Arhivski stručni sadržaj: tekst i formule prenose povijesno teorijski pogled i nisu projekt, statički proračun, provjera nosivosti, procjena postojećeg elementa ili upute za izgradnju ili sanaciju. Oznake, pretpostavke i približni uzorci moraju se provjeriti u odnosu na određeni sustav, materijal, geometriju, rubne uvjete i primjenjive standarde. Proračun uvijanja, stabilnosti, zamora, spojeva i naprezanja zbog spriječenog savijanja treba obaviti ovlašteni inženjer, uz neovisnu kontrolu po potrebi.
Savo Kusić danas se fokusira na drvene prozore, drvo-aluminijske prozore, prozore po narudžbi, vrata i zahtjeve za ponudu. Ovaj članak ostaje kao povijesni stručni arhiv i ne predstavlja uslugu projektiranja konstrukcije.
Saint-Venantova teorija torzije (slobodna torzija)
Diferencijalna jednadžba
Sl. 1
Neka je ravni štap fiksiran na jednom od svojih krajeva x=0, a na drugom kraju neka bude opterećen torzijskim momentom M (sl. 1). Tada se svaki njegov odsječak zakrene za određeni kut α(x) oko određene linije paralelne s osi štapa, koju ćemo usvojiti kao x-os. Ako su svi presjeci međusobno jednaki, svaka ravna linija paralelna s osi x prijeći će u zavojnicu, a kut α bit će proporcionalan udaljenosti od fiksnog kraja: α=ϑx, iz čega proizlaze pomaci komponenti u ravnini presjeka (sl. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Veličina ϑ naziva se torzijski kut (dimenzija: duljina-1, rotacija po jedinici duljine). Torzijski kut proporcionalan je torzijskom momentu M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl. 2
Faktor proporcionalnosti GJT, torzijska krutost, jednak je umnošku modula smicanja G i faktora JT, koji predstavlja učinak oblika i veličine presjeka.
Ova rotacija presjeka ne predstavlja jedinu deformaciju štapa. Osim toga, postoji i savijanje presjeka, tj. na pomak u u smjeru x-osi, koji ima istu veličinu za odgovarajuće točke svih poprečnih presjeka i stoga je samo funkcija koordinata u ravnini presjeka, a inače je proporcionalan opterećenju M ili torzijskom kutu ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Ako se gornji izrazi uvedu u odgovarajuće jednadžbe pomaka, dobiva se da su glavna normalna naprezanja jednaka nuli, ostavljajući samo dva komponentna naprezanja τxy i τxz:
Eq. 3
Diferencijalna jednadžba problema torzije dobiva se na temelju jednadžbi (3) stavljanjem:
Eq. 4a i 4b
i rješavanje ovih diferencijalnih jednadžbi za nepoznanice τxy i τxz uvođenjem funkcije naprezanja F(y,z) koja:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
To identično zadovoljava jednadžbu (4a), a tražena diferencijalna jednadžba
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Granični uvjet potreban za jedinstveno rješenje ove jednadžbe dobiva se iz zahtjeva da nema posmičnih naprezanja na ovojnici štapa, iz čega, zbog konjugirane prirode posmičnih naprezanja, slijedi da naprezanje u ravnini presjeka ne smije imati komponentu okomitu na nju duž konture. Odavde, sl. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
stoga
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
tj. ukupni diferencijal funkcije F mora biti nula, odnosno mora biti F=const. po konturi.
Ako presjek ima samo jednu konturu, na njega se jednostavno može staviti F=0, jer kod funkcije napona, čije nas zapravo zanimaju samo izvodnice, proizvoljna aditivna konstanta ne igra nikakvu ulogu. S dijelovima koji imaju više od jedne konture, ovo je pitanje složenije.
Kao što se može vidjeti iz jednadžbe (5) rezultanta posmičnih naprezanja τxy i τxz u proizvoljnoj točki presjeka jednaka je po veličini gradijentu funkcije naprezanja F, ali je okomita na njega, tj. ima smjer tangente na liniju F=konst.
