Περιεχόμενο αρχειακού εμπειρογνώμονα: το κείμενο και οι τύποι μεταφέρουν μια ιστορική θεωρητική παρουσίαση και δεν είναι έργο, στατικός υπολογισμός, έλεγχος φέρουσας ικανότητας, αξιολόγηση υπάρχοντος στοιχείου ή οδηγίες για κατασκευή ή αποκατάσταση. Οι ονομασίες, οι υποθέσεις και τα κατά προσέγγιση σχέδια πρέπει να ελέγχονται με βάση το συγκεκριμένο σύστημα, το υλικό, τη γεωμετρία, τις οριακές συνθήκες και τα ισχύοντα πρότυπα. Ο υπολογισμός της στρέψης, της ευστάθειας, της κόπωσης, των αρθρώσεων και της τάσης λόγω αποτροπής κάμψης πρέπει να γίνεται από αδειούχο μηχανικό, με ανεξάρτητο έλεγχο όταν απαιτείται.
Σήμερα, ο Savo Kusić επικεντρώνεται στα ξύλινα παράθυρα, παράθυρα από ξύλο-αλουμίνιο, προσαρμοσμένα παράθυρα, πόρτα και αιτήματα για προσφορά. Αυτό το άρθρο παραμένει ως ιστορικό επαγγελματικό αρχείο και δεν αντιπροσωπεύει υπηρεσία δομικού σχεδιασμού.
Θεωρία Saint-Venant της στρέψης (ελεύθερη στρέψη)
Διαφορική εξίσωση
Sl.1
Αφήστε μια ευθεία ράβδο να στερεωθεί σε ένα από τα άκρα της x=0και αφήστε το να φορτωθεί στο άλλο άκρο με ροπή στρέψης M (εικ.1). Στη συνέχεια, κάθε τμήμα του περιστρέφεται κατά μια ορισμένη γωνία α(x) γύρω από μια συγκεκριμένη ευθεία παράλληλη προς τον άξονα του ραβδιού, την οποία θα υιοθετήσουμε ως άξονα x-. Εάν όλα τα τμήματα είναι ίσα μεταξύ τους, οποιαδήποτε ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα x θα περάσει σε ένα πηνίο και η γωνία α θα είναι ανάλογη με την απόσταση από το σταθερό άκρο: α=ϑx, από το οποίο προκύπτουν οι μετατοπίσεις των συστατικών στο επίπεδο της τομής (Εικ.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1ένα)
Η ποσότητα ϑ ονομάζεται γωνία στρέψης (διάσταση: μήκος-1, περιστροφή ανά μονάδα μήκους). Η γωνία στρέψης είναι ανάλογη της ροπής στρέψης M:
ϑ = M/GJT. (2)
Εικ. 2
Ο συντελεστής αναλογικότητας GJT, η στρεπτική ακαμψία, είναι ίσος με το γινόμενο του συντελεστή διάτμησης G και του συντελεστή JT, που αντιπροσωπεύει την επίδραση του σχήματος και του μεγέθους της τομής.
