Përmbajtja e ekspertit arkivor: teksti dhe formulat përcjellin një paraqitje teorike historike dhe nuk janë një projekt, llogaritje statike, kontroll i kapacitetit mbajtës, vlerësim i një elementi ekzistues ose udhëzime për ndërtim ose rehabilitim. Emërtimet, supozimet dhe modelet e përafërta duhet të kontrollohen kundrejt sistemit specifik, materialit, gjeometrisë, kushteve kufitare dhe standardeve të aplikueshme. Llogaritja e përdredhjes, qëndrueshmërisë, lodhjes, nyjeve dhe stresit për shkak të përkuljes së parandaluar duhet të bëhet nga një inxhinier i licencuar, me kontroll të pavarur kur kërkohet.
Sot, Savo Kusić është i fokusuar në dritaret prej druri, dritare prej druri-alumini, dritare të personalizuara, dera dhe kërkesat për kuotim. Ky artikull mbetet si një arkiv historik profesional dhe nuk përfaqëson një shërbim projektimi strukturor.
Teoria e përdredhjes Saint-Venant (përdredhje e lirë)
Ekuacioni diferencial
Sl.1
Le të fiksohet një shufër e drejtë në një nga skajet e saj x=0dhe le të ngarkohet në skajin tjetër me një moment rrotullimi M (fig.1). Pastaj secili prej seksioneve të tij rrotullohet me një kënd të caktuar α(x) rreth një vije të caktuar paralele me boshtin e shkopit, të cilin ne do ta përvetësojmë si bosht x-. Nëse të gjitha seksionet janë të barabarta me njëri-tjetrin, çdo vijë e drejtë paralele me boshtin x do të kalojë në një spirale, dhe këndi α do të jetë proporcional me distancën nga skaji fiks: α=ϑx, nga i cili lindin zhvendosjet e komponentëve në rrafshin e seksionit (Fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Sasia ϑ quhet këndi i rrotullimit (dimensioni: gjatësia-1, rrotullimi për njësi gjatësi). Këndi i rrotullimit është proporcional me momentin e rrotullimit M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
Faktori i proporcionalitetit GJT, ngurtësia përdredhëse, është i barabartë me produktin e modulit të prerjes G dhe faktorit JT, i cili përfaqëson efektin e formës dhe madhësisë së seksionit.
Ky rrotullim i seksionit nuk është i vetmi deformim i shufrës. Përveç kësaj, ka edhe përkulje të prerjes tërthore, d.m.th., në zhvendosjen u në drejtim të boshtit x-, i cili ka të njëjtën madhësi për pikat përkatëse të të gjitha prerjeve tërthore dhe për këtë arsye është vetëm një funksion i koordinatave në rrafshin e seksionit, dhe përndryshe është proporcional me ngarkesën M ose këndin e rrotullimit ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Nëse shprehjet e mësipërme futen në ekuacionet përkatëse të zhvendosjes, fitohet se sforcimet kryesore normale janë të barabarta me zero, duke lënë vetëm dy strese përbërëse τxy dhe τxz:
Një.3
Ekuacioni diferencial i problemit të përdredhjes është marrë në bazë të ekuacioneve (3) duke vënë:
Një.4dhe i4b
dhe duke zgjidhur këto ekuacione diferenciale për të panjohurat τxy dhe τxz duke prezantuar funksionin e stresit F(y,z) që:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Me këtë, ekuacioni (4a) i kënaqur në mënyrë identike, dhe nga ekuacioni (4b) fitohet ekuacioni diferencial i kërkuar
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Kushti kufitar i kërkuar për një zgjidhje unike të këtij ekuacioni përftohet nga kërkesa që të mos ketë sforcime prerëse në mbështjellësin e shufrës, nga e cila, për shkak të natyrës së konjuguar të sforcimeve prerëse, rezulton se sforcimi në rrafshin e prerjes tërthore nuk duhet të ketë një përbërës pingul me të përgjatë konturit. Nga këtu, fig. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
prandaj
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
dmth. diferenciali total i funksionit F duhet të jetë zero, pra duhet të jetë F=konst. përgjatë konturit.