Rješavanje diferencijalne jednadžbe (6) daje napone τ kao funkcije y, z i ϑ. Zadatak proračuna je, naravno, određivanje torzionog kuta ϑ i naprezanja, posebno maksimalnog naprezanja kao funkcije torzijskog momenta, dakle, određivanje presječne krutosti JT iz jednadžbe (2) i otpornog torzijskog momenta WT = Mmaxτ. Da biste ih dobili, potrebno je samo izraziti M kao funkciju F:
Oba dodatka ovog integrala, koji bi trebali biti preuzeti preko cijelog odsječka, mogu se transformirati djelomičnim integriranjem. Ako se npr. prvi od njih integrira prvi po liniji z=const. od točke na konturi y=y1 do točke y=y2 (sl. 3) i uzimajući u obzir da u obje ove točke F=0, dobivamo
Ista vrijednost se dobiva iz drugog integrala, pa je
Eq. 7
Sl. 3
Ostali slučajevi punih odjeljaka
Diferencijalna jednadžba (6) je nehomogena jednadžba teorije potencijala. Stoga su za rješenje problema torzije u slučaju proizvoljnog presjeka dostupne metode teorije potencijala koje omogućuju da se on uvijek pronađe. Međutim, te su metode općenito previše složene da bi se mogle primijeniti na pojedinačne slučajeve koji se pojavljuju u praksi. Zato su u sljedećoj tablici prikazani rezultati takvih izračuna za nekoliko dionica.
Za poprečne presjeke bliske kružnim, može se staviti JT=F_4/40_Ip, gdje je F površina, a Ip polarni moment tromosti poprečnog presjeka.
Napomena o formulama i tablicama: izrazi i vrijednosti na skeniranim slikama pohranjeni su kao povijesni izvor. OCR tekst, oznake indeksa i skeniranje nisu dovoljno pouzdani za izračun. Svaku formulu, jedinicu, koeficijent i opseg prije upotrebe treba provjeriti u autoritativnom stručnom izvoru i važećem standardu.
Analogija s membranom
Dobru pomoć za procjenu torzijskih naprezanja, a ujedno i postupak za njihovo točno određivanje pruža analogija između funkcije naprezanja F torzijskog problema i progibnog poprečnog opterećenja membrane. Neka na ravnoj stijenci posude postoji prosječan otvor koji se podudara s presjekom štapa opterećenog na torziju. Kada se membrana rastegne preko ovog otvora i u posudi se izazove mali prekomjerni tlak p, membrana se izboči prema van, tako da njezini otkloni ξ(y,z) zadovoljavaju diferencijalnu jednadžbu
gdje je N površinska napetost u membrani uzrokovana kapilarnim silama (dimenzije: sila po jedinici duljine). Ova se jednadžba poklapa s jednadžbom (6), a rubni uvjet ξ=0 isti je kao za naponsku funkciju. Na taj način pomoću ovog zrcala s membranom može se dobiti funkcija napona F(y,z) i tako riješiti problem torzije. Naprezanje τ odgovara nagibu membrane u odnosu na y-z-ravninu, tako da je najstrmije mjesto ono gdje šipka izložena torziji ima najveći smični napon.
Sl. 4
Sl. 5
Ovaj membranski postupak posebno je prikladan za dobivanje približnih uzoraka za presjeke tankih stijenki. Kada se npr. I-presjek podijeli prema sl. 4 na tri pravokutnika i za svaki od njih posebno provedena analogija s membranom, zbroj volumena dobivenih izbočina bit će tek nešto manji od volumena koji stvarno odgovara naponskoj funkciji. Stoga, kada su debljine b1 i b2 male, približno
JT = 2JT1 + JT2,
pri čemu su JT1 i JT2 faktori krutosti pojedinačnih pravokutnika koji se mogu izračunati na temelju tablice 1. Bolja aproksimacija se postiže kada se za rebro koristi JT2 = a2 b32/3, odnosno kada se rebro smatra dijelom jako izduženog pravokutnika. Još točnija vrijednost je dobivena prema Trayer i March\ iz
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 _α D4, _
gdje je D promjer najvećeg kruga upisanog kao što je prikazano na sl. 4, a α se može uzeti sa sl. 5. Za T-presjek se dobiva slično
JT = JT1 +JT2 + α D4,
gdje je JT2 polovina vrijednosti izračunate prema tablici 1 za a=2 a2, b=b2. Za L-presjeke (sl. 6) to je slično kao
JT = JT1 + JT2 + β D4
gdje se JT1 za deblji krak uzima izravno iz tablice 1, dok se JT2 za tanji krak izračunava kao za T-presjek, a β se uzima sa sl. 7.
Sl. 6
Sl. 7
Pri proračunu naprezanja torzijski moment se dijeli na sastavne pravokutnike: dio koji pada na prirubnice M1=M JT2/JT; smično naprezanje se tada izračunava na sredini duže stranice svakog pravokutnika na temelju tablice 1. Najveći od ovih naprezanja ne mora biti najveći posmični napon koji se pojavljuje u presjeku. Naime, ako upadni kut nije zaobljen, na tom mjestu se dobiva τ=∞, tako da se za vrlo mali radijus zaobljenja ovdje može očekivati najveći posmični napon.
