Treść ekspercka archiwum: tekst i wzory przekazują historyczny pogląd teoretyczny i nie stanowią projektu, obliczeń statycznych, sprawdzenia nośności, oceny istniejącego elementu ani instrukcji budowy lub renowacji. Oznaczenia, założenia i przybliżone wzory należy sprawdzić w odniesieniu do konkretnego systemu, materiału, geometrii, warunków brzegowych i obowiązujących norm. Obliczenia skręcania, stabilności, zmęczenia, połączeń i naprężeń spowodowanych zapobieganiem zginaniu powinny być wykonane przez upoważnionego inżyniera, z niezależną kontrolą, jeśli jest to wymagane.
Savo Kusić koncentruje się dziś na oknach drewnianych, oknach drewniano-aluminiowych, oknach na zamówienie, drzwiach i zapytaniach ofertowych. Artykuł ten pozostaje historycznym, profesjonalnym archiwum i nie stanowi usługi projektowania budowlanego.
Teoria skręcania Saint-Venanta (skręt swobodny)
Równanie różniczkowe
Rys. 1
Przymocuj prosty pręt do jednego z jego końców x=0, a na drugim końcu obciążyj go momentem skręcającym M (rys. 1). Następnie każdy z jego odcinków obraca się o pewien kąt α(x) wokół pewnej linii równoległej do osi drążka, którą przyjmiemy jako oś x-. Jeżeli wszystkie przekroje są sobie równe, to dowolna prosta równoległa do osi x przejdzie w cewkę, a kąt α będzie proporcjonalny do odległości od stałego końca: α=ϑx, z którego wynikają przemieszczenia składowych w płaszczyźnie przekroju (rys. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Wielkość ϑ nazywana jest kątem skręcenia (wymiar: długość-1, obrót na jednostkę długości). Kąt skręcenia jest proporcjonalny do momentu skręcającego M:
ϑ = M/GJT. (2)
Rys. 2
Współczynnik proporcjonalności GJT, sztywność skrętna, jest równy iloczynowi modułu sprężystości przy ścinaniu G i współczynnika JT, który reprezentuje wpływ kształtu i rozmiaru przekroju.
Ten obrót przekroju nie stanowi jedynego odkształcenia pręta. Dodatkowo dochodzi do zginania przekroju poprzecznego, czyli do przemieszczenia u w kierunku osi x-, które ma tę samą wielkość dla odpowiednich punktów wszystkich przekrojów i dlatego jest jedynie funkcją współrzędnych w płaszczyźnie przekroju, a poza tym jest proporcjonalne do obciążenia M lub kąta skręcenia ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Jeśli powyższe wyrażenia wprowadzimy do odpowiednich równań przemieszczenia, otrzymamy, że główne naprężenia normalne są równe zeru, pozostawiając jedynie dwa naprężenia składowe τxy i τxz:
Równ. 3
Równanie różniczkowe problemu skręcania otrzymuje się na podstawie równań (3) wstawiając:
Jednostka. 4a i 4b
i rozwiązywanie tych równań różniczkowych dla niewiadomych τxy i τxz poprzez wprowadzenie funkcji naprężenia F(y,z), która:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Spełnia to równanie (4a) identycznie, a wymagane równanie różniczkowe
d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ (6)
Warunek brzegowy wymagany do jednoznacznego rozwiązania tego równania wynika z warunku braku naprężeń stycznych na powłoce pręta, z czego, ze względu na sprzężony charakter naprężeń stycznych, wynika, że naprężenie w płaszczyźnie przekroju poprzecznego nie może mieć składowej prostopadłej do niego wzdłuż konturu. Stąd ryc. 2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
dlatego
dF/dy dy + dF/dz dz = 0,
tj. całkowita różniczka funkcji F musi wynosić zero, to znaczy musi wynosić F=const. wzdłuż konturu.
