Архив экспертного контента: текст и формулы передают исторический теоретический взгляд и не являются проектом, статическим расчетом, проверкой несущей способности, оценкой существующего элемента или инструкциями по строительству или восстановлению. Обозначения, предположения и примерные схемы должны быть проверены на соответствие конкретной системе, материалу, геометрии, граничным условиям и применимым стандартам. Расчет скручивания, устойчивости, усталости, соединений и напряжения из-за предотвращения изгиба должен выполняться уполномоченным инженером с независимым контролем, при необходимости.
Саво Кусич сегодня фокусируется на деревянных окнах, дерево-алюминиевых окнах, окнах на заказ, дверях и запросах цен. Эта статья остается историческим профессиональным архивом и не представляет собой услугу строительного проектирования.
Теория кручения Сен-Венана (свободное кручение)
Дифференциальное уравнение
Рис. 1
Пусть прямой стержень закреплен на одном из своих концов x=0, а на другом конце нагружен крутящим моментом M (рис. 1). Тогда каждая ее секция поворачивается на определенный угол α(x) вокруг некоторой линии, параллельной оси палки, которую мы примем за ось x. Если все сечения равны между собой, то любая прямая, параллельная оси x, перейдет в виток, а угол α будет пропорционален расстоянию от закрепленного конца: α=ϑx, от которого возникают смещения компонентов в плоскости сечения (рис. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Величина ϑ называется торсионным углом (размерность: длина-1, поворот на единицу длины). Угол скручивания пропорционален крутящему моменту M:
ϑ = M/GJT. (2)
Рис. 2
Коэффициент пропорциональности GJT, жесткость на кручение, равен произведению модуля сдвига G и коэффициента JT, который представляет собой влияние формы и размера сечения.
Это вращение секции не является единственной деформацией стержня. Кроме того, имеет место также изгиб поперечного сечения, т. е. смещение u в направлении оси x, которое имеет одинаковую величину для соответствующих точек всех сечений и поэтому является лишь функцией координат в плоскости сечения, а в остальном пропорционально нагрузке M или углу кручения ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Если приведенные выше выражения ввести в соответствующие уравнения смещения, то получится, что главные нормальные напряжения равны нулю, оставив только два составляющих напряжения τxy и τxz:
Уравнение. 3
Дифференциальное уравнение задачи кручения получается на основе уравнений (3), если положить:
Единица. 4a и 4b
и решения этих дифференциальных уравнений для неизвестных τxy и τxz путем введения функции напряжения F(y,z), которая:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Это тождественно удовлетворяет уравнению (4a), а требуемое дифференциальное уравнение
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Граничное условие, необходимое для однозначного решения этого уравнения, получается из требования отсутствия касательных напряжений на оболочке стержня, из чего в силу сопряженного характера касательных напряжений следует, что напряжение в плоскости сечения не должно иметь перпендикулярной ему составляющей по контуру. Отсюда рис. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
следовательно
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
т.е. общий дифференциал функции F должен быть равен нулю, то есть он должен быть F=const. по контуру.
Если сечение имеет только один контур, то на нем можно просто поставить F=0, поскольку с функцией напряжения, производные которой нас фактически интересуют, произвольная аддитивная константа роли не играет. С сечениями, имеющими более одного контура, этот вопрос более сложен.
Как видно из уравнения (5), результирующая касательных напряжений τxy и τxz в произвольной точке пересечения равна по величине градиенту функции напряжения F, но перпендикулярна ему, т.е. имеет касательное направление к линии F=const.
