檔案專家內容： 文本和公式傳達了歷史理論表述，而不是項目、靜態計算、承載能力檢查、現有元素的評估或施工或修復說明。名稱、假設和近似模式必須根據特定係統、材料、幾何形狀、邊界條件和適用標準進行檢查。扭轉、穩定性、疲勞、接頭和防止彎曲引起的應力的計算應由有執照的工程師進行，並在需要時進行獨立控制。
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聖維南扭轉理論（自由扭轉）
微分方程
SL。1
讓一根直桿固定在其一端_x_=0並在另一端加載扭矩_M_（圖1）。1）。然後它的每個部分圍繞著平行於棒軸的特定線旋轉一定的角度 α(x)，我們將採用該線作為 x\ 軸。如果所有截面都彼此相等，則任何平行於 x 軸的直線都會穿過線圈，且角度_α_將與固定端的距離成正比：α=ϑx，由此產生截面平面中的分量位移（圖 1）。2）：
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = _ϑ x y._ (1一個）
數 ϑ 稱為扭轉角（量綱：長度-1，每單位長度的旋轉）。扭轉角與扭力_M_成正比：
ϑ = M/GJT。 （2）
圖2
比例係數_GJT_（扭轉剛度）等於剪切模量_G_和係數_JT_的乘積，它代表截面形狀和尺寸的影響。
截面的旋轉並不是桿的唯一變形。此外，還存在橫截面的彎曲，即 x\ 軸方向上的位移 u，其對於所有橫截面的對應點具有相同的大小，因此僅是橫截面平面中坐標的函數，並且與載荷 M 或扭轉角 ϑ 成正比：
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0.（1b)
如果將上式代入對應的位移方程，則主法向應力為零，只剩下兩個分應力_τxy_和_τxz_：
一。3
扭轉問題的微分方程式根據下列方程式得到：3) 投入：
一。4我和4乙
并通过引入应力函数 F(y,z) 来求解未知数 τxy 和 τxz 的微分方程：
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
同样满足式(4a)，由式(4b)得到所需的微分方程
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
此方程式唯一解所需的邊界條件是根據桿包絡面上不存在剪應力的要求而獲得的，由此，由於剪應力的共軛性質，得出結論，橫截面中的應力不得具有沿輪廓垂直於其的分量。從這裡開始，圖。 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
因此
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
即。函数 F 的全微分必须为零，即它必须为 F=const。沿著輪廓。
如果截面只有一個輪廓，則可以簡單地在其上加上_F_=0，因為對於電壓函數，我們實際上只對導數感興趣，任意加性常數不起作用。对于具有多个轮廓的截面，这个问题更加复杂。
從方程式(5)可以看出，任意交點處的剪應力_τxy_和_τxz_的合力與應力函數_F_的梯度大小相等，但垂直於它，即與直線_F_=const有切線方向。
透過求解微分方程（6)) 得到作為 y、z 和 ϑ 函數的電壓 τ。當然，計算的任務是確定扭轉角 ϑ 和應力，特別是作為扭轉力矩函數的最大應力，因此，根據方程式 (2) 和阻力矩 WT = Mmaxτ。要獲得這些，只需將 M 表示為 F 的函數：
此積分的兩個求和應在整個截面上進行，並且可以透過部分積分進行變換。例如，如果它們中的第一個先沿著線 z=const 積分。從輪廓上的點 y=y1 到點 y=y2 （如圖。3）並考慮到這兩點 F=0，得到
第二次積分得到相同的值，因此
一。7
SL。3
全節的其他情況
微分方程（6) 是勢論的非齊次方程式。因此，對於任意截面情況下的扭轉問題的求解，可用勢論的方法，使其總是能找到。然而，這些方法通常過於複雜，無法應用於實務中出現的個別案例。因此，下表顯示了幾個部分的此類計算結果。
對於接近圓形的橫截面，可以輸入_JT_=F_4/40_Ip，其中 F 是面積，Ip 是截面的極慣性矩。
