Contenido experto en archivos: el texto y las fórmulas transmiten una visión teórica histórica y no son un proyecto, un cálculo estático, una verificación de la capacidad de carga, una evaluación de un elemento existente o instrucciones para la construcción o rehabilitación. Las designaciones, suposiciones y patrones aproximados deben compararse con el sistema, material, geometría, condiciones límite y estándares aplicables específicos. El cálculo de torsión, estabilidad, fatiga, uniones y esfuerzos por flexión evitada debe ser realizado por un ingeniero autorizado, con control independiente cuando sea necesario.
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Teoría de la torsión de Saint-Venant (torsión libre)
Ecuación diferencial
Fig. 1
Sujete una varilla recta por uno de sus extremos x=0 y deje que se cargue en el otro extremo con un momento de torsión M (fig. 1). Luego, cada una de sus secciones gira un cierto ángulo α(x) alrededor de cierta línea paralela al eje del palo, que adoptaremos como el eje x. Si todas las secciones son iguales entre sí, cualquier recta paralela al eje x pasará por una bobina, y el ángulo α será proporcional a la distancia desde el extremo fijo: α=ϑx, del que surgen los desplazamientos componentes en el plano de la sección (fig. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
La cantidad ϑ se llama ángulo de torsión (dimensión: longitud-1, rotación por unidad de longitud). El ángulo de torsión es proporcional al momento de torsión M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
El factor de proporcionalidad GJT, rigidez torsional, es igual al producto del módulo de corte G y el factor JT, que representa el efecto de la forma y tamaño de la sección.
Esta rotación de la sección no representa la única deformación de la varilla. Además, también existe la flexión de la sección, es decir, el desplazamiento u en la dirección del eje x, que tiene la misma magnitud para los puntos correspondientes de todas las secciones y, por lo tanto, es sólo función de las coordenadas en el plano de la sección y, en caso contrario, es proporcional a la carga M o al ángulo de torsión ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Si se introducen las expresiones anteriores en las ecuaciones de desplazamiento correspondientes, se obtiene que las tensiones normales principales son iguales a cero, quedando sólo dos tensiones componentes τxy y τxz:
Ec. 3
La ecuación diferencial del problema de torsión se obtiene con base en las ecuaciones (3) poniendo:
Unidad. 4a y 4b
y resolviendo estas ecuaciones diferenciales para las incógnitas τxy y τxz introduciendo la función de tensión F(y,z) que:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Esto satisface la ecuación (4a) de manera idéntica, y la ecuación diferencial requerida
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
La condición de contorno requerida para la solución única de esta ecuación se obtiene del requisito de que no haya esfuerzos cortantes en la envoltura de la varilla, de lo cual, debido a la naturaleza conjugada de los esfuerzos cortantes, se deduce que el esfuerzo en el plano de la sección transversal no debe tener una componente perpendicular a él a lo largo del contorno. Desde aquí, fig. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
por lo tanto
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
es decir. el diferencial total de la función F debe ser cero, es decir, debe ser F=const. a lo largo del contorno.
Si la sección tiene un solo contorno, se le puede poner simplemente F=0, porque en la función de tensión, de la que en realidad sólo nos interesan las derivadas, una constante aditiva arbitraria no influye. Con secciones que tienen más de un contorno, esta pregunta es más compleja.
Como puede verse en la ecuación (5), la resultante de los esfuerzos cortantes τxy y τxz en un punto de intersección arbitrario es igual en magnitud al gradiente de la función de estrés F, pero es perpendicular a él, es decir, tiene una dirección tangente a la línea F=const.
Resolver la ecuación diferencial (6) produce los voltajes τ en función de y, z y ϑ. La tarea del cálculo es, por supuesto, la determinación del ángulo de torsión ϑ y la tensión, especialmente la tensión máxima en función del momento de torsión, por lo tanto, la determinación de la rigidez de la sección JT a partir de la ecuación (2) y el momento de torsión resistente WT = Mmaxτ. Para obtenerlos sólo es necesario expresar M en función de F:
Ambas sumas de esta integral, que deben abarcar toda la sección, se pueden transformar mediante integración parcial. Si, por ejemplo, el primero de ellos se integra primero a lo largo de la recta z=const. desde el punto de la curva de nivel y=y1 hasta el punto y=y2 (fig. 3) y teniendo en cuenta que en ambos puntos F=0, obtenemos
El mismo valor se obtiene de la segunda integral, de modo que
Ec. 7
Fig. 3
Otros casos de secciones completas
La ecuación diferencial (6) es una ecuación no homogénea de la teoría potencial. Por lo tanto, para la solución del problema de torsión en el caso de una sección arbitraria, se dispone de los métodos de la teoría del potencial, que permiten encontrarlo siempre. Sin embargo, estos métodos suelen ser demasiado complejos para aplicarse a casos individuales que surgen en la práctica. Es por eso que la siguiente tabla muestra los resultados de dichos cálculos para varias secciones.
