Levéltári szakértői tartalom: a szöveg és a képletek történeti elméleti előadást közvetítenek, és nem projektek, statikai számítások, teherbírás-ellenőrzések, meglévő elem értékelései vagy építési vagy rehabilitációs utasítások. A jelöléseket, feltételezéseket és közelítő mintákat az adott rendszerhez, anyaghoz, geometriához, peremfeltételekhez és a vonatkozó szabványokhoz képest kell ellenőrizni. A csavarodás, a stabilitás, a kifáradás, az ízületek és a meggátolt hajlítás miatti igénybevétel kiszámítását engedéllyel rendelkező mérnöknek kell elvégeznie, szükség esetén független ellenőrzéssel.
Ma Savo Kusić a fa ablakokra, fa-alumínium ablakok, egyéni ablakok, ajtó és ajánlatkérés. Ez a cikk történeti szakmai archívum marad, és nem jelent szerkezettervezési szolgáltatást.
A torzió Saint-Venant-elmélete (szabad torzió)
Differenciálegyenlet
Sl.1
Rögzítsen egy egyenes rudat az egyik végén x=0és a másik végén M torziós nyomatékkal terheljük (ábra.1). Ekkor mindegyik szakasza egy bizonyos α(x) szöggel elfordul egy, a pálca tengelyével párhuzamos vonal körül, amelyet x-tengelynek fogunk felvenni. Ha minden szakasz egyenlő egymással, akkor az x tengellyel párhuzamos bármely egyenes egy tekercsbe megy át, és az α szög arányos lesz a rögzített végtől mért távolsággal: α=ϑx, amelyből a metszet síkjában az alkatrészek elmozdulásai származnak (ábra).2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
A ϑ mennyiséget torziós szögnek nevezzük (méret: hossz-1, hosszegységenkénti forgás). A torziós szög arányos a torziós nyomatékkal M:
ϑ = M/GJT. (2)
ábra. 2
A GJT arányossági tényező, a torziós merevség egyenlő a G nyírási modulus és a JT tényező szorzatával, amely a metszet alakjának és méretének hatását reprezentálja.
A szakasznak ez az elfordulása nem az egyetlen deformációja a rúdnak. Emellett a keresztmetszet hajlítása, azaz az x-tengely irányú u elmozdulása is előfordul, ami minden keresztmetszet megfelelő pontjára azonos nagyságú, ezért csak a szelvény síkbeli koordinátáinak függvénye, egyébként pedig arányos a M terheléssel vagy a torziós szöggel: _ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Ha a fenti kifejezéseket beépítjük a megfelelő elmozdulási egyenletekbe, akkor azt kapjuk, hogy a fő normálfeszültségek nullával egyenlőek, és csak két komponensfeszültség marad: τxy és τxz:
Egy.3
A torziós probléma differenciálegyenletét az egyenletek alapján kapjuk meg (3) feltéve:
Egy.4és i4b
és megoldjuk ezeket a differenciálegyenleteket az τxy és τxz ismeretlenekre az F(y,z) feszültségfüggvény bevezetésével, amely:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Ezzel az egyenlet (4a) azonosan teljesül, és az egyenletből (4b) megkapjuk a szükséges differenciálegyenletet
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Az egyenlet egyedi megoldásához szükséges peremfeltételt abból a követelményből kapjuk, hogy a rúdburkon ne legyenek nyírófeszültségek, amiből a nyírófeszültségek konjugált jellege miatt az következik, hogy a metszetsíkban a feszültségnek nem lehet rá merőleges komponense a kontúr mentén. Innen a 3. ábra.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
ezért
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
azaz az F függvény teljes differenciáljának nullának kell lennie, azaz F=const. a kontúr mentén.
Ha a szakasznak csak egy kontúrja van, akkor egyszerűen F= rátehető0, mert a feszültségfüggvénnyel, amelynek tulajdonképpen csak a deriváltjai vagyunk érdekeltek, a tetszőleges additív állandó nem játszik szerepet. Az egynél több kontúrral rendelkező szakaszok esetében ez a probléma összetettebb.
Amint az egyenletből látható (5) tetszőleges metszéspontban a τxy és τxz nyírófeszültségek eredője nagysága megegyezik az F feszültségfüggvény gradiensével, de merőleges rá, azaz érintőiránya van a F=const egyenesre.
