Archief expertinhoud: de tekst en formules geven een historisch theoretisch beeld weer en zijn geen project, statische berekening, controle van het draagvermogen, beoordeling van een bestaand element of instructies voor constructie of renovatie. Benamingen, aannames en benaderende patronen moeten worden getoetst aan het specifieke systeem, materiaal, geometrie, randvoorwaarden en toepasselijke normen. De berekening van torsie, stabiliteit, vermoeidheid, gewrichten en spanning als gevolg van voorkomen buiging moet worden uitgevoerd door een bevoegde ingenieur, met onafhankelijke controle indien nodig.
Savo Kusić richt zich vandaag op houten ramen, hout-aluminium ramen, op maat gemaakte ramen, deuren en offerteaanvragen. Dit artikel blijft een historisch professioneel archief en vertegenwoordigt geen bouwontwerpdienst.
Saint-Venant-theorie van torsie (vrije torsie)
Differentiaalvergelijking
Afb. 1
Laat een rechte staaf aan één van zijn uiteinden x=0 vastzetten en laat hem aan het andere uiteinde belasten met een torsiemoment M (fig. 1). Vervolgens roteert elk van zijn secties met een bepaalde hoek α(x) rond een bepaalde lijn evenwijdig aan de as van de stick, die we zullen aannemen als de x-as. Als alle secties gelijk zijn aan elkaar, zal elke rechte lijn evenwijdig aan de x-as overgaan in een spoel, en zal de hoek α evenredig zijn met de afstand vanaf het vaste uiteinde: α=ϑx, van waaruit de verplaatsingen van de componenten in het vlak van de sectie ontstaan (fig. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
De hoeveelheid ϑ wordt de torsiehoek genoemd (afmeting: lengte-1, rotatie per lengte-eenheid). De torsiehoek is evenredig met het torsiemoment M:
ϑ = M/GJT. (2)
Afb. 2
De evenredigheidsfactor GJT, torsiestijfheid, is gelijk aan het product van de schuifmodulus G en de factor JT, die het effect van de vorm en grootte van de sectie weergeeft.
Deze rotatie van de sectie vertegenwoordigt niet de enige vervorming van de staaf. Daarnaast is er ook sprake van buiging van de doorsnede, d.w.z. naar de verplaatsing u in de richting van de x-as, die dezelfde grootte heeft voor de corresponderende punten van alle doorsneden en daarom alleen een functie is van de coördinaten in het vlak van de doorsnede, en verder evenredig is met de belasting M of de torsiehoek ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Als de bovenstaande uitdrukkingen worden geïntroduceerd in de overeenkomstige verplaatsingsvergelijkingen, wordt verkregen dat de belangrijkste normaalspanningen gelijk zijn aan nul, waardoor er slechts twee componentspanningen τxy en τxz overblijven:
Vgl. 3
De differentiaalvergelijking van het torsieprobleem wordt verkregen op basis van de vergelijkingen (3) door het volgende te plaatsen:
Eenheid. 4a en 4b
en het oplossen van deze differentiaalvergelijkingen voor de onbekenden τxy en τxz door de spanningsfunctie F(y,z) te introduceren die:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Dit voldoet op identieke wijze aan de vergelijking (4a), en de vereiste differentiaalvergelijking
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
De randvoorwaarde die vereist is voor de unieke oplossing van deze vergelijking wordt verkregen uit de eis dat er geen schuifspanningen zijn op de staafomhulling, waaruit, als gevolg van de geconjugeerde aard van de schuifspanningen, volgt dat de spanning in het dwarsdoorsnedevlak geen component loodrecht daarop langs de contour mag hebben. Vanaf hier, afb. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
daarom
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
ie. het totale verschil van de functie F moet nul zijn, dat wil zeggen: het moet F=const zijn. langs de contour.
Als de sectie slechts één contour heeft, kan deze eenvoudigweg F=0 erop worden gezet, omdat bij de spanningsfunctie, waarvan we eigenlijk alleen geïnteresseerd zijn in afgeleiden, een willekeurige additieve constante geen rol speelt. Bij secties met meer dan één contour is deze vraag complexer.
