Innhald skjalasérfræðinga: textinn og formúlurnar gefa sögulega fræðilega framsetningu og eru ekki verkefni, kyrrstæður útreikningar, burðarþolsathugun, mat á fyrirliggjandi þætti eða leiðbeiningar um byggingu eða endurbætur. Athuga þarf tilnefningar, forsendur og áætluð mynstur í samræmi við tiltekið kerfi, efni, rúmfræði, jaðarskilyrði og gildandi staðla. Útreikningur á snúningi, stöðugleika, þreytu, liðum og álagi vegna hindraðrar beygju ætti að vera gerður af löggiltum verkfræðingi, með óháðu eftirliti þegar þörf krefur.
Í dag einbeitir Savo Kusić sér að viðargluggum, viðar-ál gluggar, sérsniðnir gluggar, hurð og tilboðsbeiðnir. Þessi grein er áfram sem söguleg fagleg skjalasafn og táknar ekki burðarvirkishönnunarþjónustu.
Saint-Venant kenningin um snúning (frjáls torsion)
Mismunajafna
Sl.1
Látið beina stöng festa í annan endann x=0og láttu það vera hlaðið á hinn endann með torsion moment M (mynd.1). Þá snýst hver hluti hans um ákveðið horn α(x) um ákveðna línu samsíða ás stafsins, sem við tökum upp sem x-ásinn. Ef allir hlutar eru jafnir hver öðrum, mun öll bein lína samsíða x-ásnum fara í spólu og hornið α verður í réttu hlutfalli við fjarlægðina frá fasta endanum: α=ϑx, þaðan sem tilfærslur íhluta í plani hlutans myndast (mynd.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Magnið ϑ er kallað snúningshorn (vídd: lengd-1, snúningur á lengdareiningu). Snúningshornið er í réttu hlutfalli við snúningsstundina M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl.2
Hlutfallsstuðullinn GJT, snúningsstífleiki, er jöfn margfeldi skúfstuðulsins G og stuðlinum JT, sem táknar áhrif lögunar og stærðar hlutans.
Þessi snúningur hlutans er ekki eina aflögun stöngarinnar. Að auki er einnig beygja þversniðsins, þ.e.a.s. til tilfærslu u í stefnu x-ássins, sem hefur sömu stærðargráðu fyrir samsvarandi punkta allra þverskurða og er því aðeins fall af hnitum í plani skurðarins, og er að öðru leyti í réttu hlutfalli við álagshornið M eða hallann:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Ef tjáningarnar hér að ofan eru settar inn í samsvarandi tilfærslujöfnur, fæst að aðal eðlileg spenna eru jöfn núlli, og skilur aðeins eftir tvær þáttaspennur τxy og τxz:
Einn.3
Mismunajafna snúningsvandans er fengin út frá jöfnunum (3) setja:
Einn.4og i4b
og leysa þessar diffurjöfnur fyrir óþekktu τxy og τxz með því að kynna streitufallið F(y,z) sem:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Þetta uppfyllir jöfnuna (4a) á sama hátt og nauðsynleg mismunajöfnu
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Mörkin sem krafist er fyrir einstaka lausn þessarar jöfnu er fengin út frá kröfunni um að engar skurðspennur séu á stangarhlífinni, sem leiðir til þess að spennan í þverskurðarplaninu má ekki hafa íhlut sem er hornrétt á það meðfram útlínunni. Héðan, mynd. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
því
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
þ.e. heildarmismunur fallsins F verður að vera núll, það er, það verður að vera F=const. meðfram útlínunni.
Ef hlutinn hefur aðeins eina útlínu má einfaldlega setja hann F=0 á hann, því með spennufallinu, sem við höfum í raun aðeins áhuga á afleiðum af, spilar handahófskenndur samlagningarfasti ekki hlutverki. Með hluta sem hafa fleiri en eina útlínur er þessi spurning flóknari.
Eins og sjá má af jöfnunni (5) er afleiðing skúfspennanna τxy og τxz á handahófskenndum skurðpunkti jöfn að stærð halla spennufallsins F, en er hornrétt á hana, þ.e.a.s. stefnu. F=const.