Para secciones transversales cercanas a circulares, se puede poner JT=F_4/40_Ip, donde F es el área y Ip es el momento polar de inercia de la sección transversal.
Nota sobre fórmulas y tablas: las expresiones y valores de las imágenes escaneadas se almacenan como fuente histórica. El texto OCR, las marcas de índice y el escaneo no son lo suficientemente confiables para el cálculo. Cada fórmula, unidad, coeficiente y alcance debe verificarse en una fuente profesional autorizada y en un estándar válido antes de su uso.
Analogía con membrana
La analogía entre la función de tensión F del problema de torsión y la carga transversal de deflexión de la membrana proporciona una buena ayuda para estimar las tensiones de torsión y, al mismo tiempo, un procedimiento para su determinación exacta. Sea una abertura media en la pared plana de un recipiente que coincida con la sección transversal de una varilla cargada en torsión. Cuando la membrana se estira sobre esta abertura y se produce un pequeño exceso de presión p en el recipiente, la membrana se hincha hacia afuera, de modo que sus deflexiones ξ(y,z) satisfacen la ecuación diferencial
donde N es la tensión superficial en la membrana causada por fuerzas capilares (dimensiones: fuerza por unidad de longitud). Esta ecuación coincide con la ecuación (6), y la condición de contorno ξ=0 es la misma que para la función de voltaje. De esta forma se puede obtener la función de tensión F(y,z) utilizando este espejo con la membrana y así solucionar el problema de torsión. La tensión τ corresponde a la pendiente de la membrana con respecto al plano y-z, por lo que el lugar más inclinado es aquel donde la varilla expuesta a torsión tiene el mayor esfuerzo cortante.
Fig. 4
Fig. 5
Este procedimiento de membrana es particularmente adecuado para obtener patrones aproximados para secciones de paredes delgadas. Cuando, por ejemplo, la sección en I se divide según la fig. 4 en tres rectángulos y para cada uno de ellos se realiza una analogía con la membrana por separado, la suma de los volúmenes de las protuberancias resultantes será solo ligeramente menor que el volumen que realmente corresponde a la función de voltaje. Por tanto, cuando los espesores b1 y b2 son pequeños, aproximadamente
JT = 2JT1 + JT2,
donde JT1 y JT2 son los factores de rigidez de rectángulos individuales que se pueden calcular según la tabla 1. Se obtiene una mejor aproximación cuando para la nervadura se utiliza JT2 = a2 b32/3, es decir, cuando la nervadura se considera parte de un rectángulo muy alargado. Se obtiene un valor aún más preciso según Trayer y March\ de
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
donde D es el diámetro del círculo más grande inscrito como se muestra en la fig. 4 y α se pueden tomar de la fig. 5. Para la cesárea en T se obtiene de manera similar
JT = JT1 +JT2 + α D4,
donde JT2 es la mitad del valor calculado según la tabla 1 para a=2 a2, b=b2. Para secciones en L (fig. 6) es similar a eso
JT = JT1 + JT2 + β D4
donde JT1 para el brazo más grueso se toma directamente de la tabla 1, mientras que JT2 para el brazo más delgado se calcula como para la sección en T, y β se toma de la fig. 7.
Fig. 6
Fig. 7
Al calcular la tensión, el momento de torsión se divide en rectángulos constituyentes: la parte que recae sobre las alas M1=M JT2/JT; Luego, el esfuerzo cortante se calcula en el medio del lado más largo de cada rectángulo según la tabla 1. El mayor de estos esfuerzos no tiene por qué ser el esfuerzo cortante más grande que aparece en la sección. Es decir, si el ángulo de incidencia no se redondea, se obtiene τ=∞ en ese lugar, de modo que para un radio de redondeo muy pequeño, se puede esperar aquí el esfuerzo cortante más alto.
