Arquivar conteúdo especializado: o texto e as fórmulas transmitem uma visão teórica histórica e não são um projeto, cálculo estático, verificação de capacidade de carga, avaliação de um elemento existente ou instruções para construção ou reabilitação. Designações, suposições e padrões aproximados devem ser verificados em relação ao sistema específico, material, geometria, condições de contorno e padrões aplicáveis. O cálculo de torção, estabilidade, fadiga, juntas e tensões por flexão evitada deverá ser feito por engenheiro autorizado, com controle independente quando necessário.
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Teoria da torção de Saint-Venant (torção livre)
Equação diferencial
Fig. 1
Deixe uma haste reta ser fixada em uma de suas extremidades x=0 e deixe-a ser carregada na outra extremidade com um momento de torção M (fig. 1). Então cada uma de suas seções gira em um certo ângulo α(x) em torno de uma certa linha paralela ao eixo da vareta, que adotaremos como o eixo x. Se todas as seções forem iguais entre si, qualquer linha reta paralela ao eixo x passará em uma bobina, e o ângulo α será proporcional à distância da extremidade fixa: α=ϑx, da qual surgem os deslocamentos componentes no plano da seção (fig. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
A quantidade ϑ é chamada de ângulo de torção (dimensão: comprimento-1, rotação por unidade de comprimento). O ângulo de torção é proporcional ao momento de torção M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
O fator de proporcionalidade GJT, rigidez torcional, é igual ao produto do módulo de cisalhamento G e o fator JT, que representa o efeito da forma e tamanho da seção.
Esta rotação da seção não representa a única deformação da haste. Além disso, há também flexão da seção transversal, ou seja, ao deslocamento u na direção do eixo x, que tem a mesma magnitude para os pontos correspondentes de todas as seções transversais e é, portanto, apenas uma função das coordenadas no plano da seção e, caso contrário, é proporcional à carga M ou ao ângulo de torção ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Se as expressões acima forem introduzidas nas equações de deslocamento correspondentes, obtém-se que as tensões normais principais são iguais a zero, deixando apenas duas tensões componentes τxy e τxz:
Eq. 3
A equação diferencial do problema de torção é obtida com base nas equações (3) colocando:
Unidade. 4a e 4b
e resolvendo essas equações diferenciais para as incógnitas τxy e τxz introduzindo a função de estresse F(y,z) que:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Isso satisfaz a equação (4a) de forma idêntica, e a equação diferencial necessária
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
A condição de contorno necessária para a solução única desta equação é obtida a partir do requisito de que não haja tensões de cisalhamento no envelope da haste, do qual, devido à natureza conjugada das tensões de cisalhamento, segue-se que a tensão no plano da seção transversal não deve ter uma componente perpendicular a ela ao longo do contorno. A partir daqui, fig. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
portanto
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ou seja. o diferencial total da função F deve ser zero, ou seja, deve ser F=const. ao longo do contorno.
Se a seção tiver apenas um contorno, pode-se simplesmente colocar F=0 nela, porque com a função de tensão, da qual estamos interessados apenas em derivadas, uma constante aditiva arbitrária não desempenha um papel. Com seções que possuem mais de um contorno, esta questão é mais complexa.
Como pode ser visto na equação (5) a resultante das tensões de cisalhamento τxy e τxz em um ponto de interseção arbitrário é igual em magnitude ao gradiente da função de tensão F, mas é perpendicular a ele, ou seja, tem uma direção tangente à linha F=const.
Resolver a equação diferencial (6) produz as tensões τ como funções de y, z e ϑ. A tarefa do cálculo é, obviamente, a determinação do ângulo de torção ϑ e da tensão, especialmente a tensão máxima em função do momento torcional, portanto, a determinação da rigidez da seção JT a partir da equação (2) e do momento torcional resistente WT = Mmaxτ. Para obtê-los, basta expressar M em função de F:
Ambas as adições desta integral, que devem ser realizadas em toda a seção, podem ser transformadas por integração parcial. Se, por exemplo, o primeiro deles se integra primeiro ao longo da linha z=const. do ponto do contorno y=y1 ao ponto y=y2 (fig. 3) e levando em consideração que em ambos os pontos F=0, obtemos
O mesmo valor é obtido da segunda integral, de modo que
Eq. 7
Fig. 3
Outros casos de seções completas
Equação diferencial (6) é uma equação não homogênea da teoria do potencial. Portanto, para a solução do problema de torção no caso de uma seção arbitrária, estão disponíveis os métodos da teoria do potencial, que permitem encontrá-lo sempre. Estes métodos, no entanto, são geralmente demasiado complexos para serem aplicados a casos individuais que surgem na prática. É por isso que a tabela a seguir mostra os resultados de tais cálculos para diversas seções.
