פיתול של מוטות וחתכים דקים

תוכן מומחה ארכיון: הטקסט והנוסחאות מעבירים הצגה תיאורטית היסטורית ואינם פרויקט, חישוב סטטי, בדיקת כושר נשיאה, הערכה של אלמנט קיים או הנחיות לבנייה או שיקום. ייעודים, הנחות ודפוסים משוערים חייבים להיבדק מול המערכת הספציפית, החומר, הגיאומטריה, תנאי הגבול והתקנים החלים. חישוב פיתול, יציבות, עייפות, מפרקים ומתח עקב כיפוף מונע צריך להיעשות על ידי מהנדס מורשה, עם בקרה עצמאית בעת הצורך.

כיום, סאבו קושיץ’ מתמקד בחלונות עץ, חלונות עץ-אלומיניום, חלונות מותאמים אישית, דלת ו-בקשות להצעת מחיר. מאמר זה נשאר כארכיון מקצועי היסטורי ואינו מייצג שירות עיצוב מבני.

תורת הפיתול של Saint-Venant (פיתול חופשי)

משוואה דיפרנציאלית

איור. 1

תנו למוט ישר להיות קבוע באחד מקצוותיו x=0ולתת לו להיות טעון בקצה השני עם רגע פיתול M (איור.1). ואז כל אחד מהקטעים שלו מסתובב בזווית מסוימת α(x) סביב קו מסוים המקביל לציר המקל, אותו נאמץ כציר x. אם כל החתכים שווים זה לזה, כל קו ישר המקביל לציר ה-x יעבור לסליל, והזווית α תהיה פרופורציונלית למרחק מהקצה הקבוע: α=ϑx, שממנו נובעות תזוזות הרכיבים במישור החתך (איור.2):

v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,

w = r a cos__ψ = ϑ x y.  (1א)

הכמות ϑ נקראת זווית הפיתול (ממד: אורך-1, סיבוב ליחידת אורך). זווית הפיתול פרופורציונלית לרגע הפיתול M:

ϑ = M/GJT.   (2)

איור. 2

גורם המידתיות GJT, קשיחות הפיתול, שווה למכפלת מודול הגזירה G ולגורם JT, המייצג את השפעת הצורה והגודל של החתך.

סיבוב זה של הקטע אינו העיוות היחיד של המוט. בנוסף, יש גם כיפוף של החתך, כלומר לתזוזה u לכיוון ציר x, שגודלו זהה לנקודות המתאימות של כל החתכים ולכן הוא רק פונקציה של הקואורדינטות במישור החתך, ובאופן אחר הוא פרופורציונלי לעומס M או ל-_Mangle:

u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0.  (1ב)

אם הביטויים לעיל מוכנסים למשוואות התזוזה המתאימות, מתקבל שהלחצים הנורמליים העיקריים שווים לאפס, ומשאירים רק שני מתחים מרכיבים τxy ו_τxz_:

אֶחָד.3

המשוואה הדיפרנציאלית של בעיית הפיתול מתקבלת על סמך המשוואות (3) לשים:

אֶחָד.4ואני4ב

ופתרון משוואות דיפרנציאליות אלה עבור הלא ידועים τxy ו_τxz_ על ידי הצגת פונקציית המאמץ F(y,z) ש:

τxy = - dF/dz,   τxz = + dF/dy.   (5)

זה עונה על המשוואה (4a) באופן זהה, והמשוואה הדיפרנציאלית הנדרשת

d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ  (6)

תנאי הגבול הנדרש לפתרון הייחודי של משוואה זו מתקבל מהדרישה שלא יהיו מתחי גזירה על מעטפת המוט, שמהם, בשל האופי המצומד של מתחי הגזירה, נובע שלמתח במישור החתך אסור שיהיה רכיב המאונך אליו לאורך קו המתאר. מכאן, איור. 2:

dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)

לכן

dF/dy dy + dF/dz dz = 0,

ie. ההפרש הכולל של הפונקציה F חייב להיות אפס, כלומר חייב להיות F=const. לאורך קו המתאר.

