Arhīva ekspertu saturs: teksts un formulas sniedz vēsturisku teorētisku izklāstu un nav projekts, statisks aprēķins, nestspējas pārbaude, esoša elementa novērtējums vai būvniecības vai sanācijas norādījumi. Apzīmējumi, pieņēmumi un aptuvenie modeļi ir jāpārbauda attiecībā pret konkrēto sistēmu, materiālu, ģeometriju, robežnosacījumiem un piemērojamiem standartiem. Vērpes, stabilitātes, noguruma, savienojumu un sprieguma aprēķini, ko izraisa novērsta liece, jāveic licencētam inženierim, vajadzības gadījumā veicot neatkarīgu kontroli.
Mūsdienās Savo Kusić koncentrējas uz koka logiem, koka-alumīnija logi, pielāgoti logi, durvis un piedāvājuma pieprasījumi. Šis raksts paliek kā vēsturisks profesionālais arhīvs un nepārstāv konstrukciju projektēšanas pakalpojumu.
Saint-Venant vērpes teorija (brīvā vērpe)
Diferenciālvienādojums
Sl.1
Ļaujiet taisnam stienim nostiprināt vienā no tā galiem x=0un ļaujiet to noslogot otrā galā ar vērpes momentu M (att.1). Tad katrs no tā posmiem griežas par noteiktu leņķi α(x) ap noteiktu līniju, kas ir paralēla nūjas asij, kuru mēs pieņemsim par x-asi. Ja visas sekcijas ir vienādas viena ar otru, jebkura taisne, kas ir paralēla x asij, nonāks spolē, un leņķis α būs proporcionāls attālumam no fiksētā gala: α=ϑx, no kura rodas komponentu pārvietojumi sekcijas plaknē (att.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Lielumu ϑ sauc par vērpes leņķi (izmērs: garums-1, rotācija uz garuma vienību). Vērpes leņķis ir proporcionāls vērpes momentam M:
ϑ = M/GJT. (2)
att. 2
Proporcionalitātes koeficients GJT, griezes stingums, ir vienāds ar bīdes moduļa G un koeficienta JT reizinājumu, kas atspoguļo sekcijas formas un izmēra ietekmi.
Šī sekcijas rotācija nav vienīgā stieņa deformācija. Turklāt ir arī šķērsgriezuma liece, t.i., līdz pārvietojumam u x-ass virzienā, kam ir vienāds lielums visu šķērsgriezumu atbilstošajiem punktiem un tāpēc ir tikai koordinātu funkcija griezuma plaknē, un citādi ir proporcionāla slodzei M vai vērpes leņķim: _ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Ja iepriekš minētās izteiksmes ievada atbilstošajos nobīdes vienādojumos, tiek iegūts, ka galvenie normālie spriegumi ir vienādi ar nulli, atstājot tikai divus komponentu spriegumus τxy un τxz:
Viens.3
Vērpes problēmas diferenciālvienādojums tiek iegūts, pamatojoties uz vienādojumiem (3) liekot:
Viens.4un es4b
un atrisinot šos diferenciālvienādojumus nezināmajiem τxy un τxz, ieviešot sprieguma funkciju F(y,z), kas:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Ar to vienādojums (4a) identiski apmierināts, un no vienādojuma (4b) tiek iegūts nepieciešamais diferenciālvienādojums
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Šī vienādojuma unikālajam risinājumam nepieciešamo robežnosacījumu iegūst no prasības, ka uz stieņa apvalka nav bīdes spriegumu, no kuriem bīdes spriegumu konjugētā rakstura dēļ izriet, ka spriegumam griezuma plaknē nedrīkst būt perpendikulāra sastāvdaļa gar kontūru. No šejienes att.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
tāpēc
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
i., funkcijas F kopējam diferenciālam jābūt nullei, tas ir, tai jābūt F=const. pa kontūru.