Nota de ingeniería: la singularidad matemática en el ángulo agudo idealizado no es una licencia para estimar el detalle real mediante este patrón aproximado únicamente. La geometría de redondeo, las tolerancias, la plasticidad, las soldaduras, las tensiones residuales, la estabilidad local y la fatiga reales requieren un modelado adecuado y una verificación experta.
Para un ángulo unilateral cuyo espesor de lado es t según Trefftz\ se trata del redondeo del diámetro r:
donde τ0 denota el voltaje más alto calculado para cada tramo individual según el procedimiento descrito aquí. Para radios de redondeo más grandes, se puede adoptar τ=2__τ0.
Tubos de pared delgada (patrones Bradt)
En tuberías con paredes delgadas, la membrana abombada tiene la forma que se muestra en la fig. 8, que consiste en un plano sobre el espacio hueco dentro de la tubería y una superficie inclinada que lo rodea y se extiende sobre la sección efectiva de la pared de la tubería; esta superficie inclinada debe ser más pronunciada si las paredes de la tubería son más delgadas en el lugar apropiado. En este caso, los esfuerzos cortantes se distribuyen de manera bastante uniforme sobre el espesor de las paredes y son inversamente proporcionales al espesor de las paredes, es decir, fuerza cortante T = τt no cambia a lo largo de la circunferencia de la sección.
SL. 8
El elemento de superficie t_∙ds_ recibe parte del momento de torsión
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
entonces el momento total es
Ec. 8
donde la superficie FR está cubierta por la línea media marcada por líneas y puntos en la fig. 8. Desde aquí obtienes
Ec. 9 - Primer patrón Bredt\
La rigidez torsional se obtiene de forma más sencilla cuando el trabajo de deformación se expresa, por un lado, mediante el momento de torsión y el ángulo de torsión y, por otro, mediante las tensiones cortantes. De esta forma se obtiene para un elemento de varilla de longitud l
así, introduciendo el valor de τ según la ecuación (8),
es decir, en comparación con la ecuación (2):
Ec. 10
Si el grosor de las paredes es el mismo en todas partes, entonces es simple (2. Patrón de Bredt):
Ec. 11
Esfuerzos normales en torsión debido a la flexión de la sección
Términos básicos y ecuación diferencial
Desplazamientos de componentes u, ecuación (1b), determina la curvatura de las secciones a partir de sus planos. Cuando el momento de torsión es constante, esta flexión es la misma en todas las secciones y no aparecen los esfuerzos normales σx.
En muchos casos, la curvatura de la sección transversal que debería surgir sobre la base de _St. La teoría de Venant no es posible. Si el momento de torsión cambia abruptamente en una sección transversal, se producirían flexiones de diferentes magnitudes en ambos lados de la sección transversal y se alteraría la continuidad de la deformación. Un extremo de la varilla se puede sujetar de tal manera que se excluya completamente la flexión del perfil en ese punto. En tales casos, se debe hacer una enmienda _St. Las teorías de Venant. En la varilla aparecen tensiones suplementarias σx en la dirección del eje de la varilla y fuerza cortante suplementaria T (esfuerzos cortantes T/t), que son las mayores en el tramo donde se rompe la continuidad de la deformación y que disminuyen exponencialmente con la distancia a dicho tramo. En el caso de barras y tubos macizos, esta teoría es compleja y las tensiones suplementarias disminuyen tan rápidamente que en la mayoría de los casos no merece la pena determinarlas. Para varillas de paredes delgadas con perfil abierto, esta corrección es de gran importancia y se puede calcular con relativa facilidad.
Fig. 9
Fig. 9 muestra la línea a lo largo de la cual se cruzan la superficie media de la pared y el plano de la sección (la línea media de la sección). O es el centro de rotación relativa de dos secciones adyacentes. Si su distancia es dx, el ángulo de torsión es ϑ dx, por lo que un punto arbitrario de la línea media sufre un desplazamiento u ϑ dx. Este desplazamiento tiene una componente rt ϑ dx en la dirección tangente a la sección, y el deslizamiento del elemento de la superficie media del muro es (teniendo en cuenta que _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Como el esfuerzo cortante en la superficie media del muro es cero, también debe ser γ=0, y por tanto
Este patrón contiene tres parámetros arbitrarios: el origen a partir del cual se calcula la longitud del arco s y las coordenadas del centro de rotación relativa O, del cual depende rt. El inicio a partir del cual se calcula la longitud del arco s se puede elegir de modo que el valor medio de la curvatura sea cero:
y se pueden determinar las coordenadas del centro O de tal forma que los momentos debidos a la flexión de la sección también sean nulos:
Se puede demostrar que el centro de rotación determinado de esta manera coincide con el centro de corte descrito aquí y definido de otra manera.