Αυτή η περιστροφή του τμήματος δεν είναι η μόνη παραμόρφωση της ράβδου. Επιπλέον, υπάρχει επίσης κάμψη της διατομής, δηλαδή στη μετατόπιση u προς την κατεύθυνση του άξονα x-, η οποία έχει το ίδιο μέγεθος για τα αντίστοιχα σημεία όλων των διατομών και επομένως είναι μόνο συνάρτηση των συντεταγμένων στο επίπεδο της τομής και κατά τα άλλα είναι ανάλογη με το φορτίο M ή τη γωνία στρέψης ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1σι)
Εάν οι παραπάνω εκφράσεις εισαχθούν στις αντίστοιχες εξισώσεις μετατόπισης, προκύπτει ότι οι κύριες κανονικές τάσεις είναι ίσες με μηδέν, αφήνοντας μόνο δύο συστατικές τάσεις τxy και τxz:
Ενας.3
Η διαφορική εξίσωση του προβλήματος στρέψης προκύπτει με βάση τις εξισώσεις (3) βάζοντας:
Ενας.4και εγώ4σι
και λύνοντας αυτές τις διαφορικές εξισώσεις για τους αγνώστους τxy και τxz εισάγοντας τη συνάρτηση τάσης F(y,z) που:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Με αυτό, η εξίσωση (4α) πανομοιότυπα ικανοποιημένος και από την εξίσωση (4β) προκύπτει η απαιτούμενη διαφορική εξίσωση
ρε2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Η οριακή συνθήκη που απαιτείται για τη μοναδική λύση αυτής της εξίσωσης προκύπτει από την απαίτηση να μην υπάρχουν διατμητικές τάσεις στο περίβλημα της ράβδου, από την οποία, λόγω της συζυγούς φύσης των τάσεων διάτμησης, προκύπτει ότι η τάση στο επίπεδο τομής δεν πρέπει να έχει μια συνιστώσα κάθετη προς αυτήν κατά μήκος του περιγράμματος. Από εδώ, το σχ.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
επομένως
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
δηλ. το συνολικό διαφορικό της συνάρτησης F πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή να είναι F=const. κατά μήκος του περιγράμματος.
Εάν το τμήμα έχει μόνο ένα περίγραμμα, μπορεί απλά να τοποθετηθεί F= πάνω του0, γιατί με τη συνάρτηση τάσης, για την οποία στην πραγματικότητα μας ενδιαφέρουν μόνο οι παράγωγοι, η αυθαίρετη προσθετική σταθερά δεν παίζει ρόλο. Για τμήματα που έχουν περισσότερα από ένα περιγράμματα, αυτό το ζήτημα είναι πιο περίπλοκο.
Όπως φαίνεται από την εξίσωση (5) που προκύπτει από τις διατμητικές τάσεις τxy και τxz σε ένα αυθαίρετο σημείο τομής είναι ίσο σε μέγεθος με την κλίση της συνάρτησης τάσης F, αλλά είναι κάθετο σε αυτήν, δηλαδή έχει διεύθυνση εφαπτομένης στην ευθεία F=const.
Με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (6)) λαμβάνονται οι τάσεις τ ως συναρτήσεις των y, z και ϑ. Το καθήκον του υπολογισμού είναι, φυσικά, ο προσδιορισμός της γωνίας στρέψης ϑ και της τάσης, ειδικά η μέγιστη τάση σε συνάρτηση με τη ροπή στρέψης, επομένως, ο προσδιορισμός της ακαμψίας του τμήματος JT από την εξίσωση (2) και η ροπή αντίστασης WT = Mmaxτ. Για να τα αποκτήσετε, είναι απαραίτητο μόνο να εκφράσετε το M ως συνάρτηση του F:
Και οι δύο αθροίσεις αυτού του ολοκληρώματος, οι οποίες θα πρέπει να ληφθούν σε ολόκληρη την ενότητα, μπορούν να μετασχηματιστούν με μερική ολοκλήρωση. Αν, για παράδειγμα, το πρώτο από αυτά ενσωματωθεί πρώτα κατά μήκος της γραμμής z=const. από το σημείο στο περίγραμμα y=y1 στο σημείο y=y2 (εικ.3) και λάβετε υπόψη ότι και στα δύο αυτά σημεία F=0, λαμβάνεται
Η ίδια τιμή προκύπτει από το δεύτερο ολοκλήρωμα, έτσι ώστε
Ενας.7
Sl.3
Άλλες περιπτώσεις πλήρων τμημάτων
Η διαφορική εξίσωση (6) είναι η ανομοιογενής εξίσωση της θεωρίας δυναμικού. Επομένως, για την επίλυση του προβλήματος στρέψης σε περίπτωση αυθαίρετης διατομής, είναι διαθέσιμες οι μέθοδοι της θεωρίας του δυναμικού, που δίνουν τη δυνατότητα να βρίσκεται πάντα. Αυτές οι μέθοδοι, ωστόσο, είναι γενικά πολύ περίπλοκες για να εφαρμοστούν σε μεμονωμένες περιπτώσεις που προκύπτουν στην πράξη. Επομένως, ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα τέτοιων υπολογισμών για πολλές ενότητες.
