Arhiivieksperdi sisu: tekst ja valemid annavad edasi ajaloolist teoreetilist ettekannet ega ole projekt, staatiline arvutus, kandevõime kontroll, olemasoleva elemendi hinnang ega juhised ehitamiseks või renoveerimiseks. Nimetusi, eeldusi ja ligikaudseid mustreid tuleb kontrollida konkreetse süsteemi, materjali, geomeetria, piirtingimuste ja kohaldatavate standardite suhtes. Väände, stabiilsuse, väsimuse, liigeste ja välditud paindumisest tingitud pinge arvutamise peaks tegema litsentseeritud insener, vajaduse korral sõltumatu kontrolliga.
Tänapäeval on Savo Kusić keskendunud puitakendele, puit-alumiinium aknad, kohandatud aknad, uks ja hinnapakkumise taotlused. See artikkel jääb ajalooliseks erialaseks arhiiviks ega kujuta endast konstruktsiooniprojekteerimisteenust.
Saint-Venanti väändeteooria (vaba torsioon)
Diferentsiaalvõrrand
Sl.1
Olgu sirge varras fikseeritud selle ühes otsas x=0ja lasta see teisest otsast koormata väändemomendiga M (joon.1). Seejärel pöörleb iga selle sektsioon teatud nurga α(x) võrra ümber teatud pulga teljega paralleelse sirge, mille võtame kasutusele x-teljena. Kui kõik lõigud on üksteisega võrdsed, läheb iga x-teljega paralleelne sirge mähisesse ja nurk α on võrdeline kaugusega fikseeritud otsast: α=ϑx, millest tulenevad komponentide nihked lõigu tasapinnas (joon.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Suurust ϑ nimetatakse väändenurgaks (mõõde: pikkus-1, pöörlemine pikkuseühiku kohta). Väändenurk on võrdeline väändemomendiga M:
ϑ = M/GJT. (2)
Joon. 2
Proportsionaalsustegur GJT, väändejäikus, on võrdne nihkemooduli G ja teguri JT korrutisega, mis tähistab lõigu kuju ja suuruse mõju.
See sektsiooni pöörlemine ei ole varda ainus deformatsioon. Lisaks toimub ka ristlõike painutamine, st nihkele u x-telje suunas, mis on kõigi ristlõigete vastavate punktide jaoks sama suurusjärgus ja on seetõttu ainult lõigu tasapinna koordinaatide funktsioon ning on muul viisil võrdeline koormusega M või väänemisnurgaga: _ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Kui ülaltoodud avaldised sisestada vastavatesse nihkevõrranditesse, saadakse, et peamised normaalpinged on võrdsed nulliga, jättes alles ainult kaks komponendi pinget τxy ja τxz:
Üks.3
Väändeülesande diferentsiaalvõrrand saadakse võrrandite (3) pannes:
Üks.4ja i4b
ja nende diferentsiaalvõrrandite lahendamine tundmatute τxy ja τxz jaoks, võttes kasutusele pingefunktsiooni F(y,z), mis:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Sellega võrrand (4a) identselt täidetud ja võrrandist (4b) saadakse vajalik diferentsiaalvõrrand
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Selle võrrandi unikaalse lahenduse jaoks vajalik piirtingimus saadakse nõudest, et varda ümbrisel ei esineks nihkepingeid, millest tulenevalt nihkepingete konjugeeritud olemusest järeldub, et lõiketasandi pingel ei tohi olla temaga risti piki kontuuri olevat komponenti. Siit, joon.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
seetõttu
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
st funktsiooni F summaarne diferentsiaal peab olema null, see tähendab, et see peab olema F=const. piki kontuuri.
Kui lõigul on ainult üks kontuur, võib sellele lihtsalt panna F=0, sest pingefunktsiooni juures, mille tuletistest meid tegelikult huvitavad vaid suvaline aditiivne konstant ei mängi rolli. Sektsioonide puhul, millel on rohkem kui üks kontuur, on see probleem keerulisem.
Nagu nähtub võrrandist (5) nihkepingete τxy ja τxz resultant suvalises lõikepunktis on suuruselt võrdne pingefunktsiooni F gradiendiga, kuid on sellega risti, st omab joone F=const puutuja suunda.