A differenciálegyenlet megoldásával (6)) megkapjuk a τ feszültségeket y, z és ϑ függvényében. A számítás feladata természetesen a ϑ csavarási szög és a feszültség, ezen belül is a maximális feszültség meghatározása a csavarónyomaték függvényében, ezért a JT szakasz merevségének meghatározása az egyenletből (2) és az ellenállási nyomaték WT = Mmaxτ. Ezek megszerzéséhez csak az M kifejezést kell F függvényében kifejezni:
Ennek az integrálnak mindkét összegzése, amelyet a teljes szakaszon át kell venni, részleges integrálással átalakítható. Ha például az első integrálódik először a z=const sor mentén. a kontúr y=y pontjától1 az y=y pontig2 (ábra.3), és vegye figyelembe, hogy mindkét pontban F=0, kapjuk meg
Ugyanezt az értéket kapjuk a második integrálból is, tehát
Egy.7
Sl.3
A teljes szakaszok egyéb esetei
A differenciálegyenlet (6) a potenciálelmélet inhomogén egyenlete. Ezért a torziós probléma megoldására tetszőleges keresztmetszet esetén rendelkezésre állnak a potenciálelmélet módszerei, amelyek lehetővé teszik, hogy mindig megtaláljuk. Ezek a módszerek azonban általában túl bonyolultak ahhoz, hogy a gyakorlatban felmerülő egyedi esetekre alkalmazzák őket. Ezért a következő táblázat több szakaszra vonatkozóan mutatja be az ilyen számítások eredményeit.
A kör alakúhoz közeli keresztmetszeteknél JT=F tehető4/40_Ip_, ahol F a terület, Ip pedig a szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka.
Megjegyzés a képletekkel és táblázatokkal kapcsolatban: a beolvasott képekben szereplő kifejezések és értékek történelmi forrásként kerülnek tárolásra. Az OCR-szöveg, az indexjelek és a beolvasás nem elég megbízható a számításhoz. Használat előtt minden képletet, mértékegységet, együtthatót és érvényességi területet ellenőrizni kell egy hiteles szakmai forrásban és a vonatkozó szabványban.
Analógia a membránnal
A torziós feszültségek becsléséhez jó segítséget, egyben pontos meghatározására ad eljárást a torziós feladat F feszültségfüggvénye és a membrán lehajlási keresztterhelése közötti analógia. Legyen egy edény lapos falán egy átlagos nyílás, amely egybeesik a csavarással terhelt rúd keresztmetszetével. Ha a membránt ráfeszítjük erre a nyílásra, és az edényben kis p túlnyomás keletkezik, a membrán kifelé dudorodik, így a ξ(y,z) elhajlásai kielégítik a differenciálegyenletet.
ahol N a kapilláris erők által okozott felületi feszültség a membránban (méretek: egységnyi hosszra eső erő). Ez az egyenlet egybeesik a (6), és a peremfeltétel ξ=0megegyezik a feszültségfüggvényével. Ezzel a tükörrel a membránnal így az F(y,z) feszültségfüggvényt kaphatjuk, és így megoldhatjuk a torziós problémát. A τ feszültség a membrán y-z-síkhoz viszonyított lejtésének felel meg, így az a legmeredekebb hely, ahol a torziónak kitett rúd a legnagyobb nyírófeszültséggel rendelkezik.
Sl.4
Sl.5
Ez a membráneljárás különösen alkalmas vékonyfalú metszetek hozzávetőleges mintázatának meghatározására. Ha például az I-szelvényt az 1. ábra szerint osztjuk fel.4három téglalapon, és mindegyiknél külön-külön végezzük el a membránnal való analógiát, a kapott kiemelkedések térfogatainak összege csak valamivel lesz kisebb, mint a ténylegesen a feszültségfüggvénynek megfelelő térfogat. Ezért amikor a vastagságok b1 és b2 kicsi, kb
JT =2JT1+ JT2,
ahol JT1 és JT2 táblázat alapján kiszámítható egyes téglalapok merevségi tényezői1. Jobb megközelítés érhető el, ha a JT-t a bordához helyezzük2 = a2b32/3 tehát, ha a bordát egy nagyon megnyúlt téglalap részének tekintjük. Még pontosabb értéket kapunk a Tálca és Március\ szerint
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
ahol D a legnagyobb kör átmérője, amely az 1. ábrán látható módon van beírva.4, és α az ábráról vehető át.5. A T-szelvény esetében hasonló módon kapjuk meg
JT = JT1+JT2+ α D4,
ahol JT2 a táblázat szerint számított érték fele1_a_= számára2_a2_, b=b2. L-szelvényekhez (ábra.6) hasonló ahhoz
JT = JT1+ JT2+ β D4
ahol JT1 mert a vastagabb kart közvetlenül az asztalról veszik1, míg JT2 a vékony lábra úgy számítjuk, mint a T-szelvénynél, a β pedig az 1. ábrából származik.7.