Για διατομές κοντά σε κυκλικές, μπορεί να τεθεί JT=F_4/40_Ip, όπου F είναι το εμβαδόν και Ip η πολική ροπή αδράνειας της τομής.
Σημείωση σε τύπους και πίνακες: οι εκφράσεις και οι τιμές σε σαρωμένες εικόνες αποθηκεύονται ως ιστορική πηγή. Το κείμενο OCR, τα σημάδια ευρετηρίου και η σάρωση δεν είναι αρκετά αξιόπιστα για υπολογισμό. Πριν από τη χρήση, κάθε τύπος, μονάδα, συντελεστής και περιοχή εγκυρότητας θα πρέπει να ελέγχονται σε έγκυρη επαγγελματική πηγή και ισχύον πρότυπο.
Αναλογία με τη μεμβράνη
Μια καλή βοήθεια για την εκτίμηση των στρεπτικών τάσεων και ταυτόχρονα μια διαδικασία για τον ακριβή προσδιορισμό τους παρέχεται από την αναλογία μεταξύ της συνάρτησης τάσης F του στρεπτικού προβλήματος και του εγκάρσιου φορτίου εκτροπής της μεμβράνης. Ας υπάρχει ένα μέσο άνοιγμα στο επίπεδο τοίχωμα ενός σκάφους που συμπίπτει με τη διατομή μιας ράβδου φορτωμένης σε στρέψη. Όταν η μεμβράνη τεντώνεται πάνω από αυτό το άνοιγμα και προκαλείται μια μικρή υπερβολική πίεση p στο δοχείο, η μεμβράνη διογκώνεται προς τα έξω, έτσι ώστε οι παραμορφώσεις της ξ(y,z) ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση
όπου N είναι η επιφανειακή τάση στη μεμβράνη που προκαλείται από τριχοειδείς δυνάμεις (διαστάσεις: δύναμη ανά μονάδα μήκους). Αυτή η εξίσωση συμπίπτει με την εξίσωση (6), και η οριακή συνθήκη ξ=0είναι ίδια με αυτή της συνάρτησης τάσης. Με αυτόν τον τρόπο, η συνάρτηση τάσης F(y,z) μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας αυτό το κάτοπτρο με τη μεμβράνη και έτσι να λυθεί το πρόβλημα στρέψης. Η τάση τ αντιστοιχεί στην κλίση της μεμβράνης σε σχέση με το y-z-επίπεδο, άρα η πιο απότομη θέση είναι αυτή όπου η ράβδος που εκτίθεται σε στρέψη έχει τη μεγαλύτερη διατμητική τάση.