Zoals uit de vergelijking (5) blijkt, is de resultante van de schuifspanningen τxy en τxz op een willekeurig snijpunt in grootte gelijk aan de gradiënt van de spanningsfunctie F, maar staat er loodrecht op, d.w.z. raakt de lijn F=const.
Het oplossen van de differentiaalvergelijking (6) levert de spanningen τ op als functies van y, z en ϑ. De taak van de berekening is uiteraard het bepalen van de torsiehoek ϑ en de spanning, vooral de maximale spanning als functie van het torsiemoment, dus het bepalen van de sectiestijfheid JT uit de vergelijking (2) en het resistente torsiemoment WT = Mmaxτ. Om deze te verkrijgen is het alleen nodig om M uit te drukken als een functie van F:
Beide toevoegingen van deze integraal, die over de hele sectie moeten worden genomen, kunnen worden getransformeerd door gedeeltelijke integratie. Als bijvoorbeeld de eerste ervan als eerste integreert langs de lijn z=const. vanaf het punt op de contour y=y1 tot het punt y=y2 (fig. 3) en rekening houdend met het feit dat we in beide punten F=0
Dezelfde waarde wordt verkregen uit de tweede integraal, zodat
Vgl. 7
Afb. 3
Andere gevallen van volledige secties
Differentiële vergelijking (6) is een inhomogene vergelijking van de potentiaaltheorie. Daarom zijn voor de oplossing van het torsieprobleem in het geval van een willekeurige doorsnede de methoden van de potentiaaltheorie beschikbaar, waardoor deze altijd kan worden gevonden. Deze methoden zijn echter doorgaans te complex om toe te passen op individuele gevallen die zich in de praktijk voordoen. Daarom toont de volgende tabel de resultaten van dergelijke berekeningen voor verschillende secties.
Voor doorsneden die bijna cirkelvormig zijn, kan JT=F_4/40_Ip worden geplaatst, waarbij F het oppervlak is en Ip het polaire traagheidsmoment van de doorsnede.
Opmerking over formules en tabellen: uitdrukkingen en waarden op gescande afbeeldingen worden opgeslagen als een historische bron. OCR-tekst, indexmarkeringen en scan zijn niet betrouwbaar genoeg voor berekeningen. Elke formule, eenheid, coëfficiënt en reikwijdte moet vóór gebruik worden gecontroleerd in een gezaghebbende professionele bron en geldige standaard.
Analogie met membraan
Een goede hulp bij het schatten van torsiespanningen, en tegelijkertijd een procedure voor de exacte bepaling ervan, wordt geboden door de analogie tussen de spanningsfunctie F van het torsieprobleem en de dwarsdoorbuigingsbelasting van het membraan. Stel dat er in de vlakke wand van een vat een gemiddelde opening is die samenvalt met de dwarsdoorsnede van een in torsie belaste staaf. Wanneer het membraan over deze opening wordt uitgerekt en er een kleine overdruk p in het vat ontstaat, puilt het membraan naar buiten uit, zodat de doorbuigingen ξ(y,z) voldoen aan de differentiaalvergelijking
waarbij N de oppervlaktespanning in het membraan is, veroorzaakt door capillaire krachten (afmetingen: kracht per lengte-eenheid). Deze vergelijking valt samen met de vergelijking (6) en de randvoorwaarde ξ=0 is dezelfde als voor de spanningsfunctie. Op deze manier kan de spanningsfunctie F(y,z) worden verkregen door deze spiegel met het membraan te gebruiken en zo het torsieprobleem op te lossen. De spanning τ komt overeen met de helling van het membraan ten opzichte van het y-z-vlak, dus de steilste plaats is die waar de aan torsie blootgestelde staaf de hoogste schuifspanning heeft.