Ja sekcijai ir tikai viena kontūra, tai var vienkārši uzlikt F=0, jo ar sprieguma funkciju, no kuras mūs patiesībā interesē tikai atvasinājumi, patvaļīgai piedevas konstantei nav nozīmes. Sadaļām, kurām ir vairāk nekā viena kontūra, šī problēma ir sarežģītāka.
Kā redzams no vienādojuma (5) bīdes spriegumu τxy un τxz rezultējošais patvaļīgā krustojuma punktā ir vienāds ar sprieguma funkcijas F gradientu, bet ir tam perpendikulārs, t.i., ir pieskares virziens taisnei F=const.
Atrisinot diferenciālvienādojumu (6)) tiek iegūti spriegumi τ kā y, z un ϑ funkcijas. Aprēķina uzdevums, protams, ir vērpes leņķa ϑ un spriegumu, īpaši maksimālā sprieguma noteikšana atkarībā no griezes momenta, tāpēc griezuma JT stinguma noteikšana no vienādojuma (2) un pretestības griezes momentu WT = Mmaxτ. Lai tos iegūtu, ir nepieciešams tikai izteikt M kā funkciju no F:
Abus šī integrāļa summas, kas jāpārņem visā sadaļā, var pārveidot ar daļēju integrāciju. Ja, piemēram, pirmais no tiem integrējas vispirms pa līniju z=const. no punkta uz kontūras y=y1 līdz punktam y=y2 (att.3) un ņem vērā, ka abos šajos punktos F=0, tiek iegūts
Tāda pati vērtība tiek iegūta no otrā integrāļa, lai
Viens.7
Sl.3
Citi pilnu sadaļu gadījumi
Diferenciālvienādojums (6) ir potenciāla teorijas nehomogēns vienādojums. Tāpēc vērpes problēmas risināšanai patvaļīga šķērsgriezuma gadījumā ir pieejamas potenciāla teorijas metodes, kas ļauj to vienmēr atrast. Tomēr šīs metodes parasti ir pārāk sarežģītas, lai tās izmantotu atsevišķos gadījumos, kas rodas praksē. Tāpēc nākamajā tabulā ir parādīti šādu aprēķinu rezultāti vairākām sadaļām.
Šķērsgriezumiem, kas ir tuvu apļveida formai, var likt JT=F_4/40_Ip, kur F ir laukums un Ip ir posma polārais inerces moments.
Piezīme par formulām un tabulām: izteiksmes un vērtības skenētajos attēlos tiek saglabātas kā vēstures avots. OCR teksts, indeksa atzīmes un skenēšana nav pietiekami uzticami aprēķiniem. Pirms lietošanas katra formula, vienība, koeficients un derīguma apgabals ir jāpārbauda autoritatīvā profesionālajā avotā un piemērojamā standartā.
Analoģija ar membrānu
A good help for estimating torsional stresses, and at the same time a procedure for their accurate determination is provided by the analogy between the stress function F of the torsional problem and the deflection transverse load of the membrane. Lai uz kuģa plakanās sienas ir vidēja atvere, kas sakrīt ar vērpes noslogota stieņa šķērsgriezumu. Kad membrāna tiek izstiepta pāri šai atverei un traukā tiek radīts neliels pārspiediens p, membrāna izspiežas uz āru tā, ka tās novirzes ξ(y,z) apmierina diferenciālvienādojumu.
kur N ir virsmas spraigums membrānā, ko izraisa kapilārie spēki (izmēri: spēks uz garuma vienību). Šis vienādojums sakrīt ar vienādojumu (6), un robežnosacījums ξ=0ir tāda pati kā sprieguma funkcijai. Tādā veidā, izmantojot šo spoguli ar membrānu, var iegūt sprieguma funkciju F(y,z) un tādējādi atrisināt vērpes problēmu. Spriegums τ atbilst membrānas slīpumam attiecībā pret y-z-plakni, tāpēc stāvākā vieta ir tā, kur vērpes iedarbībai pakļautajam stienim ir vislielākais bīdes spriegums.
