Torsion des tiges et sections à parois minces

Contenu expert des archives : le texte et les formules véhiculent une vision théorique historique et ne constituent pas un projet, un calcul statique, un contrôle de capacité portante, une évaluation d’un élément existant ou des instructions de construction ou de réhabilitation. Les désignations, hypothèses et modèles approximatifs doivent être vérifiés par rapport au système, au matériau, à la géométrie, aux conditions aux limites et aux normes applicables spécifiques. Le calcul de la torsion, de la stabilité, de la fatigue, des articulations et des contraintes dues à la flexion évitée doit être effectué par un ingénieur agréé, avec un contrôle indépendant si nécessaire.

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Théorie de la torsion de Saint-Venant (torsion libre)

Équation différentielle

Fig. 1

Que l’on fixe une tige droite à une de ses extrémités x=0 et qu’on la charge à l’autre extrémité d’un moment de torsion M (fig. 1). Ensuite, chacune de ses sections tourne d’un certain angle α(x) autour d’une certaine ligne parallèle à l’axe du bâton, que nous adopterons comme axe x. Si toutes les sections sont égales entre elles, toute droite parallèle à l’axe des x passera dans une bobine, et l’angle α sera proportionnel à la distance à l’extrémité fixe : α=ϑx, d’où proviennent les déplacements des composantes dans le plan de la section (fig. 2) :

v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,

w = r a cos__ψ = ϑ x y.  (1a)

La quantité ϑ est appelée angle de torsion (dimension : longueur-1, rotation par unité de longueur). L’angle de torsion est proportionnel au moment de torsion M:

ϑ = M/GJT.   (2)

Fig. 2

Le facteur de proportionnalité GJT, rigidité en torsion, est égal au produit du module de cisaillement G et du facteur JT, qui représente l’effet de la forme et de la taille de la section.

Cette rotation de la section ne représente pas la seule déformation de la tige. De plus, il y a également une flexion de la section transversale, c’est-à-dire un déplacement u dans la direction de l’axe x, qui a la même grandeur pour les points correspondants de toutes les sections et n’est donc qu’une fonction des coordonnées dans le plan de la section, et est par ailleurs proportionnelle à la charge M ou à l’angle de torsion ϑ :

u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z),   dφ/dx=0.   (1b)

Si les expressions ci-dessus sont introduites dans les équations de déplacement correspondantes, on obtient que les principales contraintes normales sont égales à zéro, ne laissant que deux contraintes composantes τxy et τxz :

Éq. 3

L’équation différentielle du problème de torsion est obtenue à partir des équations (3) en mettant :

Unité. 4a et 4b

et résoudre ces équations différentielles pour les inconnues τxy et τxz en introduisant la fonction de contrainte F(y,z) qui :

τxy = - dF/dz,   τxz = + dF/dy.   (5)

Cela satisfait l’équation (4a) de manière identique, et l’équation différentielle requise

d2F/dy2 + d2F/dz2 = 2G__ϑ  (6)

La condition aux limites requise pour la solution unique de cette équation est obtenue à partir de l’exigence selon laquelle il n’y a pas de contraintes de cisaillement sur l’enveloppe de la tige, d’où, en raison de la nature conjuguée des contraintes de cisaillement, il s’ensuit que la contrainte dans le plan de section transversale ne doit pas avoir de composante perpendiculaire à celle-ci le long du contour. D’ici, fig. 2:

dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)

donc

dF/dy dy + dF/dz dz = 0,

ie. le différentiel total de la fonction F doit être nul, c’est-à-dire qu’il doit être F=const. le long du contour.

Si la section n’a qu’un seul contour, on peut simplement y mettre F=0, car avec la fonction tension, dont nous ne nous intéressons en fait qu’aux dérivées, une constante additive arbitraire ne joue pas de rôle. Avec les sections qui ont plus d’un contour, cette question est plus complexe.

Comme le montre l’équation (5), la résultante des contraintes de cisaillement τxy et τxz à un point d’intersection arbitraire est égale en amplitude au gradient de la fonction de contrainte F, mais lui est perpendiculaire, c’est-à-dire qu’elle a une direction tangente à la ligne F=const.

