Lưu trữ nội dung chuyên gia: văn bản và công thức truyền tải quan điểm lý thuyết lịch sử và không phải là một dự án, tính toán tĩnh, kiểm tra khả năng chịu tải, đánh giá một phần tử hiện có hoặc hướng dẫn xây dựng hoặc cải tạo. Các ký hiệu, giả định và mẫu gần đúng phải được kiểm tra dựa trên hệ thống, vật liệu, hình học, điều kiện biên và tiêu chuẩn áp dụng cụ thể. Việc tính toán độ xoắn, độ ổn định, độ mỏi, mối nối và ứng suất do tránh uốn phải được thực hiện bởi kỹ sư được ủy quyền, có sự kiểm soát độc lập khi được yêu cầu.
Savo Kusić ngày nay tập trung vào cửa sổ gỗ, cửa sổ nhôm-gỗ, cửa sổ tùy chỉnh, cửa ra vào và yêu cầu báo giá. Bài viết này vẫn là một kho lưu trữ lịch sử chuyên nghiệp và không đại diện cho dịch vụ thiết kế xây dựng.
Lý thuyết xoắn Saint-Venant (xoắn tự do)
phương trình vi phân
Hình. 1
Cho một thanh thẳng được cố định ở một đầu x=0 và để nó được chất tải ở đầu kia với mô men xoắn M (hình 1). Sau đó, mỗi phần của nó quay một góc α(x) nhất định xung quanh một đường thẳng nhất định song song với trục của thanh mà chúng ta sẽ lấy làm trục x-. Nếu tất cả các phần bằng nhau thì bất kỳ đường thẳng nào song song với trục x sẽ đi vào một cuộn dây và góc α sẽ tỉ lệ với khoảng cách từ đầu cố định: α=ϑx, từ đó phát sinh các chuyển vị thành phần trong mặt phẳng của phần (hình 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Đại lượng ϑ được gọi là góc xoắn (kích thước: chiều dài-1, góc quay trên một đơn vị chiều dài). Góc xoắn tỉ lệ với mômen xoắn M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl. 2
Hệ số tỷ lệ GJT, độ cứng xoắn, bằng tích của mô đun cắt G và hệ số JT, đại diện cho ảnh hưởng của hình dạng và kích thước của mặt cắt.
Việc quay phần này không đại diện cho biến dạng duy nhất của thanh. Ngoài ra, còn có sự uốn cong của mặt cắt, tức là chuyển vị u theo hướng của trục x, có cùng độ lớn đối với các điểm tương ứng của tất cả các mặt cắt và do đó chỉ là hàm của tọa độ trong mặt phẳng của mặt cắt và tỷ lệ với tải trọng M hoặc góc xoắn ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Nếu đưa các biểu thức trên vào phương trình chuyển vị tương ứng thì thu được ứng suất pháp chính bằng 0, chỉ còn lại hai ứng suất thành phần τxy và τxz:
Eq. 3
Phương trình vi phân của bài toán xoắn thu được dựa vào các phương trình (3) bằng cách đặt:
Đơn vị. 4a và 4b
và giải các phương trình vi phân này cho các ẩn số τxy và τxz bằng cách đưa vào hàm ứng suất F(y,z) rằng:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Với điều này, phương trình (4a) được thỏa mãn giống hệt nhau và phương trình vi phân cần thiết thu được từ phương trình (4b)
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Điều kiện biên cần thiết cho nghiệm duy nhất của phương trình này thu được từ yêu cầu không có ứng suất cắt trên vỏ thanh, từ đó, do tính chất liên hợp của ứng suất cắt, dẫn đến ứng suất trong mặt phẳng tiết diện không được có thành phần vuông góc với nó dọc theo đường viền. Từ đây, hình. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
Vì vậy
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
tức là tổng vi phân của hàm F phải bằng 0, nghĩa là nó phải là F=const. dọc theo đường viền.
Nếu phần chỉ có một đường viền, thì có thể chỉ cần đặt F=0 trên đó, bởi vì với hàm điện áp, mà chúng ta thực sự chỉ quan tâm đến đạo hàm, một hằng số cộng tùy ý không đóng vai trò gì. Đối với các phần có nhiều đường viền, vấn đề này phức tạp hơn.