Lahendades diferentsiaalvõrrandi (6)) saadakse pinged τ y, z ja ϑ funktsioonidena. Arvutuse ülesandeks on loomulikult väändenurga ϑ ja pinge, eelkõige maksimaalse pinge määramine väändemomendi funktsioonina, seega lõigu JT jäikuse määramine võrrandist (2) ja takistuse pöördemomenti WT = Mmaxτ. Nende saamiseks on vaja ainult M väljendada F funktsioonina:
Selle integraali mõlemad liitmised, mis tuleks üle võtta kogu lõigu, saab teisendada osalise integreerimise teel. Kui näiteks esimene neist integreerub esimesena mööda rida z=const. kontuuri punktist y=y1 punktini y=y2 (joon.3) ja võtke arvesse, et mõlemas punktis F=0, saadakse
Sama väärtus saadakse teisest integraalist, nii et
Üks.7
Sl.3
Muud täislõikude juhtumid
Diferentsiaalvõrrand (6) on potentsiaaliteooria ebahomogeenne võrrand. Seetõttu on väändeülesande lahendamiseks suvalise ristlõike korral olemas potentsiaaliteooria meetodid, mis võimaldavad selle alati üles leida. Need meetodid on aga üldiselt liiga keerulised, et neid praktikas esile kerkivate üksikjuhtumite puhul rakendada. Seetõttu on järgmises tabelis näidatud selliste arvutuste tulemused mitme jaotise kohta.
Ringikujulistele lähedastele ristlõigetele võib panna JT=F_4/40_Ip, kus F on pindala ja Ip on lõigu polaarne inertsimoment.
Märkus valemite ja tabelite kohta: avaldised ja väärtused skannitud piltidel salvestatakse ajalooallikana. OCR-tekst, indeksmärgid ja skannimine ei ole arvutamiseks piisavalt usaldusväärsed. Enne kasutamist tuleb iga valemit, ühikut, koefitsienti ja kehtivusala kontrollida autoriteetses professionaalses allikas ja kehtivas standardis.
Analoogia membraaniga
Heaks abiks väändepingete hindamisel ja samas protseduuri nende täpseks määramiseks annab analoogia väändeülesande pingefunktsiooni F ja membraani läbipainde põikkoormuse vahel. Olgu anuma tasasel seinal keskmine ava, mis langeb kokku väändega koormatud varda ristlõikega. Kui membraan on venitatud üle selle ava ja anumas tekitatakse väike ülerõhk p, siis membraan paisub väljapoole, nii et selle läbipainded ξ(y,z) vastavad diferentsiaalvõrrandile
kus N on kapillaarjõudude poolt põhjustatud membraani pindpinevus (mõõtmed: jõud pikkuseühiku kohta). See võrrand langeb kokku võrrandiga (6) ja piirtingimus ξ=0on sama, mis pingefunktsiooni oma. Nii saab selle peegli abil koos membraaniga saada pingefunktsiooni F(y,z) ja seeläbi lahendada väändeprobleemi. Pinge τ vastab membraani kaldele y-z-tasandi suhtes, seega on kõige järsem koht see, kus väändele avatud vardal on suurim nihkepinge.
Sl.4
Sl.5
See membraaniprotseduur sobib eriti hästi õhukeseseinaliste sektsioonide ligikaudsete mustrite saamiseks. Kui näiteks I-sektsioon on jagatud joonise fig.4kolmel ristkülikul ja igaühe puhul tehakse analoogia membraaniga eraldi, on saadud eendite mahtude summa vaid veidi väiksem mahust, mis tegelikult vastab pingefunktsioonile. Seega, kui paksused on b1 ja b2 väike, ligikaudu
JT =2JT1+ JT2,
kus JT1 ja JT2 üksikute ristkülikute jäikustegurid, mida saab arvutada tabeli alusel1. Parem lähenemine saavutatakse, kui ribi jaoks asetatakse JT2 = a2b32/3, seega, kui ribi peetakse väga pikliku ristküliku osaks. Veelgi täpsem väärtus saadakse vastavalt Salvel ja Märtsile\ alates
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
kus D on suurima ringi läbimõõt, nagu näidatud joonisel fig.4, ja α võib võtta jooniselt fig.5. T-sektsiooni jaoks saadakse see sarnaselt
JT = JT1+JT2+ α D4,
kus JT2 pool tabeli järgi arvutatud väärtusest1jaoks a=2_a2_, b=b2. L-kujuliste sektsioonide jaoks (joon.6) on sellega sarnane
JT = JT1+ JT2+ β D4
kus JT1 paksema käe jaoks võetakse otse laualt1, samas kui JT2 õhema jala puhul arvutatakse nagu T-lõike puhul ja β on võetud jooniselt fig.7.
