Contingut expert arxivístic: el text i les fórmules transmeten una presentació teòrica històrica i no són un projecte, càlcul estàtic, comprovació de la capacitat de càrrega, valoració d’un element existent, ni instruccions de construcció o rehabilitació. Les designacions, els supòsits i els patrons aproximats s’han de contrastar amb el sistema, el material, la geometria, les condicions de contorn i els estàndards aplicables específics. El càlcul de la torsió, l’estabilitat, la fatiga, les articulacions i l’esforç degut a la flexió evitada l’ha de fer un enginyer autoritzat, amb control independent quan sigui necessari.
Avui, Savo Kusić se centra en finestres de fusta, finestres de fusta-alumini, finestres personalitzades, porta i sol·licituds de pressupost. Aquest article es manté com a arxiu històric professional i no representa un servei de disseny estructural.
Teoria de la torsió de Saint-Venant (torsió lliure)
Equació diferencial
Sl.1
Fixeu una vareta recta en un dels seus extrems x=0i deixar-lo carregar a l’altre extrem amb un moment de torsió M (fig.1). Aleshores, cadascuna de les seves seccions gira un cert angle α(x) al voltant d’una determinada línia paral·lela a l’eix del pal, que adoptarem com a eix x. Si totes les seccions són iguals entre si, qualsevol línia recta paral·lela a l’eix x passarà a una bobina, i l’angle α serà proporcional a la distància des de l’extrem fix: α=ϑx, de la qual sorgeixen els desplaçaments dels components en el pla de la secció (Fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
La quantitat ϑ s’anomena angle de torsió (dimensió: longitud-1, rotació per unitat de longitud). L’angle de torsió és proporcional al moment de torsió M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
El factor de proporcionalitat GJT, la rigidesa torsional, és igual al producte del mòdul de cisalla G i el factor JT, que representa l’efecte de la forma i la mida de la secció.
Aquesta rotació de la secció no és l’única deformació de la vareta. A més, també hi ha flexió de la secció transversal, és a dir, al desplaçament u en la direcció de l’eix x, que té la mateixa magnitud per als punts corresponents de totes les seccions transversals i, per tant, només és una funció de les coordenades en el pla de la secció, i d’altra manera és proporcional a la càrrega M o l’angle de torsió _ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Si s’introdueixen les expressions anteriors a les equacions de desplaçament corresponents, s’obté que les tensions normals principals són iguals a zero, quedant només dues tensions components τxy i τxz:
Un.3
L’equació diferencial del problema de torsió s’obté a partir de les equacions (3) posant:
Un.4i jo4b
i resolent aquestes equacions diferencials per a les incògnites τxy i τxz introduint la funció de tensió F(y,z) que:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Amb això, l’equació (4a) idènticament satisfet, i de l’equació (4b) s’obté l’equació diferencial requerida
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
La condició de límit requerida per a la solució única d’aquesta equació s’obté del requisit que no hi hagi esforços de cisalla a l’embolcall de la vareta, de la qual cosa, a causa de la naturalesa conjugada dels esforços de tall, es dedueix que l’esforç en el pla de secció no ha de tenir una component perpendicular a ella al llarg del contorn. A partir d’aquí, la fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
per tant
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
és a dir, el diferencial total de la funció F ha de ser zero, és a dir, ha de ser F=const. al llarg del contorn.
Si la secció només té un contorn, només cal posar-hi F=0, perquè amb la funció de tensió, de la qual en realitat només ens interessen les derivades, la constant additiva arbitrària no té cap paper. Per a les seccions que tenen més d’un contorn, aquest problema és més complex.
Com es veu a l’equació (5) La resultant de les tensions de tall τxy i τxz en un punt d’intersecció arbitrari és igual en magnitud al gradient de la funció de tensió F, però és perpendicular a aquesta, és a dir, té una direcció tangent a la recta F=const.