אם לקטע יש רק קו מתאר אחד, אפשר פשוט לשים עליו F=0, כי עם פונקציית המתח, שלמעשה אנחנו מתעניינים רק בנגזרות שלה, קבוע תוספת שרירותי לא משחק תפקיד. עם קטעים שיש להם יותר מתאר אחד, השאלה הזו מורכבת יותר.

כפי שניתן לראות מהמשוואה (5) התוצאה של מתחי הגזירה τxy ו-τxz בנקודת חיתוך שרירותית שווה בגודלה לשיפוע של פונקציית המאמץ F, אך יש לה כיוון משיק, i. F=const.

על ידי פתרון המשוואה הדיפרנציאלית (6)) מתקבלים המתחים τ כפונקציות של y, z ו_ϑ_. משימת החישוב היא, כמובן, קביעת זווית הפיתול ϑ והמתח, במיוחד המתח המרבי כפונקציה של מומנט הפיתול, לכן, קביעת קשיחות הקטע JT מהמשוואה (2) ומומנט ההתנגדות WT = Mmaxτ. כדי להשיג אותם, יש צורך רק לבטא את M כפונקציה של F:

שני הסיכומים של האינטגרל הזה, שצריך להשתלט על הקטע כולו, יכולים לעבור טרנספורמציה על ידי אינטגרציה חלקית. אם, למשל, הראשון שבהם משתלב ראשון לאורך הקו z=const. מהנקודה על קו המתאר y=y1 לנקודה y=y2 (איור3) וקחו בחשבון שבשתי הנקודות הללו F=0, מתקבל

אותו ערך מתקבל מהאינטגרל השני, כך ש

אֶחָד.7

Sl.3

מקרים אחרים של חלקים מלאים

המשוואה הדיפרנציאלית (6) היא המשוואה הבלתי הומוגנית של תורת הפוטנציאל. לכן, לפתרון בעיית הפיתול במקרה של חתך שרירותי, זמינות השיטות של תיאוריית הפוטנציאל, המאפשרות למצוא אותה תמיד. עם זאת, שיטות אלו מורכבות בדרך כלל מכדי שיוכלו ליישם על מקרים בודדים המתעוררים בפועל. לכן, הטבלה הבאה מציגה את התוצאות של חישובים כאלה עבור מספר סעיפים.

עבור חתכים קרובים למעגליים, ניתן לשים JT=F_4/40_Ip, כאשר F הוא השטח ו-Ip הוא מומנט האינרציה הקוטבי של הקטע.

הערה על נוסחאות וטבלאות: ביטויים וערכים בתמונות סרוקות מאוחסנים כמקור היסטורי. טקסט OCR, סימני אינדקס וסריקה אינם אמינים מספיק לחישוב. לפני השימוש, יש לבדוק כל נוסחה, יחידה, מקדם ותחום תוקף במקור מקצועי סמכותי ובתקן ישים.

אנלוגיה עם הממברנה

עזרה טובה להערכת מתחי פיתול, ובמקביל נוהל לקביעתם המדויקת ניתנת על ידי האנלוגיה בין פונקציית המאמץ F של בעיית הפיתול לבין העומס הרוחבי של הסטייה של הממברנה. שיהיה פתח ממוצע בדופן השטוח של כלי שנושא בקנה אחד עם חתך של מוט טעון בפיתול. כאשר הממברנה נמתחת על פתח זה ונגרם לחץ עודף קטן p בכלי, הממברנה בולטת החוצה, כך שהסטותיו ξ(y,z) עומדות במשוואת הדיפרנציאל.

כאשר N הוא מתח הפנים בממברנה הנגרם מכוחות נימיים (מידות: כוח ליחידת אורך). משוואה זו עולה בקנה אחד עם המשוואה (6), ותנאי הגבול ξ=0זהה לזה של פונקציית המתח. בדרך זו ניתן לקבל את פונקציית המתח F(y,z) באמצעות מראה זו עם הממברנה ובכך לפתור את בעיית הפיתול. המתח τ מתאים לשיפוע הממברנה ביחס למישור y-z-, כך שהמקום התלול ביותר הוא המקום בו למוט החשוף לפיתול יש את מתח הגזירה הגבוה ביותר.

