Conținutul expert arhivistic: textul și formulele transmit o prezentare teoretică istorică și nu reprezintă un proiect, un calcul static, verificarea capacității portante, evaluarea unui element existent sau instrucțiuni de construcție sau reabilitare. Denumirile, ipotezele și modelele aproximative trebuie verificate în raport cu sistemul specific, materialul, geometria, condițiile la limită și standardele aplicabile. Calculul torsiunei, stabilității, oboselii, îmbinărilor și solicitărilor datorate îndoirii prevenite ar trebui să fie efectuat de un inginer autorizat, cu control independent atunci când este necesar.
Astăzi, Savo Kusić se concentrează pe ferestre din lemn, ferestre lemn-aluminiu, ferestre personalizate, usa și cereri de ofertă. Acest articol rămâne ca o arhivă profesională istorică și nu reprezintă un serviciu de proiectare structurală.
Teoria de torsiune Saint-Venant (torsiune liberă)
Ecuație diferențială
Sl.1
Să se fixeze o tijă dreaptă la unul dintre capete x=0 și să fie încărcată la celălalt capăt cu un moment de torsiune M (fig. 1). Apoi fiecare dintre secțiunile sale se rotește cu un anumit unghi α(x) în jurul unei anumite linii paralele cu axa bastonului, pe care o vom adopta ca axa x. Dacă toate secțiunile sunt egale între ele, orice linie dreaptă paralelă cu axa x va trece într-o bobină, iar unghiul α va fi proporțional cu distanța de la capătul fix: α=ϑx, din care provin deplasările componente în planul secțiunii (fig. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1o)
Mărimea ϑ se numește unghi de torsiune (dimensiune: lungime-1, rotație pe unitate de lungime). Unghiul de torsiune este proporțional cu momentul de torsiune M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
Factorul de proporționalitate GJT, rigiditatea la torsiune, este egal cu produsul dintre modulul de forfecare G și factorul JT, care reprezintă efectul formei și dimensiunii secțiunii.
Această rotație a secțiunii nu este singura deformare a tijei. În plus, există și îndoirea secțiunii transversale, adică la deplasarea u în direcția axei x, care are aceeași mărime pentru punctele corespunzătoare ale tuturor secțiunilor transversale și, prin urmare, este doar o funcție a coordonatelor din planul secțiunii și, altfel, este proporțională cu sarcina M sau unghiul de torsiune _ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Dacă expresiile de mai sus sunt introduse în ecuațiile de deplasare corespunzătoare, se obține că tensiunile normale principale sunt egale cu zero, rămânând doar două tensiuni componente τxy și τxz:
Unul.3
Ecuația diferențială a problemei de torsiune se obține pe baza ecuațiilor (3) punând:
Unul.4si eu4b
și rezolvarea acestor ecuații diferențiale pentru necunoscutele τxy și τxz prin introducerea funcției de stres F(y,z) care:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Cu aceasta, ecuația (4a) satisfăcut în mod identic și din ecuația (4b) se obține ecuația diferențială necesară
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Condiția la limită necesară pentru soluția unică a acestei ecuații se obține din cerința ca pe anvelopa tijei să nu existe solicitări de forfecare, din care, datorită naturii conjugate a tensiunilor tăietoare, rezultă că efortul din planul de secțiune nu trebuie să aibă o componentă perpendiculară pe aceasta de-a lungul conturului. De aici, fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
prin urmare
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
adică diferența totală a funcției F trebuie să fie zero, adică trebuie să fie F=const. de-a lungul conturului.
Dacă secțiunea are un singur contur, se poate pune pur și simplu F= pe ea0, deoarece cu funcția de tensiune, din care de fapt ne interesează doar derivate, constanta aditivă arbitrară nu joacă un rol. Pentru secțiunile care au mai mult de un contur, această problemă este mai complexă.
După cum se vede din ecuația (5) rezultanta tensiunilor de forfecare τxy și τxz la un punct de intersecție arbitrar este egală ca mărime cu gradientul funcției de stres F, dar este perpendiculară pe aceasta, adică are o direcție tangentă la dreapta F=const.