La résolution de l’équation différentielle (6) donne les tensions τ en fonctions de y, z et ϑ. La tâche du calcul est bien entendu la détermination de l’angle de torsion ϑ et de la contrainte, en particulier la contrainte maximale en fonction du moment de torsion, donc la détermination de la rigidité de section JT à partir de l’équation (2) et du moment de torsion résistant WT = Mmaxτ. Pour les obtenir, il suffit d’exprimer M en fonction de F :

Les deux ajouts de cette intégrale, qui doivent être repris sur toute la section, peuvent être transformés par intégration partielle. Si, par exemple, le premier d’entre eux s’intègre en premier selon la ligne z=const. du point du contour y=y1 au point y=y2 (fig. 3) et en tenant compte du fait qu’en ces deux points F=0, on obtient

La même valeur est obtenue à partir de la deuxième intégrale, de sorte que

Éq. 7

Fig. 3

Autres cas de sections complètes

L’équation différentielle (6) est une équation inhomogène de la théorie du potentiel. Ainsi, pour résoudre le problème de torsion dans le cas d’une section arbitraire, on dispose des méthodes de la théorie du potentiel, qui permettent de toujours le trouver. Ces méthodes sont cependant généralement trop complexes pour être appliquées aux cas individuels qui se présentent dans la pratique. C’est pourquoi le tableau suivant présente les résultats de ces calculs pour plusieurs sections.

Pour les sections proches de la circulaire, JT=F_4/40_Ip peut être mis, où F est l’aire et Ip est le moment d’inertie polaire de la section.

Remarque sur les formules et les tableaux : les expressions et les valeurs sur les images numérisées sont stockées en tant que source historique. Le texte OCR, les index et le scan ne sont pas suffisamment fiables pour le calcul. Chaque formule, unité, coefficient et portée doivent être vérifiés dans une source professionnelle faisant autorité et une norme valide avant utilisation.

Analogie avec la membrane

Une bonne aide pour estimer les contraintes de torsion, et en même temps une procédure pour leur détermination exacte est fournie par l’analogie entre la fonction de contrainte F du problème de torsion et la charge transversale de déflexion de la membrane. Soit une ouverture moyenne sur la paroi plane d’un récipient qui coïncide avec la section transversale d’une tige chargée en torsion. Lorsque la membrane est étirée sur cette ouverture et qu’une petite surpression p est provoquée dans le récipient, la membrane se gonfle vers l’extérieur, de sorte que ses déflexions ξ(y,z) satisfont l’équation différentielle

où N est la tension superficielle dans la membrane provoquée par les forces capillaires (dimensions : force par unité de longueur). Cette équation coïncide avec l’équation (6), et la condition aux limites ξ=0 est la même que pour la fonction tension. De cette manière, la fonction de tension F(y,z) peut être obtenue en utilisant ce miroir avec la membrane et ainsi résoudre le problème de torsion. La contrainte τ correspond à la pente de la membrane par rapport au plan y-z, donc l’endroit le plus raide est celui où la tige exposée à la torsion a la contrainte de cisaillement la plus élevée.

Fig. 4

Fig. 5

Cette procédure membranaire est particulièrement adaptée pour obtenir des motifs approximatifs pour des sections à parois minces. Lorsque, par exemple, la section en I est divisée selon la fig. 4 sur trois rectangles et pour chacun d’eux une analogie avec la membrane est réalisée séparément, la somme des volumes des saillies résultantes ne sera que légèrement inférieure au volume qui correspond réellement à la fonction de tension. Par conséquent, lorsque les épaisseurs b1 et b2 sont faibles, environ

JT = 2JT1 + JT2,

où JT1 et JT2 sont les facteurs de rigidité des rectangles individuels qui peuvent être calculés sur la base du tableau 1. Une meilleure approximation est obtenue lorsque JT2 = a2 b32/3 est utilisé pour la côte, c’est-à-dire lorsque la côte est considérée comme faisant partie d’un rectangle très allongé. Une valeur encore plus précise est obtenue selon Trayer et March\ de

JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,

où D est le diamètre du plus grand cercle inscrit comme indiqué sur la fig. 4, et α peuvent être tirés de la fig. 5. Pour la section en T, cela s’obtient de la même manière

JT = JT1 +JT2 + α D4,

où JT2 est la moitié de la valeur calculée selon le tableau 1 pour a=2 a2, b=b2. Pour les sections en L (fig. 6), c’est similaire à ça

JT = JT1 + JT2 + β D4

où JT1 pour le bras le plus épais est tiré directement du tableau 1, tandis que JT2 pour le bras le plus fin est calculé comme pour la section en T, et β est tiré de la fig. 7.

