Архивска стручна содржина: текстот и формулите пренесуваат историска теоретска презентација и не се проект, статичка пресметка, проверка на носивоста, проценка на постоечки елемент или инструкции за изградба или рехабилитација. Ознаките, претпоставките и приближните обрасци мора да се проверат според специфичниот систем, материјалот, геометријата, граничните услови и важечките стандарди. Пресметката на торзијата, стабилноста, заморот, зглобовите и напрегањето поради спреченото свиткување треба да биде направено од лиценциран инженер, со независна контрола кога тоа е потребно.
Денес, Саво Кусиќ е фокусиран на дрвени прозорци, дрво-алуминиумски прозорци, прилагодени прозорци, врата и барања за понуда. Оваа статија останува како историска професионална архива и не претставува услуга за структурен дизајн.
Теорија на Сен-Венант за торзија (слободна торзија)
Диференцијална равенка
Сл.1
На еден од неговите краеви нека биде фиксирана права прачка x=0а на другиот крај нека биде оптоварен со момент на торзија M (сл.1). Тогаш секој негов дел се врти за одреден агол α(x) околу одредена права паралелна на оската на стапот, која ќе ја прифатиме како x-оска. Ако сите пресеци се еднакви еден со друг, секоја права линија паралелна на оската x ќе помине во калем, а аголот α ќе биде пропорционален на растојанието од фиксниот крај: α=ϑx, од кој произлегуваат поместувањата на компонентите во рамнината на пресекот (Сл.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1а)
Количината ϑ се нарекува агол на торзија (димензија: должина-1, ротација по единица должина). Аголот на торзија е пропорционален на моментот на торзија M:
ϑ = M/GJT. (2)
Сл. 2
Факторот на пропорционалност GJT, торзиона вкочанетост, е еднаков на производот на модулот на смолкнување G и факторот JT, што го претставува ефектот на обликот и големината на пресекот.
Оваа ротација на делот не е единствената деформација на шипката. Дополнително, постои и свиткување на пресекот, т.е. до поместувањето u во насока на x-оската, која има иста големина за соодветните точки на сите пресеци и затоа е само функција на координатите во рамнината на пресекот, а инаку е пропорционална на оптоварувањето M или аголот на вртење ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1б)
Ако горенаведените изрази се воведат во соодветните равенки за поместување, се добива дека главните нормални напрегања се еднакви на нула, оставајќи само две компоненти напрегања τxy и τxz:
Еден.3
Диференцијалната равенка на проблемот со торзија е добиена врз основа на равенките (3) ставање:
Еден.4и јас4б
и решавање на овие диференцијални равенки за непознатите τxy и τxz со воведување на функцијата на стрес F(y,z) која:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Со ова, равенката (4а) идентично задоволен, и од равенката (4б) се добива бараната диференцијална равенка
г2F/dy2+ г2Ф/џ2=2G__ϑ (6)
Граничната состојба потребна за единствено решение на оваа равенка се добива од барањето да нема напрегања на смолкнување на обвивката на шипката, од што, поради конјугираната природа на напрегањата на смолкнување, произлегува дека напрегањето во рамнината на напречниот пресек не смее да има компонента нормална на неа долж контурата. Од тука, сл. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
затоа
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
т.е. вкупниот диференцијал на функцијата F мора да биде нула, односно да биде F=const. по контурата.
Ако пресекот има само една контура, може едноставно да се стави F=0 на неа, бидејќи со функцијата на напон, од која всушност сме заинтересирани само за деривати, произволна адитивна константа не игра улога. Со делови кои имаат повеќе од една контура, ова прашање е покомплексно.
Како што може да се види од равенката (5) резултантот на напрегањата на смолкнување τxy и τxz на произволна пресечна точка е еднаква по големина на градиентот на функцијата на напрегање F, но е нормална на него, т.е. има насока на линијата. F=конст.