Rezolvând ecuația diferențială (6)) se obțin tensiunile τ ca funcții ale lui y, z și ϑ. Sarcina calculului este, desigur, determinarea unghiului de torsiune ϑ și a tensiunii, în special a tensiunii maxime în funcție de momentul de torsiune, prin urmare, determinarea rigidității secțiunii JT din ecuație (2) și cuplul de rezistență WT = Mmaxτ. Pentru a le obține, este necesar doar să exprimați M în funcție de F:
Ambele însumări ale acestei integrale, care ar trebui preluate pe întreaga secțiune, pot fi transformate prin integrare parțială. Dacă, de exemplu, primul dintre ele se integrează primul de-a lungul liniei z=const. din punctul de pe conturul y=y1 până la punctul y=y2 (smochin.3) și luați în considerare că în ambele puncte F=0, se obține
Aceeași valoare se obține din a doua integrală, astfel încât
Unul.7
Sl.3
Alte cazuri de secțiuni complete
Ecuația diferențială (6) este ecuația neomogenă a teoriei potențialului. Prin urmare, pentru rezolvarea problemei de torsiune în cazul unei secțiuni transversale arbitrare, sunt disponibile metodele teoriei potențialului, care permit găsirea acesteia întotdeauna. Aceste metode, însă, sunt în general prea complexe pentru a fi aplicate cazurilor individuale care apar în practică. Prin urmare, următorul tabel prezintă rezultatele unor astfel de calcule pentru mai multe secțiuni.
Pentru secțiuni transversale apropiate de circulare, se poate pune JT=F_4/40_Ip, unde F este aria și Ip este momentul polar de inerție al secțiunii.
Notă despre formule și tabele: expresiile și valorile din imaginile scanate sunt stocate ca sursă istorică. Textul OCR, marcajele de index și scanarea nu sunt suficient de fiabile pentru calcul. Înainte de utilizare, fiecare formulă, unitate, coeficient și zonă de valabilitate trebuie verificată într-o sursă profesională autorizată și standard aplicabil.
Analogie cu membrana
Un bun ajutor pentru estimarea tensiunilor de torsiune și, în același timp, o procedură pentru determinarea lor exactă este oferită de analogia dintre funcția de efort F a problemei de torsiune și sarcina transversală de deformare a membranei. Să existe o deschidere medie pe peretele plat al unui vas care coincide cu secțiunea transversală a unei tije încărcate la torsiune. Când membrana este întinsă peste această deschidere și se produce un mic exces de presiune p în vas, membrana se umflă spre exterior, astfel încât deviațiile sale ξ(y,z) satisfac ecuația diferențială
unde N este tensiunea superficială a membranei cauzată de forțele capilare (dimensiuni: forță pe unitatea de lungime). Această ecuație coincide cu ecuația (6), și condiția la limită ξ=0este aceeași cu cea a funcției de tensiune. În acest fel, funcția de tensiune F(y,z) poate fi obținută folosind această oglindă cu membrana și astfel se rezolvă problema de torsiune. Tensiunea τ corespunde pantei membranei în raport cu planul y-z, deci locul cel mai abrupt este cel în care tija expusă la torsiune are cea mai mare efort de forfecare.
Sl.4
Sl.5
Această procedură cu membrană este potrivită în special pentru obținerea de modele aproximative pentru secțiuni cu pereți subțiri. Când, de exemplu, secțiunea I este împărțită conform fig.4pe trei dreptunghiuri și pentru fiecare dintre ele analogia cu membrana se realizează separat, suma volumelor proeminențelor rezultate va fi doar puțin mai mică decât volumul care corespunde de fapt funcției de tensiune. Prin urmare, când grosimile sunt b1 și b2 mic, aproximativ
JT =2JT1+ JT2,
unde JT1 și JT2 factorii de rigiditate ai dreptunghiurilor individuale care pot fi calculați pe baza tabelului1. O abordare mai bună se obține atunci când JT este plasat pentru coastă2 = a2b32/3, prin urmare, atunci când nervura este considerată ca parte a unui dreptunghi foarte alungit. O valoare și mai precisă se obține conform Trayer și March\ din
JT =2JT1+1/3o2b32+2 α D4,
unde D este diametrul celui mai mare cerc înscris așa cum se arată în fig.4, iar α poate fi luată din fig.5. Pentru secțiunea T se obține în mod similar
JT = JT1 +JT2 + α D4,
unde JT2 este jumătate din valoarea calculată conform tabelului 1 pentru a=2 a2, b=b2. Pentru secțiunile L (fig. 6) este similar cu cea
JT = JT1 + JT2 + β D4
unde JT1 pentru brațul mai gros este luat direct din tabelul 1, în timp ce JT2 pentru brațul mai subțire este calculat ca pentru secțiunea T, iar β este luat din fig. 7.