Fig. 6

Fig. 7

Lors du calcul de la contrainte, le moment de torsion est divisé en rectangles constitutifs : la partie qui tombe sur les brides M1=M JT2/JT ; la contrainte de cisaillement est ensuite calculée au milieu du côté le plus long de chaque rectangle à partir du tableau 1. La plus grande de ces contraintes ne doit pas nécessairement être la plus grande contrainte de cisaillement apparaissant dans la section. À savoir, si l’angle d’incidence n’est pas arrondi, τ=∞ est obtenu à cet endroit, de sorte que pour un très petit rayon d’arrondi, on peut s’attendre ici à la contrainte de cisaillement la plus élevée.

Remarque d’ingénierie : la singularité mathématique à l’angle aigu idéalisé n’est pas une autorisation pour estimer les détails réels par ce seul modèle approximatif. La géométrie d’arrondi réelle, les tolérances, la plasticité, les soudures, les contraintes résiduelles, la stabilité locale et la fatigue nécessitent une modélisation appropriée et une vérification par des experts.

Pour un angle unilatéral dont l’épaisseur de branche est t selon Trefftz\ est sur l’arrondi du diamètre r :

où τ0 désigne la tension la plus élevée calculée pour chaque jambe individuelle sur la base de la procédure décrite ici. Pour des rayons d’arrondi plus grands, τ=2__τ0.

Tuyaux à paroi mince (modèles Bradt)

Dans les conduites à parois minces, la membrane bombée a la forme représentée sur la fig. 8, qui se compose d’un plan au-dessus de l’espace creux à l’intérieur du tuyau et d’une surface inclinée qui l’entoure et s’étend sur la section efficace de la paroi du tuyau ; cette surface inclinée doit être plus raide si les parois des tuyaux sont plus minces à l’endroit approprié. Dans ce cas, les contraintes de cisaillement sont réparties assez uniformément sur l’épaisseur des murs et sont inversement proportionnelles à l’épaisseur des murs, c’est-à-dire que la force de cisaillement T = τt ne change pas le long de la circonférence de la section.

Sl. 8

L’élément de surface t_∙ds_ reçoit une partie du moment de torsion

dM = t_∙ds∙τ∙h,_

donc le moment total est

Éq. 8

où la surface FR est recouverte par la ligne médiane marquée par des lignes et des points sur la fig. 8. De là, vous obtenez

Éq. 9 - Premier motif Bredt\

La raideur en torsion s’obtient le plus simplement lorsque le travail de déformation s’exprime d’une part à travers le moment de torsion et l’angle de torsion et d’autre part à travers les contraintes de cisaillement. De cette façon, on obtient pour un élément de tige de longueur l

donc, en introduisant la valeur de τ selon l’équation (8),

c’est-à-dire par comparaison avec l’équation (2) :

Éq. 10

Si l’épaisseur des murs est la même tout autour, alors c’est simple (2. Le motif de Bredt) :

Éq. 11

Contraintes normales en torsion dues à la flexion des sections

Termes de base et équation différentielle

Déplacements des composants u, équation (1b), détermine la courbure des sections à partir de leurs plans. Lorsque le moment de torsion est constant, cette flexion est la même dans toutes les sections et les contraintes normales σx n’apparaissent pas.

Dans de nombreux cas, la courbure de la section transversale qui devrait apparaître sur la base de _St. La théorie de Venant n’est pas possible. Si le moment de torsion change brusquement dans une section transversale, une flexion d’ampleurs différentes se produirait des deux côtés de la section transversale et la continuité de la déformation serait perturbée. Une extrémité de la tige peut être serrée de telle sorte que la flexion de la section soit complètement exclue à ce stade. Dans de tels cas, une modification devrait être apportée _St. Les théories de Venant. Des contraintes supplémentaires σx dans la direction de l’axe de la tige et un effort de cisaillement supplémentaire T (contraintes de cisaillement T/t) apparaissent dans la tige, qui sont les plus élevées dans la section où la continuité de déformation est rompue et qui diminuent de façon exponentielle avec l’éloignement de cette section. Dans le cas de barres et de tubes massifs, cette théorie est complexe et les tensions supplémentaires diminuent si rapidement que leur détermination n’est pas utile dans la plupart des cas. Pour les tiges à paroi mince et à profil ouvert, cette correction est d’une grande importance et peut être calculée relativement facilement.

Fig. 9

Fig. 9 montre la ligne le long de laquelle la surface médiane du mur et le plan de coupe se coupent (la ligne médiane de la coupe). O est le centre de rotation relative de deux sections adjacentes. Si leur distance est dx, l’angle de torsion est ϑ dx, donc un point arbitraire de la ligne médiane subit un déplacement u ϑ dx. Ce déplacement a une composante rt ϑ dx dans la direction tangente à la section, et le glissement de l’élément de surface médiane du mur est (en tenant compte de que _u=_φϑ) :

γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).

