Arĥiva fakenhavo: la teksto kaj formuloj transdonas historian teorian prezenton kaj ne estas projekto, senmova kalkulo, ŝarĝkapacitkontrolo, takso de ekzistanta elemento, aŭ instrukcioj por konstruado aŭ rehabilitado. Nomoj, supozoj kaj proksimumaj ŝablonoj devas esti kontrolitaj kontraŭ la specifa sistemo, materialo, geometrio, limkondiĉoj kaj uzeblaj normoj. Kalkulo de tordo, stabileco, laceco, artikoj kaj streso pro malhelpita fleksado devas esti farita de licencita inĝeniero, kun sendependa kontrolo kiam necese.
Hodiaŭ, Savo Kusić koncentriĝas pri lignaj fenestroj, ligno-aluminiaj fenestroj, propraj fenestroj, pordo kaj petoj pri citaĵo. Tiu artikolo restas kiel historia profesia arkivo kaj ne reprezentas strukturan dezajnoservon.
Saint-Venant-teorio de tordo (libera tordo)
Diferenciala ekvacio
Sl.1
Rekta bastono estu fiksita ĉe unu el ĝiaj finoj x=0 kaj lasu ĝin ŝarĝi ĉe la alia fino kun torda momento M (fig. 1). Tiam ĉiu el ĝiaj sekcioj turniĝas je certa angulo α(x) ĉirkaŭ certa linio paralela al la akso de la bastono, kiun ni adoptos kiel la x-akson. Se ĉiuj sekcioj estas egalaj unu al la alia, ajna rekto paralela al la x-akso pasas en bobenon, kaj la angulo α estos proporcia al la distanco de la fiksa fino: α=ϑx, de kiu ekestas la komponaj movoj en la ebeno de la sekcio (fig. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
La kvanto ϑ estas nomita la torda angulo (dimensio: longo-1, rotacio po unuolongo). La torda angulo estas proporcia al la torda momento M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
La proporciecfaktoro GJT, torda rigideco, estas egala al la produkto de la tonda modulo G kaj la faktoro JT, kiu reprezentas la efikon de la formo kaj grandeco de la sekcio.
Ĉi tiu rotacio de la sekcio ne estas la nura deformado de la bastono. Krome, ekzistas ankaŭ fleksado de la sekco, t.e. al la movo u en la direkto de la x-akso, kiu havas la saman grandecon por la ekvivalentaj punktoj de ĉiuj sekcoj kaj estas tial nur funkcio de la koordinatoj en la ebeno de la sekcio, kaj estas alie proporcia al la ŝarĝo M aŭ la _ϑ_torda angulo:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Se la supraj esprimoj estas enkondukitaj en la ekvivalentajn delokvaciojn, oni ricevas ke la ĉefaj normalaj streĉoj estas egalaj al nulo, lasante nur du komponentstreĉojn τxy kaj τxz:
Unu.3
La diferenciala ekvacio de la tordproblemo estas akirita surbaze de la ekvacioj (3) metante:
Unu.4kaj mi4b
kaj solvante tiujn diferencialajn ekvaciojn por la nekonataj τxy kaj τxz enkondukante la streĉan funkcion F(y,z) ke:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Kun ĉi tio, la ekvacio (4a) idente kontentigita, kaj de la ekvacio (4b) la bezonata diferenciala ekvacio estas akirita
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
La limkondiĉo postulata por la unika solvo de tiu ekvacio estas akirita de la postulo ke ekzistas neniuj tondostreĉoj sur la bastonkoverto, de kiu, pro la konjuga naturo de la tondstreĉoj, sekvas ke la streĉo en la sekcia ebeno ne devas havi komponenton perpendikulara al ĝi laŭ la konturo. De ĉi tie, fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
tial
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
t.e. la totala diferencialo de la funkcio F devas esti nula, tio estas, ĝi devas esti F=konst. laŭ la konturo.
Se la sekcio havas nur unu konturon, oni povas simple meti F= sur ĝin0, ĉar ĉe la tensiofunkcio, pri kiu ni fakte nur interesiĝas pri derivaĵoj, la arbitra aldona konstanto ne rolas. Por sekcioj kiuj havas pli ol unu konturon, ĉi tiu afero estas pli kompleksa.