Para seções transversais próximas de circulares, JT=F_4/40_Ip pode ser colocado, onde F é a área e Ip é o momento polar de inércia da seção transversal.
Observação sobre fórmulas e tabelas: expressões e valores em imagens digitalizadas são armazenados como uma fonte histórica. Texto OCR, marcas de índice e digitalização não são confiáveis o suficiente para cálculo. Cada fórmula, unidade, coeficiente e escopo devem ser verificados em uma fonte profissional confiável e em um padrão válido antes do uso.
Analogia com membrana
Uma boa ajuda para estimar as tensões de torção e, ao mesmo tempo, um procedimento para sua determinação exata é fornecida pela analogia entre a função de tensão F do problema de torção e a carga transversal de deflexão da membrana. Seja uma abertura média na parede plana de um vaso que coincide com a seção transversal de uma haste carregada em torção. Quando a membrana é esticada sobre esta abertura e um pequeno excesso de pressão p é causado no vaso, a membrana se projeta para fora, de modo que suas deflexões ξ(y,z) satisfazem a equação diferencial
onde N é a tensão superficial na membrana causada por forças capilares (dimensões: força por unidade de comprimento). Esta equação coincide com a equação (6), e a condição de contorno ξ=0 é a mesma da função de tensão. Desta forma, a função de tensão F(y,z) pode ser obtida utilizando este espelho com a membrana e assim resolver o problema de torção. A tensão τ corresponde à inclinação da membrana em relação ao plano y-z, portanto o local mais íngreme é aquele onde a haste exposta à torção apresenta maior tensão de cisalhamento.
Fig. 4
Fig. 5
Este procedimento de membrana é particularmente adequado para obter padrões aproximados para seções de paredes finas. Quando, por exemplo, a secção I é dividida de acordo com a fig. 4 em três retângulos e para cada um deles é feita uma analogia com a membrana separadamente, a soma dos volumes das saliências resultantes será apenas ligeiramente menor que o volume que realmente corresponde à função de tensão. Portanto, quando as espessuras b1 e b2 são pequenas, aproximadamente
JT = 2JT1 + JT2,
onde JT1 e JT2 são os fatores de rigidez de retângulos individuais que podem ser calculados com base na tabela 1. Uma melhor aproximação é obtida quando JT2 = a2 b32/3 é usado para a nervura, ou seja, quando a nervura é considerada parte de um retângulo muito alongado. Um valor ainda mais preciso é obtido de acordo com Trayer e March\ de
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
onde D é o diâmetro do maior círculo inscrito conforme mostrado na fig. 4 e α podem ser obtidos na fig. 5. Para a seção T é obtido de forma semelhante
JT = JT1 +JT2 + α D4,
onde JT2 é metade do valor calculado de acordo com a tabela 1 para a=2 a2, b=b2. Para seções L (fig. 6) é semelhante a
JT = JT1 + JT2 + β D4
onde JT1 para o braço mais grosso é obtido diretamente da tabela 1, enquanto JT2 para o braço mais fino é calculado como para a seção em T, e β é obtido da fig. 7.
Fig. 6
Fig. 7
No cálculo da tensão, o momento de torção é dividido em retângulos constituintes: a parte que cai sobre os banzos M1=M JT2/JT; a tensão de cisalhamento é então calculada no meio do lado mais longo de cada retângulo com base na tabela 1. A maior destas tensões não precisa ser a maior tensão de cisalhamento que aparece na seção. Ou seja, se o ângulo de incidência não for arredondado, τ=∞ é obtido naquele local, de modo que para um raio de arredondamento muito pequeno, a maior tensão de cisalhamento pode ser esperada aqui.
