Arkivexpertinnehåll: texten och formlerna förmedlar en historisk teoretisk presentation och är inte ett projekt, statisk beräkning, bärighetskontroll, bedömning av ett befintligt element eller instruktioner för konstruktion eller rehabilitering. Beteckningar, antaganden och ungefärliga mönster måste kontrolleras mot det specifika systemet, materialet, geometrin, randvillkoren och tillämpliga standarder. Beräkning av vridning, stabilitet, utmattning, leder och stress på grund av förhindrad böjning bör göras av en licensierad ingenjör, med oberoende kontroll vid behov.
Idag är Savo Kusić fokuserad på träfönster, trä-aluminiumfönster, anpassade fönster, dörr och offertförfrågningar. Denna artikel finns kvar som ett historiskt professionellt arkiv och representerar inte en strukturell designtjänst.
Saint-Venant teori om vridning (fri vridning)
Differentialekvation
Sl.1
Låt en rak stång fixeras i en av dess ändar x=0och låt den belastas i andra änden med ett vridmoment M (fig.1). Sedan roterar var och en av dess sektioner med en viss vinkel α(x) runt en viss linje parallell med pinnens axel, som vi kommer att anta som x-axeln. Om alla sektioner är lika med varandra kommer varje rät linje parallell med x-axeln att passera in i en spole, och vinkeln α kommer att vara proportionell mot avståndet från den fasta änden: α=ϑx, från vilken komponentförskjutningarna i sektionens plan uppstår (fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Storheten ϑ kallas torsionsvinkeln (dimension: längd-1rotation per längdenhet). Torsionsvinkeln är proportionell mot torsionsmomentet M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl.2
Proportionalitetsfaktorn GJT, vridstyvhet, är lika med produkten av skjuvmodulen G och faktorn JT, som representerar effekten av sektionens form och storlek.
Denna rotation av sektionen är inte den enda deformationen av stången. Dessutom förekommer även böjning av tvärsnittet, d.v.s. till förskjutningen u i x-axelns riktning, som har samma storlek för motsvarande punkter i alla tvärsnitt och därför endast är en funktion av koordinaterna i snittets plan, och i övrigt är proportionell mot lasten M eller torsionen: ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Om uttrycken ovan införs i motsvarande förskjutningsekvationer, erhålls det att huvudnormalspänningarna är lika med noll, vilket lämnar endast två komponentspänningar τxy och τxz:
En.3
Differentialekvationen för torsionsproblemet erhålls baserat på ekvationerna (3) sätter:
En.4och jag4b
och lösa dessa differentialekvationer för de okända τxy och τxz genom att introducera spänningsfunktionen F(y,z) att:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Med detta, ekvationen (4a) identiskt uppfyllda och från ekvationen (4b) den erforderliga differentialekvationen erhålls
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Det gränsvillkor som krävs för en unik lösning av denna ekvation erhålls från kravet att det inte finns några skjuvspänningar på stavhöljet, från vilket det, på grund av skjuvspänningarnas konjugerade natur, följer att spänningen i tvärsnittsplanet inte får ha en komponent som är vinkelrät mot den längs konturen. Härifrån, fig. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
därför
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ie. den totala differentialen för funktionen F måste vara noll, det vill säga den måste vara F=konst. längs konturen.
Om sektionen bara har en kontur kan den enkelt sättas F=0 på den, för med spänningsfunktionen, som vi egentligen bara är intresserade av derivator av, spelar en godtycklig additiv konstant ingen roll. Med sektioner som har mer än en kontur är denna fråga mer komplex.
Som kan ses från ekvationen (5) är resultanten av skjuvspänningarna τxy och τxz vid en godtycklig skärningspunkt lika stor som gradienten för spänningsfunktionen F, men har en tangent vinkelrät mot den, dvs. F=konst.