Sl.4
Sl.5
Αυτή η διαδικασία μεμβράνης είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για τη λήψη κατά προσέγγιση σχεδίων για τομές με λεπτά τοιχώματα. Όταν, για παράδειγμα, η τομή Ι χωρίζεται σύμφωνα με το σχ.4σε τρία ορθογώνια και για καθένα από αυτά η αναλογία με τη μεμβράνη πραγματοποιείται χωριστά, το άθροισμα των όγκων των προεξοχών που προκύπτουν θα είναι μόνο ελαφρώς μικρότερο από τον όγκο που αντιστοιχεί στην πραγματικότητα στη συνάρτηση τάσης. Επομένως, όταν τα πάχη είναι b1 και β2 μικρό, περίπου
JT =2JT1+ JT2,
όπου JT1 και JT2 συντελεστές ακαμψίας μεμονωμένων ορθογωνίων που μπορούν να υπολογιστούν με βάση τον πίνακα1. Μια καλύτερη προσέγγιση επιτυγχάνεται όταν τοποθετηθεί JT για το πλευρό2 = α2σι32/3, επομένως, όταν η νεύρωση θεωρείται ως μέρος ενός πολύ επιμήκους ορθογωνίου. Μια ακόμη πιο ακριβής τιμή λαμβάνεται σύμφωνα με τα Trayer και March\ από
JT =2JT1+1/3ένα2σι32+2 α Δ4,
όπου D είναι η διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου που εγγράφεται όπως φαίνεται στο σχ.4, και α μπορούν να ληφθούν από το σχ.5. Για την τομή Τ λαμβάνεται παρόμοια
JT = JT1+JT2+ α Δ4,
όπου JT2 το ήμισυ της αξίας που υπολογίζεται σύμφωνα με τον πίνακα1για a=2_ένα2_, β=β2. Για τομές L (εικ.6) είναι παρόμοιο με αυτό
JT = JT1+ JT2+ β Δ4
όπου JT1 για τον παχύτερο βραχίονα λαμβάνεται απευθείας από το τραπέζι1, ενώ JT2 για το λεπτό πόδι υπολογίζεται όπως για την τομή Τ, και β λαμβάνεται από το σχ.7.
Εικ. 6
Sl.7
Κατά τον υπολογισμό της τάσης, η ροπή στρέψης χωρίζεται σε συστατικά ορθογώνια: το τμήμα που πέφτει στις φλάντζες M1=M JT2/JT; Η διατμητική τάση υπολογίζεται στη συνέχεια στο μέσο της μεγαλύτερης πλευράς κάθε ορθογωνίου με βάση τον πίνακα1. Η μεγαλύτερη από αυτές τις τάσεις δεν χρειάζεται να είναι η μεγαλύτερη διατμητική τάση που εμφανίζεται στο τμήμα. Δηλαδή, εάν η γωνία πρόσπτωσης δεν είναι στρογγυλεμένη, προκύπτει τ=∞ σε αυτό το σημείο, έτσι ώστε για πολύ μικρή ακτίνα στρογγυλοποίησης, να αναμένεται εδώ η μεγαλύτερη διατμητική τάση.
Σημείωση μηχανικής: η μαθηματική ιδιομορφία της εξιδανικευμένης οξείας γωνίας δεν αποτελεί άδεια εκτίμησης της πραγματικής λεπτομέρειας μόνο με αυτό το κατά προσέγγιση μοτίβο. Η πραγματική γεωμετρία στρογγυλοποίησης, οι ανοχές, η πλαστικότητα, οι συγκολλήσεις, οι υπολειπόμενες τάσεις, η τοπική σταθερότητα και η κόπωση απαιτούν κατάλληλη μοντελοποίηση και επαλήθευση από ειδικούς.
Για μια μονόπλευρη γωνία της οποίας το πάχος πλευράς είναι t σύμφωνα με Trefftz\ είναι στη στρογγυλοποίηση της διαμέτρου r:
όπου με τ0 σημειώθηκε η μέγιστη τάση που υπολογίζεται για κάθε μεμονωμένο σκέλος με βάση τη διαδικασία που περιγράφεται εδώ. Για μεγαλύτερες ακτίνες στρογγυλοποίησης, μπορεί να υιοθετηθεί τ=2__τ0.