Joon. 6
Sl.7
Pinge arvutamisel jagatakse väändemoment ristkülikuteks: äärikutele langev osa M1=M JT2/JT; nihkepinge arvutatakse seejärel iga ristküliku pikema külje keskpunktis tabeli alusel1. Suurim neist pingetest ei pea olema lõikes esinev suurim nihkepinge. Nimelt, kui langemisnurka ei ümardata, saadakse selles kohas τ=∞, nii et väga väikese ümardusraadiuse korral võib siin oodata suurimat nihkepinget.
Insenertehniline märkus: idealiseeritud teravnurga matemaatiline singulaarsus ei võimalda hinnata tegelikku detaili ainult selle ligikaudse mustri järgi. Tegelik ümardamise geomeetria, tolerantsid, plastilisus, keevisõmblused, jääkpinged, lokaalne stabiilsus ja väsimus nõuavad asjakohast modelleerimist ja asjatundlikku kontrolli.
Ühepoolse nurga puhul, mille külje paksus on t vastavalt Trefftz, on läbimõõdu r ümardamisel:
kus koos τ0 märgitud maksimaalne pinge, mis arvutatakse iga üksiku jala jaoks siin kirjeldatud protseduuri alusel. Suuremate ümardusraadiuste korral võib kasutada τ=2__τ0.
Õhukese seinaga torud (Bradti mustrid)
Õhukeseseinalistes torudes on punnis membraan joonisel fig.8, mis koosneb toru sees olevast õõnesruumist kõrgemal asuvast tasapinnast ja seda ümbritsevast kaldpinnast, mis asub toruseina efektiivse osa kohal; see kaldpind peab olema järsem, kui toruseinad on sobivas kohas õhemad. Sel juhul jaotuvad nihkepinged üsna ühtlaselt seinte paksusele ja on pöördvõrdelised seinte paksusega, st nihkejõud T = τt ei muutu piki lõigu ümbermõõtu.
Sl. 8
Pinnaelement t_∙ds_ saab osa väändemomendist
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
nii et kogu hetk on
Üks.8
kus FR-pind on kaetud keskmise joonega, mis on tähistatud joonte ja punktidega joonisel fig.8. See on saadud siit
Üks.9- Esimene Bredt\ muster
Väändejäikus saadakse kõige lihtsamalt siis, kui deformatsioonitööd väljenduvad ühelt poolt väändemomendi ja väändenurga ning teiselt poolt nihkepingete kaudu. Sel viisil saadakse see vardaelemendile pikkusega l
seega, sisestades τ väärtuse vastavalt võrrandile (8),
see tähendab võrreldes võrrandiga (2):
Üks.10
Kui seinte paksus on ümberringi sama, siis on see lihtne (2. Bredti muster):
Üks.11
Tavalised pinged väändel, mis on tingitud sektsiooni painutamisest
Põhiterminid ja diferentsiaalvõrrand
Komponentide nihked u, võrrand (1b), määrab sektsioonide kõveruse nende tasanditest. Kui väändemoment on konstantne, on see painde kõigis lõikudes ühesugune ja normaalpingeid σx ei esine.
Paljudel juhtudel on ristlõike kõverus, mis peaks tekkima _St. Venanti teooria pole võimalik. Väändemomendi järsu muutumise korral ühes ristlõikes tekiks ristlõike mõlemal küljel erineva suurusega paindumine ja deformatsiooni pidevus oleks häiritud. Varda ühe otsa saab kinnitada nii, et sektsiooni paindumine on selles kohas täielikult välistatud. Sellistel juhtudel tuleks teha muudatus _St. Venanti teooriad. Vardale tekivad lisapinged σx varda telje suunas ja lisanihkejõud T (nihkepinged T/t), mis on suurimad lõigus, kus deformatsiooni pidevus katkeb ja mis vähenevad eksponentsiaalselt kaugusega sellest lõigust. Tahkete varraste ja torude puhul on see teooria keeruline ja lisapinged vähenevad nii kiiresti, et nende määramine ei tasu enamasti ära. Õhukeseseinaliste avatud profiiliga varraste puhul on see parandus suur tähtsus ja seda saab suhteliselt lihtsalt arvutada.