Lösa differentialekvationen (6) ger spänningarna τ som funktioner av y, z och ϑ. Beräkningens uppgift är naturligtvis att bestämma torsionsvinkeln ϑ och spänningen, speciellt den maximala spänningen som funktion av vridmomentet, därför bestämningen av sektionsstyvheten JT från ekvationen (2) och motståndsvridmomentet WT = Mmaxτ. För att få dessa är det bara nödvändigt att uttrycka M som en funktion av F:
Båda summeringarna av denna integral, som bör tas över hela sektionen, kan transformeras genom partiell integration. Om till exempel den första av dem integreras först längs linjen z=const. från punkten på konturen y=y1 till punkten y=y2 (fig.3) och ta hänsyn till att i båda dessa punkter F=0, erhålls
Samma värde erhålls från den andra integralen, så att
En.7
Sl.3
Andra fall av hela avsnitt
Differentialekvationen (6) är den inhomogena ekvationen för potentialteorin. Därför, för lösningen av vridningsproblemet i fallet med ett godtyckligt tvärsnitt, finns metoderna för potentialteorin tillgängliga, som gör att den alltid kan hittas. Dessa metoder är dock i allmänhet alltför komplexa för att kunna tillämpas på enskilda fall som uppstår i praktiken. Därför visar följande tabell resultaten av sådana beräkningar för flera avsnitt.
För tvärsnitt nära cirkulära kan JT=F sättas4/40_Ip_, där F är arean och Ip är sektionens polära tröghetsmoment.
Anmärkning om formler och tabeller: uttryck och värden i skannade bilder lagras som en historisk källa. OCR-text, indexmarkeringar och skanning är inte tillräckligt tillförlitliga för beräkning. Före användning bör varje formel, enhet, koefficient och giltighetsområde kontrolleras i en auktoritativ professionell källa och giltig standard.
Analogi med membranet
En bra hjälp för att uppskatta vridspänningar, och samtidigt en procedur för deras exakta bestämning tillhandahålls av analogin mellan spänningsfunktionen F för vridningsproblemet och membranets tvärgående avböjningsbelastning. Låt det finnas en genomsnittlig öppning på den plana väggen av ett fartyg som sammanfaller med tvärsnittet av en stång lastad i vridning. När membranet sträcks över denna öppning och ett litet övertryck p orsakas i kärlet, buktar membranet utåt, så att dess avböjningar ξ(y,z) uppfyller differentialekvationen
där N är ytspänningen i membranet orsakad av kapillärkrafter (mått: kraft per längdenhet). Denna ekvation sammanfaller med ekvationen (6), och gränsvillkoret ξ=0 är detsamma som för spänningsfunktionen. På så sätt kan spänningsfunktionen F(y,z) erhållas med hjälp av denna spegel med membranet och därmed lösa torsionsproblemet. Spänningen τ motsvarar membranets lutning i förhållande till y-z-planet, så den brantaste platsen är den där stången som utsätts för vridning har högst skjuvspänning.
Sl.4
Sl.5
Denna membranprocedur är särskilt lämplig för att erhålla ungefärliga mönster för tunnväggiga sektioner. När t ex I-sektionen är uppdelad enligt fig.4på tre rektanglar och för var och en av dem utförs analogin med membranet separat, summan av volymerna av de resulterande utsprången blir bara något mindre än den volym som faktiskt motsvarar spänningsfunktionen. Därför, när tjocklekarna är b1 och b2 liten, ungefär
JT =2JT1+ JT2,
där JT1 och JT2 styvhetsfaktorer för enskilda rektanglar som kan beräknas utifrån tabellen1. Ett bättre tillvägagångssätt erhålls när JT placeras för revbenet2 = a2b32/3 därför när revbenet anses vara en del av en mycket långsträckt rektangel. Ett ännu mer exakt värde erhålls enligt Trayer och Mars\ från
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
där D är diametern på den största cirkeln inskriven som visas i fig.4och α kan tas från fig.5. För T-sektionen erhålls den på liknande sätt
JT = JT1+JT2+ α D4,
där JT2 hälften av värdet beräknat enligt tabellen1för a=2_a2_, b=b2. För L-sektioner (fig.6) liknar den
JT = JT1+ JT2+ β D4
där JT1 för den tjockare armen tas direkt från bordet1, medan JT2 för det tunnare benet beräknas som för T-sektionen, och β är hämtat från fig.7.
Fig. 6
Fig. 7
Vid beräkning av spänningen delas vridmomentet in i ingående rektanglar: den del som faller på flänsarna M1=M JT2/JT; skjuvspänningen beräknas sedan i mitten av den längre sidan av varje rektangel baserat på tabellen1. Den största av dessa spänningar behöver inte vara den största skjuvspänningen som uppträder i sektionen. Nämligen, om infallsvinkeln inte är avrundad, erhålls τ=∞ på den platsen, så att för en mycket liten avrundningsradie kan den högsta skjuvspänningen förväntas här.