⟦SKPH35)
Fig. 6
Sl.7
La calculul tensiunii, momentul de torsiune se împarte în dreptunghiuri constitutive: piesa care cade pe flanșe M1=M JT2/JT; efortul de forfecare se calculează apoi la mijlocul laturii mai lungi a fiecărui dreptunghi pe baza tabelului 1. Cea mai mare dintre aceste tensiuni nu trebuie să fie cea mai mare efort de forfecare care apare în secțiune. Și anume, dacă unghiul de incidență nu este rotunjit, în acel loc se obține τ=∞, astfel încât pentru o rază de rotunjire foarte mică, se poate aștepta aici cea mai mare efort de forfecare.
Notă de inginerie: singularitatea matematică a unghiului acut idealizat nu este o licență pentru a estima detaliul real doar prin acest model aproximativ. Geometria reală de rotunjire, toleranțele, plasticitatea, sudurile, tensiunile reziduale, stabilitatea locală și oboseala necesită modelare adecvată și verificare de specialitate.
Pentru un unghi unilateral a cărui grosime a laturii este t conform Trefftz\ este pe rotunjirea diametrului r:
unde cu τ0 tensiune maximă marcată calculată pentru fiecare picior individual pe baza procedurii descrise aici. Pentru razele de rotunjire mai mari, se poate adopta τ=2__τ0.
Țevi cu pereți subțiri (modele Bradt)
În țevile cu pereți subțiri, membrana bombată are forma prezentată în fig.8, care constă dintr-un plan deasupra spațiului gol din interiorul conductei și o suprafață înclinată care o înconjoară și se află deasupra secțiunii efective a peretelui conductei; această suprafață înclinată trebuie să fie mai abruptă dacă pereții țevii sunt mai subțiri în locul potrivit. În acest caz, eforturile de forfecare sunt distribuite destul de uniform pe grosimea pereților și sunt invers proporționale cu grosimea pereților, adică forța de forfecare T = τt nu se modifică de-a lungul circumferinței secțiunii.
Sl. 8
Elementul de suprafață t_∙ds_ primește o parte din momentul de torsiune
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
deci momentul total este
Unul.8
unde suprafața FR este acoperită de linia de mijloc marcată prin linii și puncte în fig.8. Se obține de aici
Unul.9- Primul model Bredt\
Rigiditatea la torsiune se obține cel mai simplu atunci când lucrul de deformare este exprimat pe de o parte prin momentul de torsiune și unghiul de torsiune și pe de altă parte prin tensiuni tăietoare. In acest fel, se obtine pentru un element de tija de lungime l
deci, introducând valoarea pentru τ conform ecuației (8),
adică prin comparație cu ecuația (2):
Unul.10
Dacă grosimea pereților este aceeași peste tot, atunci este simplu (2. Modelul lui Bredt):
Unul.11
Tensiuni normale la torsiune datorate încovoierii secțiunii
Termeni de bază și ecuație diferențială
Deplasările componente u, ecuația (1b), determină curbura secțiunilor din planurile lor. Când momentul de torsiune este constant, această încovoiere este aceeași în toate secțiunile și solicitările normale σx nu apar.
În multe cazuri, curbura secțiunii transversale, care ar trebui să apară pe baza _St. Teoria lui Venant nu este posibilă. Dacă momentul de torsiune se modifică brusc într-o secțiune transversală, ar avea loc încovoiere de diferite mărimi pe ambele părți ale secțiunii transversale, iar continuitatea deformației ar fi perturbată. Un capăt al tijei poate fi prins astfel încât îndoirea secțiunii să fie complet exclusă în acel punct. În astfel de cazuri, ar trebui făcută o modificare _Sf. teoriile lui Venant. În tijă apar tensiuni suplimentare σx pe direcția axei tijei și forța tăietoare suplimentară T (tensiuni de forfecare T/t), care sunt cele mai mari în secțiunea în care se întrerupe continuitatea deformației și care scad exponențial cu distanța față de această secțiune. În cazul tijelor și tuburilor solide, această teorie este complexă, iar tensiunile suplimentare scad atât de repede încât determinarea lor nu merită în majoritatea cazurilor. Pentru tijele cu pereți subțiri, profil deschis, această corecție este de mare importanță și poate fi calculată relativ ușor.