En resoldre l’equació diferencial (6)) s’obtenen les tensions τ com a funcions de y, z i ϑ. La tasca del càlcul és, per descomptat, la determinació de l’angle de torsió ϑ i la tensió, especialment la tensió màxima en funció del moment de torsió, per tant, la determinació de la rigidesa de la secció JT a partir de l’equació (2) i el parell de resistència WT = Mmaxτ. Per obtenir-los, només cal expressar M en funció de F:
Ambdues sumacions d’aquesta integral, que s’haurien d’assumir tota la secció, es poden transformar per integració parcial. Si, per exemple, el primer d’ells s’integra primer al llarg de la línia z=const. des del punt del contorn y=y1 fins al punt y=y2 (fig.3) i tingueu en compte que en tots dos punts F=0, s’obté
El mateix valor s’obté de la segona integral, de manera que
Un.7
Sl.3
Altres casos de seccions completes
L’equació diferencial (6) és l’equació no homogènia de la teoria del potencial. Per tant, per a la solució del problema de torsió en el cas d’una secció transversal arbitrària, es disposen dels mètodes de la teoria del potencial, que permeten trobar-lo sempre. Aquests mètodes, però, són generalment massa complexos per aplicar-los a casos individuals que es presenten a la pràctica. Per tant, la taula següent mostra els resultats d’aquests càlculs per a diverses seccions.
Per a seccions transversals properes a circular, es pot posar JT=F_4/40_Ip, on F és l’àrea i Ip és el moment d’inèrcia polar de la secció.
Nota sobre fórmules i taules: les expressions i els valors de les imatges escanejades s’emmagatzemen com a font històrica. El text OCR, les marques d’índex i l’escaneig no són prou fiables per al càlcul. Abans del seu ús, s’ha de comprovar cada fórmula, unitat, coeficient i àrea de validesa en una font professional autoritzada i estàndard vàlid.
Analogia amb la membrana
Una bona ajuda per estimar les tensions de torsió, i al mateix temps un procediment per a la seva determinació precisa és proporcionada per l’analogia entre la funció d’esforç F del problema de torsió i la càrrega transversal de deflexió de la membrana. Que hi hagi una obertura mitjana a la paret plana d’un vaixell que coincideixi amb la secció transversal d’una vareta carregada en torsió. Quan la membrana s’estira sobre aquesta obertura i es produeix un petit excés de pressió p al recipient, la membrana s’abomba cap a fora, de manera que les seves deflexions ξ(y,z) satisfan l’equació diferencial
on N és la tensió superficial de la membrana causada per forces capil·lars (dimensions: força per unitat de longitud). Aquesta equació coincideix amb l’equació (6), i la condició de límit ξ=0és el mateix que el de la funció de tensió. D’aquesta manera, la funció de tensió F(y,z) es pot obtenir utilitzant aquest mirall amb la membrana i així resoldre el problema de torsió. L’esforç τ correspon al pendent de la membrana en relació amb el pla y-z-, per tant, el lloc més empinat és aquell on la vareta exposada a la torsió té l’esforç de tall més alt.
Sl.4
Sl.5
Aquest procediment de membrana és especialment adequat per obtenir patrons aproximats per a seccions de parets primes. Quan, per exemple, la secció en I es divideix segons la fig.4en tres rectangles i per a cadascun d’ells l’analogia amb la membrana es realitza per separat, la suma dels volums de les protuberàncies resultants serà només lleugerament inferior al volum que realment correspon a la funció de tensió. Per tant, quan els gruixos són b1 i b2 petit, aproximadament
JT =2JT1+ JT2,
on JT1 i JT2 Factors de rigidesa de rectangles individuals que es poden calcular a partir de la taula1. S’obté una millor aproximació quan es col·loca JT per a la costella2 = a2b32/3, per tant, quan la costella es considera part d’un rectangle molt allargat. S’obté un valor encara més precís segons Trayer i March\ de
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
on D és el diàmetre del cercle més gran inscrit com es mostra a la fig.4, i α es pot extreure de la fig.5. Per a la secció en T s’obté de manera similar
JT = JT1+JT2+ α D4,
on JT2 la meitat del valor calculat segons la taula1per a=2_a2_, b=b2. Per a les seccions en L (Fig.6) és semblant a això
JT = JT1+ JT2+ β D4
on JT1 per al braç més gruixut es pren directament de la taula1, mentre que JT2 per a la cama més prima es calcula com per a la secció en T, i β es pren de la fig.7.
Fig. 6
Sl.7
Quan es calcula l’esforç, el moment torsional es divideix en rectangles constitutius: la part que cau sobre les brides M1=M JT2/JT; L’esforç tallant es calcula aleshores al punt mitjà del costat més llarg de cada rectangle segons la taula1. La major d’aquestes tensions no ha de ser la major tensió de tall que apareix a la secció. És a dir, si l’angle d’incidència no s’arrodoneix, s’obté τ=∞ en aquest lloc, de manera que per a un radi d’arrodoniment molt petit, aquí es pot esperar l’esforç tallant més alt.