Nota de engenharia: a singularidade matemática no ângulo agudo idealizado não é uma licença para estimar o detalhe real apenas por este padrão aproximado. A geometria de arredondamento real, tolerâncias, plasticidade, soldas, tensões residuais, estabilidade local e fadiga requerem modelagem apropriada e verificação especializada.
Para um ângulo unilateral cuja espessura da perna é t de acordo com Trefftz\ está no arredondamento do diâmetro r:
onde τ0 denota a tensão mais alta calculada para cada perna individual com base no procedimento descrito aqui. Para raios de arredondamento maiores, τ=2__τ0.
Tubos de parede fina (padrões Bradt)
Em tubos com paredes finas, a membrana saliente tem o formato mostrado na fig. 8, que consiste em um plano acima do espaço oco dentro do tubo e uma superfície inclinada que o circunda e fica sobre a seção efetiva da parede do tubo; esta superfície inclinada deverá ser mais íngreme se as paredes do tubo forem mais finas no local apropriado. Neste caso, as tensões de cisalhamento são distribuídas de maneira bastante uniforme ao longo da espessura das paredes e são inversamente proporcionais à espessura das paredes, ou seja, força de cisalhamento T = τt não muda ao longo da circunferência da seção.
Sl. 8
O elemento de superfície t_∙ds_ recebe parte do momento de torção
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
então o momento total é
Eq. 8
onde a superfície FR é coberta pela linha média marcada por linhas e pontos na fig. 8. A partir daqui você obtém
Eq. 9 - Primeiro padrão Bredt\
A rigidez torcional é obtida mais simplesmente quando o trabalho de deformação é expresso, por um lado, através do momento de torção e do ângulo de torção e, por outro lado, através das tensões de cisalhamento. Desta forma, é obtido para um elemento de haste de comprimento l
então, introduzindo o valor de τ de acordo com a equação (8),
isto é, por comparação com a equação (2):
Eq. 10
Se a espessura das paredes for a mesma ao redor, então é simples (2. Padrão de Bredt):
Eq. 11
Tensões normais em torção devido à flexão da seção
Termos básicos e equação diferencial
Deslocamentos de componentes u, equação (1b), determina a curvatura das seções a partir de seus planos. Quando o momento de torção é constante, esta flexão é a mesma em todas as seções e as tensões normais σx não aparecem.
Em muitos casos, a curvatura da seção transversal que deveria surgir com base em _St. A teoria de Venant não é possível. Se o momento de torção mudar abruptamente numa secção transversal, ocorrerão flexões de diferentes magnitudes em ambos os lados da secção transversal e a continuidade da deformação será perturbada. Uma extremidade da haste pode ser fixada de modo que a flexão da seção seja completamente excluída naquele ponto. Nesses casos, deve ser feita uma alteração _St. Teorias de Venant. As tensões suplementares σx na direção do eixo da haste e a força cortante suplementar T (tensões de cisalhamento T/t) aparecem na haste, que são as mais altas na seção onde a continuidade da deformação é quebrada e que diminuem exponencialmente com a distância desta seção. No caso de hastes e tubos sólidos, esta teoria é complexa e as tensões suplementares diminuem tão rapidamente que sua determinação não vale a pena na maioria dos casos. Para hastes de paredes finas com perfil aberto, esta correção é de grande importância e pode ser calculada com relativa facilidade.
Fig. 9
Fig. 9 mostra a linha ao longo da qual a superfície central da parede e o plano da seção se cruzam (a linha central da seção). O é o centro de rotação relativa de duas seções adjacentes. Se a distância deles for dx, o ângulo de torção é ϑ dx, então um ponto arbitrário da linha média sofre um deslocamento u ϑ dx. Este deslocamento tem uma componente rt ϑ dx na direção tangente à seção, e o deslizamento do elemento da superfície média da parede é (levando em consideração que _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Como a tensão de cisalhamento na superfície intermediária da parede é zero, ela também deve ser γ=0 e, portanto,
Este padrão contém três parâmetros arbitrários: a origem a partir da qual o comprimento do arco s é calculado e as coordenadas do centro de rotação relativa O, das quais rt depende. O início a partir do qual o comprimento do arco s é calculado pode ser escolhido de forma que o valor médio da curvatura seja zero:
e as coordenadas do centro O podem ser determinadas de tal forma que os momentos devidos à flexão da seção também sejam zero:
Pode-se mostrar que o centro de rotação determinado desta forma coincide com o centro de cisalhamento descrito aqui e definido de outra maneira.