**公式和表格注意事項：**掃描影像中的表達式和值儲存為歷史來源。 OCR 文字、索引標記和掃描對於計算來說不夠可靠。使用前，應在權威專業來源和適用標準中檢查每個公式、單位、係數和有效範圍。
與膜的類比
透過扭轉問題的應力函數 F 與膜的偏轉橫向載荷之間的類比，可以很好地幫助估計扭轉應力，同時提供準確確定扭轉應力的程序。讓容器的平坦壁上有一個平均開口，該開口與受扭轉負載的桿的橫截面重合。當膜在該開口上拉伸並且在容器中產生小的超壓 p 時，膜向外凸出，因此其偏轉 xi(y,z) 滿足微分方程
其中 N 是由毛細管力引起的膜表面張力（尺寸：每單位長度的力）。此方程式與方程式 (6)，邊界條件 xi=0與電壓函數相同。這樣，利用有薄膜的鏡子就可以得到電壓函數_F(y,z)_，從而解決扭轉問題。應力_τ_對應於膜相對於_y-z_平面的斜率，因此最陡的地方是受到扭轉的桿具有最高剪切應力的地方。
圖4
SL。5
此膜程式特別適合用於獲得薄壁截面的近似圖案。例如，當依照圖 1 劃分 I 形截面時。4在三個矩形上，並且對於每個矩形，分別與膜進行類比，所得突起的體積總和將僅略小於實際對應於電壓函數的體積。因此，當厚度為 b1_和_b2 小，大約
JT =2傑特1+ 傑通2,
其中_JT1_和_JT2_ 可以根據表格計算出各矩形的剛度係數1。當為肋骨放置 JT 時，可以獲得更好的方法2 = a2乙32/3，因此，當肋被視為非常細長的矩形的一部分。根據 Trayer 和 March\ 獲得更準確的值
JT =2傑特1+1/3一個2乙32+2 α D4,
其中 D 是最大內接圓的直徑，如圖 1 所示。4，和 α 可以從圖 2 中取得。5。对于T型截面，类似地得到
JT=JT1+JT2+ α D4,
其中_JT2_ 以表計算值的一半1對於 a=2_一個2_, b=b2。對於 L 型截面（圖 1）6）與此類似
JT=JT1+ 傑通2+ β D4
其中_JT1_ 較粗的手臂直接取自表格1，而_JT2細腿的 _ 計算方法與 T 形截面相同，β 取自圖 2。7。
圖。 6
SL。 7
計算應力時，扭矩分成組成矩形：落在法蘭上的部分_M1_=M JT2/JT；然後根據表格計算每個矩形長邊中點處的剪應力1。這些應力中最大的不一定是截面中出現的最大剪應力。也就是說，如果入射角不是圓角的，則在該位置獲得_τ_=∞，因此對於非常小的圓角半徑，可以預期此處具有最高的剪切應力。
工程註： 理想化銳角的數學奇點並不能單獨透過這種近似模式來估計實際細節。實際的倒圓幾何形狀、公差、塑性、焊接、殘餘應力、局部穩定性和疲勞需要適當的建模和專家驗證。
對於邊厚度為 t 的單邊角，依 Trefftz\ 位於直徑 r 的捨入位置：
其中 τ0 根據此處所述的程序為每個單獨的支路計算出標記的最大電壓。對於較大的圓角半徑，可採用_τ=2__τ0_。
薄壁管路（Bradt 模式）
在薄壁管道中，膨脹膜具有如圖1所示的形狀。8，由管內中空空間上方的平面和圍繞該平面且位於管壁有效截面上方的斜面組成；如果適當位置的管壁較薄，則該斜面必須更陡。在這種情況下，剪應力在壁的厚度上相當均勻地分佈，並且與壁的厚度成反比，即_剪力_ T = τt 沿截面的圓週不發生變化。
SL。 8
表面單元_t__∙ds_接收部分扭矩
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
所以總的時刻是
一。8
其中 FR 表面被圖中用線和點標記的中線覆蓋。8。它是從這裡獲得的
一。9- 第一個 Bredt\ 模式
當變形功一方面透過扭矩和扭轉角表示，另一方面透過剪應力表示時，最簡單地獲得扭轉剛度。這樣，就可以得到長度為_l_的桿單元
因此，根據方程式 (8),
也就是說，透過與方程式（2）：
一。10
如果周圍牆壁的厚度都相同，那麼就很簡單（2。 Bredt 的模式）：
一。11
由於截面彎曲而產生的扭轉正應力
基本術語和微分方程
分量位移 u，方程式 (1b)，求截面相對於其平面的曲率。當扭矩恆定時，所有截面的彎曲都是相同的，並且不會出現正應力_σx_。
