma+Mb=M i konačno uslov da se krajnji delovi ne rotiraju jedan u odnosu na drugi: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Završna napomena: izbor torzijskog modela zavisi od otvorenog ili zatvorenog preseka, vitkosti, načina oslonca, mesta unošenja momenta i mogućnosti slobodnog savijanja. Za stvarni element moraju se provjeriti granična stanja nosivosti i upotrebljivosti, lokalni detalji, spojevi, zamor i stabilnost, a ne samo jedna izolirana formula iz artikla.