Jeśli przekrój ma tylko jeden kontur, można go po prostu umieścić na nim F=0, ponieważ przy funkcji napięcia, której interesują nas właściwie tylko pochodne, dowolna stała addytywna nie odgrywa roli. W przypadku przekrojów, które mają więcej niż jeden kontur, kwestia ta jest bardziej złożona.
Jak widać z równania (5) wypadkowa naprężeń ścinających τxy i τxz w dowolnym punkcie przecięcia jest równa co do wielkości gradientowi funkcji naprężenia F, ale jest do niej prostopadła, tj. ma kierunek styczny do prostej F=const.
Rozwiązanie równania różniczkowego (6) daje napięcia τ jako funkcje y, z i ϑ. Zadaniem obliczeń jest oczywiście wyznaczenie kąta skręcenia ϑ oraz naprężenia, zwłaszcza maksymalnego naprężenia w funkcji momentu skręcającego, a zatem wyznaczenie sztywności przekroju JT z równania (2) oraz nośnego momentu skręcającego WT = Mmaxτ. Aby je otrzymać, wystarczy wyrazić M jako funkcję F:
Obydwa dodatki tej całki, które należy objąć cały przekrój, można przekształcić poprzez całkowanie częściowe. Jeśli na przykład pierwszy z nich całkuje najpierw wzdłuż prostej z=const. od punktu na konturze y=y1 do punktu y=y2 (rys. 3) i biorąc pod uwagę, że w obu tych punktach F=0 otrzymujemy
Ta sama wartość wynika z drugiej całki, tak że
Równ. 7
Rys. 3
Inne przypadki pełnych przekrojów
Równanie różniczkowe (6) jest niejednorodnym równaniem teorii potencjału. Dlatego do rozwiązania problemu skręcania w przypadku dowolnego przekroju poprzecznego dostępne są metody teorii potencjału, które pozwalają zawsze je znaleźć. Metody te są jednak na ogół zbyt skomplikowane, aby można je było zastosować w indywidualnych przypadkach pojawiających się w praktyce. Dlatego też poniższa tabela przedstawia wyniki takich obliczeń dla kilku przekrojów.
Dla przekrojów zbliżonych do kołowych można umieścić JT=F_4/40_Ip, gdzie F to powierzchnia, a Ip to biegunowy moment bezwładności przekroju.
Uwaga dotycząca wzorów i tabel: wyrażenia i wartości na zeskanowanych obrazach są przechowywane jako źródło historyczne. Tekst OCR, znaki indeksu i skan nie są wystarczająco wiarygodne do obliczeń. Przed użyciem każdą formułę, jednostkę, współczynnik i zakres należy sprawdzić w wiarygodnym, profesjonalnym źródle i obowiązującej normie.
Analogia z membraną
Dobrą pomocą w szacowaniu naprężeń skrętnych, a jednocześnie procedurą ich dokładnego wyznaczania, jest analogia pomiędzy funkcją naprężenia F problemu skręcającego a poprzecznym obciążeniem ugięcia membrany. Niech w płaskiej ścianie naczynia będzie średni otwór pokrywający się z przekrojem poprzecznym pręta obciążonego skręcaniem. Kiedy membrana jest rozciągana nad tym otworem i w naczyniu wytwarza się niewielkie nadciśnienie p, membrana wybrzusza się na zewnątrz, tak że jej ugięcie ξ(y,z) spełnia równanie różniczkowe
gdzie N to napięcie powierzchniowe w membranie spowodowane siłami kapilarnymi (wymiary: siła na jednostkę długości). Równanie to pokrywa się z równaniem (6), a warunek brzegowy ξ=0 jest taki sam jak dla funkcji napięcia. W ten sposób można otrzymać funkcję napięcia F(y,z) wykorzystując to zwierciadło z membraną i w ten sposób rozwiązać problem skręcania. Naprężenie τ odpowiada nachyleniu membrany w stosunku do płaszczyzny y-z-, zatem najbardziej stromym miejscem jest to, w którym pręt narażony na skręcanie ma największe naprężenie ścinające.