在許多情況下，橫截面的曲率應基於 St 產生。維南特的理論是不可能的。如果某一截面上的扭矩突然變化，截面兩側就會出現不同程度的彎曲，變形的連續性就會受到干擾。桿的一端可以夾緊，使得在該點處完全排除截面的彎曲。在這種情況下，應進行修正_St。維南特的理論。桿中出現桿軸線方向的附加應力_σx_和附加剪力_T（剪應力_T/t_），它們在變形連續性被破壞的部分中最高，並且隨著距該部分的距離呈指數函數減小。對於實心棒和管，該理論很複雜，補充電壓下降得如此之快，以至於在大多數情況下不值得進行確定。對於薄壁、開式棒材，這種修正非常重要，計算起來相對容易。
圖9
SL。9顯示牆的中表面與剖面相交的線（剖面的中線）。 O_是兩個相鄰截面的相對旋轉中心。如果它們的距離為_dx，則扭轉角為_ϑ dx_，因此中線的任意點都會經歷位移_u_ ϑ dx。此位移在與截面相切的方向上有一個分量 rt ϑ dx，並且是牆中表面單元的滑移（考慮到 _u=_φϑ）：
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds)。
由於壁面中表面的剪應力為零，因此也必定為 γ=0，所以這就是為什麼
此模式包含三個任意參數：計算弧長 s 的原點和 rt 所依賴的相對旋轉中心 O 的座標。可以選擇計算弧長 s 的起點，使平均曲率值為零：
中心 O 的座標可以用以下方式確定，使得截面彎曲產生的力矩為零：
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如果完全或部分防止這些圖案所描述的截面彎曲，則必須出現桿軸線方向上的正應力_σx_。仔細檢查表明，這些應力可以認為與曲率函數 φ: σx=k__φ 成正比，其中 φ 僅取決於 s，而 k 僅取決於 x。根據胡克定律：
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12）
必須是 k=E d__ϑ/dx。正應力 σx 稱為截面彎曲應力。考慮到上面的方程，它們在每個截面中形成一個平衡力系統，一個由於截面彎曲而產生的力系統。
總扭力由兩部分組成：其中之一_M1=GJT__ϑ_ 是由於 St 給出的扭轉剪應力而產生的。 Venant_的理論，以及另一個_M2 由於截面彎曲而發生：
一。13
由於力矩 M 是作為 x 的函數給出的，因此該表達式表示扭轉角 ϑ 的微分方程式。一旦解出這個方程，就可以計算_M1_和_M2_，因此所有的壓力和應變。
解決方案及應用
當扭力_M_一定時，方程式（13） 是：
積分常數_C1,C2_ 必須由兩個邊界條件決定。
a) 剛性夾緊端 x=0（如圖。1）
這一端是_u_≡0，因此基於等式（1b) ϑ=0。如果桿很長(αl>>1），然後_C1_=0和_C2_= -M/GJT。對於短桿，由於截面彎曲而出現的應力受到桿右端狀況的影響。如果在該位置不阻止截面彎曲，則會出現 _σx_eq0和 dϑ/dx=0。它是從這裡獲得的
b) 根據圖 1 的對稱扭轉載荷。10
在桿的左半部分，扭力為_-M_/2，右邊的+M/2。在自由扭轉的情況下，桿中部左側和右側的部分將沿相反方向扭轉，因此不會保持變形的連續性。因此，在 x= 處0整個扭矩必須透過由於橫截面彎曲而產生的應力來傳遞，因此在該橫截面中_M1_=0因此 ϑ=0。此時，力系統起作用以確保該部分保持筆直，即使部分距離桿曲線中心較遠。此外，如果要求桿端的應力為 _σx_eq0，對於桿的每一半都獲得了一個邊界條件，因此對於右半桿來說是這樣的
圖。 10
c) 任意位置的外部力矩 M（圖 1）11）
在這種情況下，桿的兩個部分的解_ϑ_必須分別寫入，因此總共出現四個常數_C1,C2,C3,C4_。此外，扭力_Ma、Mb_也是未知的。有六個方程式可用：負載點處 ϑ（以 u 表示）和 dϑ/dx（以 σx 表示）的連續性條件，桿每一端的條件（例如剛性夾緊 ϑ=0，或不受干擾的彎曲，dϑ/dx=0)、力矩平衡條件 -Ma+Mb=M 以及最終端部不相對旋轉的條件： ∫ ϑdx =0。
SL。11
最後說明： 扭轉模型的選擇取決於開放或封閉截面、細長長度、支撐方法、力矩輸入位置以及自由彎曲的可能性。對於真實的元件，必須檢查承載和適用性極限狀態、局部細節、接頭、疲勞和穩定性，而不僅僅是文章中的一個孤立公式。