Teknisk anmärkning: den matematiska singulariteten för den idealiserade spetsiga vinkeln är inte en licens att uppskatta den faktiska detaljen enbart med detta ungefärliga mönster. Den faktiska avrundningsgeometrin, toleranser, plasticitet, svetsar, restspänningar, lokal stabilitet och utmattning kräver lämplig modellering och expertverifiering.
För en ensidig vinkel vars sidotjocklek är t enligt Trefftz\ är på avrundningen av diametern r:
var med τ0 märkt maximal spänning beräknad för varje enskilt ben baserat på proceduren som beskrivs här. För större avrundningsradier kan τ= användas2__τ0.
Tunnväggiga rör (Bradt-mönster)
I tunnväggiga rör har det utbuktande membranet den form som visas i fig.8, som består av ett plan ovanför det ihåliga utrymmet inuti röret och en sluttande yta som omger det och ligger ovanför rörväggens effektiva sektion; denna lutande yta måste vara brantare om rörväggarna är tunnare på lämplig plats. I detta fall är skjuvspänningarna fördelade ganska jämnt över väggarnas tjocklek och är omvänt proportionella mot väggarnas tjocklek, dvs skjuvkraften T = τt ändras inte längs sektionens omkrets.
Sl. 8
Ytelementet t_∙ds_ tar emot en del av vridmomentet
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
så det totala ögonblicket är
En.8
där FR-ytan täcks av mittlinjen markerad med linjer och prickar i fig.8. Den är hämtad härifrån
En.9- Det första Bredt-mönstret
Vridstyvhet erhålls enklast när deformationsarbetet uttrycks å ena sidan genom vridmoment och vridvinkel och å andra sidan genom skjuvspänningar. På detta sätt erhålls det för ett stångelement med längden l
så, introducera värdet för τ enligt ekvationen (8),
det vill säga i jämförelse med ekvationen (2):
En.10
Om tjockleken på väggarna är densamma runt om, så är det enkelt (2. _Bredt_s mönster):
En.11
Normala spänningar i vridning på grund av sektionsböjning
Grundläggande termer och differentialekvation
Komponentförskjutningar u, ekvation (1b), bestämmer krökningen av sektionerna från deras plan. När vridmomentet är konstant är denna böjning densamma i alla sektioner och normala spänningar σx visas inte.
I många fall är böjningen av tvärsnittet, som bör uppstå på grundval av _St. Venants teori är inte möjlig. Om vridmomentet ändras abrupt i ett tvärsnitt skulle böjningar av olika storlek uppstå på båda sidor av tvärsnittet och kontinuiteten i deformationen skulle störas. Ena änden av stången kan spännas fast så att böjning av sektionen helt utesluts vid den punkten. I sådana fall bör en ändring göras _St. Venants teorier. Tilläggsspänningar σx i stavens axelriktning och kompletterande skjuvkraft T (skjuvspänningar T/t) uppträder i stången, vilka är högst i den sektion där kontinuiteten i deformationen bryts och som minskar exponentiellt med avståndet från denna sektion. När det gäller solida stavar och rör är denna teori komplex, och tilläggsspänningarna minskar så snabbt att deras bestämning i de flesta fall inte lönar sig. För tunnväggiga stavar med öppen profil är denna korrigering av stor betydelse och kan beräknas relativt enkelt.
Fig. 9
Sl.9visar linjen längs vilken väggens mittyta och sektionsplanet skär (sektionens mittlinje). O är centrum för relativ rotation av två intilliggande sektioner. Om deras avstånd är dx är torsionsvinkeln ϑdx, så en godtycklig punkt på mittlinjen genomgår en förskjutning u ϑdx. Denna förskjutning har en komponent rt ϑdx i riktningen tangenten till sektionen, och är glidningen av elementet på väggens mittyta (med hänsyn till att _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Eftersom skjuvspänningen i väggens mittyta är noll måste den också vara γ=0, så det är därför
Detta mönster innehåller tre godtyckliga parametrar: ursprunget från vilket båglängden s beräknas och koordinaterna för den relativa rotationscentrum O, på vilken rt beror. Startpunkten från vilken båglängden s beräknas kan väljas så att medelkurvaturvärdet är noll:
och koordinaterna för centrum O kan bestämmas på ett sådant sätt att momenten på grund av böjningen av sektionen är noll:
Det kan visas att rotationscentrum bestämt på detta sätt sammanfaller med skjuvcentrumet beskrivet här och definierat på annat sätt.