Nëse seksioni ka vetëm një kontur, ai thjesht mund të vendoset F=0 mbi të, sepse me funksionin e tensionit, prej të cilit ne në fakt jemi të interesuar vetëm për derivatet, një konstante shtese arbitrare nuk luan rol. Me seksione që kanë më shumë se një kontur, kjo pyetje është më komplekse.
Siç mund të shihet nga ekuacioni (5) rezultanta e sforcimeve prerëse τxy dhe τxz në një pikë kryqëzimi arbitrar është e barabartë në madhësi me gradientin e funksionit të stresit F, por është pingul me të, d.m.th. ka një drejtim tan me drejtëzën. F=konst.
Zgjidhja e ekuacionit diferencial (6) jep tensionet τ si funksione të y, z dhe ϑ. Detyra e llogaritjes është, natyrisht, përcaktimi i këndit të rrotullimit ϑ dhe stresit, veçanërisht sforcimi maksimal në funksion të momentit të rrotullimit, pra, përcaktimi i ngurtësisë së seksionit JT nga ekuacioni (2) dhe momenti i rrotullimit rezistent WT = Mmaxτ. Për t’i marrë këto, është e nevojshme vetëm të shprehet M si funksion i F:
Të dyja përmbledhjet e këtij integrali, të cilat duhet të merren në të gjithë seksionin, mund të transformohen me integrim të pjesshëm. Nëse, për shembull, i pari prej tyre integrohet i pari përgjatë vijës z=const. nga pika në kontur y=y1 deri në pikën y=y2 (fig.3) dhe ki parasysh se në të dyja këto pika F=0, merret
E njëjta vlerë fitohet nga integrali i dytë, kështu që
Një.7
Sl.3
Raste të tjera të seksioneve të plota
Ekuacioni diferencial (6) është një ekuacion johomogjen i teorisë së potencialit. Prandaj, për zgjidhjen e problemit të përdredhjes në rastin e një prerje tërthore arbitrare, disponohen metodat e teorisë së potencialit, të cilat mundësojnë që ajo të gjendet gjithmonë. Megjithatë, këto metoda janë përgjithësisht shumë komplekse për t’u zbatuar në rastet individuale që dalin në praktikë. Kjo është arsyeja pse tabela e mëposhtme tregon rezultatet e llogaritjeve të tilla për disa seksione.
Për prerje tërthore afër rrethores, mund të vendoset JT=F_4/40_Ip, ku F është sipërfaqja dhe Ip është momenti polar i inercisë së prerjes tërthore.
Shënim mbi formulat dhe tabelat: shprehjet dhe vlerat në imazhet e skanuara ruhen si burim historik. Teksti OCR, shenjat e indeksit dhe skanimi nuk janë mjaftueshëm të besueshëm për llogaritje. Çdo formulë, njësi, koeficient dhe fushëveprimi duhet të kontrollohet në një burim profesional autoritar dhe standard të vlefshëm përpara përdorimit.
Analogji me membranën
Një ndihmë e mirë për vlerësimin e sforcimeve përdredhëse dhe në të njëjtën kohë një procedurë për përcaktimin e saktë të tyre jep analogjia midis funksionit të sforcimit F të problemit të përdredhjes dhe ngarkesës tërthore të devijimit të membranës. Le të ketë një hapje mesatare në murin e sheshtë të një ene që përkon me seksionin kryq të një shufre të ngarkuar në rrotullim. Kur membrana shtrihet mbi këtë hapje dhe në enë shkaktohet një presion i vogël i tepërt p, membrana fryhet nga jashtë, në mënyrë që devijimet e saj ξ(y,z) përmbushin ekuacionin diferencial
ku N është tensioni sipërfaqësor në membranë i shkaktuar nga forcat kapilare (dimensionet: forca për njësi gjatësi). Ky ekuacion përkon me ekuacionin (6), dhe kushti kufitar ξ=0 është i njëjtë si për funksionin e tensionit. Në këtë mënyrë, funksioni i tensionit F(y,z) mund të merret duke përdorur këtë pasqyrë me membranën dhe kështu të zgjidhet problemi i përdredhjes. Stresi τ korrespondon me pjerrësinë e membranës në raport me rrafshin y-z-, kështu që vendi më i pjerrët është ai ku shufra e ekspozuar ndaj përdredhjes ka stresin më të lartë të prerjes.