Fig. 4

Fig. 5

הליך ממברנה זה מתאים במיוחד להשגת דפוסים משוערים עבור חלקים בעלי דופן דקה. כאשר, למשל, חלקי I מחולק לפי איור.4על שלושה מלבנים ולכל אחד מהם מתבצעת האנלוגיה עם הממברנה בנפרד, סכום הנפחים של הבליטות המתקבלות יהיה קטן רק במעט מהנפח המתאים בפועל לפונקציית המתח. לכן, כשהעוביים הם ב1 ו_ב2_ קטן, בערך

JT =2JT1+ JT2,

איפה JT1 ו-JT2 מקדמי קשיחות של מלבנים בודדים שניתן לחשב על סמך הטבלה1. גישה טובה יותר מתקבלת כאשר JT ממוקם עבור הצלע2 = א2ב32/3, לפיכך, כאשר הצלע נחשבת כחלק ממלבן מוארך מאוד. ערך מדויק עוד יותר מתקבל לפי מגש ו_מרץ_\ מ

JT =2JT1+1/3א2ב32+2 α ד4,

כאשר D הוא קוטר המעגל הגדול ביותר שנרשם כפי שמוצג באיור.4, ו-α ניתן לקחת מתמונה.5. עבור חתך T זה מתקבל באופן דומה

JT = JT1+JT2+ α D4,

איפה JT2_מחצית מהערך המחושב לפי הטבלה1עבור a=2_א2, b=b2. עבור חתכים L (איור.6) דומה לזה

JT = JT1+ JT2+ β D4

איפה JT1 שכן הזרוע העבה יותר נלקחת ישירות מהשולחן1, בעוד JT2 עבור הרגל הדקה מחושב כמו עבור חתך T, ו- β נלקח מאיור.7.

איור. 6

Fig. 7

בעת חישוב המתח, מומנט הפיתול מחולק למלבנים המרכיבים: החלק הנופל על האוגנים M1=M JT2/JT; מתח הגזירה מחושב בנקודת האמצע של הצלע הארוכה של כל מלבן בהתבסס על הטבלה1. הגדול מבין המתחים הללו אינו חייב להיות מתח הגזירה הגדול ביותר המופיע בקטע. כלומר, אם זווית הפגיעה אינה מעוגלת, מתקבל τ=∞ באותו מקום, כך שברדיוס קטן מאוד של עיגול, ניתן לצפות כאן למתח הגזירה הגבוה ביותר.

הערה הנדסית: הייחודיות המתמטית של הזווית החדה האידיאלית אינה רשיון להעריך את הפרטים האמיתיים על ידי דפוס משוער זה בלבד. גיאומטריית העיגול בפועל, סובלנות, פלסטיות, ריתוכים, מתחים שיוריים, יציבות מקומית ועייפות דורשים מידול מתאים ואימות מומחה.

עבור זווית חד צדדית שעובי הצלע שלה הוא t לפי Trefftz\ היא על עיגול הקוטר r:

איפה עם τ0 מתח מרבי מסומן המחושב עבור כל רגל בודדת בהתבסס על ההליך המתואר כאן. עבור רדיוסי עיגול גדולים יותר, ניתן לאמץ את τ=2__τ0.

צינורות דקים (דפוסי בראדט)

בצינורות בעלי דופן דקה, לממברנה התפוחה יש את הצורה המוצגת באיור.8, המורכב ממישור מעל החלל החלול שבתוך הצינור ומשטח משופע המקיף אותו ונמצא מעל הקטע האפקטיבי של דופן הצינור; משטח משופע זה חייב להיות תלול יותר אם קירות הצינור דקים יותר במקום המתאים. במקרה זה, מתחי הגזירה מפוזרים באופן שווה למדי על עובי הקירות והם ביחס הפוך לעובי הקירות, כלומר כוח הגזירה T = τt אינו משתנה לאורך היקף החתך.

