Kandungan pakar arkib: teks dan formula menyampaikan pembentangan teori sejarah dan bukan projek, pengiraan statik, semakan kapasiti galas beban, penilaian elemen sedia ada atau arahan untuk pembinaan atau pemulihan. Penetapan, andaian dan corak anggaran mesti disemak terhadap sistem, bahan, geometri, syarat sempadan dan piawaian yang berkenaan. Pengiraan kilasan, kestabilan, keletihan, sendi dan tekanan akibat lenturan yang dihalang perlu dilakukan oleh jurutera berlesen, dengan kawalan bebas apabila diperlukan.
Hari ini, Savo Kusić tertumpu pada tingkap kayu, tingkap kayu-aluminium, tingkap tersuai, pintu dan permintaan untuk sebut harga. Artikel ini kekal sebagai arkib profesional sejarah dan tidak mewakili perkhidmatan reka bentuk struktur.
Teori kilasan Saint-Venant (kilasan bebas)
Persamaan pembezaan
Sl.1
Biarkan sebatang batang lurus dipasang pada salah satu hujungnya x=0dan biarkan ia dimuatkan pada hujung yang satu lagi dengan momen kilasan M (rajah.1). Kemudian setiap bahagiannya berputar mengikut sudut tertentu α(x) mengelilingi garis tertentu selari dengan paksi kayu, yang akan kita pakai sebagai paksi x-. Jika semua keratan adalah sama antara satu sama lain, mana-mana garis lurus yang selari dengan paksi-x akan masuk ke dalam gegelung, dan sudut α akan berkadar dengan jarak dari hujung tetap: α=ϑx, dari mana anjakan komponen dalam satah bahagian itu timbul (Gamb.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Kuantiti ϑ dipanggil sudut kilasan (dimensi: panjang-1, putaran per unit panjang). Sudut kilasan adalah berkadar dengan momen kilasan M:
ϑ = M/GJT. (2)
Gamb. 2
Faktor kekadaran GJT, kekakuan kilasan, adalah sama dengan hasil darab modulus ricih G dan faktor JT, yang mewakili kesan bentuk dan saiz bahagian.
Putaran bahagian ini bukan satu-satunya ubah bentuk rod. Di samping itu, terdapat juga lenturan keratan rentas, iaitu kepada sesaran u ke arah paksi x-, yang mempunyai magnitud yang sama untuk titik yang sepadan bagi semua keratan rentas dan oleh itu hanya fungsi koordinat dalam satah bahagian, dan sebaliknya berkadar dengan sudut M: atau ϑ__: beban.
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Jika ungkapan di atas dimasukkan ke dalam persamaan anjakan yang sepadan, diperolehi bahawa tegasan normal utama adalah sama dengan sifar, meninggalkan hanya dua tegasan komponen τxy dan τxz:
satu.3
Persamaan pembezaan masalah kilasan diperoleh berdasarkan persamaan (3) meletakkan:
satu.4dan i4b
dan menyelesaikan persamaan pembezaan ini untuk yang tidak diketahui τxy dan τxz dengan memperkenalkan fungsi tegasan F(y,z) bahawa:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Dengan ini, persamaan (4a) berpuas hati secara identik, dan daripada persamaan (4b) persamaan pembezaan yang diperlukan diperolehi
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Keadaan sempadan yang diperlukan untuk penyelesaian unik persamaan ini diperoleh daripada keperluan bahawa tiada tegasan ricih pada sampul rod, yang mana, disebabkan sifat konjugat tegasan ricih, ia berikutan bahawa tegasan dalam satah keratan mesti tidak mempunyai komponen yang berserenjang dengannya sepanjang kontur. Dari sini, rajah.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
oleh itu
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
iaitu jumlah pembezaan fungsi F mestilah sifar, iaitu, ia mestilah F=const. sepanjang kontur.
Jika bahagian itu hanya mempunyai satu kontur, ia boleh diletakkan F= padanya0, kerana dengan fungsi voltan, di mana kita sebenarnya hanya berminat dalam derivatif, pemalar aditif sewenang-wenangnya tidak memainkan peranan. Untuk bahagian yang mempunyai lebih daripada satu kontur, isu ini lebih kompleks.