Með því að leysa diffurjöfnuna (6)) spennurnar τ sem fall af y, z og ϑ fást. Verkefni útreikningsins er að sjálfsögðu að ákvarða snúningshornið ϑ og álagið, sérstaklega hámarksspennuna sem fall af snúningskraftinum, þess vegna er ákvörðunin á stífleika hlutans JT út frá jöfnunni (2) og viðnámsvægið WT = Mmaxτ. Til að fá þetta er aðeins nauðsynlegt að tjá M sem fall af F:
Hægt er að umbreyta báðum samantektum þessa heild, sem ætti að taka yfir allan hlutann, með samþættingu að hluta. Ef til dæmis sá fyrsti þeirra fellur fyrst eftir línunni z=const. frá punktinum á útlínunni y=y1 að punktinum y=y2 (mynd.3) og takið tillit til þess að í báðum þessum liðum F=0, fæst
Sama gildi fæst úr seinni heild, þannig að
Einn.7
Sl.3
Önnur tilvik af heilum hlutum
Diffurjafnan (6) er óeiginleg jöfnu hugsanlegra kenninga. Þess vegna, til að leysa snúningsvandamálið ef um er að ræða handahófskenndan þverskurð, eru aðferðir hugsanlegu kenningarinnar tiltækar, sem gera það kleift að finna hana alltaf. Þessar aðferðir eru þó almennt of flóknar til að hægt sé að beita þeim í einstökum málum sem upp koma í reynd. Því sýnir eftirfarandi tafla niðurstöður slíkra útreikninga fyrir nokkra hluta.
Fyrir þversnið nálægt hringlaga má setja JT=F_4/40_Ip, þar sem F er flatarmálið og Ip er skauttregðustund hlutans.
Athugasemd við formúlur og töflur: tjáning og gildi í skönnuðum myndum eru geymd sem söguleg heimild. OCR texti, vísitölumerki og skönnun eru ekki nógu áreiðanleg til útreikninga. Fyrir notkun ætti að athuga hverja formúlu, einingu, stuðul og gildissvið í viðurkenndum faglegum heimildum og viðeigandi staðli.
Samlíking við himnuna
Góð hjálp við að meta snúningsspennu og um leið aðferð við nákvæma ákvörðun þeirra er líkingin á milli álagsfalls F snúningsvandans og sveigjuþverálags himnunnar. Látið vera meðalop á sléttum vegg skips sem fellur saman við þversnið stangar sem hlaðið er í torsion. Þegar himnan er teygð yfir þetta op og lítill umframþrýstingur p myndast í kerinu bungnar himnan út, þannig að sveigjur hennar ξ(y,z) uppfyllir mismunajöfnuna
þar sem N er yfirborðsspenna í himnunni af völdum háræðakrafta (mál: kraftur á lengdareiningu). Þessi jafna fellur saman við jöfnuna (6), og jaðarskilyrðið ξ=0er það sama og spennufallið. Þannig er hægt að fá spennufallið F(y,z) með því að nota þennan spegil með himnunni og leysa þannig snúningsvandann. Álagið τ samsvarar halla himnunnar í tengslum við y-z-planið, þannig að brattasti staðurinn er sá þar sem stöngin sem verður fyrir snúningi hefur mesta skurðspennuna.
Sl.4
Sl.5
Þessi himnuaðferð er sérstaklega hentug til að fá áætluð mynstur fyrir þunnveggða hluta. Þegar til dæmis I-kaflinn er skipt í samræmi við mynd.4á þremur ferhyrningum og fyrir hvern þeirra er hliðstæðan við himnuna framkvæmd sérstaklega, summa rúmmáls útskotanna sem myndast verður aðeins örlítið minni en rúmmálið sem í raun samsvarar spennufallinu. Því þegar þykktin eru b1 og b2 lítill, um það bil
JT =2JT1+ JT2,
þar sem JT1 og JT2 stífleikastuðlar einstakra ferhyrninga sem hægt er að reikna út út frá töflunni1. Betri nálgun fæst þegar JT er sett fyrir rifbeinið2 = a2b32/3 því þegar rifið er talið hluti af mjög ílangum rétthyrningi. Enn nákvæmara gildi fæst samkvæmt Trayer og Mars\ frá
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
þar sem D er þvermál stærsta hringsins sem áletrað er eins og sýnt er á mynd.4, og α má taka úr mynd.5. Fyrir T-kafla fæst það á svipaðan hátt
JT = JT1+JT2+ α D4,
þar sem JT2 helmingur af verðmæti reiknaðs samkvæmt töflunni1fyrir a=2_a2_, b=b2. Fyrir L-hluta (mynd.6) er svipað og það
JT = JT1+ JT2+ β D4
þar sem JT1 því þykkari handleggurinn er tekinn beint af borðinu1, meðan JT2 fyrir þynnri fótinn er reiknaður eins og fyrir T-kafla, og β er tekið úr mynd.7.
Mynd. 6
Sl.7
Þegar spennan er reiknuð er snúningskraftinum skipt í rétthyrninga sem innihalda: sá hluti sem fellur á flansana M1=M JT2/JT; skúfspennan er síðan reiknuð við miðpunkt lengri hliðar hvers ferhyrnings miðað við töfluna1. Stærsta þessara spennu þarf ekki að vera stærsta skurðspennan sem kemur fram í kaflanum. Ef innfallshornið er nefnilega ekki ávöl, fæst τ=∞ á þeim stað, þannig að fyrir mjög lítinn námundunarradíus má búast við mestu skurðspennu hér.