Om böjningen av sektionen som beskrivs av dessa mönster förhindras helt eller delvis, måste normala spänningar σx i riktningen för stångens axel uppträda. Närmare granskning visar att dessa spänningar kan anses vara proportionella mot krökningsfunktionen φ: σx=k__φ, där φ endast beror på s och k endast på x. Hur enligt Hookes lag:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
måste vara k=E d__ϑ/dx. Normalspänningar σx kallas sektionsböjspänningar. Med tanke på ekvationerna ovan bildar de ett jämviktssystem av krafter i varje sektion, ett kraftsystem som beror på böjningen av sektionen.
Det totala vridmomentet består av två delar: en av dem M1=GJT__ϑ härrör från skjuvspänningar under vridning som ger _St. Venant_s teori, och den andra M2 uppstår på grund av böjningen av sektionen:
Ekv. 13
Eftersom momentet M ges som en funktion av x, representerar detta uttryck en differentialekvation för torsionsvinkeln ϑ. När denna ekvation är löst kan M beräknas1 och M2, och därmed alla påfrestningar och påfrestningar.
Lösning och applikationer
När torsionsmomentet M är konstant, är den allmänna lösningen av ekvationen (13) är:
Integrationskonstanter C1, C2 måste bestämmas utifrån två randvillkor.
a) Stelt fastklämd ände x=0(fikon.1)
I denna ände är u≡0, så baserat på ekvationen (1b) ϑ=0. Om spöet är mycket långt (αl>>1), sedan C1=0och C2= -M/GJT. Vid korta stänger påverkas utseendet av spänningar på grund av böjning av sektionen av tillståndet vid stavens högra ände. Om böjningen av sektionen inte förhindras på den platsen kommer det att finnas σx≡0och dϑ/dx=0. Den är hämtad härifrån
b) Symmetrisk torsionsbelastning enligt fig.10
På den vänstra halvan av stången är vridmomentet -M/2 och till höger +M/2. Vid fri torsion skulle sektionerna till vänster och höger om mitten av stången vridas i motsatt riktning, därför skulle kontinuiteten i deformationen inte bevaras. Därför, på platsen x=0, måste hela vridmomentet överföras genom spänningarna som uppstår på grund av böjningen av sektionen, och därför i denna sektion M1=0 och därför ϑ=0. Vid denna tidpunkt verkar ett kraftsystem för att säkerställa att sektionen förblir rak, även om sektioner som ligger längre från mitten av stavkurvan. Om det dessutom krävs att spänningarna i stavens ändar är σx≡0, erhålls ytterligare ett gränsvillkor för varje halva av staven, så för den högra halvan är det
Fig. 10
c) Externt moment M på en godtycklig plats (fig. 11)
I det här fallet måste lösningen ϑ för båda delarna av staven skrivas separat, så totalt fyra konstanter C visas1, C2, C3, C4. Dessutom är vridmomenten Ma, Mb också okända. Sex ekvationer är tillgängliga: ett kontinuitetsvillkor för ϑ (uttryckt med u) och för dϑ/dx (uttryckt med σx) vid belastningspunkten, ett tillstånd i varje ände av stången (t.ex. stel fastspänning ϑ=0, eller ostörd böjning, dϑ/dx=0), villkoret för balans med moment -Ma+Mb=M och slutligen villkoret att ändsektionerna inte roterar i förhållande till varandra: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Sluta notering: valet av torsionsmodell beror på den öppna eller stängda sektionen, slankhet, stödmetod, plats för momentinmatning och möjligheten till fri böjning. För ett verkligt element måste bärighets- och användbarhetsgränstillstånd, lokala detaljer, leder, utmattning och stabilitet kontrolleras, inte bara en isolerad formel från artikeln.