Fig. 4
Afb. 5
Deze membraanprocedure is bijzonder geschikt voor het verkrijgen van geschatte patronen voor dunwandige secties. Wanneer bijvoorbeeld het I-profiel is verdeeld volgens fig. 4 op drie rechthoeken en voor elk daarvan wordt een analogie met het membraan afzonderlijk uitgevoerd, zal de som van de volumes van de resulterende uitsteeksels slechts iets kleiner zijn dan het volume dat feitelijk overeenkomt met de spanningsfunctie. Daarom, als de diktes b1 en b2 klein zijn, ongeveer
JT = 2JT1 + JT2,
waarbij JT1 en JT2 de stijfheidsfactoren zijn van individuele rechthoeken die kunnen worden berekend op basis van tabel 1. Een betere benadering wordt verkregen wanneer JT2 = a2 b32/3 wordt gebruikt voor de ribbe, dat wil zeggen wanneer de ribbe wordt beschouwd als onderdeel van een zeer langwerpige rechthoek. Een nog nauwkeurigere waarde wordt verkregen volgens Trayer en March\ van
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
waarbij D de diameter is van de grootste ingeschreven cirkel, zoals weergegeven in afb. 4, en α kunnen worden overgenomen uit afb. 5. Voor het T-profiel wordt dit op soortgelijke wijze verkregen
JT = JT1 +JT2 + α D4,
waarbij JT2 de helft is van de waarde berekend volgens tabel 1 voor a=2 a2, b=b2. Voor L-profielen (fig. 6) is het vergelijkbaar met
JT = JT1 + JT2 + β D4
waarbij JT1 voor de dikkere arm rechtstreeks uit de tabel 1 wordt gehaald, terwijl JT2 voor de dunnere arm wordt berekend zoals voor het T-profiel, en β uit figuur 1 wordt overgenomen. 7.
Afb. 6
Afb. 7
Bij het berekenen van de spanning wordt het torsiemoment verdeeld in samenstellende rechthoeken: het deel dat op de flenzen valt M1=M JT2/JT; de schuifspanning wordt vervolgens berekend in het midden van de langere zijde van elke rechthoek op basis van tabel 1. De grootste van deze spanningen hoeft niet de grootste schuifspanning te zijn die in de doorsnede voorkomt. Als de invalshoek namelijk niet afgerond is, wordt op die plaats τ=∞ verkregen, waardoor bij een zeer kleine afrondingsstraal hier de hoogste schuifspanning te verwachten is.
Technische opmerking: de wiskundige singulariteit bij de geïdealiseerde scherpe hoek is geen vrijbrief om de feitelijke details alleen op basis van dit geschatte patroon te schatten. De werkelijke afrondingsgeometrie, toleranties, plasticiteit, lassen, restspanningen, lokale stabiliteit en vermoeidheid vereisen passende modellering en deskundige verificatie.
Voor een eenzijdige hoek waarvan de pootdikte t is volgens Trefftz\ ligt op de afronding van de diameter r:
waarbij τ0 de hoogste spanning aangeeft die voor elke individuele tak is berekend op basis van de hier beschreven procedure. Voor grotere afrondingsradiussen kan τ=2__τ0.
Dunwandige buizen (Bradt-patronen)
In buizen met dunne wanden heeft het uitpuilende membraan de vorm zoals weergegeven in afb. 8, dat bestaat uit een vlak boven de holle ruimte in de pijp en een hellend oppervlak dat deze omringt en over het effectieve gedeelte van de pijpwand ligt; dit hellende oppervlak moet steiler zijn als de buiswanden op de juiste plaats dunner zijn. In dit geval zijn de schuifspanningen redelijk gelijkmatig verdeeld over de dikte van de wanden en zijn ze omgekeerd evenredig met de dikte van de wanden, d.w.z. dat de schuifkracht_ T = τt niet verandert langs de omtrek van de doorsnede.