Kiel vidite de la ekvacio (5) rezultanto de la tondstreĉoj τxy kaj τxz ĉe arbitra intersekcpunkto estas egala en grando al la gradiento de la streĉa funkcio F, sed estas perpendikulara al ĝi, t.e. havas tanĝantan direkton al la linio F=konst.
Solvante la diferencialan ekvacion (6)) la tensioj τ kiel funkcioj de y, z kaj ϑ estas akiritaj. La tasko de la kalkulo estas, kompreneble, la determino de la torda angulo ϑ kaj la streĉo, precipe la maksimuma streĉo kiel funkcio de la torda momento, do, la determino de la rigideco de la sekcio JT de la ekvacio (2) kaj la rezistmomanto WT = Mmaxτ. Por akiri ĉi tiujn, necesas nur esprimi M kiel funkcion de F:
Ambaŭ sumoj de ĉi tiu integralo, kiu devus esti transprenita la tutan sekcion, povas esti transformitaj per parta integriĝo. Se ekzemple la unua el ili integriĝas unue laŭ la linio z=konst. de la punkto sur la konturo y=y1 ĝis la punkto y=y2 (fig.3) kaj konsideru, ke en ambaŭ ĉi tiuj punktoj F=0, estas akirita
La sama valoro estas akirita de la dua integralo, tiel ke
Unu.7
Sl.3
Aliaj kazoj de plenaj sekcioj
La diferenciala ekvacio (6) estas la malhomogena ekvacio de potenciala teorio. Tial, por la solvo de la tordproblemo en la kazo de arbitra sekco, la metodoj de la potenciala teorio estas disponeblaj, kiuj ebligas ĝin ĉiam esti trovita. Ĉi tiuj metodoj, tamen, estas ĝenerale tro kompleksaj por esti aplikataj al individuaj kazoj, kiuj aperas en la praktiko. Tial, la sekva tabelo montras la rezultojn de tiaj kalkuloj por pluraj sekcioj.
Por sekcoj proksimaj al cirkla, JT=F povas esti metita4/40_Ip_, kie F estas la areo kaj Ip estas la polusa momento de inercio de la sekcio.
Noto pri formuloj kaj tabeloj: esprimoj kaj valoroj en skanitaj bildoj estas konservitaj kiel historia fonto. OCR-teksto, indeksmarkoj kaj skanado ne estas sufiĉe fidindaj por kalkulo. Antaŭ uzo, ĉiu formulo, unuo, koeficiento kaj areo de valideco devas esti kontrolita en aŭtoritata profesia fonto kaj valida normo.
Analogio kun la membrano
Bona helpo por taksi tordistreĉojn, kaj samtempe proceduron por ilia preciza determino estas disponigita per la analogio inter la streĉa funkcio F de la torda problemo kaj la deklina transversa ŝarĝo de la membrano. Estu averaĝa malfermo sur la plata muro de ŝipo kiu koincidas kun la sekco de bastono ŝarĝita en tordo. Kiam la membrano estas etendita super ĉi tiu malfermo kaj malgranda troa premo p estas kaŭzita en la ŝipo, la membrano ŝveliĝas eksteren, tiel ke ĝiaj deklinoj ξ(y,z) kontentigas la diferencialan ekvacion.
kie N estas la surfaca tensio en la membrano kaŭzita de kapilaraj fortoj (dimensioj: forto per unuolongo). Ĉi tiu ekvacio koincidas kun la ekvacio (6), kaj la limkondiĉo ξ=0estas la sama kiel tiu de la tensiofunkcio. Tiamaniere, la tensiofunkcio F(y,z) povas esti akirita uzante ĉi tiun spegulon kun la membrano kaj tiel solvas la tordproblemon. La streĉo τ egalrilatas al la deklivo de la membrano rilate al la y-z-ebeno, do la plej kruta loko estas tiu kie la bastono eksponita al tordo havas la plej altan tondan streĉon.