Như có thể thấy từ phương trình (5), tổng ứng suất cắt τxy và τxz tại một điểm giao nhau tùy ý có độ lớn bằng gradient của hàm ứng suất F, nhưng vuông góc với nó, tức là có hướng tiếp tuyến với đường F=const.
Giải phương trình vi phân (6) mang lại ứng suất τ dưới dạng hàm của y, z và ϑ. Tất nhiên, nhiệm vụ của tính toán là xác định góc xoắn ϑ và ứng suất, đặc biệt là ứng suất cực đại là hàm của mô men xoắn, do đó, xác định độ cứng của tiết diện JT từ phương trình (2) và mômen xoắn kháng WT = Mmaxτ. Để có được những điều này, chỉ cần biểu thị M dưới dạng hàm của F:
Cả hai tổng của tích phân này, cần được lấy trên toàn bộ phần, có thể được biến đổi bằng tích phân từng phần. Ví dụ: nếu cái đầu tiên trong số chúng tích hợp đầu tiên dọc theo dòng z=const. từ điểm trên đường bao y=y1 đến điểm y=y2 (hình 3) và xét rằng ở cả hai điểm này F=0, ta có
Giá trị tương tự thu được từ tích phân thứ hai, do đó
Một. 7
Sl. 3
Các trường hợp khác của mặt cắt đầy đủ
Phương trình vi phân (6) là một phương trình không đồng nhất của lý thuyết thế năng. Do đó, để giải bài toán xoắn trong trường hợp mặt cắt ngang tùy ý, các phương pháp của lý thuyết thế năng đã sẵn có, cho phép luôn tìm được nó. Tuy nhiên, những phương pháp này nhìn chung quá phức tạp để có thể áp dụng cho từng trường hợp riêng lẻ phát sinh trong thực tế. Đó là lý do tại sao bảng sau đây hiển thị kết quả tính toán như vậy cho một số phần.
Đối với mặt cắt gần tròn, có thể đặt JT=F_4/40_Ip, trong đó F là diện tích và Ip là mô men quán tính cực của mặt cắt.
Lưu ý về công thức và bảng: biểu thức và giá trị trên hình ảnh được quét được lưu trữ dưới dạng nguồn lịch sử. Văn bản OCR, dấu chỉ mục và quá trình quét không đủ tin cậy để tính toán. Mỗi công thức, đơn vị, hệ số và phạm vi phải được kiểm tra bằng nguồn chuyên môn có thẩm quyền và tiêu chuẩn hợp lệ trước khi sử dụng.
Tương tự với màng
Một sự trợ giúp hữu ích cho việc ước tính ứng suất xoắn, đồng thời cung cấp quy trình xác định chính xác chúng bằng sự tương tự giữa hàm ứng suất F của bài toán xoắn và tải trọng ngang lệch của màng. Giả sử có một lỗ trung bình trên thành phẳng của một bình trùng với mặt cắt ngang của thanh chịu tác dụng xoắn. Khi màng được kéo căng qua lỗ này và gây ra một áp suất dư nhỏ p trong bình, màng phồng ra bên ngoài, do đó độ lệch của nó ξ(y,z) thỏa mãn phương trình vi phân
trong đó N là sức căng bề mặt của màng do lực mao dẫn gây ra (kích thước: lực trên một đơn vị chiều dài). Phương trình này trùng với phương trình (6) và điều kiện biên ξ=0 giống như đối với hàm điện áp. Bằng cách này, có thể thu được hàm ứng suất F(y,z) với sự trợ giúp của gương này với màng và từ đó giải quyết được vấn đề xoắn. Ứng suất τ tương ứng với độ dốc của màng so với mặt phẳng y-z-, nên nơi dốc nhất là nơi mà thanh chịu xoắn có ứng suất cắt cao nhất.