Sl. 8
Het oppervlakte-element t_∙ds_ ontvangt een deel van het torsiemoment
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
dus het totale moment is
Vgl. 8
waarbij het FR-oppervlak wordt bedekt door de middelste lijn gemarkeerd door lijnen en punten in afb. 8. Vanaf hier krijgt u
Vgl. 9 - Eerste Bredt\ patroon
Torsiestijfheid wordt het eenvoudigst verkregen wanneer de vervormingsarbeid enerzijds wordt uitgedrukt door het torsiemoment en de torsiehoek en anderzijds door de schuifspanningen. Op deze manier wordt dit verkregen voor een staafelement met lengte l
dus, waarbij de waarde voor τ wordt ingevoerd volgens de vergelijking (8),
dat wil zeggen, in vergelijking met de vergelijking (2):
Vgl. 10
Als de dikte van de muren rondom hetzelfde is, dan is het eenvoudig (2. Bredt's patroon):
Vgl. 11
Normale spanningen bij torsie als gevolg van sectiebuiging
Basistermen en differentiaalvergelijking
Componentverplaatsingen u, vergelijking (1b), bepaalt de kromming van secties ten opzichte van hun vlakken. Wanneer het torsiemoment constant is, is deze buiging in alle secties hetzelfde en treden normale spanningen σx niet op.
In veel gevallen is de kromming van de doorsnede die zou moeten ontstaan op basis van _St. De theorie van Venant is niet mogelijk. Als het torsiemoment in één doorsnede abrupt verandert, zouden er aan beide zijden van de doorsnede buigingen van verschillende grootten optreden en zou de continuïteit van de vervorming worden verstoord. Eén uiteinde van de staaf kan zo worden vastgeklemd dat het doorbuigen van het profiel op dat punt volledig is uitgesloten. In dergelijke gevallen moet een wijziging worden aangebracht in St. Venants theorieën. Er treden aanvullende spanningen σx in de richting van de as van de staaf en aanvullende schuifkracht T (schuifspanningen T/t) op in de staaf, die het hoogst zijn in het gedeelte waar de continuïteit van de vervorming wordt verbroken en die exponentieel afnemen met de afstand tot dit gedeelte. In het geval van massieve staven en buizen is deze theorie complex en nemen de aanvullende spanningen zo snel af dat hun bepaling in de meeste gevallen niet de moeite waard is. Voor dunwandige staven met een open profiel is deze correctie van groot belang en relatief eenvoudig te berekenen.
Afb. 9
Afb. 9 toont de lijn waarlangs het middenoppervlak van de muur en het doorsnedevlak elkaar snijden (de middenlijn van de doorsnede). O is het relatieve rotatiecentrum van twee aangrenzende secties. Als hun afstand dx is, is de torsiehoek ϑ dx, dus een willekeurig punt op de middellijn ondergaat een verplaatsing u ϑ dx. Deze verplaatsing heeft een component rt ϑ dx in de richting die raakt aan de doorsnede, en de slip van het element op het middenoppervlak van de muur is (rekening houdend met het feit dat _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Aangezien de schuifspanning in het middenoppervlak van de muur nul is, moet deze ook γ=0 zijn, en daarom
Dit patroon bevat drie willekeurige parameters: de oorsprong van waaruit de booglengte s wordt berekend en de coördinaten van het relatieve rotatiecentrum O, waarvan rt afhangt. Het startpunt van waaruit de booglengte s wordt berekend, kan zo worden gekozen dat de gemiddelde waarde van de kromming nul is:
en de coördinaten van het middelpunt O kunnen zo worden bepaald dat de momenten als gevolg van de buiging van de sectie ook nul zijn:
Er kan worden aangetoond dat het op deze manier bepaalde rotatiecentrum samenvalt met het dwarskrachtcentrum dat hier wordt beschreven en op een andere manier wordt gedefinieerd.
Als het buigen van het door deze patronen beschreven gedeelte geheel of gedeeltelijk wordt voorkomen, moeten normale spanningen σx in de richting van de as van de staaf optreden. Bij nader onderzoek blijkt dat deze spanningen evenredig kunnen zijn met de krommingsfunctie φ: σx=k__φ, waarbij φ alleen afhangt van s en k alleen van x. Hoe volgens de wet van Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
moet k=E d__ϑ/dx zijn. Normaalspanningen σx worden sectiebuigspanningen genoemd. Rekening houdend met de bovenstaande vergelijkingen vormen ze een evenwichtssysteem van krachten in elke sectie, een systeem van krachten als gevolg van de buiging van de sectie.