Sl.4
Sl.5
Šī membrānas procedūra ir īpaši piemērota, lai iegūtu aptuvenus modeļus plānsienu sekcijām. Kad, piemēram, I-sekciju sadala atbilstoši att.4uz trim taisnstūriem un katram no tiem analoģija ar membrānu tiek veikta atsevišķi, iegūto izvirzījumu tilpumu summa būs tikai nedaudz mazāka par tilpumu, kas faktiski atbilst sprieguma funkcijai. Tāpēc, kad biezumi ir b1 un b2 mazs, aptuveni
JT =2JT1+ JT2,
kur JT1 un JT2 atsevišķu taisnstūru stinguma koeficienti, kurus var aprēķināt, pamatojoties uz tabulu1. Labāka pieeja tiek iegūta, ja ribai tiek novietots JT2 = a2b32/3, tādēļ, ja riba tiek uzskatīta par ļoti iegarena taisnstūra daļu. Vēl precīzāka vērtība tiek iegūta saskaņā ar Trayer un Mart\ no
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
kur D ir lielākā apļa diametrs, kas ierakstīts, kā parādīts attēlā.4, un α var ņemt no att.5. T veida sekcijai to iegūst līdzīgi
JT = JT1+JT2+ α D4,
kur JT2 puse no vērtības, kas aprēķināta saskaņā ar tabulu1par a=2_a2_, b=b2. L veida sekcijām (att.6) ir līdzīgs tam
JT = JT1+ JT2+ β D4
kur JT1 resnākajai rokai tiek ņemta tieši no galda1, savukārt JT2 tievai kājai aprēķina tāpat kā T veida sekcijai, un β ņem no att.7.
att. 6
Sl.7
Aprēķinot spriegumu, griezes moments tiek sadalīts veidojošos taisnstūros: daļa, kas krīt uz atlokiem M1=M JT2/JT; bīdes spriegums tiek aprēķināts katra taisnstūra garākās malas viduspunktā, pamatojoties uz tabulu1. Lielākais no šiem spriegumiem nav jābūt lielākajam bīdes spriegumam, kas parādās sadaļā. Proti, ja krišanas leņķis nav noapaļots, tajā vietā iegūst τ=∞, tā ka ļoti mazam noapaļošanas rādiusam šeit var sagaidīt vislielāko bīdes spriegumu.
Inženiertehniskā piezīme: idealizētā akūtā leņķa matemātiskā singularitāte neļauj novērtēt faktisko detaļu tikai pēc šī aptuvenā modeļa. Faktiskajai noapaļošanas ģeometrijai, pielaidēm, plastiskumam, metinājuma šuvēm, atlikušajiem spriegumiem, lokālajai stabilitātei un nogurumam nepieciešama atbilstoša modelēšana un ekspertu pārbaude.
Vienpusējam leņķim, kura sānu biezums ir t saskaņā ar Trefftz\ ir uz diametra r noapaļošanas:
kur ar τ0 atzīmēts maksimālais spriegums, kas aprēķināts katrai atsevišķai kājai, pamatojoties uz šeit aprakstīto procedūru. Lielākiem noapaļošanas rādiusiem var izmantot τ=2__τ0.
Plānās sienas caurules (Bradta raksti)
Plānsienu caurulēs izliektajai membrānai ir tāda forma, kā parādīts 4. att.8, kas sastāv no plaknes virs dobuma caurules iekšpusē un slīpas virsmas, kas to ieskauj un atrodas virs caurules sienas efektīvās daļas; šai slīpajai virsmai jābūt stāvākai, ja cauruļu sienas ir plānākas attiecīgajā vietā. Šajā gadījumā bīdes spriegumi tiek sadalīti diezgan vienmērīgi pa sienu biezumu un ir apgriezti proporcionāli sienu biezumam, t.i., bīdes spēks T = τt nemainās gar sekcijas apkārtmēru.