Inženjerska napomena: matematička singularnost u idealiziranom oštrom kutu nije dozvola za procjenu stvarnih detalja samo ovim približnim uzorkom. Stvarna geometrija zaobljenja, tolerancije, plastičnost, zavari, zaostala naprezanja, lokalna stabilnost i zamor zahtijevaju odgovarajuće modeliranje i stručnu provjeru.
Za jednostrani kut čija je debljina kraka t prema Trefftz\ je na zaokruživanju promjera r:
gdje τ0 označava najviši napon izračunat za svaki pojedinačni krak na temelju ovdje opisanog postupka. Za veće radijuse zaobljenja, τ=2__τ0.
Cijevi s tankim zidom (Bradt uzorci)
U cijevima s tankim stijenkama, ispupčena membrana ima oblik prikazan na sl. 8, koji se sastoji od ravnine iznad šupljeg prostora unutar cijevi i nagnute površine koja ga okružuje i nalazi se iznad efektivnog presjeka stijenke cijevi; ova nagnuta površina mora biti strmija ako su stijenke cijevi na odgovarajućem mjestu tanje. U ovom slučaju, posmična naprezanja su prilično ravnomjerno raspoređena po debljini stijenki i obrnuto su proporcionalna debljini stijenki, tj. posmična sila T = τt ne mijenja se duž oboda presjeka.
Sl. 8
Površinski element t_∙ds_ prima dio torzijskog momenta
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
tako da je ukupni trenutak
Eq. 8
gdje je FR površina prekrivena srednjom linijom označenom linijama i točkama na sl. 8. Odavde dobivate
Eq. 9 - Prvi Bredt\ uzorak
Torzijska krutost se najjednostavnije postiže kada se rad deformacije izražava s jedne strane kroz torzijski moment i kut uvijanja, a s druge strane kroz posmična naprezanja. Na taj način se dobiva za štapni element duljine l
dakle, uvodeći vrijednost za τ prema jednadžbi (8),
odnosno, u usporedbi s jednadžbom (2):
Eq. 10
Ako je debljina zidova svuda ista, onda je jednostavno (2. Bredt's pattern):
Eq. 11
Normalna torzijska naprezanja uslijed savijanja presjeka
Osnovni pojmovi i diferencijalna jednadžba
Pomaci komponenti u, jednadžba (1b), određuje zakrivljenost presjeka iz njihovih ravnina. Kada je torzijski moment konstantan, ovo savijanje je isto u svim presjecima i normalna naprezanja σx se ne pojavljuju.
U mnogim slučajevima, savijanje poprečnog presjeka, koje bi trebalo nastati na temelju _St. Venantova teorija nije moguća. Ako se torzijski moment naglo promijeni u jednom presjeku, došlo bi do savijanja različitih veličina na obje strane presjeka, te bi se poremetio kontinuitet deformacije. Jedan kraj šipke može se stegnuti tako da je na tom mjestu potpuno isključeno savijanje profila. U takvim slučajevima treba napraviti dopunu _St. Venantove teorije. U štapu se pojavljuju dopunski naponi σx u smjeru osi štapa i dopunska posmična sila T (posmični naponi T/t), koji su najveći u presjeku gdje je prekinut kontinuitet deformacije i koji eksponencijalno opadaju s udaljenošću od tog presjeka. U slučaju čvrstih šipki i cijevi, ova je teorija složena, a dopunski naponi opadaju tako brzo da se njihovo određivanje u većini slučajeva ne isplati. Za šipke tankih stijenki s otvorenim profilom, ova korekcija je od velike važnosti i može se relativno lako izračunati.
Sl. 9
Sl. 9 prikazuje liniju po kojoj se sijeku središnja ploha zida i presječna ravnina (srednja linija presjeka). O je središte relativne rotacije dvaju susjednih presjeka. Ako je njihova udaljenost dx, torzijski kut je ϑ dx, pa se proizvoljna točka središnje crte podvrgava pomaku u ϑ dx. Taj pomak ima komponentu rt ϑ dx u smjeru tangente na presjek, a klizanje elementa srednje površine zida (uzimajući u obzir da je _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Kako je smično naprezanje u srednjoj površini zida jednako nuli, ono također mora biti γ=0, i stoga
Ovaj obrazac sadrži tri proizvoljna parametra: ishodište iz kojeg se izračunava duljina luka s i koordinate središta relativne rotacije O, o kojima ovisi rt. Početak od kojeg se izračunava duljina luka s može se odabrati tako da srednja vrijednost zakrivljenosti bude nula:
i koordinate središta O mogu se odrediti na takav način da su momenti zbog savijanja presjeka također jednaki nuli:
Može se pokazati da se središte rotacije određeno na ovaj način podudara sa središtem smicanja opisanim ovdje i definiranim na drugi način.