Со решавање на диференцијалната равенка (6) се добиваат напоните τ како функции од y, z и ϑ. Задачата на пресметката е, се разбира, определување на аголот на торзија ϑ и напонот, особено максималното напрегање како функција од моментот на торзија, според тоа, определување на вкочанетоста на пресекот JT од равенката (2) и отпорниот момент на торзија WT = Mmaxτ. За да се добијат овие, потребно е само да се изрази M како функција од F:
Двата сума на овој интеграл, кои треба да се превземат во целиот дел, може да се трансформираат со делумна интеграција. Ако, на пример, првиот од нив се интегрира прво по линијата z=const. од точката на контурата y=y1 до точка y=y2 (сл.3) и земете во предвид дека во двете од овие точки F=0, се добива
Истата вредност се добива и од вториот интеграл, така што
Еден.7
Сл.3
Други случаи на целосни делови
Диференцијалната равенка (6) е нехомогена равенка на потенцијалната теорија. Затоа, за решавање на проблемот со торзија во случај на произволен пресек, достапни се методите на теоријата на потенцијалот, кои овозможуваат таа секогаш да се наоѓа. Овие методи, сепак, генерално се премногу сложени за да се применат на поединечни случаи кои се појавуваат во пракса. Затоа следната табела ги прикажува резултатите од ваквите пресметки за неколку делови.
За пресеци блиску до кружни, може да се стави JT=F_4/40_Ip, каде што F е плоштината и Ip е поларниот момент на инерција на пресекот.
Забелешка за формулите и табелите: изразите и вредностите на скенираните слики се зачувани како историски извор. OCR текстот, индексните ознаки и скенирањето не се доволно сигурни за пресметка. Секоја формула, единица, коефициент и опсег треба да се проверат во авторитетен професионален извор и валиден стандард пред употреба.
Аналогија со мембрана
Добра помош за проценка на торзионите напрегања, а воедно и постапка за нивно точно определување дава аналогијата помеѓу функцијата на напрегање F на торзиониот проблем и отклонето попречно оптоварување на мембраната. Нека има просечен отвор на рамниот ѕид на садот што се совпаѓа со пресекот на прачка натоварена во торзија. Кога мембраната се протега над овој отвор и се предизвикува мал вишок притисок p во садот, мембраната се испакнува нанадвор, така што нејзините отклонувања ξ(y,z) ја задоволуваат диференцијалната равенка
каде N е површинскиот напон во мембраната предизвикан од капиларните сили (димензии: сила по единица должина). Оваа равенка се совпаѓа со равенката (6), а граничната состојба ξ=0 е иста како и за функцијата на напон. На овој начин, функцијата на напон F(y,z) може да се добие со користење на ова огледало со мембраната и со тоа да се реши проблемот со торзијата. Напрегањето τ одговара на наклонот на мембраната во однос на y-z-рамнината, така што најстрмното место е она каде што прачката изложена на торзија има најголем напрегање на смолкнување.
Сл.4
Сл.5
Оваа мембранска постапка е особено погодна за добивање приближни обрасци за делови со тенкоѕидни делови. Кога, на пример, I-делот е поделен според сл.4на три правоаголници и за секој од нив аналогијата со мембраната се изведува посебно, збирот на волумените на добиените испакнатини ќе биде само малку помал од волуменот што всушност одговара на функцијата на напон. Затоа, кога дебелини се b1 и б2 мал, приближно
JT =2ЈТ1+ ЈТ2,
каде JT1 и _ ЈТ2_ фактори на вкочанетост на поединечни правоаголници кои може да се пресметаат врз основа на табелата1. Подобар пристап се добива кога JT се става за реброто2 = а2б32/3 затоа, кога реброто се смета како дел од многу издолжен правоаголник. Уште попрецизна вредност се добива според Trayer и March\ од
JT =2ЈТ1+1/3а2б32+2 α Д4,
каде што D е дијаметарот на најголемиот круг впишан како што е прикажано на сл.4, а α може да се земе од сл.5. За Т-пресек се добива слично
JT = ЈТ1+ ЈТ2+ α Д4,
каде JT2 половина од вредноста пресметана според табелата1за a=2_а2_, b=b2. За L-делови (Сл.6) е слично на тоа
JT = ЈТ1+ ЈТ2+ β Д4
каде JT1 за подебелата рака се зема директно од масата1, додека JT2 за потенката нога се пресметува како за Т-пресек, а β се зема од сл.7.