Seperti yang dilihat daripada persamaan (5) paduan tegasan ricih τxy dan τxz pada titik persilangan sewenang-wenangnya adalah sama dalam magnitud dengan kecerunan fungsi tegasan F, tetapi berserenjang dengannya, iaitu mempunyai arah tangen kepada garis F=const.
Dengan menyelesaikan persamaan pembezaan (6)) voltan τ sebagai fungsi y, z dan ϑ diperolehi. Tugas pengiraan adalah, sudah tentu, penentuan sudut kilasan ϑ dan tegasan, terutamanya tegasan maksimum sebagai fungsi momen kilasan, oleh itu, penentuan kekukuhan bahagian JT daripada persamaan (2) dan tork rintangan WT = Mmaxτ. Untuk mendapatkan ini, hanya perlu menyatakan M sebagai fungsi F:
Kedua-dua penjumlahan kamiran ini, yang harus diambil alih seluruh bahagian, boleh diubah melalui penyepaduan separa. Jika, sebagai contoh, yang pertama daripada mereka menyepadukan dahulu di sepanjang baris z=const. dari titik pada kontur y=y1 ke titik y=y2 (rajah.3) dan mengambil kira bahawa dalam kedua-dua titik ini F=0, diperolehi
Nilai yang sama diperoleh daripada kamiran kedua, supaya
satu.7
Sl.3
Kes lain bahagian penuh
Persamaan pembezaan (6) ialah persamaan tak homogen bagi teori potensi. Oleh itu, untuk penyelesaian masalah kilasan dalam kes keratan rentas sewenang-wenangnya, kaedah teori potensi tersedia, yang membolehkan ia sentiasa dijumpai. Kaedah-kaedah ini, bagaimanapun, secara amnya terlalu kompleks untuk digunakan pada kes individu yang timbul dalam amalan. Oleh itu, jadual berikut menunjukkan keputusan pengiraan sedemikian untuk beberapa bahagian.
Untuk keratan rentas yang hampir dengan bulatan, JT=F boleh diletakkan4/40_Ip_, dengan F ialah luas dan Ip ialah momen kutub inersia bahagian.
Nota tentang formula dan jadual: ungkapan dan nilai dalam imej yang diimbas disimpan sebagai sumber sejarah. Teks OCR, tanda indeks dan imbasan tidak cukup dipercayai untuk pengiraan. Sebelum digunakan, setiap formula, unit, pekali dan kawasan kesahan hendaklah disemak dalam sumber profesional yang berwibawa dan piawaian yang berkenaan.
Analogi dengan membran
Bantuan yang baik untuk menganggar tegasan kilasan, dan pada masa yang sama prosedur untuk penentuan tepat mereka disediakan oleh analogi antara fungsi tegasan F masalah kilasan dan beban melintang pesongan membran. Biarkan terdapat bukaan purata pada dinding rata sebuah vesel yang bertepatan dengan keratan rentas rod yang dimuatkan dalam kilasan. Apabila membran diregangkan di atas bukaan ini dan tekanan berlebihan kecil p disebabkan di dalam vesel, membran membonjol ke luar, supaya pesongannya ξ(y,z) memenuhi persamaan pembezaan
di mana N ialah tegangan permukaan dalam membran yang disebabkan oleh daya kapilari (dimensi: daya per unit panjang). Persamaan ini bertepatan dengan persamaan (6), dan keadaan sempadan ξ=0adalah sama dengan fungsi voltan. Dengan cara ini, fungsi tegasan F(y,z) boleh diperolehi dengan bantuan cermin ini dengan membran dan dengan itu menyelesaikan masalah kilasan. Tegasan τ sepadan dengan kecerunan membran berhubung dengan satah y-z-, jadi tempat paling curam ialah tempat rod yang terdedah kepada kilasan mempunyai tegasan ricih yang paling tinggi.