Sl.4
Sl.5
Kjo procedurë membranore është veçanërisht e përshtatshme për marrjen e modeleve të përafërta për seksionet me mure të hollë. Kur p.sh., seksioni I ndahet sipas fig.4në tre drejtkëndësha dhe për secilin prej tyre analogjia me membranën kryhet veçmas, shuma e vëllimeve të zgjatjeve që rezultojnë do të jetë vetëm pak më e vogël se vëllimi që në të vërtetë korrespondon me funksionin e tensionit. Prandaj, kur trashësitë janë b1 dhe b2 e vogël, afërsisht
JT =2JT1+ JT2,
ku JT1 dhe JT2 Faktorët e ngurtësisë së drejtkëndëshave individualë që mund të llogariten në bazë të tabelës1. Një qasje më e mirë arrihet kur vendoset JT për brinjën2 = a2b32/3 pra, kur brinja konsiderohet si pjesë e një drejtkëndëshi shumë të zgjatur. Një vlerë edhe më e saktë është marrë sipas Trayer dhe March\ nga
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
ku D është diametri i rrethit më të madh të brendashkruar siç tregohet në fig.4, dhe α mund të merret nga fig.5. Për seksionin T fitohet në mënyrë të ngjashme
JT = JT1+JT2+ α D4,
ku JT2 gjysma e vlerës së llogaritur sipas tabelës1për a=2_a2_, b=b2. Për seksionet L (Fig.6) është e ngjashme me atë
JT = JT1+ JT2+ β D4
ku JT1 për krahun më të trashë merret direkt nga tavolina1, ndërsa JT2 për këmbën më të hollë llogaritet si për seksionin T, dhe β është marrë nga fig.7.
Fig. 6
Fig. 7
Gjatë llogaritjes së stresit, momenti i përdredhjes ndahet në drejtkëndësha përbërës: pjesa që bie në fllanxha M1=M JT2/JT; sforcimi i prerjes llogaritet më pas në mesin e anës më të gjatë të çdo drejtkëndëshi bazuar në tabelën1. Më i madhi prej këtyre sforcimeve nuk duhet të jetë sforcimi më i madh prerës që shfaqet në seksion. Domethënë, nëse këndi i rënies nuk është i rrumbullakosur, në atë vend fitohet τ=∞, kështu që për një rreze shumë të vogël të rrumbullakimit, këtu mund të pritet sforcimi më i lartë i prerjes.
Shënim inxhinierik: singulariteti matematikor i këndit akut të idealizuar nuk është një licencë për të vlerësuar detajet aktuale vetëm me këtë model të përafërt. Gjeometria aktuale e rrumbullakosjes, tolerancat, plasticiteti, saldimet, sforcimet e mbetura, qëndrueshmëria lokale dhe lodhja kërkojnë modelimin e duhur dhe verifikimin e ekspertëve.
Për një kënd të njëanshëm, trashësia e anës së të cilit është t sipas Trefftz\ është në rrumbullakimin e diametrit r:
ku me τ0 shënoi tensionin maksimal të llogaritur për secilën këmbë individuale bazuar në procedurën e përshkruar këtu. Për rreze më të mëdha rrumbullakimi, τ= mund të miratohet2__τ0.
Tuba me mure të hollë (modelet e Bradt)
Në tubacionet me mure të hollë, membrana e fryrë ka formën e treguar në fig.8, i cili përbëhet nga një rrafsh mbi hapësirën e zbrazët brenda tubit dhe një sipërfaqe e pjerrët që e rrethon atë dhe shtrihet mbi seksionin efektiv të murit të tubit; kjo sipërfaqe e pjerrët duhet të jetë më e pjerrët nëse muret e tubit janë më të holla në vendin e duhur. Në këtë rast, sforcimet prerëse shpërndahen në mënyrë mjaft të barabartë mbi trashësinë e mureve dhe janë në përpjesëtim të zhdrejtë me trashësinë e mureve, d.m.th. forca prerëse T = τt nuk ndryshon përgjatë perimetrit të seksionit.