Σωλήνες με λεπτό τοίχωμα (Μοτίβα Bradt)
Σε σωλήνες με λεπτά τοιχώματα, η διογκωμένη μεμβράνη έχει το σχήμα που φαίνεται στο σχ.8, που αποτελείται από ένα επίπεδο πάνω από τον κοίλο χώρο μέσα στον σωλήνα και μια κεκλιμένη επιφάνεια που τον περιβάλλει και βρίσκεται πάνω από το αποτελεσματικό τμήμα του τοιχώματος του σωλήνα. αυτή η κεκλιμένη επιφάνεια πρέπει να είναι πιο απότομη εάν τα τοιχώματα του σωλήνα είναι λεπτότερα στην κατάλληλη θέση. Σε αυτή την περίπτωση, οι διατμητικές τάσεις κατανέμονται αρκετά ομοιόμορφα στο πάχος των τοιχωμάτων και είναι αντιστρόφως ανάλογες με το πάχος των τοιχωμάτων, δηλαδή η διατμητική δύναμη__T = τt δεν μεταβάλλεται κατά μήκος της περιφέρειας της τομής.
Sl. 8
Το επιφανειακό στοιχείο t_∙ds_ δέχεται μέρος της ροπής στρέψης
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
άρα η συνολική στιγμή είναι
Ενας.8
όπου η επιφάνεια FR καλύπτεται από τη μεσαία γραμμή που σημειώνεται με γραμμές και κουκκίδες στο σχ.8. Λαμβάνεται από εδώ
Ενας.9- Το πρώτο μοτίβο Bredt\
Η στρεπτική ακαμψία επιτυγχάνεται πιο απλά όταν το έργο παραμόρφωσης εκφράζεται αφενός μέσω της ροπής στρέψης και της γωνίας στρέψης και αφετέρου μέσω των τάσεων διάτμησης. Με αυτόν τον τρόπο, προκύπτει για ένα στοιχείο ράβδου μήκους l
λοιπόν, εισάγοντας την τιμή για τ σύμφωνα με την εξίσωση (8),
δηλαδή σε σύγκριση με την εξίσωση (2):
Ενας.10
Αν το πάχος των τοίχων είναι το ίδιο γύρω-γύρω, τότε είναι απλό (2. Μοτίβο του Μπρεντ):
Ενας.11
Κανονικές καταπονήσεις στη στρέψη λόγω κάμψης διατομής
Βασικοί όροι και διαφορική εξίσωση
Μετατοπίσεις εξαρτημάτων u, εξίσωση (1β), καθορίζει την καμπυλότητα των τμημάτων από τα επίπεδά τους. Όταν η ροπή στρέψης είναι σταθερή, αυτή η κάμψη είναι ίδια σε όλα τα τμήματα και δεν εμφανίζονται κανονικές τάσεις σx.
Σε πολλές περιπτώσεις, η καμπυλότητα της διατομής, η οποία θα πρέπει να προκύπτει με βάση το _St. Η θεωρία του Venant δεν είναι δυνατή. Εάν η ροπή στρέψης αλλάξει απότομα σε μία διατομή, θα συμβεί κάμψη διαφορετικών μεγεθών και στις δύο πλευρές της διατομής και θα διαταραχθεί η συνέχεια της παραμόρφωσης. Το ένα άκρο της ράβδου μπορεί να συσφίγγεται έτσι ώστε η κάμψη του τμήματος να αποκλείεται εντελώς σε αυτό το σημείο. Σε τέτοιες περιπτώσεις θα πρέπει να γίνει τροποποίηση _Στ. Οι θεωρίες του Venant. Στη ράβδο εμφανίζονται συμπληρωματικές τάσεις σx προς την κατεύθυνση του άξονα της ράβδου και συμπληρωματική διατμητική δύναμη T (διατμητικές τάσεις T/t), οι οποίες είναι οι υψηλότερες στο τμήμα όπου διασπάται η συνέχεια της παραμόρφωσης και μειώνονται εκθετικά με την απόσταση από αυτό το τμήμα. Στην περίπτωση των συμπαγών ράβδων και σωλήνων, αυτή η θεωρία είναι πολύπλοκη και οι συμπληρωματικές τάσεις μειώνονται τόσο γρήγορα που ο προσδιορισμός τους δεν αξίζει τον κόπο στις περισσότερες περιπτώσεις. Για ράβδους με λεπτό τοίχωμα, ανοιχτού προφίλ, αυτή η διόρθωση έχει μεγάλη σημασία και μπορεί να υπολογιστεί σχετικά εύκολα.