Nota d’enginyeria: la singularitat matemàtica de l’angle agut idealitzat no és una llicència per estimar el detall real només amb aquest patró aproximat. La geometria real d’arrodoniment, les toleràncies, la plasticitat, les soldadures, les tensions residuals, l’estabilitat local i la fatiga requereixen un modelatge adequat i una verificació experta.
Per a un angle unilateral el gruix lateral del qual és t segons Trefftz\ es troba a l’arrodoniment del diàmetre r:
on amb τ0 tensió màxima marcada calculada per a cada cama individual segons el procediment descrit aquí. Per a radis d’arrodoniment més grans, es pot adoptar τ=2__τ0.
Tubs de paret fina (patrons Bradt)
En les canonades de parets primes, la membrana abombada té la forma que es mostra a la fig.8, que consisteix en un pla per sobre de l’espai buit dins de la canonada i una superfície inclinada que l’envolta i es troba per sobre de la secció efectiva de la paret de la canonada; aquesta superfície inclinada ha de ser més inclinada si les parets de la canonada són més fines al lloc adequat. En aquest cas, els esforços de cisalla es distribueixen de manera bastant uniforme sobre el gruix de les parets i són inversament proporcionals al gruix de les parets, és a dir, la força de cisalla T = τt no canvia al llarg de la circumferència de la secció.
Sl. 8
L’element superficial t_∙ds_ rep part del moment torsional
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
així que el moment total és
Un.8
on la superfície FR està coberta per la línia mitjana marcada per línies i punts a la fig.8. S’obté d’aquí
Un.9- El primer patró Bredt\
La rigidesa torsional s’obté de manera més senzilla quan el treball de deformació s’expressa d’una banda a través del moment de torsió i l’angle de torsió i, d’altra banda, a través dels esforços tallants. D’aquesta manera, s’obté per a un element de vareta de longitud l
per tant, introduint el valor de τ segons l’equació (8),
és a dir, en comparació amb l’equació (2):
Un.10
Si el gruix de les parets és el mateix al voltant, llavors és senzill (2. Patró de Bredt):
Un.11
Tenses normals en torsió a causa de la flexió de la secció
Termes bàsics i equació diferencial
Desplaçaments de components u, equació (1b), determina la curvatura de les seccions a partir dels seus plans. Quan el moment de torsió és constant, aquesta flexió és la mateixa en totes les seccions i no apareixen tensions normals σx.
En molts casos, la curvatura de la secció transversal, que hauria de sorgir sobre la base de _St. La teoria de Venant no és possible. Si el moment de torsió canvia bruscament en una secció transversal, es produiria flexió de diferents magnituds a ambdós costats de la secció transversal i la continuïtat de la deformació es veuria alterada. Un extrem de la vareta es pot subjectar de manera que la flexió de la secció quedi totalment exclosa en aquest punt. En aquests casos, s’hauria de fer una esmena _St. Les teories de Venant. A la vareta apareixen esforços suplementaris σx en la direcció de l’eix de la vareta i força tallant suplementària T (esforços de tall T/t), que són els més elevats en la secció on es trenca la continuïtat de la deformació i que disminueixen exponencialment amb la distància d’aquest tram. En el cas de barres i tubs sòlids, aquesta teoria és complexa, i les tensions suplementàries disminueixen tan ràpidament que la seva determinació no val la pena en la majoria dels casos. Per a les barres de perfil obert de parets primes, aquesta correcció és de gran importància i es pot calcular amb relativa facilitat.
Sl.9
Sl.9mostra la línia al llarg de la qual es tallen la superfície mitjana de la paret i el pla de secció (la línia mitjana de la secció). O és el centre de rotació relativa de dues seccions adjacents. Si la seva distància és dx, l’angle de torsió és ϑ dx, de manera que un punt arbitrari de la línia mitjana experimenta un desplaçament u ϑ dx. Aquest desplaçament té una component rt ϑ dx en la direcció tangent a la secció, i és el lliscament de l’element de la superfície mitjana de la paret (tenint en compte que _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Com que l’esforç de tall a la superfície mitjana de la paret és zero, també ha de ser γ=0, per això
Aquest patró conté tres paràmetres arbitraris: l’origen a partir del qual es calcula la longitud de l’arc s i les coordenades del centre de rotació relativa O, del qual depèn rt. El punt de partida a partir del qual es calcula la longitud de l’arc s es pot triar de manera que el valor de curvatura mitjà sigui zero:
i les coordenades del centre O es poden determinar de manera que els moments deguts a la flexió de la secció siguin zero:
Es pot demostrar que el centre de gir així determinat coincideix amb el centre de cisalla que és aquí descrit i definit d’una altra manera.