Sl. 8
Virsmas elements t_∙ds_ saņem daļu no griezes momenta
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
tātad kopējais brīdis ir
Viens.8
kur FR virsmu sedz vidējā līnija, kas atzīmēta ar līnijām un punktiem 2. att.8. Tas tiek iegūts no šejienes
Viens.9- Pirmais Bredt\ raksts
Vērpes stingrība visvienkāršāk tiek iegūta, ja deformācijas darbs tiek izteikts, no vienas puses, caur vērpes momentu un vērpes leņķi un, no otras puses, ar bīdes spriegumiem. Tādā veidā to iegūst stieņa elementam ar garumu l
tātad, ieviešot τ vērtību saskaņā ar vienādojumu (8),
tas ir, salīdzinot ar vienādojumu (2):
Viens.10
Ja sienu biezums visapkārt ir vienāds, tad tas ir vienkārši (2. Bredta modelis):
Viens.11
Normāli spriegumi vērpē sekcijas lieces dēļ
Pamattermini un diferenciālvienādojums
Komponentu pārvietojumi u, vienādojums (1b), nosaka sekciju izliekumu no to plaknēm. Ja vērpes moments ir nemainīgs, šī liece ir vienāda visos posmos un normālie spriegumi σx neparādās.
Daudzos gadījumos šķērsgriezuma izliekums, kam vajadzētu rasties, pamatojoties uz _St. Venanta teorija nav iespējama. Ja vienā šķērsgriezumā strauji mainās vērpes moments, abās šķērsgriezuma pusēs notiktu dažāda lieluma liece un tiktu traucēta deformācijas nepārtrauktība. Vienu stieņa galu var saspiest tā, ka sekcijas saliekšana tajā vietā ir pilnībā izslēgta. Šādos gadījumos būtu jāveic grozījums _St. Venanta teorijas. Stieņā parādās papildu spriegumi σx stieņa ass virzienā un papildu bīdes spēks T (bīdes spriegumi T/t), kas ir vislielākie posmā, kurā deformācijas nepārtrauktība ir pārrauta un kas eksponenciāli samazinās līdz ar attālumu no šī posma. Cietu stieņu un cauruļu gadījumā šī teorija ir sarežģīta, un papildu spriegumi samazinās tik ātri, ka vairumā gadījumu to noteikšana nav lietderīga. Plānsienu, atvērta profila stieņiem šai korekcijai ir liela nozīme, un to var salīdzinoši vienkārši aprēķināt.
Sl.9
Sl.9parāda līniju, pa kuru krustojas sienas vidējā virsma un griezuma plakne (nogriezuma viduslīnija). O ir divu blakus esošo sekciju relatīvās rotācijas centrs. Ja to attālums ir dx, vērpes leņķis ir ϑ dx, tātad patvaļīgs viduslīnijas punkts tiek pārvietots u ϑ dx. Šim pārvietojumam ir komponents rt ϑ dx virzienā, kas pieskaras griezumam, un tā ir sienas vidējās virsmas elementa slīdēšana (ņemot vērā, ka _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Tā kā bīdes spriegums sienas vidusvirsmā ir nulle, tai arī jābūt γ=0, tāpēc
Šis modelis satur trīs patvaļīgus parametrus: sākumpunktu, no kura tiek aprēķināts loka garums s, un relatīvās rotācijas centra koordinātas O, no kurām ir atkarīgs rt. Sākumpunktu, no kura tiek aprēķināts loka garums s, var izvēlēties tā, lai vidējā izliekuma vērtība būtu nulle:
un centra O koordinātas var noteikt tā, ka momenti no posma lieces ir nulle:
Var parādīt, ka šādi noteiktais rotācijas centrs sakrīt ar bīdes centru, kas ir šeit aprakstīts un definēts citā veidā.