Se a flexão da seção descrita por esses padrões for total ou parcialmente evitada, devem aparecer tensões normais σx na direção do eixo da haste. Um exame mais detalhado mostra que essas tensões podem ser consideradas proporcionais à função de curvatura φ: σx=k__φ, onde φ depende apenas de s e k apenas de x. Como de acordo com a lei de Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
deve ser k=E d__ϑ/dx. As tensões normais σx são chamadas de tensões de flexão da seção. Considerando as equações acima, elas formam um sistema de forças de equilíbrio em cada seção, um sistema de forças devido à flexão da seção.
O momento torcional total consiste em duas partes: uma delas M1=GJT__ϑ resulta de tensões de cisalhamento durante a torção que dá St. Teoria de Venant, e o outro M2 ocorre devido à flexão da seção:
Eq. 13
Como o momento M é dado em função de x, esta expressão representa uma equação diferencial para o ângulo de torção ϑ. Quando esta equação é resolvida, M1 e M2 podem ser calculados e, portanto, todas as tensões e deformações.
Solução e aplicações
Quando o momento de torção M é constante, a solução geral da equação (13) é:
Constantes de integração C1, C2 devem ser determinadas a partir de duas condições de contorno.
a) Extremidade rigidamente fixada x=0 (fig. 1)
Nesta extremidade está u≡0, portanto, com base na equação (1b) ϑ=0. Se a haste for muito longa (αl>>1), então C1=0 e C2= -M/GJT. No caso de hastes curtas, o aparecimento de tensões devido à flexão da seção é afetado pela condição na extremidade direita da haste. Se a flexão da seção não for evitada naquele local, haverá σx≡0 e dϑ/dx=0. A partir daqui você obtém
b) Carga de torção simétrica conforme fig. 10
Na metade esquerda da haste, o momento de torção é -M/2, e na metade direita +M/2. No caso de torção livre, os trechos à esquerda e à direita do meio da haste seriam torcidos no sentido oposto, portanto a continuidade da deformação não seria preservada. Portanto, no local x=0, todo o momento torcional deve ser transferido através das tensões que ocorrem devido à flexão da seção, e portanto nesta seção M1=0 e portanto ϑ=0. Neste ponto, um sistema de forças atua para garantir que a seção permaneça reta, mesmo que as seções estejam mais distantes do centro da curva da haste. Se, além disso, for necessário que nas extremidades da haste as tensões sejam σx≡0, obtém-se mais uma condição de contorno para cada metade da haste, então para a metade direita é
Fig. 10
c) Momento externo M em um local arbitrário (fig. 11)
Neste caso, a solução ϑ para ambas as partes da haste deve ser escrita separadamente, então um total de quatro constantes C1, C2, C3, C4 aparecem. Além disso, os momentos de torção Ma, Mb também são desconhecidos. Seis equações estão disponíveis: condição de continuidade para ϑ (expressa por u) e para dϑ/dx (expressa por σx) no ponto de ação da carga, uma condição em cada extremidade da haste (por exemplo, pinçamento rígido ϑ=0, ou flexão não perturbada, dϑ/dx=0), condição de equilíbrio de momento -Ma+Mb=M e finalmente a condição de que as seções finais não girem uma em direção à outra: ∫ ϑdx = 0.
Fig. 11
Nota final: a escolha do modelo de torção depende da seção aberta ou fechada, esbeltez, método de apoio, local de entrada do momento e possibilidade de flexão livre. Para um elemento real, devem ser verificados os estados limites de suporte e de utilização, detalhes locais, juntas, fadiga e estabilidade, e não apenas uma fórmula isolada do artigo.