Sl. 8
Elementi sipërfaqësor t_∙ds_ merr një pjesë të momentit përdredhës
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
pra momenti total është
Një.8
ku sipërfaqja FR mbulohet nga vija e mesme e shënuar me vija dhe pika në fig.8. Është marrë nga këtu
Një.9- Modeli i parë Bredt\
Ngurtësia përdredhëse fitohet më thjeshtë kur puna e deformimit shprehet nga njëra anë përmes momentit të përdredhjes dhe këndit të përdredhjes dhe nga ana tjetër përmes sforcimeve prerëse. Në këtë mënyrë, fitohet për një element shufër me gjatësi l
Pra, duke prezantuar vlerën për τ sipas ekuacionit (8),
domethënë, në krahasim me ekuacionin (2):
Një.10
Nëse trashësia e mureve është e njëjtë përreth, atëherë është e thjeshtë (2. Modeli i Bredt-it):
Një.11
Sforcimet normale në përdredhje për shkak të përkuljes së seksionit
Termat bazë dhe ekuacioni diferencial
Zvendosjet e komponentëve u, ekuacioni (1b), përcakton lakimin e seksioneve nga rrafshet e tyre. Kur momenti i rrotullimit është konstant, kjo përkulje është e njëjtë në të gjitha seksionet dhe sforcimet normale σx nuk shfaqen.
Në shumë raste, përkulja e prerjes tërthore, e cila duhet të lindë në bazë të _St. Teoria e Venantit nuk është e mundur. Nëse momenti i përdredhjes ndryshon befas në një prerje tërthore, do të ndodhte përkulje me madhësi të ndryshme në të dy anët e prerjes tërthore dhe do të prishej vazhdimësia e deformimit. Njëra skaj i shufrës mund të mbërthehet aq shumë sa që përkulja e seksionit të përjashtohet plotësisht në atë pikë. Në raste të tilla, duhet të bëhet një ndryshim _ St. Teoritë e Venantit. Në shufër shfaqen sforcimet plotësuese σx në drejtim të boshtit të shufrës dhe forca prerëse plotësuese T (sforcimet prerëse T/t), të cilat janë më të lartat në pjesën ku prishet vazhdimësia e deformimit dhe që zvogëlohen në mënyrë eksponenciale me largësinë nga ky seksion. Në rastin e shufrave dhe tubave të ngurtë, kjo teori është komplekse dhe tensionet suplementare ulen aq shpejt saqë përcaktimi i tyre nuk vlen në shumicën e rasteve. Për shufrat me mure të hollë me profil të hapur, ky korrigjim ka një rëndësi të madhe dhe mund të llogaritet relativisht lehtë.
Fig. 9
Sl.9tregon vijën përgjatë së cilës kryqëzohet sipërfaqja e mesme e murit dhe rrafshi i seksionit (vija e mesme e seksionit). O është qendra e rrotullimit relativ të dy seksioneve ngjitur. Nëse distanca e tyre është dx, këndi i rrotullimit është ϑ dx, kështu që një pikë arbitrare e vijës së mesme i nënshtrohet një zhvendosjeje u ϑ dx. Kjo zhvendosje ka një komponent rt ϑ dx në drejtimin tangjent me seksionin, dhe është rrëshqitje e elementit të sipërfaqes së mesme të murit (duke marrë parasysh se _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Meqenëse sforcimi i prerjes në sipërfaqen e mesme të murit është zero, ai duhet gjithashtu të jetë γ=0, prandaj kjo është arsyeja pse
Ky model përmban tre parametra arbitrarë: origjinën nga e cila llogaritet gjatësia e harkut s dhe koordinatat e qendrës së rrotullimit relativ O, nga e cila varet rt. Pika fillestare nga e cila llogaritet gjatësia e harkut s mund të zgjidhet në mënyrë që vlera mesatare e lakimit të jetë zero:
dhe koordinatat e qendrës O mund të përcaktohen në atë mënyrë që momentet për shkak të përkuljes së seksionit të jenë zero:
Mund të tregohet se qendra e rrotullimit e përcaktuar kështu përkon me qendrën e prerjes që është këtu të përshkruara dhe të përcaktuara në një mënyrë tjetër.