Решение дифференциального уравнения (6) даёт напряжения τ как функции y, z и ϑ. Задачей расчета является, конечно же, определение угла кручения ϑ и напряжения, особенно максимального напряжения в зависимости от крутящего момента, следовательно, определение жесткости сечения JT из уравнения (2) и крутящего момента сопротивления WT = Mmaxτ. Чтобы получить их, необходимо всего лишь выразить M как функцию F:
Оба сложения этого интеграла, которые следует принять по всему разделу, можно преобразовать частичным интегрированием. Если, например, первый из них интегрируется первым по линии z=const. от точки на контуре y=y1 до точки y=y2 (рис. 3) и учитывая, что в обеих этих точках F=0, получим
То же значение получается из второго интеграла, так что
Уравнение. 7
Рис. 3
Другие случаи полных разделов
Дифференциальное уравнение (6) — неоднородное уравнение теории потенциала. Поэтому для решения задачи кручения в случае произвольного сечения доступны методы теории потенциала, позволяющие всегда ее найти. Однако эти методы, как правило, слишком сложны, чтобы их можно было применять в отдельных случаях, возникающих на практике. Именно поэтому в следующей таблице приведены результаты таких расчетов для нескольких участков.
Для сечений, близких к круглым, можно поставить JT=F_4/40_Ip, где F — площадь, а Ip — полярный момент инерции сечения.
Примечание относительно формул и таблиц: выражения и значения на отсканированных изображениях сохраняются как исторический источник. Текст OCR, индексные метки и сканирование недостаточно надежны для вычислений. Перед использованием каждую формулу, единицу измерения, коэффициент и область применения следует проверить в авторитетном профессиональном источнике и в действующем стандарте.
Аналогия с мембраной
Хорошим подспорьем для оценки крутильных напряжений и в то же время процедуры их точного определения является аналогия между функцией напряжений F задачи кручения и прогибающей поперечной нагрузкой мембраны. Пусть на плоской стенке сосуда имеется среднее отверстие, совпадающее с сечением стержня, нагруженного на кручение. Когда мембрана натягивается на это отверстие и в сосуде создается небольшое избыточное давление p, мембрана выпячивается наружу, так что ее отклонения ξ(y,z) удовлетворяют дифференциальному уравнению
где N — поверхностное натяжение мембраны, вызванное капиллярными силами (размеры: сила на единицу длины). Это уравнение совпадает с уравнением (6), а граничное условие ξ=0 такое же, как и для функции напряжения. Таким образом, используя это зеркало с мембраной, можно получить функцию напряжения F(y,z) и тем самым решить проблему кручения. Напряжение τ соответствует наклону мембраны относительно плоскости y-z, поэтому самым крутым местом является то, где стержень, подвергающийся кручению, имеет наибольшее напряжение сдвига.
Рис. 4
Рис. 5
Эта мембранная процедура особенно подходит для получения приблизительных моделей тонкостенных срезов. Когда, например, двутавр разделен по рис. 4 на трех прямоугольниках и для каждого из них отдельно проведена аналогия с мембраной, сумма объемов получившихся выступов будет лишь немногим меньше объема, который фактически соответствует функции напряжения. Поэтому, когда толщины b1 и b2 малы, примерно
JT = 2JT1 + JT2,
, где JT1 и JT2 — это коэффициенты жесткости отдельных прямоугольников, которые можно рассчитать на основе таблицы 1. Лучшее приближение получается, когда для ребра используется JT2 = a2 b32/3, то есть когда ребро рассматривается как часть очень вытянутого прямоугольника. Еще более точное значение получается по Trayer и March\ из
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
где D — диаметр наибольшего круга, вписанного, как показано на рис. 4, а α можно взять с рис. 5. Для Т-образного сечения получается аналогично
JT = JT1 +JT2 + α D4,
где JT2 — половина значения, рассчитанного по таблице 1 для a=2 a2, b=b2. Для Г-образных сечений (рис. 6) аналогично
JT = JT1 + JT2 + β D4
где JT1 для более толстого плеча берется непосредственно из таблицы 1, а JT2 для более тонкого плеча рассчитывается как для Т-образного сечения, а β берется из рис. 7.
Рис. 6
Рис. 7
При расчете напряжения крутящий момент разбивается на составляющие прямоугольники: часть, приходящаяся на полки M1=M JT2/JT; напряжение сдвига затем рассчитывается в середине более длинной стороны каждого прямоугольника на основе таблицы 1. Самое большое из этих напряжений не обязательно должно быть самым большим напряжением сдвига, возникающим в сечении. А именно, если угол падения не закруглен, в этом месте получается τ=∞, так что при очень малом радиусе закругления здесь можно ожидать самого высокого напряжения сдвига.