Sl. 8

אלמנט השטח t_∙ds_ מקבל חלק ממומנט הפיתול

dM = t_∙ds∙τ∙h,_

אז הרגע הכולל הוא

אֶחָד.8

כאשר משטח ה-FR מכוסה בקו האמצעי המסומן בקווים ונקודות באיור.8. זה מתקבל מכאן

אֶחָד.9- דפוס ה-Bredt\ הראשון

קשיחות פיתול מתקבלת בצורה הפשוטה ביותר כאשר עבודת הדפורמציה מתבטאת מצד אחד באמצעות מומנט פיתול וזווית פיתול ומצד שני באמצעות מתחי גזירה. בדרך זו, הוא מתקבל עבור אלמנט מוט באורך l

אז, הצגת הערך של τ לפי המשוואה (8),

כלומר בהשוואה למשוואה (2):

אֶחָד.10

אם עובי הקירות זהה מסביב, אז זה פשוט (2. הדפוס של ברדט):

אֶחָד.11

מתחים רגילים בפיתול עקב כיפוף הקטע

מונחים בסיסיים ומשוואה דיפרנציאלית

תזוזות רכיבים u, משוואה (1ב), קובע את העקמומיות של החתכים מהמישורים שלהם. כאשר מומנט הפיתול קבוע, כיפוף זה זהה בכל הקטעים ולא מופיעים מתחים רגילים σx.

במקרים רבים, העקמומיות של החתך, אשר אמורה להתעורר על בסיס _St. התיאוריה של ונאנט אינה אפשרית. אם מומנט הפיתול משתנה בפתאומיות בחתך אחד, יתרחש כיפוף בגדלים שונים משני צידי החתך, והמשכיות העיוות תופרע. קצה אחד של המוט יכול להיות מהודק עד כדי כך שכיפוף הקטע אינו נכלל לחלוטין באותה נקודה. במקרים כאלה, יש לבצע תיקון _St. התיאוריות של ונאנט. במוט מופיעים מתחים משלימים σx בכיוון ציר המוט וכוח גזירה משלים T (מתחי גזירה T/t) שהם הגבוהים ביותר בקטע שבו נשברת המשכיות העיוות ואשר יורדים אקספוננציאלית עם המרחק מקטע זה. במקרה של מוטות וצינורות מוצקים, תיאוריה זו מורכבת, והמתחים המשלימים יורדים כל כך מהר עד שקביעתם אינה כדאית ברוב המקרים. למוטות דקים עם פרופיל פתוח יש חשיבות רבה לתיקון זה וניתן לחישוב בקלות יחסית.

Sl. 9

Sl.9מראה את הקו שלאורכו מצטלבים המשטח האמצעי של הקיר ומישור החתך (הקו האמצעי של החתך). O הוא מרכז הסיבוב היחסי של שני מקטעים סמוכים. אם המרחק שלהם הוא dx, זווית הפיתול היא ϑ dx, כך שנקודה שרירותית של קו האמצע עוברת תזוזה u ϑ dx. לתזוזה זו יש רכיב rt ϑ dx בכיוון המשיק לחתך, והיא החלקה של האלמנט של המשטח האמצעי של הקיר (בהתחשב בכך ש_u=_φϑ):

γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).

מכיוון שמתח הגזירה במשטח האמצעי של הקיר הוא אפס, הוא חייב להיות גם γ=0, אז זו הסיבה

תבנית זו מכילה שלושה פרמטרים שרירותיים: המוצא שממנו מחושב אורך הקשת s והקואורדינטות של מרכז הסיבוב היחסי O, שבו תלוי rt. ניתן לבחור את נקודת ההתחלה שממנה מחושב אורך הקשת s כך שערך העקמומיות הממוצע הוא אפס:

ואת הקואורדינטות של המרכז O ניתן לקבוע בצורה כזו שהמומנטים עקב כיפוף הקטע הם אפס:

ניתן להראות ש-מרכז הסיבוב שנקבע כך עולה בקנה אחד עם מרכז הגזירה שנמצא כאן מתואר ומוגדר בדרך אחרת.