Sl.4
Sl.5
Prosedur membran ini amat sesuai untuk mendapatkan corak anggaran bagi bahagian berdinding nipis. Apabila, sebagai contoh, bahagian I dibahagikan mengikut rajah.4pada tiga segi empat tepat dan bagi setiap daripadanya analogi dengan membran dijalankan secara berasingan, jumlah isipadu tonjolan yang terhasil hanya akan lebih kecil sedikit daripada isipadu yang sebenarnya sepadan dengan fungsi voltan. Oleh itu, apabila ketebalan b1 dan b2 kecil, lebih kurang
JT =2JT1+ JT2,
di mana JT1 dan JT2 faktor kekukuhan bagi segi empat tepat individu yang boleh dikira berdasarkan jadual1. Pendekatan yang lebih baik diperoleh apabila JT diletakkan untuk rusuk2 = a2b32/3, oleh itu, apabila rusuk dianggap sebagai sebahagian daripada segi empat tepat yang sangat memanjang. Nilai yang lebih tepat diperolehi mengikut Trayer dan March\ daripada
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
dengan D ialah diameter bulatan terbesar yang tertulis seperti yang ditunjukkan dalam rajah.4, dan α boleh diambil daripada rajah.5. Untuk bahagian T ia diperolehi dengan cara yang sama
JT = JT1+JT2+ α D4,
di mana JT2 separuh daripada nilai dikira mengikut jadual1untuk a=2_a2_, b=b2. Untuk bahagian-L (rajah.6) adalah serupa dengan itu
JT = JT1+ JT2+ β D4
di mana JT1 untuk lengan yang lebih tebal diambil terus dari meja1, manakala JT2 untuk kaki nipis dikira seperti untuk bahagian T, dan β diambil daripada rajah.7.
Gamb. 6
Sl.7
Apabila mengira tegasan, momen kilasan dibahagikan kepada segi empat tepat juzuk: bahagian yang jatuh pada bebibir M1=M JT2/JT; tegasan ricih kemudiannya dikira pada titik tengah sisi yang lebih panjang bagi setiap segi empat tepat berdasarkan jadual1. Tegasan terbesar ini tidak semestinya tegasan ricih terbesar yang terdapat dalam bahagian tersebut. Iaitu, jika sudut tuju tidak dibulatkan, τ=∞ diperoleh di tempat itu, supaya untuk jejari pembundaran yang sangat kecil, tegasan ricih tertinggi boleh dijangkakan di sini.
Nota Kejuruteraan: ketunggalan matematik bagi sudut akut yang diidealkan bukanlah lesen untuk menganggarkan butiran sebenar dengan corak anggaran ini sahaja. Geometri pembulatan sebenar, toleransi, keplastikan, kimpalan, tegasan sisa, kestabilan dan kelesuan setempat memerlukan pemodelan yang sesuai dan pengesahan pakar.
Untuk sudut satu sisi yang ketebalan sisinya ialah t mengikut Trefftz\ adalah pada pembundaran diameter r:
di mana dengan τ0 menandakan voltan maksimum yang dikira untuk setiap kaki individu berdasarkan prosedur yang diterangkan di sini. Untuk jejari pembundaran yang lebih besar, τ= boleh diguna pakai2__τ0.
Paip Berdinding Nipis (Corak Bradt)
Dalam paip berdinding nipis, membran yang membonjol mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam rajah.8, yang terdiri daripada satah di atas ruang berongga di dalam paip dan permukaan condong yang mengelilinginya dan terletak di atas bahagian berkesan dinding paip; permukaan condong ini mestilah lebih curam jika dinding paip lebih nipis di tempat yang sesuai. Dalam kes ini, tegasan ricih diagihkan secara sama rata ke atas ketebalan dinding dan berkadar songsang dengan ketebalan dinding, iaitu daya ricih T = τt tidak berubah sepanjang lilitan bahagian.