Инженерное примечание: математическая особенность идеализированного острого угла не дает права оценивать реальные детали только по этой приблизительной схеме. Реальная геометрия скругления, допуски, пластичность, сварные швы, остаточные напряжения, местная устойчивость и усталость требуют соответствующего моделирования и экспертной проверки.
Для одностороннего угла, толщина участка которого t по Trefftz\ находится на скруглении диаметра r:
где τ0 обозначает максимальное напряжение, рассчитанное для каждой отдельной ветви на основе описанной здесь процедуры. Для больших радиусов скругления можно принять τ=2__τ0.
Тонкостенные трубы (образцы Брэдта)
В трубах с тонкими стенками выпуклая мембрана имеет форму, показанную на рис. 8, состоящая из плоскости над полым пространством внутри трубы и наклонной поверхности, окружающей ее и лежащей над эффективным сечением стенки трубы; эта наклонная поверхность должна быть более крутой, если стенки трубы в соответствующем месте тоньше. При этом сдвиговые напряжения распределяются достаточно равномерно по толщине стенок и обратно пропорциональны толщине стенок, т.е. сдвиговая сила Т = τt не меняется по окружности сечения.
Сл. 8
Поверхностный элемент t_∙ds_ принимает на себя часть крутящего момента
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
так что общий момент равен
Уравнение. 8
, где поверхность FR покрыта средней линией, отмеченной линиями и точками на рис. 8. Отсюда вы получаете
Уравнение. 9 - Первый образец Bredt\
Жесткость кручения проще всего получить, когда работа деформации выражается, с одной стороны, через крутящий момент и угол кручения, а с другой стороны, через напряжения сдвига. Таким образом получается для стержневого элемента длиной l
итак, вводя значение τ согласно уравнению (8),
то есть по сравнению с уравнением (2):
Уравнение. 10
Если толщина стен везде одинаковая, то всё просто (2. Выкройка Бредта):
Уравнение. 11
Нормальные напряжения при кручении из-за изгиба профиля
Основные термины и дифференциальное уравнение
Смещения компонентов u, уравнение (1b), определяет кривизну сечений относительно их плоскостей. При постоянном крутящем моменте этот изгиб одинаков во всех сечениях и нормальные напряжения σx не возникают.
Во многих случаях кривизна сечения, которая должна возникнуть на основании _Ст. Теория Венанта невозможна. Если крутящий момент резко изменится в одном сечении, то с обеих сторон сечения возникнет изгиб разной величины и непрерывность деформации будет нарушена. Один конец стержня можно зажать так, что изгиб секции в этом месте полностью исключен. В таких случаях следует внести поправку _Св. Теории Венанта. В стержне возникают дополнительные напряжения σx в направлении оси стержня и дополнительные сдвиговые силы Т (сдвигающие напряжения Т/t), которые максимальны на участке, где сплошность деформации нарушена, и которые экспоненциально уменьшаются по мере удаления от этого сечения. В случае твердых стержней и трубок эта теория сложна, а дополнительные напряжения убывают так быстро, что их определение в большинстве случаев нецелесообразно. Для тонкостенных стержней с открытым профилем эта поправка имеет большое значение и сравнительно легко рассчитывается.
Рис. 9
Рис. 9 показывает линию, по которой пересекаются срединная поверхность стены и плоскость сечения (средняя линия сечения). O — центр относительного вращения двух соседних секций. Если их расстояние равно dx, угол скручивания равен ϑ dx, поэтому произвольная точка средней линии подвергается смещению u ϑ dx. Это смещение имеет составляющую rt ϑ dx в направлении, касательно сечения, а скольжение элемента средней поверхности стены составляет (с учетом того, что _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Поскольку напряжение сдвига на средней поверхности стены равно нулю, оно также должно быть γ=0 и, следовательно,
Этот шаблон содержит три произвольных параметра: начало координат, от которого рассчитывается длина дуги s, и координаты центра относительного вращения O, от которого зависит rt. Начало, от которого рассчитывается длина дуги s, можно выбрать так, чтобы среднее значение кривизны было равно нулю:
и координаты центра O можно определить так, чтобы моменты, возникающие при изгибе сечения, также были равны нулю:
Можно показать, что центр вращения, определенный таким образом, совпадает с центром сдвига, описанным здесь и определенным другим способом.