Сл. 6
Сл. 7
При пресметување на напрегањето, торзиониот момент се дели на составни правоаголници: делот што паѓа на прирабниците M1=М ЈТ2/JT; напрегањето на смолкнување потоа се пресметува на средната точка на подолгата страна на секој правоаголник врз основа на табелата1. Најголемото од овие напрегања не мора да биде најголемото напрегање на смолкнување кое се појавува во пресекот. Имено, ако аголот на пад не е заоблен, на тоа место се добива τ=∞, така што за многу мал радиус на заокружување овде може да се очекува најголемо напрегање на смолкнување.
Инженерска забелешка: математичката сингуларност на идеализираниот остар агол не е лиценца за проценка на вистинските детали само со оваа приближна шема. Вистинската геометрија на заокружување, толеранции, пластичност, заварување, резидуални напрегања, локална стабилност и замор бараат соодветно моделирање и стручна проверка.
За едностран агол чија дебелина на страната е t според Trefftz\ е на заокружувањето на дијаметарот r:
каде со τ0 означен максимален напон пресметан за секој поединечен крак врз основа на постапката опишана овде. За поголеми радиуси на заокружување, може да се усвои τ=2__τ0.
Цевки со тенки ѕидови (обрасци на Бред)
Кај тенкоѕидните цевки испакнатата мембрана ја има формата прикажана на сл.8, кој се состои од рамнина над шупливиот простор во внатрешноста на цевката и наведната површина што ја опкружува и лежи над ефективниот дел од ѕидот на цевката; оваа навалена површина мора да биде поостра ако ѕидовите на цевките се потенки на соодветното место. Во овој случај, напрегањата на смолкнување се распределени прилично рамномерно по дебелината на ѕидовите и се обратно пропорционални со дебелината на ѕидовите, односно силата на смолкнување__T = τt не се менува по обемот на пресекот.
Сл. 8
Површинскиот елемент t_∙ds_ добива дел од торзиониот момент
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
значи вкупниот момент е
Еден.8
каде FR површината е покриена со средната линија означена со линии и точки на сл.8. Од тука се добива
Еден.9- Првиот модел Bredt\
Торзионата вкочанетост се добива наједноставно кога деформациската работа е изразена од една страна преку торзиониот момент и аголот на торзија и од друга страна преку напрегањата на смолкнување. На овој начин се добива за елемент на прачка со должина l
така, воведувајќи ја вредноста за τ според равенката (8),
односно во споредба со равенката (2):
Еден.10
Ако дебелината на ѕидовите е иста наоколу, тогаш е едноставно (2. Шемата на _Бредт):
Еден.11
Нормални напрегања при торзија поради свиткување на делот
Основни поими и диференцијална равенка
Поместувања на компонентите u, равенка (1b), ја одредува закривеноста на пресеците од нивните рамнини. Кога моментот на торзија е константен, ова свиткување е исто во сите пресеци и нормалните напрегања σx не се појавуваат.
Во многу случаи, свиткувањето на пресекот, кое треба да настане врз основа на _Св. Теоријата на Венант не е можна. Доколку торзиониот момент нагло се промени во еден пресек, на двете страни на пресекот би настанало свиткување со различни величини и би се нарушил континуитетот на деформацијата. Едниот крај на шипката може да биде толку затегнат што виткањето на делот е целосно исклучено во тој момент. Во вакви случаи треба да се направи измена _Св. Теориите на Венант. Во прачката се појавуваат дополнителни напрегања σx во правец на оската на прачката и дополнителна сила на смолкнување T (напрегања на смолкнување T/t), кои се највисоки во делот каде што е прекинат континуитетот на деформација и кои експоненцијално се намалуваат со оддалеченоста од овој дел. Во случај на цврсти прачки и цевки, оваа теорија е сложена, а дополнителните напони се намалуваат толку брзо што нивното определување во повеќето случаи не вреди. За шипки со тенкоѕиди со отворен профил, оваа корекција е од големо значење и може релативно лесно да се пресмета.