Rys. 4
Rys. 5
Ta procedura membranowa jest szczególnie odpowiednia do uzyskiwania przybliżonych wzorów dla przekrojów cienkościennych. Gdy na przykład przekrój I zostanie podzielony zgodnie z rys. 4 na trzech prostokątach i dla każdego z nich oddzielnie przeprowadza się analogię z membraną, suma objętości powstałych występów będzie tylko nieznacznie mniejsza od objętości, która faktycznie odpowiada funkcji napięcia. Dlatego też, gdy grubości b1 i b2 są małe, w przybliżeniu
JT = 2JT1 + JT2,
przy czym JT1 i JT2 są współczynnikami sztywności poszczególnych prostokątów, które można obliczyć na podstawie tabeli 1. Lepsze przybliżenie uzyskuje się, gdy dla żebra stosuje się JT2 = a2 b32/3, to znaczy, gdy żebro jest traktowane jako część bardzo wydłużonego prostokąta. Jeszcze dokładniejszą wartość uzyskuje się według Trayer i March\ z
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
gdzie D jest średnicą największego okręgu wpisanego jak pokazano na rys. 2. 4 i α można pobrać z ryc. 5. Dla przekroju T uzyskuje się to podobnie
JT = JT1 +JT2 + α D4,
gdzie JT2 jest połową wartości obliczonej zgodnie z tabelą 1 dla a=2 a2, b=b2. Dla przekrojów L (rys. 6) jest podobnie
JT = JT1 + JT2 + β D4
gdzie JT1 dla grubszego ramienia jest pobierane bezpośrednio z tabeli 1, natomiast JT2 dla cieńszego ramienia jest obliczane jak dla przekroju T, a β z rys. 7.
Rys. 6
Rys. 7
Przy obliczaniu naprężenia moment skręcający dzieli się na prostokąty składowe: część przypadającą na kołnierze M1=M JT2/JT; następnie oblicza się naprężenie ścinające pośrodku dłuższego boku każdego prostokąta w oparciu o tabelę 1. Największe z tych naprężeń nie musi być największym naprężeniem ścinającym występującym w przekroju. Mianowicie, jeśli kąt natarcia nie jest zaokrąglony, to w tym miejscu uzyskuje się τ=∞, tak że dla bardzo małego promienia zaokrąglenia można się tutaj spodziewać największych naprężeń ścinających.
Uwaga inżynierska: matematyczna osobliwość przy wyidealizowanym kącie ostrym nie upoważnia do oszacowania rzeczywistych szczegółów wyłącznie na podstawie tego przybliżonego wzoru. Rzeczywista geometria zaokrągleń, tolerancje, plastyczność, spoiny, naprężenia własne, lokalna stabilność i zmęczenie wymagają odpowiedniego modelowania i weryfikacji eksperckiej.
Dla kąta jednostronnego, którego grubość ramienia wynosi t według Trefftz\ jest na zaokrągleniu średnicy r:
gdzie τ0 oznacza najwyższe napięcie obliczone dla każdej pojedynczej nogi na podstawie opisanej tutaj procedury. W przypadku większych promieni zaokrąglenia można przyjąć τ=2__τ0.
Rury cienkościenne (wzory Bradta)
W rurach o cienkich ściankach wybrzuszona membrana ma kształt pokazany na ryc. 8, który składa się z płaszczyzny nad pustą przestrzenią wewnątrz rury i otaczającej ją nachylonej powierzchni, leżącej nad efektywnym przekrojem ścianki rury; ta nachylona powierzchnia musi być bardziej stroma, jeśli ścianki rury są cieńsze w odpowiednim miejscu. W tym przypadku naprężenia ścinające rozkładają się dość równomiernie na grubości ścianek i są odwrotnie proporcjonalne do grubości ścianek, tj. siła ścinająca T = τt nie zmienia się wzdłuż obwodu przekroju.