Si se evita total o parcialmente la flexión de la sección descrita por estos patrones, deben aparecer tensiones normales σx en la dirección del eje de la varilla. Un examen más detallado muestra que se puede considerar que estas tensiones son proporcionales a la función de curvatura φ: σx=k__φ, donde φ depende solo de s y k solo de x. Cómo según la ley de Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
debe ser k=E d__ϑ/dx. Las tensiones normales σx se denominan tensiones de flexión de sección. Considerando las ecuaciones anteriores, forman un sistema de fuerzas en equilibrio en cada sección, un sistema de fuerzas debido a la flexión de la sección.
El momento de torsión total consta de dos partes: una de ellas M1=GJT__ϑ resulta de los esfuerzos cortantes durante la torsión que dan St. La teoría de Venant, y la otra M2 ocurre debido a la flexión de la sección:
Ec. 13
Como el momento M está dado en función de x, esta expresión representa una ecuación diferencial para el ángulo de torsión ϑ. Cuando se resuelve esta ecuación, se pueden calcular M1 y M2 y, por tanto, todas las tensiones y deformaciones.
Solución y aplicaciones
Cuando el momento de torsión M es constante, la solución general de la ecuación (13) es:
Las constantes de integración C1, C2 deben determinarse a partir de dos condiciones de contorno.
a) Extremo rígidamente sujeto x=0 (fig. 1)
En este extremo está u≡0, por lo que basado en la ecuación (1b) ϑ=0. Si la varilla es muy larga (αl>>1), entonces C1=0 y C2= -M/GJT. En el caso de varillas cortas, la aparición de tensiones debidas a la flexión de la sección se ve afectada por la condición en el extremo derecho de la varilla. Si no se impide la flexión de la sección en ese lugar, habrá σx≡0 y dϑ/dx=0. Desde aquí obtienes
b) Carga de torsión simétrica según fig. 10
En la mitad izquierda de la varilla, el momento de torsión es -M/2, y en la derecha +M/2. En el caso de torsión libre, las secciones a la izquierda y a la derecha del centro de la varilla se torcerían en dirección opuesta, por lo que no se preservaría la continuidad de la deformación. Por tanto, en el lugar x=0, se debe transferir todo el momento de torsión a través de los esfuerzos que se producen por la flexión de la sección, y por tanto en esta sección M1=0 y por tanto ϑ=0. En este punto, actúa un sistema de fuerzas para garantizar que la sección permanezca recta, incluso aunque las secciones que se encuentran más alejadas del centro de la varilla se curven. Si además se requiere que en los extremos de la varilla los esfuerzos sean σx≡0, se obtiene una condición de contorno más para cada mitad de la varilla, por lo que para la mitad derecha es
Fig. 10
c) Momento externo M en un lugar arbitrario (fig. 11)
En este caso, la solución ϑ para ambas partes de la varilla debe escribirse por separado, por lo que aparecen un total de cuatro constantes C1, C2, C3, C4. Además, también se desconocen los momentos de torsión Ma, Mb. Hay seis ecuaciones disponibles: condición de continuidad para ϑ (expresada por u) y para dϑ/dx (expresada por σx) en el punto de acción de la carga, una condición en cada extremo de la varilla (por ejemplo, pellizco rígido ϑ=0, o flexión sin perturbaciones, dϑ/dx=0), condición de equilibrio de momento -Ma+Mb=M y finalmente la condición de que las secciones finales no giren una hacia la otra: ∫ ϑdx = 0.
Fig. 11
Nota final: la elección del modelo de torsión depende de la sección abierta o cerrada, esbeltez, método de apoyo, lugar de entrada del momento y posibilidad de flexión libre. Para un elemento real se deben comprobar los estados límite de carga y de servicio, los detalles locales, las uniones, la fatiga y la estabilidad, y no sólo una fórmula aislada del artículo.