Hình. 4
Hình. 5
Quy trình màng này đặc biệt thích hợp để thu được các mẫu gần đúng cho các phần có thành mỏng. Ví dụ: khi phần I được chia theo hình. 4 trên ba hình chữ nhật và đối với mỗi hình chữ nhật, việc tương tự với màng được thực hiện riêng biệt, tổng thể tích của các phần nhô ra sẽ chỉ nhỏ hơn một chút so với thể tích thực sự tương ứng với hàm điện áp. Do đó, khi độ dày b1 và b2 nhỏ, khoảng
JT = 2JT1 + JT2,
trong đó JT1 và JT2 là hệ số độ cứng của từng hình chữ nhật riêng lẻ có thể được tính toán dựa trên bảng 1. Giá trị gần đúng tốt hơn đạt được khi JT2 = a2 b32/3 được sử dụng cho gân, nghĩa là khi gân được coi là một phần của hình chữ nhật rất dài. Thậm chí còn thu được giá trị chính xác hơn theo Trayer và March\ từ
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
trong đó D là đường kính của hình tròn lớn nhất nội tiếp như hình. 4 và α có thể được lấy từ hình. 5. Đối với phần chữ T, kết quả tương tự
JT = JT1 +JT2 + α D4,
trong đó JT2 là một nửa giá trị được tính theo bảng 1 cho a=2 a2, b=b2. Đối với mặt cắt chữ L (hình 6) cũng tương tự như vậy
JT = JT1 + JT2 + β D4
trong đó JT1 cho cánh tay dày hơn được lấy trực tiếp từ bảng 1, trong khi JT2 cho cánh tay mỏng hơn được tính như đối với mặt cắt chữ T và β được lấy từ hình. 7.
Hình. 6
Sl. 7
Khi tính ứng suất, mô men xoắn được chia thành các hình chữ nhật cấu thành: phần rơi trên các mặt bích M1=M JT2/JT; Sau đó, ứng suất cắt được tính ở giữa cạnh dài hơn của mỗi hình chữ nhật dựa trên bảng 1. Ứng suất lớn nhất trong số này không nhất thiết phải là ứng suất cắt lớn nhất xuất hiện trên mặt cắt. Cụ thể là, nếu góc tới không được làm tròn, thì sẽ có τ=∞ tại vị trí đó, do đó đối với bán kính làm tròn rất nhỏ, ứng suất cắt cao nhất có thể xảy ra ở đây.
Lưu ý kỹ thuật: điểm kỳ dị toán học của góc nhọn lý tưởng hóa không cho phép ước tính chi tiết thực tế chỉ bằng mẫu gần đúng này. Hình học làm tròn thực tế, dung sai, độ dẻo, mối hàn, ứng suất dư, độ ổn định cục bộ và độ mỏi đòi hỏi phải có mô hình phù hợp và xác minh của chuyên gia.
Đối với góc một cạnh có độ dày cạnh t theo Trefftz\ nằm trên đường kính r:
trong đó τ0 là điện áp cao nhất được tính cho từng nhánh dựa trên quy trình được mô tả ở đây. Đối với bán kính làm tròn lớn hơn, τ=2__τ0 có thể được áp dụng.
Ống có thành mỏng (Mẫu Bradt)
Trong các ống có thành mỏng, màng phồng có hình dạng như hình. 8, bao gồm một mặt phẳng phía trên khoảng trống bên trong ống và một bề mặt dốc bao quanh nó và nằm phía trên phần hiệu dụng của thành ống; bề mặt nghiêng này phải dốc hơn nếu thành ống mỏng hơn ở vị trí thích hợp. Trong trường hợp này, ứng suất cắt được phân bổ khá đều trên chiều dày của tường và tỷ lệ nghịch với chiều dày của tường, tức là lực cắt T = τt không thay đổi dọc theo chu vi của mặt cắt.