Sl. 8
Elemen permukaan t_∙ds_ menerima sebahagian daripada momen kilasan
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
jadi jumlah momen ialah
satu.8
di mana permukaan FR diliputi oleh garis tengah yang ditandakan dengan garis dan titik dalam rajah.8. Ia diperolehi dari sini
satu.9- Corak Bredt\ pertama
Kekakuan kilasan diperoleh paling mudah apabila kerja ubah bentuk dinyatakan pada satu tangan melalui momen kilasan dan sudut kilasan dan sebaliknya melalui tegasan ricih. Dengan cara ini, ia diperoleh untuk unsur rod dengan panjang l
jadi, memperkenalkan nilai untuk τ mengikut persamaan (8),
iaitu, dengan perbandingan dengan persamaan (2):
satu.10
Jika ketebalan dinding adalah sama di sekeliling, maka ia adalah mudah (2. Corak Bredt):
satu.11
Tegasan biasa dalam kilasan akibat lenturan bahagian
Istilah asas dan persamaan pembezaan
Anjakan komponen u, persamaan (1b), menentukan kelengkungan bahagian dari satahnya. Apabila momen kilasan malar, lenturan ini adalah sama dalam semua bahagian dan tegasan biasa σx tidak muncul.
Dalam banyak kes, kelengkungan keratan rentas, yang sepatutnya timbul berdasarkan _St. Teori Venant tidak mungkin. Jika momen kilasan berubah secara mendadak dalam satu keratan rentas, lenturan magnitud yang berbeza akan berlaku pada kedua-dua belah keratan rentas, dan kesinambungan ubah bentuk akan terganggu. Satu hujung rod boleh diapit sedemikian rupa sehingga lenturan bahagian itu dikecualikan sepenuhnya pada ketika itu. Dalam kes sedemikian, adalah perlu untuk menambah _St. Teori Venant. Tegasan tambahan σx dalam arah paksi rod dan daya ricih tambahan T (tegasan ricih T/t) muncul dalam rod, yang merupakan yang tertinggi dalam bahagian di mana kesinambungan ubah bentuk dipecahkan dan yang berkurangan secara eksponen dengan jarak dari bahagian ini. Dalam kes rod dan tiub pepejal, teori ini adalah kompleks, dan voltan tambahan berkurangan dengan begitu cepat sehingga penentuan mereka tidak berbaloi dalam kebanyakan kes. Untuk rod berprofil terbuka berdinding nipis, pembetulan ini amat penting dan boleh dikira dengan agak mudah.
Sl.9
Sl.9menunjukkan garis di sepanjang permukaan tengah dinding dan satah bahagian bersilang (garisan tengah bahagian). O ialah pusat putaran relatif dua bahagian bersebelahan. Jika jaraknya ialah dx, sudut kilasan ialah ϑ dx, jadi titik arbitrari garis tengah mengalami sesaran u ϑ dx. Anjakan ini mempunyai komponen rt ϑ dx dalam arah tangen ke bahagian, dan merupakan gelinciran elemen permukaan tengah dinding (dengan mengambil kira bahawa _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Oleh kerana tegasan ricih di permukaan tengah dinding adalah sifar, ia juga mestilah γ=0, jadi itulah sebabnya
Corak ini mengandungi tiga parameter sewenang-wenangnya: asal dari mana panjang lengkok s dikira dan koordinat pusat putaran relatif O, yang mana rt bergantung. Titik permulaan dari mana panjang lengkok s dikira boleh dipilih supaya nilai kelengkungan min adalah sifar:
dan koordinat pusat O boleh ditentukan sedemikian rupa sehingga momen akibat lenturan bahagian adalah sifar:
Ia boleh ditunjukkan bahawa pusat putaran yang ditentukan itu bertepatan dengan pusat ricih iaitu di sini diterangkan dan ditakrifkan dengan cara lain.