Sl.9
Sl.9arată linia de-a lungul căreia se intersectează suprafața de mijloc a peretelui și planul de secțiune (linia de mijloc a secțiunii). O este centrul de rotație relativă a două secțiuni adiacente. Dacă distanța lor este dx, unghiul de torsiune este ϑ dx, deci un punct arbitrar al liniei mediane suferă o deplasare u ϑ dx. Această deplasare are o componentă rt ϑ dx în direcția tangentă la secțiune și este alunecarea elementului din suprafața mijlocie a peretelui (ținând cont de faptul că _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Deoarece efortul de forfecare în suprafața mijlocie a peretelui este zero, trebuie să fie și γ=0, deci de aceea
Acest model conține trei parametri arbitrari: originea de la care se calculează lungimea arcului s și coordonatele centrului de rotație relativă O, de care depinde rt. Punctul de pornire de la care se calculează lungimea arcului s poate fi ales astfel încât valoarea medie a curburii să fie zero:
iar coordonatele centrului O pot fi determinate astfel încât momentele datorate încovoirii secțiunii să fie zero:
Se poate arăta că centrul de rotație astfel determinat coincide cu centrul de forfecare care este aici descrise și definite în alt mod.
Dacă îndoirea secțiunii descrise de aceste modele este împiedicată complet sau parțial, trebuie să apară tensiuni normale σx în direcția axei tijei. O examinare mai atentă arată că aceste tensiuni pot fi considerate proporționale cu funcția de curbură φ: σx=k__φ, unde φ depinde numai de s și k numai de x. Conform legii lui Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
trebuie să fie k=E d__ϑ/dx. Tensiunile normale σx se numesc tensiuni la încovoiere în secțiune. Luând în considerare ecuațiile de mai sus, ele formează un sistem de forțe de echilibru în fiecare secțiune, un sistem de forțe datorat îndoirii secțiunii.
Cuplul total este format din două părți: una dintre ele M1=GJT__ϑ apare din cauza tensiunilor tăietoare de torsiune date de _St. Teoria lui Venant, iar celălalt M2 apare din cauza îndoirii secțiunii:
Unul.13
Deoarece momentul M este dat în funcție de x, această expresie reprezintă o ecuație diferențială pentru unghiul de torsiune ϑ. Odată rezolvată această ecuație, se poate calcula M1 și M2, și astfel toate tensiunile și tensiunile.
Soluție și aplicații
Când momentul de torsiune M este constant, soluția generală a ecuației (13) este:
Constante de integrare C1, C2 trebuie determinată din două condiții la limită.
a) Capătul prins rigid x=0(smochin.1)
La acest capăt este u≡0, deci pe baza ecuației (1b) ϑ=0. Dacă tija este foarte lungă (αl>>1), apoi C1=0și C2= -M/GJT. În cazul tijelor scurte, apariția tensiunii din cauza îndoirii secțiunii este afectată de starea de la capătul drept al tijei. Dacă îndoirea secțiunii nu este împiedicată în acel loc, va exista σx≡0și dϑ/dx=0. Se obține de aici
b) Sarcina de torsiune simetrică conform fig.10
Pe jumătatea stângă a tijei, momentul de torsiune este -M/2, iar în dreapta +M/2. În cazul torsiunii libere, secțiunile din stânga și dreapta mijlocului tijei ar fi răsucite în sens opus, prin urmare nu s-ar păstra continuitatea deformării. Prin urmare, la locul x=0intregul moment de torsiune trebuie transferat prin tensiunile care apar ca urmare a incovoirii sectiunii transversale, si deci in aceasta sectiune transversala M1=0şi deci ϑ=0. În acest moment, un sistem de forțe acționează pentru a se asigura că secțiunea rămâne dreaptă, chiar dacă secțiunile care se află mai departe de centrul curbei tijei. Dacă, în plus, se cere ca la capetele tijei tensiunile să fie σx≡0, se mai obține o condiție limită pentru fiecare jumătate a tijei, deci este pentru jumătatea dreaptă
Fig. 10
c) Momentul extern M într-un loc arbitrar (fig.11)
În acest caz, soluția ϑ pentru ambele părți ale tijei trebuie scrisă separat, astfel încât apar un total de patru constante C1, C2, C3, C4. În plus, momentele de torsiune Ma, Mb sunt, de asemenea, necunoscute. Sunt disponibile șase ecuații: o condiție de continuitate pentru ϑ (exprimată prin u) și pentru dϑ/dx (exprimată prin σx) la punctul de încărcare, o condiție la fiecare capăt al tijei (de exemplu, prindere rigidă ϑ=0, sau îndoire netulburată, dϑ/dx=0), condiția de echilibru pe momente -Ma+Mb=M și în final condiția ca secțiunile de capăt să nu se rotească unele față de altele: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Notă finală: alegerea modelului de torsiune depinde de secțiunea deschisă sau închisă, zveltețe, metoda de sprijin, locul introducerii momentului și posibilitatea de îndoire liberă. Pentru un element real trebuie verificate stările limită portante și de funcționare, detaliile locale, îmbinările, oboseala și stabilitatea, nu doar o formulă izolată din articol.