Ja ar šiem modeļiem aprakstītā posma liece ir pilnībā vai daļēji novērsta, jāparādās normāliem spriegumiem σx stieņa ass virzienā. Sīkāka pārbaude parāda, ka šos spriegumus var uzskatīt par proporcionāliem izliekuma funkcijai φ: σx=k__φ, kur φ ir atkarīgs tikai no s un k tikai no x. Saskaņā ar Huka likumu:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
jābūt k=E d__ϑ/dx. Normālos spriegumus σx sauc par sekcijas lieces spriegumiem. Ņemot vērā iepriekš minētos vienādojumus, tie veido līdzsvara spēku sistēmu katrā sekcijā, spēku sistēmu, kas rodas sekcijas lieces dēļ.
Kopējais griezes moments sastāv no divām daļām: viena no tām M1=GJT__ϑ rodas vērpes bīdes spriegumu dēļ, ko dod St. Venant's teorija, un otrs M2 rodas sekcijas lieces dēļ:
Viens.13
Tā kā moments M ir norādīts kā funkcija no x, šī izteiksme atspoguļo diferenciālvienādojumu vērpes leņķim ϑ. Kad šis vienādojums ir atrisināts, var aprēķināt M1 un M2, un līdz ar to visi spriegumi un spriedzes.
Risinājums un lietojumprogrammas
Ja vērpes moments M ir nemainīgs, vienādojuma (13) ir:
Integrācijas konstantes C1, C2 jānosaka no diviem robežnosacījumiem.
a) Stingri saspiests gals x=0(att.1)
Šajā galā ir u≡0, tāpēc, pamatojoties uz vienādojumu (1b) ϑ=0. Ja stienis ir ļoti garš (αl>>1), pēc tam — C1=0un C2= -M/GJT. Īsu stieņu gadījumā sprieguma parādīšanos sekcijas lieces dēļ ietekmē stāvoklis stieņa labajā galā. Ja sekcijas locīšana šajā vietā netiek novērsta, būs σx≡0un dϑ/dx=0. Tas tiek iegūts no šejienes
b) Simetriskā vērpes slodze saskaņā ar att. 10
Stieņa kreisajā pusē griezes moments ir -M/2, bet labajā pusē +M/2. Brīvas vērpes gadījumā posmi pa kreisi un pa labi no stieņa vidus būtu savīti pretējā virzienā, līdz ar to deformācijas nepārtrauktība netiktu saglabāta. Tāpēc vietā x=0 viss griezes moments ir jāpārnes caur spriegumiem, kas rodas sekcijas lieces dēļ, un tāpēc šajā sadaļā M1=0 un līdz ar to ϑ=0. Šajā brīdī spēku sistēma darbojas, lai nodrošinātu, ka sekcija paliek taisna, pat ja sekcijas, kas atrodas tālāk no stieņa līknes centra. Ja papildus tiek prasīts, lai stieņa galos spriegumi būtu σx≡0, katrai stieņa pusei tiek iegūts vēl viens robežnosacījums, tātad labajai pusei tas ir
att. 10
c) Ārējais moments M patvaļīgā vietā (att. 11)
Šajā gadījumā risinājums ϑ abām stieņa daļām jāraksta atsevišķi, līdz ar to kopā parādās četras konstantes C1, C2, C3, C4. Turklāt nav zināmi arī vērpes momenti Ma, Mb. Ir pieejami seši vienādojumi: nepārtrauktības nosacījums ϑ (izteikts ar u) un dϑ/dx (izteikts ar σx) slodzes darbības punktā, viens nosacījums katrā stieņa galā (piemēram, stingra saspiešana ϑ=0, traucēta, vai ne dϑ/dx=0), momenta līdzsvara nosacījums -Ma+Mb=M un visbeidzot nosacījums, ka gala posmi negriežas viens pret otru: ∫ ϑdx = 0.
Sl.11
Nobeiguma piezīme: vērpes modeļa izvēle ir atkarīga no atvērtā vai slēgtā posma, slaiduma, atbalsta metodes, momenta ievades vietas un brīvas lieces iespējas. Reālam elementam ir jāpārbauda nestspējas un ekspluatācijas robežstāvokļi, lokālās detaļas, savienojumi, nogurums un stabilitāte, nevis tikai viena atsevišķa formula no izstrādājuma.