Sl. 8
Phần tử bề mặt t_∙ds_ nhận một phần mô men xoắn
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
vậy tổng thời điểm là
Eq. 8
nơi bề mặt FR được bao phủ bởi đường giữa được đánh dấu bằng các đường và dấu chấm trong hình. 8. Từ đây bạn nhận được
Eq. 9 - Mẫu Bredt\ đầu tiên
Độ cứng xoắn có được đơn giản nhất khi công biến dạng một mặt được thể hiện thông qua mô men xoắn và góc xoắn và mặt khác thông qua ứng suất cắt. Bằng cách này, nó thu được đối với phần tử thanh có chiều dài l
vậy, giới thiệu giá trị của τ theo phương trình (8),
nghĩa là so sánh với phương trình (2):
Eq. 10
Nếu độ dày của các bức tường xung quanh đều giống nhau thì rất đơn giản (2. Bredt's):
Eq. 11
Ứng suất bình thường khi xoắn do uốn tiết diện
Thuật ngữ cơ bản và phương trình vi phân
Các chuyển vị thành phần u, phương trình (1b), xác định độ cong của các mặt cắt so với mặt phẳng của chúng. Khi mô men xoắn không đổi, sự uốn cong này giống nhau ở tất cả các mặt cắt và ứng suất pháp σx không xuất hiện.
Trong nhiều trường hợp, độ cong của mặt cắt phát sinh dựa trên _St. Lý thuyết của Venant là không thể. Nếu mô men xoắn thay đổi đột ngột trên một mặt cắt ngang thì sự uốn cong có cường độ khác nhau sẽ xảy ra ở cả hai phía của mặt cắt ngang và tính liên tục của biến dạng sẽ bị xáo trộn. Một đầu của thanh có thể được kẹp chặt đến mức loại trừ hoàn toàn hiện tượng uốn cong tại điểm đó. Trong những trường hợp như vậy, cần bổ sung _St. Các lý thuyết của Venant Ứng suất bổ sung σx theo hướng trục của thanh và lực cắt bổ sung T (ứng suất cắt T/t) xuất hiện trong thanh, có giá trị cao nhất ở đoạn mà tính liên tục của biến dạng bị phá vỡ và giảm theo hàm mũ theo khoảng cách từ phần này. Trong trường hợp thanh và ống rắn, lý thuyết này rất phức tạp và điện áp bổ sung giảm nhanh đến mức việc xác định chúng không có giá trị trong hầu hết các trường hợp. Đối với các thanh có thành mỏng có tiết diện mở, việc hiệu chỉnh này có tầm quan trọng lớn và có thể được tính toán tương đối dễ dàng.
Sl. 9
Hình. 9 hiển thị đường giao nhau giữa bề mặt giữa của tường và mặt phẳng mặt cắt (đường giữa của mặt cắt). O là tâm quay tương đối của hai phần liền kề. Nếu khoảng cách của chúng là dx thì góc xoắn là ϑ dx, do đó, một điểm tùy ý của đường giữa sẽ dịch chuyển u ϑ dx. Chuyển vị này có thành phần rt ϑ dx theo phương tiếp tuyến với tiết diện và độ trượt của phần tử mặt giữa của tường là (có tính đến _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Vì ứng suất cắt ở bề mặt giữa của tường bằng 0 nên nó cũng phải là γ=0, và do đó
Mẫu này chứa ba tham số tùy ý: gốc mà từ đó độ dài cung s được tính toán và tọa độ tâm quay tương đối O, mà rt phụ thuộc vào. Điểm bắt đầu tính độ dài cung s có thể được chọn sao cho giá trị trung bình của độ cong bằng 0:
và tọa độ của tâm O có thể được xác định theo cách sao cho mômen do uốn của mặt cắt cũng bằng 0:
Có thể chứng minh rằng tâm quay được xác định theo cách này trùng với tâm cắt được mô tả tại đây và được xác định theo cách khác.
Nếu sự uốn cong của phần được mô tả bởi các mẫu này bị ngăn chặn hoàn toàn hoặc một phần thì ứng suất pháp σx theo hướng trục của thanh phải xuất hiện. Kiểm tra kỹ hơn cho thấy rằng những ứng suất này có thể được coi là tỷ lệ với hàm cong φ: σx=k__φ, trong đó φ chỉ phụ thuộc vào s và k chỉ phụ thuộc vào x. Làm thế nào theo định luật Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
phải là k=E d__ϑ/dx. Ứng suất bình thường σx được gọi là ứng suất uốn tiết diện. Xét các phương trình trên tạo thành hệ lực cân bằng trong mỗi tiết diện, hệ lực do sự uốn của tiết diện.