Jika lenturan bahagian yang diterangkan oleh corak ini dihalang sepenuhnya atau sebahagiannya, tegasan normal σx dalam arah paksi rod mesti muncul. Pemeriksaan lebih dekat menunjukkan bahawa tegasan ini boleh dianggap berkadar dengan fungsi kelengkungan φ: σx=k__φ, di mana φ hanya bergantung pada s dan k sahaja pada x. Mengikut undang-undang Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
mestilah k=E d__ϑ/dx. Tegasan biasa σx dipanggil tegasan lentur keratan. Mempertimbangkan persamaan di atas, ia membentuk sistem keseimbangan daya dalam setiap bahagian, sistem daya akibat lenturan bahagian.
Jumlah tork terdiri daripada dua bahagian: satu daripadanya M1=GJT__ϑ timbul disebabkan oleh tegasan ricih kilasan yang diberikan oleh St. Teori Venant, dan M yang lain2 berlaku kerana lenturan bahagian:
satu.13
Oleh kerana momen M diberikan sebagai fungsi x, ungkapan ini mewakili persamaan pembezaan untuk sudut kilasan ϑ. Setelah persamaan ini diselesaikan, M boleh dikira1 dan M2, dan dengan itu semua tekanan dan ketegangan.
Penyelesaian dan aplikasi
Apabila momen kilasan M adalah malar, penyelesaian umum persamaan (13) ialah:
Pemalar pengamiran C1, C2 mesti ditentukan daripada dua syarat sempadan.
a) Hujung diapit tegar x=0(rajah.1)
Di hujung ini ialah u≡0, jadi berdasarkan persamaan (1b) ϑ=0. Jika joran itu sangat panjang (αl>>1), kemudian C1=0dan C2= -M/GJT. Dalam kes rod pendek, rupa tegasan akibat lenturan keratan rentas dipengaruhi oleh keadaan di hujung kanan rod. Jika lenturan bahagian tidak dihalang di tempat itu, akan ada σx≡0dan dϑ/dx=0. Ia diperolehi dari sini
b) Beban kilasan simetri mengikut rajah.10
Pada separuh kiri rod, momen kilasan ialah -M/2, dan di sebelah kanan +M/2. Dalam kes kilasan bebas, bahagian ke kiri dan kanan tengah rod akan dipintal ke arah yang bertentangan, oleh itu kesinambungan ubah bentuk tidak akan dipelihara. Oleh itu, di tempat x=0keseluruhan momen kilasan mesti dipindahkan melalui tegasan yang berlaku akibat lenturan keratan rentas, dan oleh itu dalam keratan rentas ini M1=0dan oleh itu ϑ=0. Pada ketika ini, sistem daya bertindak untuk memastikan bahagian itu kekal lurus, walaupun bahagian yang terletak lebih jauh dari pusat lengkung rod. Jika, sebagai tambahan, adalah dikehendaki bahawa pada hujung rod tegasan adalah σx≡0, satu lagi syarat sempadan diperoleh untuk setiap separuh batang, jadi ia adalah untuk separuh kanan
Gamb. 10
c) Momen luar M di tempat sewenang-wenangnya (rajah.11)
Dalam kes ini, penyelesaian ϑ untuk kedua-dua bahagian rod mesti ditulis secara berasingan, jadi sejumlah empat pemalar C muncul1, C2, C3, C4. Selain itu, momen kilasan Ma, Mb juga tidak diketahui. Enam persamaan tersedia: keadaan kesinambungan untuk ϑ (dinyatakan oleh u) dan untuk dϑ/dx (dinyatakan oleh σx) pada titik beban, satu keadaan pada setiap hujung rod (cth. pengapit tegar ϑ=0, atau lenturan tidak terganggu, dϑ/dx=0), keadaan imbangan mengikut momen -Ma+Mb=M dan akhirnya keadaan bahagian hujung tidak berputar berkenaan antara satu sama lain: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Nota akhir: pilihan model kilasan bergantung pada bahagian terbuka atau tertutup, kelangsingan, kaedah sokongan, tempat masukan momen dan kemungkinan lenturan bebas. Untuk elemen sebenar, keadaan had galas beban dan kebolehservisan, butiran tempatan, sambungan, keletihan dan kestabilan mesti diperiksa, bukan hanya satu formula terpencil daripada artikel.