Если полностью или частично предотвратить изгиб сечения, описываемого этими схемами, должны появиться нормальные напряжения σx в направлении оси стержня. Более внимательное рассмотрение показывает, что эти напряжения можно принять пропорциональными функции кривизны φ: σx=k_φ, где φ зависит только от s, а k только от x. Как по закону Гука:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
должно быть k=E d__ϑ/dx. Нормальные напряжения σx называются напряжениями изгиба сечения. Учитывая приведенные выше уравнения, они образуют равновесную систему сил в каждой секции, систему сил, обусловленную изгибом секции.
Общий крутящий момент состоит из двух частей: одна из них M1=GJT_ϑ возникает в результате касательных напряжений во время кручения, что дает St. По теории Венанта, а другой M2 возникает из-за изгиба сечения:
Ур. 13
Поскольку момент M задан как функция x, это выражение представляет собой дифференциальное уравнение для угла кручения ϑ. Когда это уравнение решено, можно рассчитать M1 и M2 и, следовательно, все напряжения и деформации.
Решение и приложения
Когда крутящий момент M постоянен, общее решение уравнения (13):
Константы интегрирования C1, C2 должны определяться из двух граничных условий.
а) Жестко зажатый конец x=0 (рис. 1)
На этом конце находится u≡0, поэтому на основании уравнения (1b) ϑ=0. Если стержень очень длинный (αl>>1), то C1=0 и C2= -M/GJT. В случае коротких стержней на появление напряжений из-за изгиба сечения влияет состояние правого конца стержня. Если в этом месте не предотвратить изгиб сечения, то будут σx≡0 и dϑ/dx=0. Отсюда вы получаете
б) Симметричная скручивающая нагрузка согласно рис. 10
На левой половине стержня крутящий момент равен -M/2, а на правой +M/2. При свободном кручении участки слева и справа от середины стержня были бы закручены в противоположную сторону, поэтому непрерывность деформации не сохранилась бы. Следовательно, в месте x=0 весь крутящий момент должен передаваться через напряжения, возникающие из-за изгиба сечения, и поэтому в этом сечении M1=0 и, следовательно, ϑ=0. В этот момент система сил действует так, чтобы секция оставалась прямой, даже если участки лежат дальше от центра кривой стержня. Если дополнительно требуется, чтобы на концах стержня напряжения были σx≡0, то для каждой половины стержня получается еще одно граничное условие, то есть для правой половины оно равно
Рис. 10
в) Внешний момент М в произвольном месте (рис. 11)
В этом случае решение ϑ для обеих частей стержня нужно записать отдельно, поэтому всего появляется четыре константы C1, C2, C3, C4. Кроме того, неизвестны также крутящие моменты Ma, Mb. Доступно шесть уравнений: условие непрерывности для ϑ (выраженное u) и для dϑ/dx (выраженное σx) в точке действия нагрузки, по одному условию на каждом конце стержня (например, жесткое защемление ϑ=0 или невозмущенный изгиб dϑ/dx=0), моментное условие равновесия -Ma+Mb=M и, наконец, условие, чтобы концевые секции не поворачивались навстречу друг другу: ∫ ϑdx = 0.
Рис. 11
Заключительное замечание: выбор торсионной модели зависит от открытого или закрытого сечения, гибкости, способа опирания, места приложения момента и возможности свободного изгиба. Для реального элемента должны быть проверены предельные состояния по несущей способности и работоспособности, местные детали, соединения, усталость и устойчивость, а не одна изолированная формула из статьи.