Verkfræðiathugið: Stærðfræðilega sérkenni hins hugsjóna skárra horns er ekki leyfi til að áætla raunveruleg smáatriði með þessu áætluðu mynstri einum saman. Raunveruleg ávöl rúmfræði, vikmörk, mýkt, suðu, afgangsspennur, staðbundinn stöðugleiki og þreyta krefjast viðeigandi líkanagerðar og sannprófunar sérfræðinga.
Fyrir einhliða horn þar sem hliðarþykktin er t samkvæmt Trefftz\ er á námundun þvermálsins r:
hvar með τ0 merkt hámarksspenna reiknuð fyrir hvern einstakan fót miðað við aðferðina sem lýst er hér. Fyrir stærri hringlaga radíus er hægt að nota τ=2__τ0.
þunnveggja rör (Bradt mynstur)
Í þunnvegguðum rörum hefur bólgandi himnan þá lögun sem sýnd er á mynd.8, sem samanstendur af plani fyrir ofan holrýmið inni í pípunni og hallandi yfirborði sem umlykur það og liggur fyrir ofan virkan hluta pípuveggsins; þetta hallandi yfirborð verður að vera brattara ef rörveggir eru þynnri á viðeigandi stað. Í þessu tilviki dreifast skurðspennurnar nokkuð jafnt yfir þykkt veggjanna og eru í öfugu hlutfalli við þykkt vegganna, þ.e.a.s. skurðkraftur T = τt breytist ekki eftir ummáli hlutans.
Sl. 8
Yfirborðsþátturinn t_∙ds_ fær hluta af torsion momentinu
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
þannig að heildarstundin er
Einn.8
þar sem FR yfirborðið er þakið miðlínu sem er merkt með línum og punktum á mynd.8. Það er fengið héðan
Einn.9- Fyrsta Bredt\ mynstur
Snúningsstífleiki fæst einfaldlega þegar aflögunarvinnan er tjáð annars vegar með snúningskrafti og snúningshorni og hins vegar með skurðspennum. Þannig fæst það fyrir stöng sem er lengd l
svo, að kynna gildið fyrir τ samkvæmt jöfnunni (8),
það er, með samanburði við jöfnuna (2):
Einn.10
Ef þykktin á veggjunum er sú sama allan hringinn, þá er það einfalt (2. Mynstur Bredt):
Einn.11
Eðlileg spenna í snúningi vegna beygju hluta
Grunnhugtök og diffurjafna
Hlutafærslur u, jafna (1b), ákvarðar sveigju hlutanna út frá planum þeirra. Þegar snúningsmomentið er stöðugt er þessi beygja sú sama á öllum köflum og eðlileg spenna σx kemur ekki fram.
Í mörgum tilfellum er sveigja þversniðsins, sem ætti að myndast á grundvelli _St. Kenning Venants er ekki möguleg. Ef snúningsmomentið breytist skyndilega í einu þversniði, myndi beygja af mismunandi stærðargráðu beggja vegna þversniðsins og samfella aflögunarinnar raskast. Hægt er að klemma annan endann á stönginni þannig að beyging hlutans sé algjörlega útilokuð á þeim tímapunkti. Í slíkum tilvikum er nauðsynlegt að bæta við _St. Kenningar Venants. Aukaspennur σx í stefnu stangarássins og viðbótarskurðkraftur T (skurðspennur T/t) koma fram í stönginni, sem eru hæstar á þeim kafla þar sem samfellan aflögunar er rofin og sem minnka veldisvísis með fjarlægð frá þessum kafla. Þegar um solidar stangir og rör er að ræða er þessi kenning flókin og aukaspennan minnkar svo hratt að ákvörðun þeirra er í flestum tilfellum ekki þess virði. Fyrir þunnveggaðar opnar stangir skiptir þessi leiðrétting miklu máli og er hægt að reikna hana út tiltölulega auðveldlega.
Sl.9
Sl.9sýnir línuna sem miðflötur veggsins og skurðarplanið skerast eftir (miðlína skurðarins). O er miðpunktur hlutfallslegs snúnings tveggja samliggjandi hluta. Ef fjarlægð þeirra er dx er snúningshornið ϑ dx, þannig að handahófskenndur punktur miðlínunnar fær tilfærslu u ϑ dx. Þessi tilfærsla hefur íhlut rt ϑ dx í átt sem snertir hlutann og er sleppi frumefnisins á miðfleti veggsins (að teknu tilliti til þess að _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Þar sem skurðspennan á miðfleti veggsins er núll verður hún einnig að vera γ=0, svo þess vegna
Þetta mynstur inniheldur þrjár handahófskenndar færibreytur: upprunann sem bogalengdin s er reiknuð út frá og hnit miðpunkts hlutfallssnúnings O, sem rt fer eftir. Hægt er að velja upphafspunktinn sem bogalengdin s er reiknuð út frá þannig að meðalbeygjugildið sé núll:
og hægt er að ákvarða hnit miðjunnar O á þann hátt að augnablikin vegna beygju hlutans séu núll:
Sýna má fram á að snúningsmiðjan sem þannig er ákvörðuð falli saman við skúfmiðjuna sem er hér lýst og skilgreint á annan hátt.