Tổng mômen xoắn bao gồm hai phần: một trong số chúng M1=GJT__ϑ phát sinh do ứng suất cắt trong quá trình xoắn tạo ra St. Lý thuyết của Venant\ và M2 thứ hai xảy ra do sự uốn cong của mặt cắt:
Một. 13
Vì mô men M được cho dưới dạng hàm của x nên biểu thức này biểu thị phương trình vi phân cho góc xoắn ϑ. Khi phương trình này được giải, M1 và M2 có thể được tính toán, và do đó tính được tất cả ứng suất và biến dạng.
Giải pháp và ứng dụng
Khi mômen xoắn M không đổi thì nghiệm tổng quát của phương trình (13) là:
Các hằng số tích phân C1, C2 phải được xác định từ hai điều kiện biên.
a) Đầu được kẹp cứng x=0 (hình 1)
Ở đầu này là u≡0 nên dựa vào phương trình (1b) ϑ=0. Nếu thanh rất dài (αl>>1), thì C1=0 và C2= -M/GJT. Trong trường hợp thanh ngắn, sự xuất hiện ứng suất do uốn mặt cắt ngang bị ảnh hưởng bởi trạng thái ở đầu bên phải của thanh. Nếu phần bị uốn không được ngăn chặn tại vị trí đó thì sẽ có σx≡0 và dϑ/dx=0. Nó được lấy từ đây
b) Tải trọng xoắn đối xứng theo hình. 10
Ở nửa bên trái của thanh, mômen xoắn là -M/2, và ở nửa bên phải là +M/2. Trong trường hợp xoắn tự do, các phần bên trái và bên phải của phần giữa thanh sẽ bị xoắn theo hướng ngược lại, do đó tính liên tục của biến dạng sẽ không được bảo toàn. Do đó, tại vị trí x=0, toàn bộ mô men xoắn phải được truyền qua các ứng suất xảy ra do sự uốn cong của tiết diện, và do đó trong mặt cắt này M1=0 và do đó ϑ=0. Tại thời điểm này, một hệ lực tác động để đảm bảo rằng mặt cắt vẫn thẳng, ngay cả khi các mặt cắt nằm xa tâm của đường cong thanh. Ngoài ra, nếu yêu cầu ứng suất ở hai đầu thanh là σx≡0, thì sẽ có thêm một điều kiện biên cho mỗi nửa thanh, vì vậy đối với nửa bên phải là
Hình. 10
c) Mômen bên ngoài M tại một vị trí tùy ý (hình 11)
Trong trường hợp này, nghiệm ϑ cho cả hai phần của thanh phải được viết riêng nên có tổng cộng 4 hằng số C1, C2, C3, C4 xuất hiện. Ngoài ra, các mô men xoắn Ma, Mb cũng chưa được biết. Có sáu phương trình: điều kiện liên tục cho ϑ (được biểu thị bằng u) và cho dϑ/dx (được biểu thị bằng σx) tại điểm tác dụng của tải trọng, một điều kiện ở mỗi đầu của thanh (ví dụ: kẹp chặt ϑ=0 hoặc uốn không bị xáo trộn, dϑ/dx=0), điều kiện cân bằng mô men -Ma+Mb=M và cuối cùng là điều kiện các đoạn cuối không hướng vào nhau: ∫ ϑdx = 0.
Hình. 11
Lưu ý cuối cùng: việc lựa chọn mô hình xoắn phụ thuộc vào phần mở hay đóng, độ mảnh, phương pháp đỡ, vị trí đầu vào mômen và khả năng uốn tự do. Đối với một phần tử thực, phải kiểm tra các trạng thái giới hạn chịu tải và khả năng sử dụng, các chi tiết cục bộ, mối nối, độ mỏi và độ ổn định chứ không chỉ một công thức riêng biệt trong bài viết.