Si s’impedeix totalment o parcialment la flexió de la secció descrita per aquests patrons, han d’aparèixer tensions normals σx en la direcció de l’eix de la vareta. Un examen més detallat mostra que aquestes tensions es poden considerar proporcionals a la funció de curvatura φ: σx=k__φ, on φ només depèn de s i k només de x. Segons la llei de Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
ha de ser k=E d__ϑ/dx. Les tensions normals σx s’anomenen tensions de flexió de secció. Tenint en compte les equacions anteriors, formen un sistema d’equilibri de forces en cada secció, un sistema de forces degut a la flexió de la secció.
El parell total consta de dues parts: una d’elles M1=GJT__ϑ sorgeix a causa dels esforços de tall torsionals donats per St. la teoria de Venant, i l’altra M2 es produeix a causa de la flexió de la secció:
Un.13
Com que el moment M es dóna en funció de x, aquesta expressió representa una equació diferencial per a l’angle de torsió ϑ. Un cop resolta aquesta equació, es pot calcular M1 i M2, i per tant totes les tensions i deformacions.
Solució i aplicacions
Quan el moment de torsió M és constant, la solució general de l’equació (13) és:
Constants d’integració C1, C2 s’ha de determinar a partir de dues condicions de contorn.
a) Extrem rígidament subjectat x=0(fig.1)
En aquest extrem és u≡0, de manera que basant-nos en l’equació (1b) ϑ=0. Si la vareta és molt llarga (αl>>1), llavors C1=0i C2= -M/GJT. En el cas de les varetes curtes, l’aparició de tensió a causa de la flexió de la secció es veu afectada per l’estat de l’extrem dret de la vareta. Si no s’impedeix la flexió de la secció en aquest lloc, hi haurà σx≡0i dϑ/dx=0. S’obté d’aquí
b) Càrrega de torsió simètrica segons la fig.10
A la meitat esquerra de la vareta, el moment torsional és -M/2, i a la dreta +M/2. En el cas de torsió lliure, els trams a l’esquerra i a la dreta del mig de la vareta es retorçarien en sentit contrari, per tant no es conservaria la continuïtat de la deformació. Per tant, al lloc x=0tot el moment torsional s’ha de transferir a través de les tensions que es produeixen per la flexió de la secció transversal, i per tant en aquesta secció transversal M1=0i per tant ϑ=0. En aquest punt, un sistema de forces actua per garantir que la secció es mantingui recta, tot i que les seccions que es troben més allunyades del centre de la corba de la vareta. Si, a més, cal que els extrems de la vareta tinguin esforços σx≡0, s’obté una condició de límit més per a cada meitat de la vareta, per tant és per a la meitat dreta
Fig. 10
c) Moment extern M en un lloc arbitrari (fig.11)
En aquest cas, la solució ϑ de les dues parts de la vareta s’ha d’escriure per separat, de manera que apareixen un total de quatre constants C1, C2, C3, C4. A més, també es desconeixen els moments de torsió Ma, Mb. Hi ha sis equacions disponibles: una condició de continuïtat per a ϑ (expressada per u) i per a dϑ/dx (expressada per σx) al punt de càrrega, una condició a cada extrem de la vareta (per exemple, subjecció rígida ϑ=0, o flexió no pertorbada, dϑ/dx=0), la condició d’equilibri per moments -Ma+Mb=M i finalment la condició que els trams extrems no giren entre si: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Nota final: l’elecció del model de torsió depèn de la secció oberta o tancada, l’esveltesa, el mètode de suport, el lloc d’entrada del moment i la possibilitat de flexió lliure. Per a un element real, s’han de comprovar els estats límit de càrrega i servei, detalls locals, articulacions, fatiga i estabilitat, no només una fórmula aïllada de l’article.