ábra. 6
Sl.7
A feszültség kiszámításakor a torziós nyomatékot alkotó téglalapokra osztjuk: a karimákra eső részre M1=M JT2/JT; a nyírófeszültséget ezután minden téglalap hosszabbik oldalának felezőpontjában számítjuk ki a táblázat alapján1. Ezen feszültségek közül a legnagyobb nem feltétlenül a metszetben megjelenő legnagyobb nyírófeszültség. Ugyanis, ha a beesési szög nincs lekerekítve, akkor azon a helyen τ=∞-t kapunk, így nagyon kis lekerekítési sugár esetén itt várható a legnagyobb nyírófeszültség.
Műszaki megjegyzés: az idealizált hegyesszög matematikai szingularitása nem ad engedélyt arra, hogy pusztán ezzel a hozzávetőleges mintával megbecsüljük a tényleges részleteket. A tényleges lekerekítési geometria, tűrések, plaszticitás, hegesztési varratok, maradó feszültségek, helyi stabilitás és kifáradás megfelelő modellezést és szakértői ellenőrzést igényel.
Egyoldali szög esetén, amelynek oldalvastagsága t a Trefftz\ szerint, az r átmérő kerekítésén van:
ahol τ0 jelölt maximális feszültség, amelyet minden egyes lábra az itt leírt eljárás alapján számítottak ki. Nagyobb lekerekítési sugarak esetén τ= használható2__τ0.
Vékonyfalú csövek (Bradt minták)
A vékonyfalú csövekben a kidudorodó membrán alakja az 1. ábrán látható.8, amely a cső belsejében lévő üreges tér feletti síkból és egy azt körülvevő lejtős felületből áll, amely a csőfal tényleges szakasza felett fekszik; ennek a ferde felületnek meredekebbnek kell lennie, ha a csőfalak a megfelelő helyen vékonyabbak. Ebben az esetben a nyírófeszültségek meglehetősen egyenletesen oszlanak el a falak vastagságában, és fordítottan arányosak a falak vastagságával, azaz a nyíróerő T = τt nem változik a szelvény kerülete mentén.
Sl. 8
A t_∙ds_ felületelem megkapja a torziós nyomaték egy részét
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
tehát a teljes pillanat az
Egy.8
ábrán vonalakkal és pontokkal jelölt középső vonal fedi az FR felületet.8. Innen szerezhető be
Egy.9- Az első Bredt\ minta
A torziós merevséget legegyszerűbben akkor lehet elérni, ha az alakváltozási munka egyrészt torziós nyomatékon és csavarási szögön, másrészt nyírófeszültségeken keresztül fejeződik ki. Ily módon egy l hosszúságú rúdelemre kapjuk
tehát bevezetjük τ értékét a () egyenlet szerint8),
vagyis összehasonlítva a (2):
Egy.10
Ha a falak vastagsága körös-körül azonos, akkor egyszerű (2. Bredt mintája):
Egy.11
Normál feszültségek a torzióban a szakasz hajlítása miatt
Alapfogalmak és differenciálegyenlet
Alkatrészelmozdulások u, egyenlet (1b) meghatározza a szakaszok görbületét a síkjaikból. Ha a torziós nyomaték állandó, ez a hajlítás minden szakaszban azonos, és a normál feszültségek σx nem jelennek meg.
Sok esetben a keresztmetszet görbülete, aminek a _St. Venant elmélete nem lehetséges. Ha egy keresztmetszetben a torziós nyomaték hirtelen megváltozik, akkor a keresztmetszet mindkét oldalán eltérő nagyságú hajlítás lépne fel, és az alakváltozás folytonossága megzavarná. A rúd egyik vége úgy rögzíthető, hogy a szakasz elhajlása ezen a ponton teljesen kizárt. Ilyen esetekben módosítani kell _St. Venant elméletei. A rúdban a rúd tengelye irányában σx járulékos feszültségek és T kiegészítő nyíróerő (nyírófeszültségek T/t) jelennek meg, amelyek azon a szakaszon a legnagyobbak, ahol az alakváltozás folytonossága megszakad, és amelyek az ettől a szakasztól való távolsággal exponenciálisan csökkennek. A tömör rudak és csövek esetében ez az elmélet bonyolult, és a kiegészítő feszültségek olyan gyorsan csökkennek, hogy meghatározásuk a legtöbb esetben nem éri meg. A vékony falú, nyitott profilú rudaknál ez a korrekció nagy jelentőséggel bír, és viszonylag könnyen kiszámítható.