Sl.9
Sl.9δείχνει τη γραμμή κατά την οποία τέμνονται η μεσαία επιφάνεια του τοίχου και το επίπεδο τομής (η μεσαία γραμμή του τμήματος). Το O είναι το κέντρο σχετικής περιστροφής δύο γειτονικών τμημάτων. Εάν η απόστασή τους είναι dx, η γωνία στρέψης είναι ϑ dx, άρα ένα αυθαίρετο σημείο της μέσης γραμμής υφίσταται μετατόπιση u ϑ dx. Αυτή η μετατόπιση έχει μια συνιστώσα rt ϑ dx στην κατεύθυνση που εφάπτεται στο τμήμα, και είναι η ολίσθηση του στοιχείου της μεσαίας επιφάνειας του τοίχου (λαμβάνοντας υπόψη ότι _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Εφόσον η διατμητική τάση στη μεσαία επιφάνεια του τοίχου είναι μηδενική, πρέπει επίσης να είναι γ=0, γι’ αυτό
Αυτό το μοτίβο περιέχει τρεις αυθαίρετες παραμέτρους: την αρχή από την οποία υπολογίζεται το μήκος του τόξου s και τις συντεταγμένες του κέντρου σχετικής περιστροφής O, από το οποίο εξαρτάται το rt. Το σημείο εκκίνησης από το οποίο υπολογίζεται το μήκος του τόξου s μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε η μέση τιμή καμπυλότητας να είναι μηδέν:
και οι συντεταγμένες του κέντρου O μπορούν να προσδιοριστούν με τέτοιο τρόπο ώστε οι ροπές που οφείλονται στην κάμψη του τμήματος να είναι μηδέν:
Μπορεί να φανεί ότι το κέντρο περιστροφής που προσδιορίζεται έτσι συμπίπτει με το κέντρο διάτμησης που είναι εδώ περιγράφεται και ορίζεται με άλλο τρόπο.
Εάν αποτραπεί πλήρως ή μερικώς η κάμψη του τμήματος που περιγράφεται από αυτά τα σχέδια, πρέπει να εμφανιστούν κανονικές τάσεις σx προς την κατεύθυνση του άξονα της ράβδου. Η προσεκτικότερη εξέταση δείχνει ότι αυτές οι τάσεις μπορούν να θεωρηθούν ανάλογες με τη συνάρτηση καμπυλότητας φ: σx=k__φ, όπου το φ εξαρτάται μόνο από s και k μόνο στο x. Σύμφωνα με το νόμο του Χουκ:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
πρέπει να είναι k=E d__ϑ/dx. Οι κανονικές τάσεις σx ονομάζονται τάσεις κάμψης διατομής. Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω εξισώσεις, σχηματίζουν ένα σύστημα ισορροπίας δυνάμεων σε κάθε τμήμα, ένα σύστημα δυνάμεων λόγω της κάμψης του τμήματος.
Η συνολική ροπή αποτελείται από δύο μέρη: ένα από αυτά M1Το =GJT__ϑ προκύπτει λόγω τάσεων στρεπτικής διάτμησης που δίνονται από το St. η θεωρία του Venant\ και η άλλη M2 συμβαίνει λόγω κάμψης του τμήματος:
Ενας.13
Εφόσον η στιγμή M δίνεται ως συνάρτηση του x, αυτή η έκφραση αντιπροσωπεύει μια διαφορική εξίσωση για τη γωνία στρέψης ϑ. Μόλις λυθεί αυτή η εξίσωση, το M μπορεί να υπολογιστεί1 και Μ2, και έτσι όλες οι τάσεις και οι καταπονήσεις.