Sl.4
Sl.5
Ĉi tiu membranproceduro estas precipe taŭga por akiri proksimumajn ŝablonojn por maldikmuraj sekcioj. Kiam, ekzemple, la I-sekcio estas dividita laŭ fig.4sur tri rektanguloj kaj por ĉiu el ili la analogio kun la membrano estas farita aparte, la sumo de la volumoj de la rezultaj elstaraĵoj estos nur iomete pli malgranda ol la volumeno, kiu efektive respondas al la tensiofunkcio. Tial, kiam la dikaĵoj estas b1 kaj b2 malgranda, proksimume
JT =2JT1+ JT2,
kie JT1 kaj JT2 rigidecfaktoroj de unuopaj rektanguloj kalkuleblaj surbaze de la tabelo1. Pli bona alproksimiĝo estas akirita kiam JT estas metita por la ripo2 = a2b32/3 do, kiam la ripo estas konsiderata kiel parto de tre longforma rektangulo. Eĉ pli preciza valoro ricevas laŭ Pleto kaj Marto\ de
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
kie D estas la diametro de la plej granda cirklo enskribita kiel montrite en fig.4, kaj α povas esti prenita el fig.5. Por la T-sekcio ĝi estas akirita simile
JT = JT1 +JT2 + α D4,
kie JT2 estas duono de la valoro kalkulita laŭ tabelo 1 por a=2 a2, b=b2. Por L-sekcioj (fig. 6) ĝi estas simila al tio
JT = JT1 + JT2 + β D4
kie JT1 por la pli dika brako estas prenita rekte de la tablo 1, dum JT2 por la pli maldika brako estas kalkulita kiel por la T-sekcio, kaj β estas prenita de fig. 7.
⟦SKPH35
Fig. 6
Sl.7
Dum kalkulado de la streĉo, la tordmomento estas dividita en konsistigajn rektangulojn: la parto kiu falas sur la flanĝoj M1=M JT2/JT; la tondstreĉo tiam estas kalkulita ĉe la mezo de la pli longa flanko de ĉiu rektangulo bazita sur tabelo 1. La plej granda el tiuj streĉoj ne devas esti la plej granda tonda streĉo aperanta en la sekcio. Nome, se la angulo de incidenco ne estas rondigita, τ=∞ estas akirita ĉe tiu loko, tiel ke por tre malgranda radiuso de rondigo, la plej alta tonda streĉo povas esti atendita ĉi tie.
Inĝenieristiko Noto: la matematika unuopaĵo de la idealigita akuta angulo ne estas permesilo taksi la realan detalon per tiu ĉi proksimuma ŝablono sole. La fakta rondiga geometrio, toleremoj, plastikeco, veldoj, restaj streĉoj, loka stabileco kaj laceco postulas taŭgan modeladon kaj spertan konfirmon.
Por unuflanka angulo kies flanka dikeco estas t laŭ Trefftz\ estas sur la rondigo de la diametro r:
kie kun τ0 markita maksimuma tensio kalkulita por ĉiu unuopa kruro surbaze de la proceduro priskribita ĉi tie. Por pli grandaj rondigaj radiusoj, τ= povas esti adoptita2__τ0.
Maldikaj Muraj Pipoj (Bradt Patterns)
En maldikmuraj tuboj, la ŝvela membrano havas la formon montritan en fig.8, kiu konsistas el aviadilo super la kava spaco ene de la pipo kaj dekliva surfaco kiu ĉirkaŭas ĝin kaj kuŝas super la efika sekcio de la pipmuro; ĉi tiu klinita surfaco devas esti pli kruta se la tubmuroj estas pli maldikaj en la taŭga loko. En ĉi tiu kazo, la tondstreĉoj estas distribuitaj sufiĉe egale super la dikeco de la muroj kaj estas inverse proporciaj al la dikeco de la muroj, t.e. tondforto T = τt ne ŝanĝiĝas laŭ la cirkonferenco de la sekcio.