Nëse përkulja e seksionit të përshkruar nga këto modele parandalohet plotësisht ose pjesërisht, duhet të shfaqen sforcimet normale σx në drejtim të boshtit të shufrës. Ekzaminimi më i afërt tregon se këto sforcime mund të merren si proporcionale me funksionin e lakimit φ: σx=k__φ, ku φ varet vetëm nga s dhe k vetëm nga x. Sipas ligjit të Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
duhet të jetë k=E d__ϑ/dx. Sforcimet normale σx quhen sforcime të përkuljes së seksionit. Duke marrë parasysh ekuacionet e mësipërme, ato formojnë një sistem ekuilibri forcash në çdo seksion, një sistem forcash për shkak të përkuljes së seksionit.
Çift rrotullues total përbëhet nga dy pjesë: njëra prej tyre M1=GJT__ϑ lind për shkak të sforcimeve prerëse përdredhëse të dhëna nga _St. Teoria e Venantit, dhe tjetra M2 ndodh për shkak të përkuljes së seksionit:
Një.13
Meqenëse momenti M jepet si funksion i x, kjo shprehje paraqet një ekuacion diferencial për këndin e rrotullimit ϑ. Pasi të zgjidhet ky ekuacion, mund të llogaritet M1 dhe M2, dhe kështu të gjitha sforcimet dhe sforcimet.
Zgjidhje dhe aplikacione
Kur momenti i rrotullimit M është konstant, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (13) është:
Konstantet e integrimit C1, C2 duhet të përcaktohet nga dy kushte kufitare.
a) Fundi i mbërthyer fort x=0(fig.1)
Në këtë fund është u≡0, pra bazuar në ekuacionin (1b) ϑ=0. Nëse shufra është shumë e gjatë (αl>>1), pastaj C1=0dhe C2= -M/GJT. Në rastin e shufrave të shkurtra, shfaqja e stresit për shkak të përkuljes së seksionit ndikohet nga gjendja në skajin e djathtë të shufrës. Nëse nuk parandalohet përkulja e seksionit në atë vend, do të ketë σx≡0dhe dϑ/dx=0. Është marrë nga këtu
b) Ngarkesa rrotulluese simetrike sipas fig.10
Në gjysmën e majtë të shufrës, momenti i rrotullimit është -M/2, dhe në të djathtë +M/2. Në rastin e përdredhjes së lirë, seksionet majtas dhe djathtas të mesit të shufrës do të përdredheshin në drejtim të kundërt, prandaj nuk do të ruhej vazhdimësia e deformimit. Prandaj, në vendin x=0, i gjithë momenti i përdredhjes duhet të bartet përmes sforcimeve që ndodhin për shkak të përkuljes së prerjes, prandaj në këtë seksion M1=0 dhe për rrjedhojë ϑ=0. Në këtë pikë, një sistem forcash vepron për të siguruar që seksioni të mbetet i drejtë, edhe pse seksionet që shtrihen më larg nga qendra e kurbës së shufrës. Nëse, përveç kësaj, kërkohet që në skajet e shufrës sforcimet të jenë σx≡0, fitohet një kusht më shumë kufitar për secilën gjysmë të shufrës, pra për gjysmën e djathtë është
Fig. 10
c) Momenti i jashtëm M në një vend arbitrar (fig. 11)
Në këtë rast, zgjidhja ϑ për të dyja pjesët e shufrës duhet të shkruhet veçmas, kështu që shfaqen gjithsej katër konstante C1, C2, C3, C4. Përveç kësaj, nuk dihen edhe momentet e përdredhjes Ma, Mb. Gjashtë ekuacione janë të disponueshme: një kusht vazhdimësie për ϑ (shprehur me u) dhe për dϑ/dx (shprehur me σx) në pikën e ngarkesës, një kusht në çdo skaj të shufrës (p.sh. shtrëngimi i ngurtë ϑ=0, ose përkulje e patrazuar, dϑ/dx=0), kushti i ekuilibrit sipas momenteve -Ma+Mb=M dhe në fund kushti që seksionet fundore të mos rrotullohen në lidhje me njëri-tjetrin: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Shënimi përfundimtar: zgjedhja e modelit të rrotullimit varet nga seksioni i hapur ose i mbyllur, hollësia, mënyra e mbështetjes, vendi i hyrjes së momentit dhe mundësia e përkuljes së lirë. Për një element real, duhet të kontrollohen gjendjet kufitare të ngarkesës dhe të shërbimit, detajet lokale, nyjet, lodhja dhe qëndrueshmëria, jo vetëm një formulë e izoluar nga artikulli.