Śl. 8
Element powierzchniowy t_∙ds_ przejmuje część momentu skręcającego
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
więc całkowity moment wynosi
Równ. 8
gdzie powierzchnia FR jest pokryta środkową linią oznaczoną liniami i kropkami na rys. 8. Stąd dostaniesz
Równ. 9 - Pierwszy Bredt\ wzór
Sztywność skrętną uzyskuje się najprościej, gdy praca odkształcenia wyraża się z jednej strony poprzez moment skręcający i kąt skręcenia, a z drugiej strony poprzez naprężenia ścinające. W ten sposób otrzymuje się element prętowy o długości l
więc wprowadzając wartość dla τ zgodnie z równaniem (8),
to znaczy w porównaniu z równaniem (2):
Równ. 10
Jeśli grubość ścianek jest wszędzie taka sama, to sprawa jest prosta (2. wzór Bredta):
Równ. 11
Normalne naprężenia skręcające spowodowane zginaniem przekroju
Podstawowe terminy i równanie różniczkowe
Przemieszczenia elementów u, równanie (1b), określa krzywiznę przekrojów od ich płaszczyzn. Gdy moment skręcający jest stały, zginanie to jest takie samo we wszystkich przekrojach i nie pojawiają się naprężenia normalne σx.
W wielu przypadkach krzywizna przekroju, która powinna powstać na podstawie _St. Teoria Venanta nie jest możliwa. Jeżeli moment skręcający w jednym przekroju ulegnie gwałtownej zmianie, po obu stronach przekroju wystąpią zginania o różnej wielkości i zakłócona zostanie ciągłość odkształcenia. Jeden koniec pręta można tak zacisnąć, aby w tym miejscu całkowicie wykluczyć zginanie przekroju. W takich przypadkach należy wprowadzić poprawkę _St. Teorie Venanta. W pręcie pojawiają się naprężenia dodatkowe σx w kierunku osi pręta oraz dodatkowa siła tnąca T (naprężenia ścinające T/t), które są największe w przekroju, w którym zostaje przerwana ciągłość odkształcenia i które maleją wykładniczo wraz z odległością od tego odcinka. W przypadku prętów i rur litych teoria ta jest złożona, a napięcia dodatkowe maleją tak szybko, że ich wyznaczanie w większości przypadków nie ma sensu. W przypadku prętów cienkościennych o profilu otwartym korekta ta ma ogromne znaczenie i można ją stosunkowo łatwo obliczyć.
Rys. 9
Rys. 9 pokazuje linię, wzdłuż której przecina się środkowa powierzchnia ściany i płaszczyzna przekroju (linia środkowa przekroju). O jest środkiem względnego obrotu dwóch sąsiednich sekcji. Jeżeli ich odległość wynosi dx, to kąt skręcenia wynosi ϑ dx, zatem dowolny punkt linii środkowej ulega przemieszczeniu u ϑ dx. Przemieszczenie to ma składową rt ϑ dx w kierunku stycznym do przekroju, a poślizg elementu powierzchni środkowej ściany wynosi (biorąc pod uwagę, że _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Ponieważ naprężenie ścinające w środkowej powierzchni ściany wynosi zero, musi również wynosić γ=0, a zatem
Wzór ten zawiera trzy dowolne parametry: początek, z którego obliczana jest długość łuku s oraz współrzędne środka względnego obrotu O, od którego zależy rt. Można wybrać początek, od którego obliczana jest długość łuku s, tak aby średnia wartość krzywizny wynosiła zero:
i współrzędne środka O można wyznaczyć w taki sposób, aby momenty wynikające z zginania przekroju również wynosiły zero:
Można wykazać, że wyznaczony w ten sposób środek obrotu pokrywa się ze środkiem ścinania opisanym tutaj i zdefiniowanym w inny sposób.
Jeżeli całkowicie lub częściowo uda się zapobiec zginaniu przekroju opisanego tymi wzorami, muszą pojawić się naprężenia normalne σx w kierunku osi pręta. Bliższe badanie pokazuje, że naprężenia te można uznać za proporcjonalne do funkcji krzywizny φ: σx=k__φ, gdzie φ zależy tylko od s, a k tylko od x. Jak zgodnie z prawem Hooke’a:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
musi wynosić k=E d__ϑ/dx. Naprężenia normalne σx nazywane są naprężeniami zginającymi przekroju. Biorąc pod uwagę powyższe równania, tworzą one równowagowy układ sił w każdym przekroju, układ sił spowodowany zginaniem przekroju.