Sl. 8
La surfaca elemento t_∙ds_ ricevas parton de la torda momento
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
do la tuta momento estas
Unu.8
kie la FR-surfaco estas kovrita per la meza linio markita per linioj kaj punktoj en fig.8. Ĝi estas akirita de ĉi tie
Unu.9- La unua Bredt\ ŝablono
Torsiona rigideco estas akirita plej simple kiam la deformadlaboro estas esprimita unuflanke tra torda momento kaj tord-angulo kaj aliflanke tra tondaj streĉoj. Tiamaniere, ĝi estas akirita por bastonelemento de longo l
do, enkondukante la valoron por τ laŭ la ekvacio (8),
tio estas, kompare kun la ekvacio (2):
Unu.10
Se la dikeco de la muroj estas sama ĉirkaŭe, tiam ĝi estas simpla (2. La ŝablono de Bredt):
Unu.11
Normalaj streĉoj en tordo pro sekcfleksado
Bazaj terminoj kaj diferenciala ekvacio
Komponantaj movoj u, ekvacio (1b), determinas la kurbecon de la sekcioj de iliaj ebenoj. Kiam la tordmomento estas konstanta, tiu ĉi fleksado estas la sama en ĉiuj sekcioj kaj normalaj streĉoj σx ne aperas.
En multaj kazoj, la kurbeco de la sekco, kiu devus ekesti surbaze de _St. La teorio de Venant ne eblas. Se la tordmomento ŝanĝiĝas subite en unu sekco, fleksado de malsamaj grandecoj okazus ambaŭflanke de la sekco, kaj la kontinueco de la deformado estus ĝenita. Unu fino de la bastono povas esti tiel fiksita ke fleksado de la sekcio estas tute ekskludita ĉe tiu punkto. En tiaj kazoj, oni devas fari amendon _St. La teorioj de Venant. Suplementaj streĉoj σx en la direkto de la akso de la bastono kaj suplementa tondforto T (tondstreĉoj T/t) aperas en la bastono, kiuj estas la plej altaj en la sekcio kie la kontinueco de deformado estas rompita kaj kiuj malpliiĝas eksponente kun distanco de tiu sekcio. En la kazo de solidaj bastonoj kaj tuboj, tiu teorio estas kompleksa, kaj la suplementaj tensioj malpliiĝas tiel rapide ke ilia determino ne estas inda en la plej multaj kazoj. Por maldikmuraj malferma-profilaj bastonoj, tiu korekto estas de granda graveco kaj povas esti kalkulita relative facile.
Sl.9
Sl.9montras la linion laŭ kiu la meza surfaco de la muro kaj la sekcia ebeno intersekcas (la meza linio de la sekcio). O estas la centro de relativa rotacio de du apudaj sekcioj. Se ilia distanco estas dx, la torda angulo estas ϑ dx, do arbitra punkto de la mezlinio spertas movon u ϑ dx. Tiu ĉi movo havas komponenton rt ϑ dx en la direkto tanĝanta al la sekcio, kaj estas la glito de la elemento de la meza surfaco de la muro (konsiderante ke _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Ĉar la tonda streĉo en la meza surfaco de la muro estas nul, ĝi ankaŭ devas esti γ=0, do jen kial
Ĉi tiu ŝablono enhavas tri arbitrajn parametrojn: la origino de kiu la arklongo s estas kalkulita kaj la koordinatoj de la centro de relativa rotacio O, de kiu dependas rt. La deirpunkto de kiu la arklongo s estas kalkulita povas esti elektita tiel ke la averaĝa kurbvaloro estas nul:
kaj la koordinatoj de la centro O povas esti determinitaj tiel ke la momentoj pro la fleksado de la sekcio estas nul:
Oni povas montri, ke la rotacia centro tiel determinita koincidas kun la tondcentro kiu estas ĉi tie priskribita kaj difinita alimaniere.
Se la fleksado de la sekcio priskribita per tiuj ŝablonoj estas tute aŭ parte malhelpita, normalaj streĉoj σx en la direkto de la akso de la bastono devas aperi. Pli detala ekzameno montras ke tiuj streĉoj povas esti prenitaj kiel proporciaj al la kurbeca funkcio φ: σx=k__φ, kie φ dependas nur de s kaj k nur de x. Laŭ la leĝo de Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
devas esti k=E d__ϑ/dx. Normalaj streĉoj σx estas nomitaj sekciaj fleksaj streĉoj. Konsiderante la suprajn ekvaciojn, ili formas ekvilibran sistemon de fortoj en ĉiu sekcio, sistemon de fortoj pro la fleksado de la sekcio.