Het totale torsiemoment bestaat uit twee delen: één ervan M1=GJT__ϑ is het resultaat van schuifspanningen tijdens torsie, wat St oplevert. De theorie van Venant, en de andere M2 treedt op als gevolg van het buigen van de sectie:
Vgl. 13
Aangezien het moment M wordt gegeven als een functie van x, vertegenwoordigt deze uitdrukking een differentiaalvergelijking voor de torsiehoek ϑ. Wanneer deze vergelijking is opgelost, kunnen M1 en M2 worden berekend, en dus alle spanningen en vervormingen.
Oplossing en toepassingen
Als het torsiemoment M constant is, is de algemene oplossing van de vergelijking (13):
Integratieconstanten C1, C2 moeten worden bepaald op basis van twee randvoorwaarden.
a) Stevig geklemd uiteinde x=0 (fig. 1)
Aan dit einde is u≡0, dus gebaseerd op de vergelijking (1b) ϑ=0. Als de staaf erg lang is (αl>>1), dan C1=0 en C2= -M/GJT. In het geval van korte staven wordt het optreden van spanning als gevolg van het buigen van de sectie beïnvloed door de toestand aan het rechteruiteinde van de staaf. Als het doorbuigen van de sectie op die plaats niet wordt voorkomen, zal er sprake zijn van σx≡0 en dϑ/dx=0. Vanaf hier krijgt u
b) Symmetrische torsiebelasting volgens afb. 10
Op de linkerhelft van de stang is het torsiemoment -M/2, en op de rechterhelft +M/2. Bij vrije torsie zouden de gedeelten links en rechts van het midden van de staaf in de tegenovergestelde richting worden gedraaid, waardoor de continuïteit van de vervorming niet behouden zou blijven. Daarom moet op de plaats x=0 het gehele torsiemoment worden overgedragen door de spanningen die optreden als gevolg van het buigen van de sectie, en dus in deze sectie M1=0 en dus ϑ=0. Op dit punt zorgt een systeem van krachten ervoor dat de sectie recht blijft, ook al liggen secties die verder van het midden van de staafcurve liggen. Als bovendien vereist is dat de spanningen aan de uiteinden van de staaf σx≡0 zijn, wordt voor elke helft van de staaf nog een randvoorwaarde verkregen, dus voor de rechterhelft is deze
Afb. 10
c) Extern moment M op een willekeurige plaats (fig. 11)
In dit geval moet de oplossing ϑ voor beide delen van de staaf afzonderlijk worden geschreven, zodat er in totaal vier constanten C1, C2, C3, C4 verschijnen. Daarnaast zijn ook de torsiemomenten Ma, Mb onbekend. Er zijn zes vergelijkingen beschikbaar: continuïteitsvoorwaarde voor ϑ (uitgedrukt door u) en voor dϑ/dx (uitgedrukt door σx) op het punt van belasting, één voorwaarde aan elk uiteinde van de staaf (bijv. stijf knijpen ϑ=0, of ongestoorde buiging, dϑ/dx=0), moment evenwichtsvoorwaarde -Ma+Mb=M en tenslotte de voorwaarde dat de eindsecties niet naar elkaar toe draaien: ∫ ϑdx = 0.
Afb. 11
Einde opmerking: de keuze voor het torsiemodel hangt af van het open of gesloten gedeelte, de slankheid, de ondersteuningsmethode, de plaats van momentinvoer en de mogelijkheid tot vrije buiging. Voor een echt element moeten de grenstoestanden voor draagvermogen en bruikbaarheid, lokale details, verbindingen, vermoeiing en stabiliteit worden gecontroleerd, en niet slechts één geïsoleerde formule uit het artikel.