Λύση και εφαρμογές
Όταν η ροπή στρέψης M είναι σταθερή, η γενική λύση της εξίσωσης (13) είναι:
Σταθερές ολοκλήρωσης C1, Γ2 πρέπει να καθοριστεί από δύο οριακές συνθήκες.
α) Άκαμπτα συσφιγμένο άκρο x=0(σύκο.1)
Σε αυτό το τέλος είναι u≡0, άρα με βάση την εξίσωση (1β) ϑ=0. Εάν η ράβδος είναι πολύ μακριά (αl>>1), μετά C1=0και C2= -M/GJT. Στην περίπτωση των κοντών ράβδων, η εμφάνιση καταπόνησης λόγω κάμψης του τμήματος επηρεάζεται από την κατάσταση στο δεξί άκρο της ράβδου. Εάν δεν αποτραπεί η κάμψη του τμήματος σε αυτό το σημείο, θα υπάρξει σx≡0και dϑ/dx=0. Λαμβάνεται από εδώ
β) Συμμετρικό φορτίο στρέψης σύμφωνα με το σχ.10
Στο αριστερό μισό της ράβδου, η ροπή στρέψης είναι -M/2, και στα δεξιά +M/2. Στην περίπτωση ελεύθερης στρέψης, τα τμήματα αριστερά και δεξιά του μέσου της ράβδου θα συστρέφονταν προς την αντίθετη κατεύθυνση, επομένως δεν θα διατηρούνταν η συνέχεια της παραμόρφωσης. Επομένως, στη θέση x=0όλη η στρεπτική ροπή πρέπει να μεταφερθεί μέσω των τάσεων που προκύπτουν λόγω της κάμψης της διατομής και επομένως σε αυτή τη διατομή Μ1=0και επομένως ϑ=0. Σε αυτό το σημείο, ένα σύστημα δυνάμεων ενεργεί για να διασφαλίσει ότι το τμήμα παραμένει ευθύ, αν και τα τμήματα που βρίσκονται πιο μακριά από το κέντρο της καμπύλης της ράβδου. Εάν, επιπλέον, απαιτείται οι τάσεις στα άκρα της ράβδου να είναι σx≡0, λαμβάνεται μία ακόμη οριακή συνθήκη για κάθε μισό της ράβδου, άρα ισχύει για το δεξί μισό
Εικ. 10
γ) Εξωτερική ροπή M σε αυθαίρετο σημείο (εικ.11)
Σε αυτήν την περίπτωση, η λύση ϑ και για τα δύο μέρη της ράβδου πρέπει να γραφεί χωριστά, οπότε εμφανίζονται συνολικά τέσσερις σταθερές C1, Γ2, Γ3, Γ4. Επιπλέον, οι ροπές στρέψης Ma, Mb είναι επίσης άγνωστες. Είναι διαθέσιμες έξι εξισώσεις: μια συνθήκη συνέχειας για ϑ (εκφρασμένη με u) και για dϑ/dx (εκφρασμένη με σx) στο σημείο φόρτισης, μία συνθήκη σε κάθε άκρο της ράβδου (π.χ. άκαμπτη σύσφιξη ϑ=0, ή αδιατάρακτη κάμψη, dϑ/dx=0), η συνθήκη ισορροπίας ανά ροπές -Ma+Mb=M και τέλος η συνθήκη ότι τα ακραία τμήματα δεν περιστρέφονται μεταξύ τους: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Τελική σημείωση: η επιλογή του μοντέλου στρέψης εξαρτάται από το ανοιχτό ή κλειστό τμήμα, τη λεπτότητα, τον τρόπο στήριξης, τον τόπο εισόδου της ροπής και τη δυνατότητα ελεύθερης κάμψης. Για ένα πραγματικό στοιχείο, πρέπει να ελέγχονται οι καταστάσεις φέροντος φορτίου και ορίου λειτουργικότητας, τοπικές λεπτομέρειες, αρμοί, κόπωση και σταθερότητα, όχι μόνο ένας μεμονωμένος τύπος από το άρθρο.