Sl.9
Sl.9azt az egyenest mutatja, amely mentén a fal középső felülete és a metszetsík metszi egymást (a szelvény középvonala). O két szomszédos szakasz relatív forgásközéppontja. Ha távolságuk dx, akkor a torziós szög ϑ dx, tehát a középvonal egy tetszőleges pontja u ϑ dx elmozduláson megy keresztül. Ennek az elmozdulásnak van egy rt ϑ dx komponense a szelvényt érintő irányban, és a fal középső felületének elemének elcsúszása (figyelembe véve, hogy _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Mivel a nyírófeszültség a fal középső felületén nulla, ennek is γ=0, szóval ezért
Ez a minta három tetszőleges paramétert tartalmaz: az origót, amelyből a s ívhosszt számítjuk, és a relatív forgásközéppont O koordinátáit, amelyektől az rt függ. A kezdőpont, ahonnan a s ívhossz kiszámításra kerül, úgy választható, hogy az átlagos görbületi érték nulla legyen:
és az O középpont koordinátái úgy határozhatók meg, hogy a szakasz hajlításából adódó nyomatékok nullák:
Megmutatható, hogy az így meghatározott forgásközép_ egybeesik az itt leírva és más módon definiálva.
Ha az ezen minták által leírt szakasz meghajlását teljesen vagy részben megakadályozzuk, akkor a rúd tengelye irányában σx normál feszültségeknek kell megjelenniük. A közelebbi vizsgálat azt mutatja, hogy ezek a feszültségek arányosak a φ: σx=k__φ görbületi függvénnyel, ahol φ csak s-tól, k pedig x-tól függ. Hooke törvénye szerint:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
k=E d__ϑ/dx kell legyen. A σx normál feszültségeket szakaszhajlító feszültségeknek nevezzük. A fenti egyenleteket figyelembe véve mindegyik szakaszban egyensúlyi erőrendszert alkotnak, a szakasz hajlításából adódó erőrendszert.
A teljes nyomaték két részből áll: az egyik M1=GJT__ϑ a _St. által adott torziós nyírófeszültségek miatt keletkezik. Venant elmélete, a másik pedig M2 a szakasz elhajlása miatt következik be:
Egy.13
Mivel az M pillanat x függvényeként van megadva, ez a kifejezés a ϑ torziós szög differenciálegyenlete. Ha ez az egyenlet megoldódott, M kiszámítható1 és M2, és így minden feszültség és feszültség.
Megoldás és alkalmazások
Ha a M torziós nyomaték állandó, akkor a (13) a következő:
Integrációs állandók C1, C2 két peremfeltételből kell meghatározni.
a) Merevre szorított vége x=0(füge.1)
Ezen a végén u≡0, tehát az egyenlet alapján (1b) ϑ=0. Ha a rúd nagyon hosszú (αl>>1), majd C1=0és C2= -M/GJT. A rövid rudaknál a szelvény hajlítása miatti igénybevétel megjelenését befolyásolja a rúd jobb végének állapota. Ha a szakasz elhajlását ezen a helyen nem akadályozzák meg, akkor σx≡0és dϑ/dx=0. Innen szerezhető be
b) Szimmetrikus torziós terhelés az ábra szerint. 10
A rúd bal felén a torziós nyomaték -M/2, a jobb oldalon pedig +M/2. Szabad csavarodás esetén a rúd közepétől balra és jobbra eső szakaszok ellentétes irányba csavarodnának el, ezért nem maradna meg az alakváltozás folytonossága. Ezért a x=0 helyen a teljes csavarónyomatékot át kell vinni a szelvény hajlítása miatt fellépő feszültségeken, ezért ezen a szakaszon M1=0 és ezért ϑ=0. Ezen a ponton egy erőrendszer biztosítja, hogy a szakasz egyenes maradjon, még akkor is, ha a rúd középpontjától távolabb eső szakaszok görbülnek. Ha ezen felül megköveteljük, hogy a rúd végein a feszültségek σx≡0 legyenek, akkor a rúd minden felére még egy peremfeltételt kapunk, tehát a jobb felénél ez
ábra. 10
c) M külső nyomaték tetszőleges helyen (11 ábra)
Ebben az esetben a ϑ megoldást a rúd mindkét részére külön kell írni, így összesen négy konstans C1, C2, C3, C4 jelenik meg. Emellett a Ma, Mb torziós nyomatékok sem ismertek. Hat egyenlet áll rendelkezésre: folytonossági feltétel a ϑ-hoz (kifejezve u) és a dϑ/dx-hez (kifejezve σx-vel) a terhelési hatás pontjában, egy feltétel a rúd mindkét végén (pl. merev becsípés ϑ=0, megzavart, vagy hajlítás, ill. dϑ/dx=0), nyomatékegyensúlyi feltétel -Ma+Mb=M és végül az a feltétel, hogy a végszakaszok ne forduljanak egymás felé: ∫ ϑdx = 0.
Sl.11
Utolsó megjegyzés: A torziós modell kiválasztása függ a nyitott vagy zárt szakasztól, a karcsúságtól, a megtámasztás módjától, a nyomatékbevitel helyétől és a szabad hajlítás lehetőségétől. Valós elemnél a teherbírási és használhatósági határállapotokat, a lokális részleteket, illesztéseket, a kifáradást és a stabilitást kell ellenőrizni, nem csak egy elszigetelt képletet a cikkből.