Całkowity moment skręcający składa się z dwóch części: jedna z nich M1=GJT__ϑ wynika z naprężeń ścinających podczas skręcania, co daje St. Venanta, a druga M2 zachodzi w wyniku zgięcia przekroju:
Równ. 13
Ponieważ moment M jest dany jako funkcja x, wyrażenie to reprezentuje równanie różniczkowe dla kąta skręcenia ϑ. Po rozwiązaniu tego równania można obliczyć M1 i M2, a tym samym wszystkie naprężenia i odkształcenia.
Rozwiązania i zastosowania
Gdy moment skręcający M jest stały, ogólne rozwiązanie równania (13) jest następujące:
Stałe całkowania C1, C2 należy wyznaczyć na podstawie dwóch warunków brzegowych.
a) Sztywnie zaciśnięty koniec x=0 (rys. 1)
Na tym końcu znajduje się u≡0, więc w oparciu o równanie (1b) ϑ=0. Jeśli pręt jest bardzo długi (αl>>1), to C1=0 i C2= -M/GJT. W przypadku krótkich prętów na pojawienie się naprężeń powstałych w wyniku zginania przekroju wpływa stan prawego końca pręta. Jeśli nie zapobiegnie się zgięciu przekroju w tym miejscu, wystąpią σx≡0 i dϑ/dx=0. Stąd otrzymasz
b) Symetryczne obciążenie skręcające zgodnie z rys. 2. 10
W lewej połowie pręta moment skręcający wynosi -M/2, a w prawej +M/2. W przypadku swobodnego skręcania odcinki po lewej i prawej stronie od środka pręta zostałyby skręcone w przeciwnym kierunku, w związku z czym ciągłość odkształcenia nie zostałaby zachowana. Zatem w miejscu x=0 cały moment skręcający musi zostać przeniesiony poprzez naprężenia powstałe w wyniku zginania przekroju, a zatem w tym przekroju M1=0, a zatem ϑ=0. W tym momencie układ sił działa w celu zapewnienia, że przekrój pozostanie prosty, nawet jeśli sekcje leżą dalej od środka krzywizny pręta. Jeżeli dodatkowo wymagane jest, aby na końcach pręta naprężenia wynosiły σx≡0, to dla każdej połowy pręta uzyskuje się jeszcze jeden warunek brzegowy, więc dla prawej połowy będzie to
Rys. 10
c) Moment zewnętrzny M w dowolnym miejscu (rys. 11)
W tym przypadku rozwiązanie ϑ dla obu części pręta należy zapisać osobno, tak aby w sumie pojawiły się cztery stałe C1, C2, C3, C4. Ponadto nieznane są również momenty skręcające Ma, Mb. Dostępnych jest sześć równań: warunek ciągłości dla ϑ (wyrażony jako u) i dla dϑ/dx (wyrażony jako σx) w punkcie działania obciążenia, po jednym warunku na każdym końcu pręta (np. sztywne ściskanie ϑ=0 lub niezakłócone zginanie, dϑ/dx=0), warunek równowagi momentu -Ma+Mb=M i na koniec warunek, aby odcinki końcowe nie obracały się ku sobie: ∫ ϑdx = 0.
Rys. 11
Uwaga końcowa: wybór modelu skrętnego zależy od przekroju otwartego lub zamkniętego, smukłości, sposobu podparcia, miejsca wprowadzenia momentu oraz możliwości swobodnego zginania. W przypadku rzeczywistego elementu należy sprawdzić stany graniczne nośności i użytkowalności, szczegóły lokalne, połączenia, zmęczenie i stabilność, a nie tylko jeden wyodrębniony wzór z artykułu.