La tuta tordmomanto konsistas el du partoj: unu el ili M1=GJT__ϑ ekestas pro tord-tondstreĉoj donitaj de St. La teorio de Venant, kaj la alia M2 okazas pro fleksado de la sekcio:
Unu.13
Ĉar la momento M estas donita kiel funkcio de x, ĉi tiu esprimo reprezentas diferencialan ekvacion por la torda angulo ϑ. Post kiam ĉi tiu ekvacio estas solvita, M povas esti kalkulita1 kaj M2, kaj tiel ĉiuj streĉoj kaj streĉoj.
Solvo kaj aplikoj
Kiam la tordmomento M estas konstanta, la ĝenerala solvo de la ekvacio (13) estas:
Integrigaj konstantoj C1, C2 devas esti determinita el du limkondiĉoj.
a) Rigide krampita fino x=0(fig.1)
Ĉe tiu fino estas u≡0, do surbaze de la ekvacio (1b) ϑ=0. Se la bastono estas tre longa (αl>>1), tiam C1=0kaj C2= -M/GJT. En la kazo de mallongaj bastonoj, la aspekto de streĉo pro fleksado de la sekcio estas tuŝita de la kondiĉo ĉe la dekstra fino de la bastono. Se la fleksado de la sekcio ne estas malhelpita ĉe tiu loko, estos σx≡0kaj dϑ/dx=0. Ĝi estas akirita de ĉi tie
b) Simetria torda ŝarĝo laŭ fig. 10
Sur la maldekstra duono de la bastono, la torda momento estas -M/2, kaj dekstre +M/2. En la kazo de libera tordo, la sekcioj maldekstren kaj dekstren de la mezo de la bastono estus torditaj en la kontraŭa direkto, tial la kontinueco de la deformado ne estus konservita. Tial, ĉe la loko x=0, la tuta torda momento devas esti transdonita tra la streĉoj kiuj okazas pro la fleksado de la sekcio, kaj tial en ĉi tiu sekcio M1=0 kaj tial ϑ=0. Ĉe tiu punkto, sistemo de fortoj agas por certigi ke la sekcio restas rekta, eĉ se sekcioj kiuj situas pli for de la centro de la bastonkurbo. Se, krome, estas postulate ke ĉe la finoj de la bastono la streĉoj estas σx≡0, unu plia limkondiĉo estas akirita por ĉiu duono de la bastono, do por la dekstra duono ĝi estas
⟦SKPH18
Fig. 10
c) Ekstera momento M ĉe arbitra loko (fig. 11)
En ĉi tiu kazo, la solvo ϑ por ambaŭ partoj de la bastono devas esti skribita aparte, do entute kvar konstantoj C1, C2, C3, C4 aperas. Krome, la tordmomentoj Ma, Mb ankaŭ estas nekonataj. Ses ekvacioj estas haveblaj: kontinueckondiĉo por ϑ (esprimita per u) kaj por dϑ/dx (esprimita per σx) ĉe la punkto de ŝarĝa ago, unu kondiĉo ĉe ĉiu fino de la bastono (ekz. rigida pinĉado ϑ=0, aŭ neĝenata fleksado, aŭ senĝena fleksado). dϑ/dx=0), momento-ekvilibra kondiĉo -Ma+Mb=M kaj finfine la kondiĉo ke la finaj sekcioj ne turnu sin unu al la alia: ∫ ϑdx = 0.
Sl.11
Fina noto: la elekto de torda modelo dependas de la malferma aŭ fermita sekcio, svelteco, metodo de subteno, loko de momentenigo kaj la ebleco de libera fleksado. Por reala elemento, oni devas kontroli la ŝarĝajn kaj servajn limŝtatojn, lokajn detalojn, juntojn, lacecon kaj stabilecon, ne nur unu izolita formulo de la artikolo.