Ef komið er í veg fyrir beygju hlutans sem lýst er af þessum mynstrum að hluta eða öllu leyti, verður eðlilegt álag σx að koma fram í átt að ás stangarinnar. Nánari athugun sýnir að hægt er að líta svo á að þessar spennur séu í réttu hlutfalli við sveigjufallið φ: σx=k__φ, þar sem φ er eingöngu háð s og k eingöngu af x. Samkvæmt lögum Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
verður að vera k=E d__ϑ/dx. Eðlileg spenna σx kallast sneiðbeygjuspenna. Miðað við jöfnurnar hér að ofan mynda þær jafnvægiskerfi krafta í hverjum kafla, kraftakerfi vegna beygju hlutans.
Heildartogið samanstendur af tveimur hlutum: annar þeirra M1=GJT__ϑ myndast vegna snúningsskurðspennu sem St. Venant's kenning, og hin M2 á sér stað vegna beygju á hlutanum:
Einn.13
Þar sem augnablikið M er gefið sem fall af x, táknar þessi tjáning mismunajöfnu fyrir snúningshornið ϑ. Þegar þessi jöfnu hefur verið leyst er hægt að reikna M1 og M2, og þar með allt álag og álag.
Lausn og forrit
Þegar torsion moment M er stöðugt er almenn lausn jöfnunnar (13) er:
Samþættingarfastar C1, C2 verður að ákvarða út frá tveimur jaðarskilyrðum.
a) Stíft klemmdur enda x=0(mynd.1)
Í þessum enda er u≡0, svo byggt á jöfnunni (1b) ϑ=0. Ef stöngin er mjög löng (αl>>1), síðan C1=0og C2= -M/GJT. Þegar um stuttar stangir er að ræða er útlit streitu vegna beygju á þversniði fyrir áhrifum af ástandi á hægri enda stangarinnar. Ef ekki er komið í veg fyrir beygju hlutans á þeim stað verður σx≡0og dϑ/dx=0. Það er fengið héðan
b) Samhverft snúningsálag samkvæmt mynd.10
Á vinstri helmingi stöngarinnar er snúningsmomentið -M/2, og til hægri +M/2. Ef um er að ræða frjálsan snúning myndu hlutar til vinstri og hægri við miðja stöngina snúast í gagnstæða átt, þess vegna myndi samfella aflögunarinnar ekki varðveitast. Því á staðnum x=0allt snúningsmomentið verður að flytjast í gegnum spennurnar sem verða vegna beygju þversniðsins og því í þessu þversniði M1=0og því ϑ=0. Á þessum tímapunkti virkar kraftakerfi til að tryggja að kaflinn haldist beinn, þó að hlutar sem liggja lengra frá miðju stangarferilsins. Ef auk þess er krafist að á endum stöngarinnar séu spennurnar σx≡0, enn eitt jaðarskilyrði fæst fyrir hvern helming stöngarinnar, svo það er fyrir hægri helminginn
Mynd. 10
c) Ytra augnablik M á handahófskenndum stað (mynd.11)
Í þessu tilviki verður að skrifa lausnina ϑ fyrir báða hluta stöngarinnar sérstaklega, þannig að alls koma fram fjórir fastar C1, C2, C3, C4. Að auki eru torsion augnablikin Ma, Mb einnig óþekkt. Sex jöfnur eru tiltækar: samfelluskilyrði fyrir ϑ (gefin upp með u) og fyrir dϑ/dx (gefin upp með σx) við álagspunkt, eitt skilyrði á hvorum enda stöngarinnar (t.d. stíf klemma ϑ=0, eða ótruflaður beygja, dϑ/dx=0), ástand jafnvægis eftir augnablikum -Ma+Mb=M og loks skilyrðið um að endahlutarnir snúist ekki hver við annan: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Lokaathugasemd: val á snúningslíkani fer eftir opnum eða lokuðum hluta, mjótt, stuðningsaðferð, inntaksstað og möguleika á frjálsri beygju. Fyrir raunverulegan þátt verður að athuga burðarþol og nothæfismörk, staðbundnar upplýsingar, samskeyti, þreytu og stöðugleika, ekki bara eina einangraða formúlu úr greininni.