Sl.9
Sl.9näitab joont, mida mööda seina keskpind ja lõiketasapind ristuvad (lõike keskjoon). O on kahe külgneva sektsiooni suhtelise pöörlemise kese. Kui nende kaugus on dx, on väändenurk ϑ dx, seega toimub keskjoone suvaline punkt nihke u ϑ dx. Sellel nihkel on sektsiooni puutuja suunas komponent rt ϑ dx ja see on seina keskpinna elemendi libisemine (arvestades, et _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Kuna nihkepinge seina keskpinnal on null, peab see olema ka γ=0, sellepärast
See muster sisaldab kolme suvalist parameetrit: alguspunkt, millest arvutatakse kaare pikkus s ja suhtelise pöördekeskme koordinaadid O, millest rt sõltub. Algpunkti, millest kaare pikkus s arvutatakse, saab valida nii, et kõveruse keskmine väärtus on null:
ja keskpunkti O koordinaadid saab määrata nii, et lõigu paindumisest tulenevad momendid on null:
Võib näidata, et nii määratud pöördekese_ langeb kokku nihkekeskmega, mis on siin kirjeldatud ja muul viisil määratletud.
Kui nende mustritega kirjeldatud lõigu paindumine on täielikult või osaliselt välistatud, peavad ilmnema varda telje suunalised normaalpinged σx. Lähem uurimine näitab, et neid pingeid võib pidada võrdeliseks kõverusfunktsiooniga φ: σx=k__φ, kus φ sõltub ainult s-st ja k ainult x-st. Hooke’i seaduse järgi:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
peab olema k=E d__ϑ/dx. Normaalpingeid σx nimetatakse sektsiooni paindepingeteks. Arvestades ülaltoodud võrrandeid, moodustavad need igas sektsioonis jõudude tasakaalusüsteemi, lõigu paindumisest tingitud jõudude süsteemi.
Kogu pöördemoment koosneb kahest osast: üks neist M1=GJT__ϑ tekib St. Venant's teooria ja teine _M2_ tekib sektsiooni painde tõttu:
Üks.13
Kuna hetk M on antud x funktsioonina, esindab see avaldis väänenurga ϑ diferentsiaalvõrrandit. Kui see võrrand on lahendatud, saab M arvutada1 ja M2 ja seega kõik pinged ja pinged.
Lahendus ja rakendused
Kui väändemoment M on konstantne, saab võrrandi (13) on:
Integratsioonikonstandid C1, C2 tuleb määrata kahest piirtingimusest.
a) Jäigalt kinnitatud ots x=0(joon.1)
Selles lõpus on u≡0, seega põhineb võrrandil (1b) ϑ=0. Kui varras on väga pikk (αl>>1), seejärel C1=0ja C2= -M/GJT. Lühikeste varraste puhul mõjutab sektsiooni paindumisest tingitud pinge ilmnemist ridva parempoolse otsa seisund. Kui sektsiooni paindumine selles kohas ei ole takistatud, tekib σx≡0ja dϑ/dx=0. See on saadud siit
b) Sümmeetriline väändekoormus vastavalt joonisele fig. 10
Varda vasakul poolel on väändemoment -M/2 ja paremal +M/2. Vaba väände korral väänduksid varda keskelt vasakule ja paremale jäävad lõigud vastassuunas, mistõttu deformatsiooni pidevus ei säiliks. Seetõttu tuleb kohas x=0 kogu väändemoment üle kanda läbi lõigu paindumisel tekkivate pingete ja seetõttu selles lõigus M1=0 ja seega ϑ=0. Sel hetkel toimib jõudude süsteem, mis tagab, et sektsioon jääb sirgeks, isegi kui lõigud, mis asuvad varda kõvera keskpunktist kaugemal, kõverduvad. Kui lisaks nõutakse, et varda otstes on pinged σx≡0, saadakse iga vardapoole jaoks veel üks piirtingimus, seega on see parempoolne
Joon. 10
c) Väline moment M suvalises kohas (joonis 11)
Sellisel juhul tuleb mõlema varda osa lahend ϑ eraldi kirjutada, nii tekib kokku neli konstanti C1, C2, C3, C4. Lisaks on teadmata ka väändemomendid Ma, Mb. Saadaval on kuus võrrandit: pidevuse tingimus ϑ jaoks (väljendatud u) ja dϑ/dx (väljendatud σx) jaoks koormuse mõjupunktis, üks tingimus varda mõlemas otsas (nt jäik pigistamine ϑ=0, häiritud või painutamine dϑ/dx=0), momenditasakaalu tingimus -Ma+Mb=M ja lõpuks tingimus, et otsalõigud ei pöördu üksteise poole: ∫ ϑdx = 0.
Sl.11
Lõppmärkus: väändemudeli valik sõltub avatud või suletud sektsioonist, sihvakust, toetusviisist, momendi sisendi kohast ja vaba painde võimalusest. Reaalse elemendi puhul tuleb kontrollida kandevõime ja kasutuskõlblikkuse piirseisundeid, lokaalseid detaile, liitekohti, väsimust ja stabiilsust, mitte ainult üht üksikut valemit artiklist.