Comme la contrainte de cisaillement dans la surface médiane du mur est nulle, elle doit également être γ=0, et donc

Ce modèle contient trois paramètres arbitraires : l’origine à partir de laquelle la longueur de l’arc s est calculée et les coordonnées du centre de rotation relative O, dont dépend rt. Le départ à partir duquel la longueur d’arc s est calculée peut être choisi pour que la valeur moyenne de la courbure soit nulle :

et les coordonnées du centre O peuvent être déterminées de telle sorte que les moments dus à la flexion de la section soient également nuls :

On peut montrer que le centre de rotation ainsi déterminé coïncide avec le centre de cisaillement décrit ici et défini d’une autre manière.

Si la flexion de la section décrite par ces motifs est totalement ou partiellement empêchée, des contraintes normales σx dans la direction de l’axe de la tige doivent apparaître. Un examen plus approfondi montre que ces contraintes peuvent être considérées comme proportionnelles à la fonction de courbure φ: σx=k__φ, où φ ne dépend que de s et k uniquement de x. Comment selon la loi de Hooke :

σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)

doit être k=E d__ϑ/dx. Les contraintes normales σx sont appelées contraintes de flexion de section. Compte tenu des équations ci-dessus, elles forment un système de forces d’équilibre dans chaque section, un système de forces dues à la flexion de la section.

Le moment de torsion total est constitué de deux parties : l’une d’elles M1=GJT__ϑ résulte des contraintes de cisaillement lors de la torsion ce qui donne St. La théorie de Venant, et l’autre M2 se produit en raison de la flexion de la section :

Éq. 13

Comme le moment M est donné en fonction de x, cette expression représente une équation différentielle pour l’angle de torsion ϑ. Lorsque cette équation est résolue, M1 et M2 peuvent être calculés, et donc toutes les contraintes et déformations.

Solution et applications

Lorsque le moment de torsion M est constant, la solution générale de l’équation (13) est :

Les constantes d’intégration C1, C2 doivent être déterminées à partir de deux conditions aux limites.

a) Extrémité rigidement serrée x=0 (fig. 1)

A cette extrémité se trouve u≡0, donc basé sur l’équation (1b) ϑ=0. Si la tige est très longue (αl>>1), alors C1=0 et C2= -M/GJT. Dans le cas de tiges courtes, l’apparition de contraintes dues à la flexion de la section est affectée par l’état de l’extrémité droite de la tige. Si la flexion de la section n’est pas empêchée à cet endroit, il y aura σx≡0 et dϑ/dx=0. De là, vous obtenez

b) Charge de torsion symétrique selon fig. 10

Sur la moitié gauche de la tige, le moment de torsion est -M/2, et sur la droite +M/2. En cas de torsion libre, les sections à gauche et à droite du milieu de la tige seraient tordues dans le sens opposé, donc la continuité de la déformation ne serait pas préservée. Donc, à l’endroit x=0, l’intégralité du moment de torsion doit être transféré à travers les contraintes qui se produisent du fait de la flexion de la section, et donc dans cette section M1=0 et donc ϑ=0. À ce stade, un système de forces agit pour garantir que la section reste droite, même si les sections les plus éloignées du centre de la tige sont courbées. Si, en plus, il faut qu’aux extrémités de la tige les contraintes soient σx≡0, une condition aux limites supplémentaire est obtenue pour chaque moitié de la tige, donc pour la moitié droite c’est

Fig. 10

c) Moment externe M à un endroit arbitraire (fig. 11)

Dans ce cas, la solution ϑ pour les deux parties de la tige doit être écrite séparément, donc un total de quatre constantes C1, C2, C3, C4 apparaissent. De plus, les moments de torsion Ma, Mb sont également inconnus. Six équations sont disponibles : condition de continuité pour ϑ (exprimé par u) et pour dϑ/dx (exprimé par σx) au point d’action de la charge, une condition à chaque extrémité de la tige (par exemple pincement rigide ϑ=0, ou flexion non perturbée, dϑ/dx=0), condition d’équilibre des moments -Ma+Mb=M et enfin la condition que les tronçons d’extrémité ne se tournent pas l’un vers l’autre : ∫ ϑdx = 0.

Fig. 11

Remarque finale : le choix du modèle de torsion dépend de la section ouverte ou fermée, de l’élancement, de la méthode de support, du lieu d’entrée du moment et de la possibilité de flexion libre. Pour un élément réel, les états limites de charge et de service, les détails locaux, les joints, la fatigue et la stabilité doivent être vérifiés, et pas seulement une formule isolée de l’article.