If the bending of the section described by these patterns is completely or partially prevented, normal stresses σx in the direction of the axis of the rod must appear. בחינה מדוקדקת יותר מראה שניתן לראות שהלחצים הללו פרופורציונליים לפונקציית העקמומיות φ: σx=k__φ, כאשר φ תלוי רק ב-s ו-k רק ב-x. לפי חוק הוק:

σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)

חייב להיות k=E d__ϑ/dx. מתחים רגילים σx נקראים מתח כיפוף מקטע. בהתחשב במשוואות לעיל, הן יוצרות מערכת שיווי משקל של כוחות בכל קטע, מערכת כוחות עקב כיפוף החתך.

המומנט הכולל מורכב משני חלקים: אחד מהם M1=GJT__ϑ נוצר עקב מתחי גזירה פיתולים שניתנו על ידי St. התיאוריה של Venant, והשנייה M2 מתרחשת עקב כיפוף של הקטע:

אֶחָד.13

מכיוון שהרגע M ניתן כפונקציה של x, ביטוי זה מייצג משוואה דיפרנציאלית לזווית הפיתול ϑ. לאחר פתרון המשוואה הזו, ניתן לחשב את M1 ו_מ2_, ובכך כל הלחצים והמתחים.

פתרון ויישומים

כאשר מומנט הפיתול M קבוע, הפתרון הכללי של המשוואה (13) הוא:

קבועי אינטגרציה C1, ג2 יש לקבוע משני תנאי גבול.

א) קצה מהודק נוקשה x=0(תְאֵנָה.1)

בסוף זה u≡0, אז בהתבסס על המשוואה (1ב) ϑ=0. אם המוט ארוך מאוד (αl>>1), ואז C1=0ו-C2= -M/GJT. במקרה של מוטות קצרים, הופעת הלחץ עקב כיפוף החתך מושפעת מהמצב בקצה הימני של המוט. אם לא נמנע כיפוף הקטע באותו מקום, יהיה σx≡0ו-dϑ/dx=0. זה מתקבל מכאן

ב) עומס פיתול סימטרי לפי איור.10

בחצי השמאלי של המוט, מומנט הפיתול הוא -M/2, ומימין +M/2. במקרה של פיתול חופשי, הקטעים משמאל ומימין לאמצע המוט יהיו מעוותים בכיוון ההפוך, ולכן המשכיות העיוות לא תישמר. Therefore, at the place x=0יש להעביר את כל מומנט הפיתול דרך הלחצים המתרחשים עקב כיפוף החתך, ולכן בחתך זה M1=0ולכן ϑ=0. בשלב זה פועלת מערכת כוחות על מנת להבטיח שהקטע יישאר ישר, למרות שקטעים שנמצאים רחוק יותר ממרכז עקומת המוט. אם בנוסף, נדרש שבקצות המוט המתחים הם σx≡0, מתקבל עוד תנאי גבול אחד עבור כל חצי של המוט, כך הוא עבור החצי הימני

איור. 10

ג) מומנט חיצוני M במקום שרירותי (איור.11)

במקרה זה, יש לכתוב את הפתרון ϑ עבור שני חלקי המוט בנפרד, כך שסך הכל מופיעים ארבעה קבועים C1, ג2, ג3, ג4. בנוסף, גם רגעי הפיתול Ma, Mb אינם ידועים. זמינות שש משוואות: תנאי המשכיות עבור ϑ (מבוטא על ידי u) ועבור dϑ/dx (מבוטא על ידי σx) בנקודת העומס, תנאי אחד בכל קצה של המוט (למשל הידוק קשיח ϑ=0, או כיפוף ללא הפרעה, dϑ/dx=0), תנאי האיזון לפי רגעים -Ma+Mb=M ולבסוף התנאי שקטעי הקצה אינם מסתובבים זה ביחס לזה: ∫ ϑdx =0.

Sl.11

הערה אחרונה: בחירת דגם הפיתול תלויה בחלק הפתוח או הסגור, רזון, שיטת התמיכה, מקום הזנת הרגע ואפשרות לכיפוף חופשי. עבור אלמנט אמיתי, יש לבדוק את מצבי הגבלת העומס והשירות, פרטים מקומיים, מפרקים, עייפות ויציבות, ולא רק נוסחה מבודדת אחת מהמאמר.