Ako je savijanje presjeka opisanog ovim obrascima potpuno ili djelomično spriječeno, moraju se pojaviti normalna naprezanja σx u smjeru osi štapa. Pomnije ispitivanje pokazuje da se ta naprezanja mogu smatrati proporcionalnima funkciji zakrivljenosti φ: σx=k__φ, gdje φ ovisi samo o s, a k samo o x. Kako prema Hookeovom zakonu:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
mora biti k=E d__ϑ/dx. Normalna naprezanja σx nazivaju se presječnim naprezanjima savijanja. Uzimajući u obzir gornje jednadžbe, one tvore ravnotežni sustav sila u svakom presjeku, sustav sila uslijed savijanja presjeka.
Ukupni torzijski moment sastoji se od dva dijela: jedan od njih M1=GJT__ϑ proizlazi iz posmičnih naprezanja tijekom torzije što daje _St. Venantova teorija, a drugi M2 nastaje zbog savijanja presjeka:
Eq. 13
Kako je moment M dan kao funkcija x, ovaj izraz predstavlja diferencijalnu jednadžbu za torzijski kut ϑ. Kada se ova jednadžba riješi, mogu se izračunati M1 i M2, a time i sva naprezanja i deformacije.
Rješenje i aplikacije
Kada je torzijski moment M konstantan, opće rješenje jednadžbe (13) je:
Konstante integracije C1, C2 moraju se odrediti iz dva rubna uvjeta.
a) Čvrsto stegnut kraj x=0 (sl. 1)
Na ovom kraju je u≡0, pa je na temelju jednadžbe (1b) ϑ=0. Ako je štap jako dug (αl>>1), tada je C1=0 i C2= -M/GJT. U slučaju kratkih šipki, na pojavu naprezanja zbog savijanja presjeka utječe stanje na desnom kraju šipke. Ako se na tom mjestu ne spriječi savijanje presjeka, bit će σx≡0 i dϑ/dx=0. Odavde dobivate
b) Simetrično torzijsko opterećenje prema sl. 10
Na lijevoj polovici štapa torzijski moment je -M/2, a na desnoj +M/2. U slučaju slobodne torzije, dijelovi lijevo i desno od sredine štapa bili bi upleteni u suprotnom smjeru, stoga kontinuitet deformacije ne bi bio očuvan. Dakle, na mjestu x=0 mora se cijeli torzijski moment prenijeti kroz naprezanja koja nastaju zbog savijanja presjeka, pa je stoga u ovom presjeku M1=0 i stoga ϑ=0. U ovoj točki, sustav sila djeluje kako bi osigurao da sekcija ostane ravna, čak i ako sekcije koje leže dalje od središta krivulje štapa. Ako se dodatno traži da na krajevima štapa naprezanja budu σx≡0, dobiva se još jedan rubni uvjet za svaku polovicu štapa, pa je za desnu polovicu
Sl. 10
c) Vanjski moment M na proizvoljnom mjestu (sl. 11)
U ovom slučaju, rješenje ϑ za oba dijela štapa mora se napisati odvojeno, tako da se pojavljuju ukupno četiri konstante C1, C2, C3, C4. Osim toga, torzijski momenti Ma, Mb također su nepoznati. Dostupno je šest jednadžbi: uvjet kontinuiteta za ϑ (izraženo s u) i za dϑ/dx (izraženo s σx) u točki djelovanja opterećenja, po jedan uvjet na svakom kraju šipke (npr. kruto priklještenje ϑ=0, ili nesmetano savijanje, dϑ/dx=0), uvjet ravnoteže momenta -Ma+Mb=M i konačno, uvjet da se krajnji presjeci ne okreću jedan prema drugom: ∫ ϑdx = 0.
Sl. 11
Završna napomena: izbor torzijskog modela ovisi o otvorenom ili zatvorenom presjeku, vitkosti, načinu oslanjanja, mjestu unosa momenta i mogućnosti slobodnog savijanja. Za pravi element moraju se provjeriti granična stanja nosivosti i uporabljivosti, lokalni detalji, spojevi, zamor i stabilnost, a ne samo jedna izolirana formula iz članka.