Сл. 9
Сл.9ја покажува линијата по која се сечат средната површина на ѕидот и рамнината на пресекот (средната линија на пресекот). O е центар на релативна ротација на два соседни делови. Ако нивното растојание е dx, аголот на торзија е ϑ dx, така што произволна точка на средната линија се подложува на поместување u ϑ dx. Ова поместување има компонента rt ϑ dx во насока тангента на пресекот и е лизгање на елементот на средната површина на ѕидот (земајќи предвид дека _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Бидејќи напрегањето на смолкнување во средната површина на ѕидот е нула, мора да биде и γ=0, па затоа
Оваа шема содржи три произволни параметри: потеклото од кое се пресметува должината на лакот s и координатите на центарот на релативна ротација O, од кој зависи rt. Почетната точка од која се пресметува должината на лакот s може да се избере така што средната вредност на кривината е нула:
а координатите на центарот O може да се одредат на тој начин што моментите поради свиткување на пресекот се нула:
Може да се покаже дека вака определениот центар на ротација се совпаѓа со центарот на смолкнување кој е тука опишан и дефиниран на друг начин.
Ако виткањето на делот опишан со овие обрасци е целосно или делумно спречено, мора да се појават нормални напрегања σx во насока на оската на шипката. Поблиското испитување покажува дека овие напрегања може да се сфатат дека се пропорционални со функцијата на закривеност φ: σx=k__φ, каде што φ зависи само од s и k само од x. Според законот на Хук:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
мора да биде k=E d__ϑ/dx. Нормалните напрегања σx се нарекуваат напрегања на свиткување на пресекот. Со оглед на горенаведените равенки, тие формираат рамнотежен систем на сили во секој дел, систем на сили поради свиткување на пресекот.
Вкупниот вртежен момент се состои од два дела: еден од нив M1=GJT__ϑ настанува поради напрегањата на торзионото смолкнување дадени од St. Теоријата на Венант, а другата _ М2 се јавува поради свиткување на делот:
Еден.13
Бидејќи моментот M е даден како функција од x, овој израз претставува диференцијална равенка за аголот на торзија ϑ. Откако ќе се реши оваа равенка, може да се пресмета M1 и _ М2_, а со тоа и сите напрегања и напрегања.
Решение и апликации
Кога моментот на торзија M е константен, општото решение на равенката (13) е:
Интеграциски константи C1, Ц2 мора да се определи од два гранични услови.
а) Цврсто стегнат крај x=0(сл.1)
На овој крај е u≡0, така што врз основа на равенката (1б) ϑ=0. Ако прачката е многу долга (αl>>1), потоа C1=0и C2= -M/GJT. Во случај на кратки прачки, појавата на стрес поради свиткување на пресекот е под влијание на состојбата на десниот крај на шипката. Доколку на тоа место не се спречи свиткување на делот, ќе има σx≡0и dϑ/dx=0. Од тука се добива
б) Симетрично торзионо оптоварување според сл.10
На левата половина од шипката, моментот на вртење е -M/2, а на десната +M/2. Во случај на слободна торзија, пресеците лево и десно од средината на шипката би биле искривени во спротивна насока, па затоа не би се зачувал континуитетот на деформацијата. Затоа, на местото x=0, целиот торзионски момент мора да се пренесе преку напрегањата кои настануваат поради свиткување на пресекот, па затоа во овој дел M1=0 и затоа ϑ=0. Во овој момент, систем на сили дејствува за да се осигура дека делот останува исправен, иако деловите што лежат подалеку од центарот на кривата на шипката. Доколку, дополнително, се бара напрегањата на краевите на шипката да бидат σx≡0, се добива уште еден граничен услов за секоја половина од шипката, така што за десната половина е
Сл. 10
в) Надворешен момент M на произволно место (сл. 11)
Во овој случај, решението ϑ за двата дела на шипката мора да се запише посебно, така што се појавуваат вкупно четири константи C1, Ц2, Ц3, Ц4. Дополнително, непознати се и моментите на торзија Ma, Mb. Достапни се шест равенки: услов за континуитет за ϑ (изразен со u) и за dϑ/dx (изразен со σx) на точката на оптоварување, по еден услов на секој крај на шипката (на пр. круто стегање ϑ=0, или непречено свиткување, dϑ/dx=0), условот на рамнотежа по моменти -Ma+Mb=M и на крајот условот крајните делови да не се ротираат еден во однос на друг: ∫ ϑdx =0.
Сл.11
Завршна забелешка: изборот на модел на торзија зависи од отворениот или затворениот дел, виткоста, начинот на потпора, местото на внесување момент и можноста за слободно свиткување. За вистински елемент, мора да се проверат состојбите на носивоста и граничната услуга, локалните детали, зглобовите, заморот и стабилноста, а не само една изолирана формула од статијата.